电磁场与电磁波期末复习要点

第一章

矢量分析

①

A A

A e =u r uu r

u r

②

cos A B

A B

θ⋅=⋅u r u r

u r u r

③

A u r 在

B u r 上的分量B AB A B

A COS B

A θ⋅==u r u r

u r u r

④

e x y z x y z x

y

z

A B e e A

A A B

B

B

⨯=u r u r

r r r

⑤

A B A B

⨯=-⨯u r u r u r u r ,

()A B C A B A C

⨯+=⨯+⨯u r u r u r u r u r u r u r ,

()()()A B C B C A C A B ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯u r u r u r u r u r u r u r u r u r (标量三重积)，()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅u r u r u r u r u r u r u r u r u r

⑥ 标量函数的梯度x

y

z

u u u u

x

y

z

e e e ∂∂∂∇=++∂∂∂u u r u u r u u r

⑦

求矢量的散度=y x z

A x y z

A A A ∂∂∂∇⋅++

∂∂∂u r 散度定理：矢量场的散度在体积V 上的体积分等于在矢量场在限定该体积的闭合曲面S 上的面积分，即

V

S

FdV F d S ∇⋅=⋅⎰

⎰u r u r u r

Ñ，散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系。

⑧

给定一矢量函数和两个点，求沿某一曲线积分E dl ⋅⎰u r r

，x y C

C

E dl E dx E dy ⋅=+⎰⎰u r r

积分与路径无关就是保守场。

⑨ 如何判断一个矢量是否可以由一个标量函数的梯度表示或者由一个矢量函数的旋度表示？如果

0A ∇⋅=u r 0A ∇⨯=u r

，则既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；如果0A ∇⋅u r ≠，则该矢量可以由一个标量函数的梯度表示；如果0A ∇⨯u r

≠，则该矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。矢量的源分布为A ∇⋅u r A ∇⨯u r

.

⑩ 证明()0u ∇⨯∇=和()0A ∇⋅∇⨯=u r

证明：解 （1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有

()d d d

S

C

C

u

u u l l ∂∇⨯∇=∇==∂⎰⎰⎰

S l g g 蜒由于曲面S 是任意的，故有

()0u ∇⨯∇=

（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，由散度定理有

1

2

()d ()d ()d ()d S

S S τ

τ∇∇⨯=∇⨯=∇⨯+∇⨯⎰⎰⎰⎰A A S A S A S g g g g Ñ 其中1S 和2S 如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有

1

1

()d d S C ∇⨯=⎰⎰A S A l g g Ñ， 2

2

()d d S C ∇⨯=⎰⎰A S A l g g Ñ

由题1.27图可知1C 和2C 是方向相反的同一回路，则有 1

2

d d C C =-⎰⎰A l A l g g 蜒

所以得到

1

2

2

2

()d d d d d 0C C C C τ

τ∇∇⨯=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰A A l A l A l A l g g g g g 蜒蜒

由于体积τ是任意的，故有 ()0∇∇⨯=A g

附：圆柱坐标系中：散度11()z

F F F F z

φρρρρρφ∂∂∂∇⋅=

++∂∂∂u r ；

旋度 ()111()()[]z

z z z z

e e e F F F F F F F e e e z z z F F F ρ

φφρφρρφρ

φ

ρρρρφρφρρρφρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯=

=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂u u r

u u r u r u r u u r u u r u r

球坐标系中： 散度22111()(sin )sin sin r F F r F F r r r r φ

θθθθθφ

∂∂∂∇⋅=++∂∂∂u r

旋度

2

sin ()11111()[(sin )][][]sin sin sin sin r

r r r r e re r e rF F F rF F F e F e e r r

r r r r r F rF r F θφ

φθθφθφθ

φ

θθθθφθθφθφθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂u r u u r

u u r u r u r u u r u u r

第二章 电磁场的基本规律

① 电荷守恒定律（电流连续性方程）

1

题1.27图