材料力学第八章(1)

D =140 mm，壁厚d =10
mm。
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例题 8-2
解: 1. 约束力为FA=FB=5 kN。折杆的受力图如图b所示。 根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆。将FA分解
为沿AC 杆轴线和垂直于AC轴线方向上的两个分力FAx和FAy 。
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例题 8-2
由图a所示的几何关系，可见sina =3/5 ，cosa=4/5， FAx = FA sina=3kN和 FAy= FA cosa = 4 kN。AC杆的长度为2m，m-
25
轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向 力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合变 形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原 理来计算杆中的应力。
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至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附 加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相 当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原 理。
Mey=Fe sina =F·zF , Mez=Fe cosa =F·yF
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由于Mey和Mez作用在包含形心主惯性轴的纵向面内，故引 起的都是平面弯曲。可见偏心拉伸（压缩）实为轴向拉伸 （压缩）与平面弯曲的组合，且当杆的弯曲刚度相当大时 可认为各横截面上的内力相同。
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图c所示任意横截面n-n上的内力为
第 8 章 组合变形及连接部分的计算
§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互
垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法 §8-6 铆钉和螺栓连接的计算
1
§8-1 概 述
Ⅰ. 组合变形 构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的
指外力的作用线与直杆的轴 线平行但不重合的情况。
图a所示等直杆受偏心距 为e 的偏心拉力F 作用，杆 的横截面的形心主惯性轴为 y轴和z轴。
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(1) 偏心拉(压)杆横截面上的内力和应力 将偏心拉力F向其作用
截面的形心O1简化为轴向 拉力F和力偶矩Fe，再将 该力偶矩分解为对形心主 惯性轴y和z的分量Mey和 Mez(图b及图c)：
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例题 8-1
z
(e)
MyA
z
D1 z D2
MzA
y
y
y
( max )A
M yA Wy
M zA Wz
0.642q 31.5
(12 10 6
)
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103 ) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q 31.5
(12 106
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例题 8-1
3. 分析梁的危险截面，并求max
A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大， 但因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危险截面， MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ，且 MyD= 0.444 qa2，
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A 截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
t,max
3 103 40.8 10-4
N m2
8 103 N m 124 10-6m3
63.8106 Pa 63.8 MPa
c,max
3 103 40.8 10-4
N m2
8 103 N m 124 10-6m3
65.2106 Pa 65.2 MPa
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II.偏心拉伸(压缩) 偏心拉伸或偏心压缩是
变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级， 则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。
烟 囱 ( 图 a) 有 侧 向 荷 载 （风荷，地震力）时发生弯 压组合变形。
2
齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭 转组合变形（两个相互垂直平面内的 弯曲加扭转）。
吊车立柱（图c）受偏心压缩，发 生弯压组合变形。
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确定中性轴的方向后，作平行于中 性轴的两直线，分别与横截面的周边 相切，这两个切点（图a中的点D1、D2） 就是该截面上拉应力和压应力为最大 的点。从而可分别计算水平和竖直平 面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。
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对于如图b所示横截面具有 外棱角的梁，求任何横截面上 最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需
3
立柱内力：轴力，弯矩。拉伸+弯曲
4
拉+弯+弯+扭
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两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横 截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于 组合变形。
6
7
对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小 变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形 下的内力、应力或位移进行叠加。
Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[ ]=160 MPa。
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例题 8-1
解: 1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
Fy
F
cos 40o
qa 2
cos 40o
0.383qa
Fz
F sin 40o
qa sin 40o 2
0.321qa
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例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和竖直弯曲 的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
m截面上的内力分别为
FN=-FAx=-3 kN Mmax=FAy×2m= 8 kN·m 可见此杆产生弯、压组合变形。
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例题 8-2
2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力t,max和最大压应 力c,max分别发生在该截面的下边缘f点处和上边缘g点处(图
b)，其计算公式分别为
t,max
FN A
M max W
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图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截
面应，的其拉上伸的正内应力力为t为FN均=F匀t，分布Mm(图ax b)。，14 F该l 横截面 t上与F，AN轴而力与FAFt最N对
大弯矩Mmax对应的弯曲正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对
值
b
。M max W
Fl 4W
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在FN 和Mmax共同作用下，危险截
由于竖直外力F2 Mz(x)=F2 (x-a)
弯曲正应力 M y z
Iy
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Mz y
Iz
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面 绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平 面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y、z的任意点处弯曲正应 力为零。
FN=F， My=Mey=F·zF， Mz=Mez=F·yF
横截面上任意点C ( y, z ) 处的正应力为
FN M y z M z y
A Iy
Iz
F FzF z FyF y (b)
A Iy
Iz
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在工程计算中，为了便于分析一些问题，常把惯性矩Iy和Iz 写作如下形式：
Iy
Ai
2 y
或
c,max
FN A
M max W
(a)
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例题 8-2
3. 钢管横截面的几何性质分别为
A π[D2 (D 2d )2 ]
4 40.8 104m2
I π [D4 (D 2d )4]
64 868 108m4 W I 124 106m3
D/2
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例题 8-2
4. 将FN 和Mmax以及A和W的值代入式(a)得
)
0.456q (12 ) 237 ax )A ( max )，D 可见A截面为危险截面。由图e可
见A截面上的外棱角D1和D2处分别为c,max和t,max 。
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例题 8-1
4. 求许可荷载集度[q]。
根据强度条件 ( max )A ，[有 ]
具有双对称截面 的梁，它在任何一 个纵向对称面内弯 曲时均为平面弯曲。
故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向 外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯 曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。
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图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：
由于水平外力F1 弯 矩 My(x)=F1 x
Fe作用的纵向面）和y轴之间的夹角。
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tan b Iz tana
由此式可知：
Iy
1. 若偏心拉力作用在形心主惯性轴y上(即tana=0)或者作 用在形心主惯性轴z上,则恒有tanb =tana ,即中性轴垂直于力
偶矩Fe所在的纵向面；
2. 当偏心拉力不作用在任何一根形心主惯性轴而tana 0，
在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加） 再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或 位移然后叠加，须视情况而定。
Ⅱ.连接件的实用计算 连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接
处实际变形情况复杂。 螺栓连接中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。
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键连接中，键主要受剪切及挤压。
（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa
解得 于是
q
160 106 21.5 103
7.44 103
N/m
[q]=7.44×103 N/m =7.44 kN/m
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§8-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
Ⅰ. 横向力与轴向力共同作用
图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft 作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。