浙江省嘉兴市高一上学期期末考试数学试题

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浙江省嘉兴市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

浙江省嘉兴市2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则AB =（） A ．{3} B ．{1,2,3}C ．{1,2,3,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 2．sin150︒的值为（）A ．BC ．12D ．12- 3．下列函数中是奇函数且在区间(1,0)-上是增函数的是（）A ．2x y -=B ．1y x x =+C ．2y xD ．sin y x =4．已知02πα<<，02πβ<<，则“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．设lg3a =，lg5b =，则2log 12的值为（）A ．221b a b-+- B ．221b a b -+- C ．221a b b -+- D ．221a b b -++ 6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=且在区间[0,)+∞单调递减，()f x 的部分图像如图所示，则不等式()21xf x ≥-的解集为（）A ．[2,2]-B ．[2,1]-C ．[1,1]-D ．[1,2]-7．已知0a >，0b >，且121a b +=，则2b a +的最小值为（）A ．B ．3C ．8D ．98．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，||2πϕ≤)，满足06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭且对于任意的x ∈R 都有2()3f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A ．5B ．7C ．9D ．11二、多选题 9．下列命题是真命题的是（）A ．x ∀∈R ，12x x +≥B ．0x ∃>，ln x x =C ．x ∀∈R ，21x x +≥-D ．0x ∃>，22x x = 10．下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15︒-︒=B ．1sin 4040sin 702︒+︒=︒C ．sin cos 884ππ= D ．tan152︒=-11．已知函数()f x 的定义域为R ，则下列说法正确的是（）A ．若()f x 为R 上的单调递增函数，则()f x 的值域为RB ．若对于任意的x 都有()(2)f x f x =-+，则(4)()f x f x +=C ．若存在n 个i x (1i n ≤≤，2n ≥，*i ∈N )，使得()()()12n f x f x f x <<⋯<成立，则()f x 在R 上单调递增D ．()f x 一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和12．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（） A ．若方程()2a f x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2a f x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2a f x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2a f x ax =+有4个不同的实数根，则4a >三、填空题13238=________. 14．若角α的终边过点(,3)P m -，且4cos 5α=，则m 的值为________. 15．个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-五险一金(个人缴纳部分)-累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金(个人缴纳部分)6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为________.16．已知函数2()22b a f x ax x =+-，当[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，则+a b 的最大值为________.四、解答题 17．已知全集U =R ，集合{}2560A xx x =-+≤∣，集合{}2220B x x x =-->∣. （1）求A R ，A B ；（2）若集合{30}C xx a =+>∣，满足A C C =，求实数a 的取值范围. 18．已知sin α=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值；（2）求cos3α的值.19．第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，多个国家和地区的参展企业携大批新产品､新技术､新服务首发首展.某跨国公司带来了高端压缩机模型参展，通过展会调研，嘉兴某企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款压缩机.生产此款压缩机预计全年需投入固定成本1000万元，每生产x 千台压缩机，需另投入资金y 万元，且2210299,040900945010000,40x x x y x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，根据市场行情，每台压缩机售价为0.899万元，且当年内生产的压缩机当年能全部销售完.（1）求2021年该企业年利润z (万元)关于年产量x (千台)的函数关系式；（2）2021年产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？(注：利润=销售额-成本)20．已知函数2()2cos sin 1(0)2f x x x x πωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，其最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =，求函数()y g x =在区间70,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域.21．对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足以下条件：①()y f x =在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()y f x =在[,]a b 上的值域是[,]a b ，那么我们把函数()()y f x x D =∈叫做闭函数.（1）判断函数()33x g x x =-是不是闭函数？若是，请找出区间[,]a b ；若不是，请说明理由；（2）若()2()ln e x h x m =+为闭函数，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数). 22．已知0a >，b ∈R ，函数2()(2)f x ax a b x =+-.（1）若函数()y f x =在[1,1]-上有两个不同的零点，求b a的取值范围；（2）求证：当[1,1]x ∈-时，|()||2|f x a b a ≤-+.参考答案1．D【分析】由集合并集的概念即可得解.【详解】因为集合{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，所以{}1,2,3,4,5A B =.故选：D.2．C【分析】利用诱导公式直接计算即可.【详解】()1sin150sin 18030sin 302︒=︒-︒=︒=. 故选C.【点睛】本题考查诱导公式，属于容易题.3．D【分析】根据函数奇偶性的定义，并结合具体函数讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，122xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，是非奇非偶函数，故A 选项错误；对于B 选项，函数1y x x =+是对勾函数，由对勾函数性质得函数在区间(1,0)-上是减函数，故B 选项错误；对于C 选项，函数221y x x 为偶函数，故C 选项错误；对于D 选项，函数sin y x =为正弦函数，是奇函数，且在()1,0-为增函数，故D 选项正确. 故选：D.4．A利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意02πα<<，02πβ<<，若αβ=，则22αβ=，故sin 2sin 2αβ=，即“αβ=”可推出“sin 2sin 2αβ=”；若sin 2sin 2αβ=，结合02απ<<，02βπ<<，则有22αβ=，或者22αβπ+=，故αβ=或2παβ+=，即“sin 2sin 2αβ=”推不出“αβ=”.故“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A.5．C【分析】先根据换地公式得2lg12log 12lg 2=，再根据对于运算性质化简即可得答案. 【详解】解：根据换底公式和对数运算性质得： 210lg32lg lg12lg32lg 2lg322lg5225log 1210lg 2lg 21lg51lg 5a b b +++-+-=====--. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，其中解题的关键在于利用换底公式得2lg12lg 32lg 2log 12lg 2lg 2+==，其中lg 21lg5=-，进而代入化简即可，是基础题.6．B【分析】补全函数()f x 的图象并作出21x y =-的函数图象，不等式()21x f x ≥-的解集即为函数()y f x =高于或者等于21x y =-图象的部分，利用图象求解即可．由函数()f x 是偶函数补全图象，并作出21x y =-的函数图象如图所示：可得交点坐标为()31,1,2,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ 则不等式()21x f x ≥-的解集为[2,1]-故选：B7．D【分析】利用”1”的代换结合基本不等式求解即可．【详解】221225259b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1121ab a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即133a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号则2b a+的最小值为9 故选：D8．C【分析】由函数的对称性可得1132k k Z 、226k k Z ，两式相减进一步化简可得21,k k N ，根据正弦型函数的单调性得25629312T，代入周期计算公式可得112kk N ，取54k 、验证函数()f x 的单调性即可.【详解】由于2()3f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 关于3x π=对称，即3x π=是函数()f x 的一条对称轴， 11()sin()3332f A A k k Z ，① 22sin()0666f A k k Z ，② ①-②得2121(),22k k Z k k ，令12k k k =-，k Z ∈，则22k ，21,k k Z ，0ω>，k N ，()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期2221T k N k ， ()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调， 25362291T ， 2216Tk ，解得112k k N ，当5k =时，11ω=，则②式为2116k ，2216k k Z ，又||2πϕ≤，2,26k ，此时sin 116f xA x ，当52,369x 时，494111,63618x ，∴()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，不符合题意舍去；当4k =时，9ω=，则②式为296k ，2232k k Z ，又||2πϕ≤，∴当21k =-时， 2ϕπ=，此时sin 92f x A x ，当52,369x 时，759,242x ，()f x 单调递增；当22k =-时，2πϕ=-，此时sin 92f x A x ，当52,369x 时，339,242x ，()f x 单调递减.∴ω的最大值为9.故选：C 【点睛】解决三角函数中已知单调区间求参数ω范围时，首先要有已知的单调区间是函数()sin()f x A x ωθ=+单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路. 9．CD 【分析】对于A 选项，0x <，10x x+<，故A 错误；对于B 选项，令ln y x x =-，由于max 10y =-<，方程ln x x =无实数根，故B 选项错误；对于C 选项，作差变形即可得C 选项正确；对于D 选项，当2x =或4x =时，22x x =成立，正确. 【详解】解：对于A 选项，0x <，10x x+<，故A 选项错误；对于B 选项，令ln y x x =-，则11'1xy x x-=-=，故函数ln y x x =-在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，max 10y =-<，故函数ln y x x =-无零点，所以方程ln x x =无实数根，故B 选项错误；对于C 选项，2213310244x x x ⎛⎫++=++≥> ⎪⎝⎭，故x ∀∈R ，21x x +≥-，即C 选项正确；对于D 选项，显然当2x =或4x =时，22x x =成立，故D 选项正确. 故选：CD 【点睛】本题考查全称命题与特称命题的真假判断，其中B 选项解题的关键在于构造函数ln y x x =-，进而得函数在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，max 10y =-<，方程ln x x =无实数根.考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题. 10．ACD 【分析】由二倍角的余弦、正弦公式可判断AC 选项，由二倍角的正切公式可求出tan15︒的值，进而判断D 选项，由两角和与差的正弦可判断B 选项. 【详解】解：A 选项：由二倍角的余弦公式可知：223cos 15sin 15cos302︒-︒==，故A 正确；B 选项：1sin 4040sin(4060)sin 8022︒+︒=︒+=︒，故B 不正确；C 选项：1sincossin 88244πππ==，故C 正确；D 选项：22tan153tan 301tan 15==-，解得：tan152︒=±-tan150︒>，所以tan152︒=D 正确；故选：ACD. 11．BD 【分析】举反例判断A ，令2x x =+即可判断B ，根据函数单调性的定义判断C ，构造函数1()[()()]2F x f x f x =+-，1()[()()]2G x f x f x =--即可判断D ；【详解】解：对于A ：令()2xf x =，x ∈R ，函数在定义域上单调递增，值域为()0,∞+，故A 错误；对于B ：因为()(2)f x f x =-+，所以(2)(4)f x f x +=-+，所以()(4)f x f x =+，故B 正确；对于C ：因为n 个i x 不一定为连续的值，无法判断()f x 在定义域上的单调性，故C 错误；对于D ：令1()[()()]2F x f x f x =+-，1()[()()]2G x f x f x =--；()f x 的定义域为R ，关于原点对称；()F x ∴，()G x 的定义域关于原点对称；又1()[()()]()2F x f x f x F x -=-+=，1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-；()F x ∴为偶函数，()G x 为奇函数；又()()()f x F x G x =+；()f x ∴一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和．故D 正确；故选：BD 12．AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+，所以23()()22f x f x x ax a =--=-+-，综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根，则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =，而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+，所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+，当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+，所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >.故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围. 13．π- 【分析】根据指数幂的运算方法可得答案. 【详解】2233384(2)44πππ=--=--=-.故答案为：π-. 14．4 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】解：角α的终边过点(,3)P m -，根据三角函数的定义得：r ==，4cos 5α==，解得：4m =. 故答案为：4. 15．1790元【分析】根据题中所给的信息进行计算求解即可. 【详解】因为王某每月缴纳五险一金(个人缴纳部分)6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，所以他每月应缴纳税所得额为：30000500060002000100016000----=，所以他每月应缴纳的个税金额为：30003%900010%(1600012000)20%1790⨯+⨯+-⨯=.故答案为：1790元 16．2【分析】由[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，转化为211222xa xb ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭恒成立，根据+a b 中，a ，b 系数相等，令2122xx -=求解. 【详解】因为[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，所以2211()22222b a x f x ax x a x b ⎛⎫=+-=-+≥- ⎪⎝⎭恒成立，令2122x x -=，则12x =-或1x =，当1x =时，()21122a b f =+≥- ，即1a b +≥-，当12x =-时，112442a b f ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，即2a b +≤，要使12x =-时，1()2f x ≥-的等号成立，则min11()22f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即14211114422ba ab a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，203a =>，函数图象开口向上，对称轴为12x =-，所以则+a b 的最大值为2，故答案为：2 【点睛】关键点点睛：由+a b 中，a ，b 系数相等，令2122xx -=是本题求解的关键..17．（1）{|2RA x x =<或3}x >，，{|13}AB x x ⋂=+<≤；（2）(6,)-+∞.【分析】（1）分别求得集合,A B ，集合集合交集和补集的运算，即可求解；（2）由A C C =，得到A C ⊆，根据集合的包含关系，列出不等式，即可求解.【详解】（1）由256(2)(3)0x x x x -+=--≤，解得23x ≤≤，即集合{23}A xx =≤≤∣，所以{|2RA x x =<或3}x >，又由2220x x -->，解得1x <-或1x >+{|1x x <1x >+，所以{|13}A B x x ⋂=<≤. （2）因为AC C =，所以A C ⊆，又由{30}3a C xx a x x ⎧⎫=+>=>-⎨⎬⎩⎭∣∣，所以23a-<，解得6a >-，即实数a 的取值范围(6,)-+∞.18．（1）35；（2）50-. 【分析】（1）根据α的范围，可求出cos α的值，然后利用二倍角公式可求出sin 2α；（2）由二倍角的余弦公式可计算cos2α，cos3cos(2)ααα=+，用两角和的余弦展开代入，即可求出结果. 【详解】（1）因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α<，则cos α==，所以3sin 22sin cos 5ααα==-. （2）224cos 2cossin 5ααα=-=，cos3cos(2)cos cos 2sin sin 2ααααααα=+=-4355⎛⎫=- ⎪⎝⎭=. 【点睛】方法点睛：三角函数已知角的范围求值时，注意公式的选择，选择能判断符号的公式进行运算.19．（1）2106001000,040100008450,40x x x z x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）2021年产量为100(千台)时，企业所获年利润最大为8250万元. 【分析】（1）由利润为销售收入减去每生产x 千台压缩机，需另投入资金y 万元和固定成本求解. （2）由（1）中的函数，分040x <<和40x ≥，分别利用二次函数的性质和基本不等式求解. 【详解】（1）()22899102991000,0409009450100008991000,40x x x x z x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+--≥⎪⎩， 2106001000,040100008450,40x x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）由（1）知当040x <<时，210(30)8000z x =--+，当30x =时，max 8000z =万元；当40x ≥时，100008450z x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，因为10000200x x+≥，当且仅当100x =时取等号，所以当100x =时，max 82508000z =>万元万元，综上当100x =时，max 8250z =万元，所以2021年产量为100(千台)时，企业所获年利润最大为8250万元. 【点睛】思路点睛：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (3)解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．20．（1）1ω=，单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）(2]. 【分析】（1）化简得()2cos 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据最小正周期得1ω=，进而整体代换求解得()f x 的单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）根据题意得()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由于70,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故52336x πππ-<-<，故cos 2123x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，()2g x <≤，进而得函数值域. 【详解】（1）因为2()2cos sin 1(0)2f x x x x πωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭22cos 1cos x x x ωωω=--cos 22x x ωω=12cos 2222x x ωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以2|2|T πππωω===，即1ω=， ()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222()3k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得2()36k x k k Z ππππ-≤≤-∈，所以()f x 的单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移3π个单位得到()2cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当70,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52336x πππ-<-<，所以cos 213x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，()2g x <≤，所以函数()y g x =的值域为(2⎤⎦. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，三角函数的性质等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据三角恒等变换化简得函数()2cos 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而根据三角函数的性质求解.21．（1）不是闭函数，理由见解析；（2）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据函数的解析式()33xg x x =-，得到函数()g x 不是单调函数，即可得到结论；（2）根据复数函数的单调性得到函数()2()ln xh x em =+在定义域上单调递增，根据闭函数的定义，当[,]x a b ∈时，[,]y a b ∈，得出方程组220a ab be e m e e m ⎧-+=⎨-+=⎩，转化为,a b 是方程20x x e e m -+=的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为()33x g x x =-，所以110(1)333g -=+=， (1)0g =，2(2)3323g =-⨯=，(1)(1)g g ->，(1)(2)g g <，所以()33x g x x =-不是单调函数故不是闭函数.（2）由函数2x y e m =+和ln y x =都是定义域上的单调递增函数，根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数()2()ln x h x em =+在定义域上单调递增，当[,]x a b ∈时，[,]y a b ∈，所以()()22()ln ()ln a b h a e m a h b e m b⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，即2200a a b b e e m e e m ⎧-+=⎨-+=⎩. 所以a ､b 是方程20x x e e m -+=的两个根，令(0,)x t e =∈+∞且在R 上单调递增，则方程20t t m -+=在(0,)+∞上有两个不同的实根，因为2m t t =-+，令2()h t t t =-+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递减，1124h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以10,4m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.22．（1）[1,2)(2,3]⋃；（2）证明见解析.【分析】（1）首先直接求方程的实数根据，再根据根的分布，直接求b a的取值范围；（2）方法①先证明()2f x a b a ≤-+，再证明()2f x a b a ≥---，转化为讨论函数的最值问题；方法②首先利用函数性质可知所以max{|(1)|,|(1)|}max{(1),(1)}f f f f -=-，11(1)(1)22a f f =-+，31(1)(1)22b f f =-+，再将函数转化为2(1)(1)(1)(1)|()|22f f f f f x x x -+--=+∣22(1)(1)22x x x x f f +-=+-，利用含绝对值不等式的性质证明.【详解】（1）2()(2)0f x ax a b x =+-=，所以10x =或22b a x a -=，则21120b a a b a a-⎧-≤≤⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，即132b a b a⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，所以[1,2)(2,3]b a ∈⋃. （2）法①先证()|2|f x a b a ≤-+，因为2()(2)f x ax a b x =+-，所以(1)3f a b =-，(1)f a b -=-+，(1)(1)42f f a b --=-，因为0a >，所以{}max 3,2()max (1),(1)2,2a b b a f x f f a b a b a b a -≤⎧=-==-+⎨->⎩，即()|2|f x a b a ≤-+成立；下证()|2|f x a b a ≥---，因为2()(2)f x ax a b x =+-，对称轴为22b a x a-=， ①212b a x a-=≤-，即0b ≤时， ()y f x =在[1,1]-上单调递增，所以min ()(1)f x f a b =-=-+，min ()|2|220f x a b a a b a b a a +-+=-++-+=>； ②212b a x a-=≥，即4b a ≥时， ()y f x =在[1,1]-上单调递减，所以min ()(1)3f x f a b ==-，min ()|2|3220f x a b a a b b a a a +-+=-+-+=>； ③2112b a x a--<=<，即04b a <<时， 2min 2(2)()24b a a b f x f a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以min ()|2|f x a b a +-+2(2)|2|4a b a b a a--=+-+ 22228,02488,244a b b a a a ab b a b a a ⎧-<≤⎪⎪=⎨-+-⎪<<⎪⎩，当02b a <≤时，min ()|2|0f x a b a +-+>，当24a b a <<时，令22()88h b b ab a =-+-在(2,4)a a 单调递增，又因为2(2)40h a a =>，所以min ()|2|0f x a b a +-+>，综上当[1,1]x ∈-时，|()||2|f x a b a ≤-+.法②：因为2()(2)f x ax a b x =+-，所以(1)3f a b =-，(1)f a b -=-+，得(1)(1)20f f a +-=>，所以max{|(1)|,|(1)|}max{(1),(1)}f f f f -=-，11(1)(1)22a f f =-+，31(1)(1)22b f f =-+，于是2(1)(1)(1)(1)|()|22f f f f f x x x -+--=+∣ 22(1)(1)22x x x x f f +-=+- 22(1)(1)22x x x x f f +-≤+-∣ 22|(1)||(1)|22x x x x f f +-=+- 22max{|(1)|,|(1)|}22x x x x f f ⎛⎫+-≤-+ ⎪⎝⎭. 由||||max{||,||}a b a b a b +=+-得{}222max ,||122x x x x x x +-+=≤，所以|()|max{|(1)|,|(1)|}f x f f ≤-max{(1),(1)}f f =-(1)(1)|(1)(1)||2|22f f f f a b a +---=+=-+. 【点睛】方法点睛：本题考查二次函数根的分布，以及含绝对值不等式的证明方法，二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.。

2023-2024学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |x ≥3}，则A ∩B ＝（） A ．[2，4）B ．[3，+∞）C ．[3，4）D ．[2，3）2．已知sin(π+α)=35，则sin α＝（）A ．45B ．35C ．−45D ．−353．已知函数f(x)={3x −1，x ≤1，12f(x −1)，x ＞1，则f （3）＝（）A ．14B ．12C ．2D ．44．已知a ，b ，m ∈（0，+∞），则“a ＞b ”是“b+m a+m ＞ba”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知α，β都是锐角，cos(α+β)=2√55，sinα=√1010，则cos β＝（） A ．9√210B ．7√210C ．√22D ．√2106．设函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，则下列函数是奇函数的是（） A ．f （x +1）+2B ．f （x ﹣1）+2C ．f （x ﹣1）﹣2D ．f （x +1）﹣27．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，A ，B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且|OB |＝3|OA |，则（）A ．f(6)=√22B ．f （1）+f （9）＝0C ．f （x ）在（3，5）上单调递减D ．函数f （x ）的图象关于点(−52，0)中心对称8．已知函数f （x ）＝e x +x ，g （x ）＝lnx +x ，若f （x 1）＝g （x 2）＝t ，则x 1+x 2+2−t 2的最大值为（） A ．94B ．2C ．2e−12D ．3e−1e 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末考试数学试卷及答案

2
22、(1)当 a 1时, f x
x
1 1
1
x
1
0
,所以
2x x 1
x 1
1 x 2
x 2
所以
2 x x 1
x
或
1
x x
2 1
x 1,解得 x
1 2
5
或 x
( ) 所以当 a 1时,方程 f
x
= 0 的解集为 1
5 ；
2
(2)由题意令
f (x) = 0 得
x
1
1
a
x a ,记 g x
2
a kc a b ab
4k 6 , 2
解得 k 2 .
20、(1)因为
f
x
a 2x
1 2x
x
R 是偶函数,
所以
f
x
f
x ,即 a 2x
1 2x
a 2x
1 2x
,
化简得
a
1
2x
1 2x
0
,
所以 a 1 ；
(2)结论:
f
x
2x
1 2x
在(0,+∞)单调递增.证明如下：
任取 0 x1 x2 ,则
f
x1 f
x2
2 x1
1 2 x1
2
x2
1 2 x2
2 x1
2x2
2 x2 2 x1
2 x1 2x2
2x1 2x2 2x1 x2 1 2x1 x2
因为 0 x1 x2 ,所以 2x1 2x2 0, 2x1 x2 1 0 ,所以 2x1x2 1 0
所以
A．2
B．3
C． 2

2022-2023学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为 a 1， b
3
，且a与bFra bibliotek的夹角为
6
，
所以 a b a b cos 3 ， 62
因此 a b 2a b 2 a 2 a b b 2 2 3 3 1 . 22
故选：A.
5、D
【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
A. [0, 2]
B.[0, )
C. (0, 2]
D.[2, )
10．曲线
y
Asin x
a( A
0,
0) 在区间
0,
2π
上截直线
y
2
及
y
1 所得的弦长相等且不为
0
，则下列对
A ， a 的描述正确的是
A. a 1 ， A 3
2
2
B. a 1 ， A 3
2
2
C. a 1， A 1
D. a 1， A 1
直线(除 a 2 时外)与函数 y f (x) 在 (0, 5) 上的图象最多一个公共点，此时 a 0 或 a 2 或 a 不存在，将 a 2 时的直线(含 a 2 )绕 A 顺时针旋转到直线 y 2 (不含直线 y 2 )的位置，旋转过程中的直线与函数 y f (x) 在 (0, 5) 上的图象至少有两个公共点，此时 0 a 2 ，
8．若 x log2 3 1，求 3x 3x （）
A. 5
B. 13
2
6
C. 10
D. 3
3
2
9．定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) 2 f (x 2) ，且当 x (1,1] 时， f (x) (1)|x| ，若关于 x 的方程 2

2022-2023学年浙江省嘉兴市南湖区第一中学高一上数学期末统考试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
5、C
【解析】对于，当，故错误；对于，由题可知对于任意，为增函数，所以与的正负相同，则，故错误；对于，由，得对于任意，都有；对于，当时，，故错误.
故选C
D对任意，都有
6、D
【解析】A不正确，也有可能；
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
18、（1），
（2）
【解析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；
（2）利用将变形为，继而变形为，代入求值即可.
小问1详解】
则
【小问2详解】
由（1）知，
则
19、（1），；（2）
【解析】（1）根据已知的关系式以及函数的奇偶性列出另一个关系式，联立求出函数和的表达式；

浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(含答案)

嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。

2021-2022学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷【答案版】

20212022学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题I ：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |0≤x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，0]2．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP 交单位圆O 于点P （−5，），则tan θ的值为（）534B ．（﹣1，2）C ．[0，1）D ．（0，1）A ．−53B ．54C ．−34D ．−433．已知命题p ：∃a ∈N ，a ≥100，则￢p 为（）A ．∃a ∈N ，a ≤1004．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ＞0”是“＜”的（）ab11B ．∃a ∈N ，a ＜100C ．∀a ∈N ，a ≤100D ．∀a ∈N ，a ＜100A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移个单位，得到函数f （x ）的图象，则（）3πA ．f(x)=sin(2x +3)C ．f(x)=sin(2x +3)6．函数f （x ）＝（21+e x2ππB ．f(x)=sin(2x −3)D ．f(x)=sin(2x −3)2ππ−1）•sin x 的图象大致形状为（）A ．B ．C ．D ．−x 2+4x ，x ≤47．设函数f (x)={，若关于x 的方程f （x ）＝t 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3|log 2(x −4)|，x ＞4＜x 4），则x 1+x 2+2x 3+2x 4的最小值为（）A ．8．已知a ，b ，c 都是正实数，设M =a+b +b+c +c+a ，则下列判断正确的是（）A ．0＜M ≤1二、选择题II ：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A B ⊆，A C ⊆，{2B =-，0，1，9}，{1C =，3，6，9}，则集合A 可以为( ) A ．{1，3}B ．{1，9}C ．{2，0}D ．{2，3}2．（5分）已知正方形ABCD 的边长为1，则||(AB AD +=u u u r u u u r )A ．2B ．3C ．2D ．223．（5分）若点(sin ,tan )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）设函数1()()21x f x x R =∈+，则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞5．（5分）已知平面向量,a b r r 满足||23,||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒，则( )A ．()a a b ⊥+r r rB ．()b a b ⊥+r r rC ．()b a b ⊥-r r rD ．()a a b ⊥-r r r6．（5分）函数()sin()4f x x π=+，则()(f x )A ．在(0,)2π上单调递增B ．在3(,)44ππ上单调递增C ．在37(,)44ππ上单调递增 D ．在57(,)44ππ上单调递增 7．（5分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2xx f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-8．（5分）为了得到函数cos(4)3y x π=+的图象，可以将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移524π个单位 B ．向右平移524π个单位C ．向左移动56π个单位 D ．向右平移56π个单位 9．（5分）已知||||1OA OB ==u u u r u u u r ，60AOB ∠=︒，OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，其中实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，则点C 所形成的平面区域的面积为( )A ．3B ．33C ．3 D ．3 10．（5分）若不等式(||)cos()023x a b x ππ--+…对[1x ∈-，3]恒成立，则(a b -= )A ．13B ．23C ．56D ．73二、填空题：11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g ，lga lgb += ．12．（6分）设函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…则(0)f 的值为；若f （a ）2=，则a = ．13．（6分）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，若||||AB BC =u u u r u u u r，则k = ；若A ，B ，C 三点共线，则k = ．14．（6分）若tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα+=- ，sin cos αα= ．15．（5分）设函数22,0,()2,0,x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩„若(f f （a ）)30+…，则实数a 的取值范围是． 16．（5分）如图所示，2OD =，4OE =，60DOE ∠=︒，3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BC OE =u u u r u u u rg ．17．（5分）设()||f x x x a x =--，对任意的实数(1,2)a ∈-，关于x 的方程()f x tf =（a ）共有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知集合2{|4120|}A x x x =--„，{|222|}B x a x a =-+剟．（Ⅰ）若1a =，求()U A B I ð；（Ⅱ）若[4A B =-U ，6]，求实数a 的值．19．（12分）已知平面向量(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r．（Ⅰ）若a xb yc =+r r r，求x y +的值；（Ⅱ）若a kc +r r在a b -r r k ．20．（12分）已知函数1()2()2x xf x a x R =+∈g 是偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及它的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得不等式f f >成立？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．（13分）已知函数1()||1f x a x a x =--+-，(1,)x ∈+∞．（Ⅰ）若1a =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若函数()y f x =恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，求12x x +的值．2019-2020学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A B ⊆，A C ⊆，{2B =-，0，1，9}，{1C =，3，6，9}，则集合A 可以为( ) A ．{1，3}B ．{1，9}C ．{2，0}D ．{2，3}【解答】解：由已知条件可得：{1B C =I ，9}，由A B ⊆，A C ⊆，所以{1A =，9}，故选：B ．2．（5分）已知正方形ABCD 的边长为1，则||(AB AD +=u u u r u u u r )A ．2B ．3CD ．【解答】解：Q 正方形ABCD 的边长为1，∴AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r，||AC ==u u u r||||AB AD AC ∴+==u u u r u u u r u u u r故选：C ．3．（5分）若点(sin ,tan )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意，点(sin ,tan )P αα位于第二象限，所以sin 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以α在第三象限；故选：C ．4．（5分）设函数1()()21xf x x R =∈+，则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞【解答】解：20x >Q ，211x ∴+>，∴10121x<<+，即函数的值域为(0,1)．故选：A ．5．（5分）已知平面向量,a b r r 满足|||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒，则( )A ．()a a b ⊥+r r rB ．()b a b ⊥+r r rC ．()b a b ⊥-r r rD ．()a a b ⊥-r r r【解答】解：Q 平面向量,a b r r 满足||23,||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒， ∴对于22:()(23)234cos30240A a a b a a b +=+=+⨯⨯︒=≠r rr r r r gg ；对于22:()4423cos30280B b a b b a b +=+=+⨯⨯︒=≠r r r rr r g g；对于22:()4423cos3020C b a b b a b -=-=-⨯⨯︒=≠r r r rr r g g；对于22:()(23)234cos300D a a b a a b -=-=-⨯⨯︒=r rr r r r g g； ∴()a a b ⊥-rr r 故选：D ．6．（5分）函数()sin()4f x x π=+，则()(f x )A ．在(0,)2π上单调递增B ．在3(,)44ππ上单调递增C ．在37(,)44ππ上单调递增 D ．在57(,)44ππ上单调递增【解答】解：由于函数()sin()4f x x π=+，故在(0,)2π上，(44x ππ+∈，3)4π，函数()f x 没有单调性，故排除A ；在(4π，3)4π上，(42x ππ+∈，)π，函数()f x 单调第减，故排除B ；在3(4π，7)4π上，(,2)4x πππ+∈，函数()f x 没有单调性，故排除C ，在5(4π，7)4π上，3(42x ππ+∈，2)π，函数()f x 单调第增，故D 满足条件，故选：D ．7．（5分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2xx f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-【解答】解：由图象可知，函数的定义域为R ，故排除C ；由f （1）0=可知，故排除D ；当x →-∞时，()0f x →，故排除A ；故选：B ．8．（5分）为了得到函数cos(4)3y x π=+的图象，可以将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移524π个单位 B ．向右平移524π个单位 C ．向左移动56π个单位 D ．向右平移56π个单位【解答】解：将函数sin 4y x =的图象向左平移524π个单位，得到5sin(4)cos(4)63y x x ππ=+=+的图象，故选：A ．9．（5分）已知||||1OA OB ==u u u r u u u r ，60AOB ∠=︒，OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，其中实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，则点C 所形成的平面区域的面积为( )ABCD【解答】解：建立平面直角坐标系；因为||||1OA OB ==u u u r u u u r，60AOB ∠=︒，所以(1,0)A ，1(2B；设(,)C x yQ OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，∴12x y λμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒x y y λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；Q 实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，∴0120x y x y y ⎧⎪⎪⎪⎪+⎨⎪⎩…剟…；对应区域如图：；由31(231x yA xy⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩，3)；3(1,3)32x yBx y⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩；3331123122OBD OACS S S∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=阴影；即点C所形成的平面区域的面积为33．故选：B．10．（5分）若不等式(||)cos()023x a b xππ--+…对[1x∈-，3]恒成立，则(a b-=) A．13B．23C．56D．73【解答】解：当113x-剟或733x剟时，cos()023xππ+…；当1733x剟时，cos()023xππ+„，∴当113x-剟或733x剟时||0x a b--…；当1733x剟时，||0x a b--„，设()||f x x a b =--，则()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，且()f x 的图象关于直线x a =对称， 17()()033f f ∴==，1782333a ∴=+=，即43a =，又774()||0333f b =--=，故1b =．41133a b ∴-=-=．故选：A ．二、填空题：11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g 1 ，lga lgb += ．【解答】解：2log 3a =Q ，3log 2b =，则32123lg lg a b lg lg ==g g ， 10lga lgb lgab lg +===．故答案为：1，0．12．（6分）设函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…则(0)f 的值为 0 ；若f （a ）2=，则a = ．【解答】解：根据题意，函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…，则0(0)1110f e =-=-=，若f （a ）2=，当1a <时，f （a ）12a e =-=，解可得31a ln =>，舍去；当1a …时，f （a ）2lna ==，解可得2a e =，符合题意；故2a e =，故答案为：0，2e ，13．（6分）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，若||||AB BC =u u u r u u u r ，则k = 32；若A ，B ，C 三点共线，则k = ．【解答】解：Q (,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r， ∴(4,7)AB OB OA k =-=--u u u r u u u r u u u r ，(4,5)CB OB OC k =-=+-u u u r u u u r u u u r ，Q 若||||AB BC =u u u r u u u r ，∴32k ==， A Q 、B 、C 三点共线，(5)(4)(7)(4)0k k ∴-⨯---⨯+=，解得23k =-．故答案为：32；23- 14．（6分）若tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα+=- 5 ，sin cos αα= ．【解答】解：sin 3cos tan 3235sin cos tan 121αααααα+++===---，222sin cos tan 22sin cos 1415sin cos tan αααααααα=∴===+++，故答案为：5，25． 15．（5分）设函数22,0,()2,0,x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩„若(f f （a ）)30+…，则实数a 的取值范围是3[,)2-+∞ ．【解答】解：根据()f x 的解析式作出其图象如图所示：由图可知当()3f x =-时仅有一解3x =，当()3f x =时仅有一解32x =-．令f （a ）t =，则(f f （a ）)30+…，即()3f t -…，3t ∴„，即f （a ）3„，32a ∴-…． a ∴的取值范围为3[,)2-+∞．故答案为：3[,)2-+∞．16．（5分）如图所示，2OD =，4OE =，60DOE ∠=︒，3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BC OE =u u u r u u u rg 36 ．【解答】解：连接DE ；Q 3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，//DE BC ∴且13DE BC =；∴2233()3334324cos6036BC OE DE OE OE OD OE OE OE OD ==-=-=⨯-⨯⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ；故答案为：3617．（5分）设()||f x x x a x =--，对任意的实数(1,2)a ∈-，关于x 的方程()f x tf =（a ）共有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 (0,1) ．【解答】解：根据解析式可得f （a ）a =-，由题意得，关于x 的方程()f x tf =（a ）有三个不相等的实数根即()f x at =-有三个不相等的实数根；即()y f x =与y at =-有三个不同的交点； 22(1),()(1),x a x x af x x a x x a ⎧-+=⎨-+-<⎩…，（1）当12a <„时，1122a a a -+剟，则()f x 在1(,)2a --∞上单调递增，在1(2a -，)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，故21(1)()24a a f x f --⎛⎫==⎪⎝⎭极大值，()f x f =极小值（a ）a =-，所以需满足(1)2/4a ata sup sup at -<-⎧⎪⎨-<><>>-⎪⎩对任意(1,2)a ∈恒成立，解得01t <<；（2）当11a -<<时，1122a a a -+<<，则()f x 在1(,)2a --∞上单调递增，在1(2a -，1)2a +上单调递减，在1(2a +，)+∞上单调递增，故21(1)()24a a f x f --⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，21(1)()24a a f x f ++⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值，则需22(1)(1)44a a at +--<-<对任意11a -<<恒成立， ①当0a =时，11044-<<成立，此时t R ∈，②当01a <<时，112244a a a a t ++-+-<-<恒成立，解得01t 剟， ③当10a -<<时，112244a a a a t ++-+<<-恒成立，解得01t 剟，综上01t 剟，结合（1）（2）得(0,1)t ∈，故答案为(0,1)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知集合2{|4120|}A x x x =--„，{|222|}B x a x a =-+剟．（Ⅰ）若1a =，求()U A B I ð；（Ⅱ）若[4A B =-U ，6]，求实数a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，{|24}B x x =-剟，{|26}A x x =-剟，所以{|2U C B x x =<-或4}x >，所以(){|46}U A B x x =<I „ð．（Ⅱ）[4A B =-Q U ，6]，∴242226a a -=-⎧⎨-+⎩剟，即222a a =⎧⎨-⎩剟，解得2a =．19．（12分）已知平面向量(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r ．（Ⅰ）若a xb yc =+r r r，求x y +的值；（Ⅱ）若a kc +r r在a b -r rk ．【解答】解：（Ⅰ）因为(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r，所以(32,56)xb yc x y x y +=-+r r，又a xb yc =+r r r ，所以322564x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得57114x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1114x y +=（Ⅱ）由题意知(1,1),(22,46)a b a kc k k -=--+=-+r r r r，所以||)()(22)(46)46a b a kc a b k k k -+-=---+=--r rr r r r g，因为a kc +r r在a b -r r，()()||a kc a b a b +--rr r r g rr 解得2k =-20．（12分）已知函数1()2()2x x f x a x R =+∈g 是偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）因为1()2()2x xf x a x R =+∈g 是偶函数，所以()()f x f x -=，即112222x xx xa a --+=+g g ，化简得1(1)(2)02x xa --=，所以1a = （Ⅱ）结论：1()22x xf x =+在(0,)+∞单调递增．下证之．任取120x x <<，则2112121212121212121122(22)(21)()()2(2)2222222x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++----=+-+=-+=g因为120x x <<，所以1212220,210x x x x +-<>>，所以12210x x +>>所以121212(22)(21)02x x x x x x ++--<，即12()()f x f x <所以1()22x x f x =+在(0,)+∞单调递增．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及它的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得不等式f f >成立？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，所以(0)sin 3f A π=，解得2A =又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π得4T π=，又由2T πω=，得12ω=，所以1()2sin()23f x x π=+结合函数sin y x =的单调性，令122()2232k x k k Z πππππ-+++∈剟，解得54433k x k ππππ-++剟，所以函数()f x 的单调递增区间是5[4,4]()33k k k Z ππππ-++∈，（Ⅱ）由题意知222010m m m ⎧-+⎨-+⎩……，所以01m 剟，[0,1] 由函数()f x 的单调递增区间是5[4,4]()33k k k Z ππππ-++∈知，()f x 在[0，1]上单调递增，又f f >，所以>，解得12m >，结合01m 剟，得112m <„． 22．（13分）已知函数1()||1f x a x a x =--+-，(1,)x ∈+∞．（Ⅰ）若1a =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若函数()y f x =恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，求12x x +的值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，1()|1|101f x x x =--+=-，所以2||11xx x -=-- 所以12211x x x x <<⎧⎪-⎨=-⎪-⎩或2211x x x x ⎧⎪-⎨=-⎪-⎩…，解得x =x ∈∅所以当1a =时，方程()0f x =的解集为⎪⎪⎩⎭（Ⅱ）由题意令()0f x =得1||1a x a x -=--，记1()||,()1g x a h x x a x =-=--，作函数()g x 与()h x 的图象，由函数()y f x =在定义域(1,)+∞内恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，可知0a „不合题意，故0a >如图所示，要使函数()y f x =恰有两个不同的零点，则应有直线y x a =-与函数1()||1g x a x =--的图象相切或者直线y x a =-经过点1(1,0)a+，（1）当直线y x a =-与函数1()||1g x a x =--的图象相切时，联立方程11y x a y a x =-⎧⎪⎨=-⎪-⎩，消去y 得2(21)210x a x a -+++=，由△0=得2(21)4(21)0a a +-+=，所以12a =-（舍去）或32a =此时22x =，直线32y x =-，联立1312y x =--，解得115x +=所以1255x x ++=（2）当直线y x a =-经过点1(1,0)a +时，有101a a=+-，所以210a a --=，得15a += 此时直线方程为11515,y x x ++=-=联立151511y x y x ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，消去y 解得235x +=，所以1225x x +=+．综上所述，当32a =时，1255x x ++=；当15a +=时，1225x x +=+．。

浙江省嘉兴市重点名校2022-2023学年高一上数学期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= A.43- B.54 C.34- D.452．若幂函数()f x x α=的图象经过点(，则α的值为（）A.2B.2-C.12 D.12-3．已知22321x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A.29- B.14-C.5D.-54．已知集合{25},{0}A x x B x x =-<<=>∣∣，则A B ⋃=（）A.{05}x x <<∣B.{0}x x >∣C.{2}x x >-∣D.{5}x x <∣5．已知函数f (x )=log 3(x +1)，若f (a )=1，则a 等于（）A.0B.1C.2D.36．若m n 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（） A.若//,m n n α⊂，则//m α B.若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nC.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D.若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥7．过点(3,2)M -且与直线290x y +-=平行的直线方程是（）A.280x y -+=B.270x y -+=C.240x y ++=D.210x y +-=8．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm 的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A.12 B.15 C.25 D.310 9．已知直线:220l x y ，圆22:(1)(1)4C x y -+-=．点P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ．当四边形PACB 面积最小时，直线AB 方程是（）A.210x y --=B.210x y ++=C.210x y +-=D.210x y -+=10．函数()2log 10f x x x =+-的零点所在区间为( )A.()5,6B.()6,7C.()7,8D.()8,911．所有与角α的终边相同的角可以表示为()360k k α⋅︒+∈Z ，其中角α（）A.一定是小于90°的角B.一定是第一象限的角C.一定是正角D.可以是任意角12．已知直线1:10l x y -+=和直线2:30l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（） 2 B.22 C.2 D.22二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．如图，在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，90BAD ∠=，90BCD ∠=，且AB AD =，则AC 与平面BCD 所成角的度数为________14．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(),2ππ上没有最值，则ω的取值范围是______. 15．函数()()21214f x ax a x =+-+的值域为[)0,+∞，则实数a 的取值范围是______ 16．已知函数()2log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

2023-2024学年浙江省嘉兴市高一上册2月期末数学试题(含解析)

2023-2024学年浙江省嘉兴市高一上册2月期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}37,210A x x B x x =≤<=<<，则A B = （）A ．(2,7)B ．(2,10)C ．[3,7)D ．[3,10)【正确答案】C【分析】由交集运算求解即可.【详解】[3,7)(2,10)[3,7)A B == .故选：C.2．已知(0,2π)α∈，且πcos cos 6α=，则α=（）A ．π6B ．π6或5π6C ．π6或7π6D ．π6或11π6【正确答案】D【分析】求得cos α的值，结合α的范围得到答案.【详解】πcos cos 62α==，又(0,2π)α∈，则π6α=或11π6．故选：D.3．>是“22x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.220x y x y >⇔>≥⇒>，充分性成立；若22x y >，比如2,1x y =-=-所以是“22x y >”的充分不必要条件.故选：A.4．用二分法求方程lg 30x x +-=的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（）A ．[1,2]B ．[2,3]C ．[3,4]D ．[4,5]【正确答案】B【分析】利用零点存在定理计算求解.【详解】设()lg 3f x x x =+-，显然函数图象是连续的，则有(1)20f =-<，(2)lg 210f =-<，(3)lg30f =>，(4)1lg 40f =+>，(5)2lg 50f =+>，所以(1)(2)0f f ⋅>，(2)(3)0f f ⋅<，(3)(4)0f f ⋅>，(4)(5)0f f ⋅>，故区间[2,3]可以作为初始区间，故A ，C ，D 错误.故选：B.5．211,sin ,log 22a b c ===）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a<<【正确答案】C【分析】根据正弦函数的单调性可得,a b 的大小，根据对数的性质可得,a c 的大小.【详解】因为1π26<，且sin y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以1π1sin sin 262<=，即b a <；又2221log 2log log 2a c ==<=，故b a c <<．故选：C.6．若正数a ，b 满足a b ab +=，则4a b +的最小值是（）A ．7B ．9C ．13D ．25【正确答案】B【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式求解即可.【详解】由于a b ab +=，故1a b ab +=，即111a b+=，从而1144(4)552529a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当33,2a b ==时，等号成立，则4a b +的最小值是9．故选：B.7．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮的转盘直径为110米，摩天轮的中心O 点距离地面的高度为80米，摩天轮匀速逆时针旋转，每30分钟转一圈．若摩天轮上点P 的起始位置在最低点处，下列说法中错误．．的是（）A ．经过10分钟，点P 上升了82.5米B ．在第20分钟和第40分钟时点P 距离地面的高度相同C ．摩天轮旋转一周的过程中，点P 距离地面的高度不低于55米的时间大于20分钟D ．点P 从第5分钟至第10分钟上升的高度是其从第10分钟到第15分钟上升的高度的2倍【正确答案】C【分析】由已知得出时间t 与高度的关系式：()ππ55sin 80152f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用该关系式代入求值即可.【详解】解：由已知得P 点从最低处开始，转动时间与其距地面高度的关系可以用正弦型函数()()()sin ,0f t A t b A ϖϕϖ=++>表示.∵每30分钟转一圈，故周期2ππ30,15T ϖϖ==∴=；∵摩天轮直径110米，故振幅110255A =÷=，摩天轮中心距地面80米，则80b =，又可知()0,25P 代入可得.π55sin 8025,2π2k ϕϕ+=∴=-+故：()()ππ55sin 800152f t t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭A 项：经过10分钟，()2ππ1055sin 8082.52532f ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，故点P 上升了82.5米，正确；B 项：经过10分钟和40分钟，而40分钟比10分钟多一周期，∴都上升了82.5米，故高度相同，正确；C 项：当旋转5分钟时，()ππ555sin 8052.55532f ⎛⎫=-+=< ⎪⎝⎭，此时P 与底面距离52.5米，从而高度低于55米的时间大于10分钟，即不低于55米的时间小于20分钟，故错误；D 项：()()()()105102.552.550151********.522.5f f f f ⎧-=-=⎪⎨-=+-=⎪⎩，显然正确．故选：C8．若2ln e x x y y -=-，则（）A ．e x y <B ．e x y >C ．2ln x y >D ．2ln x y<【正确答案】A【分析】ln e 2ln ln ln e x y x y y y y y +=+>+=+，构造函数()e x f x x =+，则()(ln )f x f y >，利用()f x 的单调性即可得出答案.【详解】ln e 2ln ln ln e x y x y y y y y +=+>+=+，构造函数()e x f x x =+，则()(ln )f x f y >，因为()f x 在R 上单调递增，所以ln x y >，故e x y <．故选：A.二、多选题9．下列函数在(0,)+∞上单调递增的是（）A ．()f x =B ．()0.5x f x =C ．()||f x x x =D ．1()f x x x=+【正确答案】AC【分析】根据解析式和函数类型可判断A 、B 、C ；利用特值法结合单调性定义可判断D ．【详解】对A ，12()f x x ==，在(0,)+∞上单调递增，故A 正确；.对B ，()0.5x f x =，在(0,)+∞上单调递减，故B 错误；对C ，2()||,0f x x x x x ==>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，故C 正确；对D ，1()f x x x=+，由于11015(),()3322f f ==，11(3()2f f >，可知()f x 在(0,)+∞上不是单调递增函数，故D 错误．故选：AC.10．已知函数221()1x f x x +=-，则（）A ．()()f x f x -=B ．若0x ≠，则1()f f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．1(lg2)lg 02f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．()()22e e 0f f -+=【正确答案】ACD【分析】对于A 、B 选项，由解析式化简即可判断正误；对于C 、D 选项由A 、B 选项的解析式关系可以判定正误.【详解】A 项：22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，故正确；B 项：22221111()111x x f f x x x x ++⎛⎫===- ⎪-⎝⎭-，故错误；C 项：因为1lg 2lg2=-，由A 的推论可知()()f x f x -=，代入显然正确；D 项：由B 项可知1()0f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，代入2e x -=即得，正确．故选择：ACD11．如图，已知(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ两点在单位圆O 上，且都在第一象限，点(),M M M x y 是线段AB 的中点，点(),C C C x y 是射线OM 与单位圆O 的交点，则（）A ．cos cos 22M x αβαβ+-=B ．1(sin sin )2M y αβ=+C ．cos2C y αβ+=D ．1sin (sin sin )22αβαβ+>+【正确答案】AB【分析】由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断A ；由中点坐标公式及三角函数定义求解可判断B ；由三角函数定义求解可判断C ；利用特值法可判断D.【详解】A 项：()111(cos cos )cos cos 2222222M A B x x x αβαβαβαβαβ+-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos cos sin sin cos cos sin sin 222222222αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+-+-⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦12cos cos cos cos 22222αβαβαβαβ+-+-=⋅=，故A 正确；B 项：()11(sin sin )22M A B y y y αβ=+=+，故B 正确；C 项：sin 2C y αβ+=，故C 错误；D 项：取π3π7,6αβ==，则5π111sin sin ,(sin sin )242222αβαβ⎛+==+= ⎝⎭此时1sin(sin sin )22αβαβ+<+，故D 错误．故选：AB.12．定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()(2)4,()(2)2f x g x g x f x --=++=，且(1)f x +为偶函数，(1)5f =，则（）A ．()(2)f x f x =-B ．()()0g x g x +-=C ．()(2)6f x f x ++=D ．(1)(2)(3)(22)22g g g g +++⋅⋅⋅+=-【正确答案】AC【分析】由(1)f x +为偶函数，结合偶函数定义求解可判断A ；由(2)()4()(2)4()(2)2()(2)2f x g x f x g x g x f x g x f x ⎧+--=--=⎧⇒⎨⎨++=++=⎩⎩①②消去(2)f x +可判断B ；将()(2)f x f x =-代入①式得(2)(2)4f x g x ---=，即()()4f x g x -=③，由②③消去()g x 可判断C ；由②③得(2)(2)4()(2)2f x g x g x f x +-+=⎧⎨++=⎩，消去(2)f x +得()(2)2g x g x ++=-，进而(4)()g x g x +=，从而()g x 的周期为4，利用赋值法求出(0)g ，(1)g ，(2)g ，(3)g ，结合周期性计算可判断D.【详解】A 项：因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)()(2)f x f x f x f x +=-+⇒=-，故A 正确；B 项：由(2)()4()(2)4()(2)2()(2)2f x g x f x g x g x f x g x f x ⎧+--=--=⎧⇒⎨⎨++=++=⎩⎩①②，消去(2)f x +得()()2g x g x +-=-，故B 不正确；C 项：将()(2)f x f x =-代入①式得(2)(2)4f x g x ---=，即()()4f x g x -=③，由()()4()(2)2f x g x g x f x -=⎧⎨++=⎩③②，消去()g x 得()(2)6f x f x ++=，故C 正确；D 项：由(2)(2)4()()4()(2)2()(2)2f x g x f x g x g x f x g x f x +-+=-=⎧⎧⇒⎨⎨++=++=⎩⎩③②，消去(2)f x +得()(2)2(2)(4)2g x g x g x g x ++=-⇒+++=-，即(4)()g x g x +=，故()g x 的周期为4；将1x =代入①：(1)(1)4(1)1f g g -=⇒=；将=1x -代入②：(1)(1)2(1)3(3)3g f g g -+=⇒-=-⇒=-，由()()2()g x g x g x +-=-⇒关于(0,1)-中心对称，且(0)1g =-；将0x =代入：()(2)2(0)(2)2(2)1g x g x g g g ++=-⇒+=-⇒=-，故有(1)(2)(3)(22)(1)(2)5(1113)20g g g g g g +++⋅⋅⋅+=++⨯-+--=-，故D 错误．故选：AC.三、填空题13．函数()f x =的定义域是_________．【正确答案】(,3]-∞【分析】根据二次根式有意义即可求得定义域.【详解】解：由解析式可知303x x -≥∴≤，故函数的定义域为：(,3]-∞14．计算：2223(lg5)(lg 2)8-+⨯=_________．【正确答案】1【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算即可.【详解】()2222223331(lg 5)(lg 2)8lg (1lg 2)(lg 2)2lg 22-+⨯--+⨯112lg 24212lg 22lg 212=-+⨯=-+=．故1．15．已知函数11,(01)()2ln ,(1)x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨⎪-≥⎩，则不等式()2(22)f t t f t -≥-的解集是_________．【正确答案】(]1,2【分析】由解析式可判断得()f x 在(0,)+∞上单调递减，然后结合题意和单调性定义列出不等式组求解即可.【详解】当01x <<时，1()1f x x=+，单调递减，且()2f x >；当1x ≥时，()2ln f x x =-，单调递减，且()(1)2f x f ≤=；故可知()f x 在(0,)+∞上单调递减，因此()222221222320(22)(1,2]1000t t t t t t f t t f t t t t t t t t ⎧≤≤⎧-≤--+≤⎧⎪-≥-⇔⇔⇔⇔∈⎨⎨⎨><->->⎪⎩⎩⎩或．故答案为.(]1,216．已知函数1π()sin sin 224f x m x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则满足条件的所有m 的值组成的集合是_________．【正确答案】{}3--【分析】将原函数转化为同角三角函数21π1π()sin 2sin 12424f x m x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用对勾函数的性质数形结合，分类讨论处理即可.【详解】解：21ππ1π1π()sin cos 2sin 2sin 12422424f x m x x m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1ππsin [0,1],2π242t x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，则221π1πsin 2sin1212424m x x t mt ⎛⎫⎛⎫-+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()20210f x t mt =⇔++=*当0=t 时，显然()0f x =无解；当10t ≥>时()*可化为12m t t-=+.利用对勾函数的性质与图象可知（如下图所示）：)m ⎡-∈+⎣∞①当22m -=时，即1π2sin 242x t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，此时πx =或2πx =，符合题意；②当3m -=时，即1t =或12t =，此时3π2x =或5π6x =，符合题意；③当3m ->时，即12t <，由1π1πsin ,,2π2422t x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-<∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭可得1ππ0,246x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，易知当012t t =<时，只有一个解0x 满足，不符合题意；④当()2,3m -∈时，1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即1π1sin ,1242x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(i ).当1πππ,2464x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时只有一个t 值满足12m t t-=+，而方程也只有一个解（ii ）.当1ππππ3π,,244224x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 时，此时有两个t 值满足12m t t-=+，不妨记为12,t t 而1=t t ，与2=t t 分别都对应2个x 值，故方程有4个解，也不符合题意.∴满足条件的所有m 的值组成的集合是：{}22,3--故{}22,3--四、解答题17．已知集合{}{}2340,2A x x x B x =+-<=<．(1)求集合A ；(2)求()R A B ð．【正确答案】(1){}41x x -<<(2){|4x x ≤-或0}x ≥.【分析】（1）解一元二次不等式求得集合A ；（2）解不等式求得集合B ，求出集合A 的补集，再进行并集运算即可．【详解】（1）∵2340(4)(1)041x x x x x +-<⇒+-<⇒-<<∴{}41A x x =-<<.（2204x <⇒≤<∴{}04B x x =≤<∵R {|4A x x =≤-ð或1}x ≥∴()R {|4A B x x ⋃=≤-ð或0}x ≥.18．已知角α为锐角，且满足tan αα=．(1)求sin α的值；(2)若tan()3βα-=，求tan β的值．【正确答案】(2)1-【分析】（1）根据题意和三角函数的基本关系式，联立方程组得到(2sin 2)0αα-=，进而求得sin α的值；（2）利用三角函数的基本关系式，求得tan 2α=，再利用两角和的正切公式，即可求解.【详解】（1）解：由sin cos ααα=，可得2sin αα=，因为22sin cos 1αα+=，可得)2sin 1sin αα=-，整理得(2sin 2)0αα-=，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，所以sin 5α=或sin α=.（2）解：因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且sin α=cos α=，所以tan 2α=，又因为()ββαα=-+，所以tan()tan 32tan 11tan()tan 132βααββαα-++===----⨯.19．设函数()1a f x x =-．(1)当0a >时，根据定义证明函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减；(2)设()()3g x f x ax =+-，若()g x 在(1,)+∞上存在两个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)01a <<【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）由题意可化为方程2(3)(3)0ax a x a -+++=在(1,)+∞上有2个相异实根，根据二次方程根的分布列出不等式求解即可.【详解】（1）任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x <，则()()121211a a f x f x x x -=---()()()()()()()21211212111111a x a x a x x x x x x ----==----∵121x x <<∴()()()122110,10,0x x x x ->->->∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >∴()f x 在区间(1,)+∞上单调递减．（2）令()301a g x ax x =+-=-原命题等价于方程2(3)(3)0ax a x a -+++=在(1,)+∞上有2个相异实根；显然0a ≠当0a >时，Δ031(1)00013312a f a a a a a⎧⎪>-<<-⎧⎪⎪>⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪+<⎩⎪>⎩当a<0时，Δ031(1)003312a f a a a a a⎧⎪>-<<-⎧⎪⎪<⇒<⇒∈∅⎨⎨⎪⎪+>⎩⎪>⎩综上所述：01a <<20．把某物体放在冷空气中冷却，如果该物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后该物体的温度θ（单位：℃）可由公式()010e kt θθθθ-=+-求得，其中k 是一个正常数．若40℃的该物体，放在10℃的空气中冷却，5min 以后该物体的温度是30℃．(1)求k 的值；(2)若将100℃的该物体与50℃的该物体放在10℃的空气中冷却到某一相同的温度所用的时间分别为12,t t ，求12t t -的值．【正确答案】(1)ln 3ln 25k -=(2)1210t t -=【分析】（1）根据所给函数关系，代入所给数据即可得解；（2）由（1）可得函数解析式，把1100θ=与150θ=分别代入解析式，利用指数幂的运算性质解方程可得12t t -.【详解】（1）由题意可得：53010(4010)e k -=+-，解得：52e 3k -=，两边取对数得：12ln 3ln 2ln 535k -=-=（2）法一：由（1）知：()2ln 53010e t θθθθ=+-，即()501023t θθθθ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭，∴()()125521010010321050103t t θθ⎧⎛⎫⎪=+-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫=+-⋅⎪ ⎪⎝⎭⎩∴215522904033t t ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1222255522223333t t t +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴12255t t =+∴1210t t -=法二：1210(10010)e 10(5010)e kt kt --+-=+-∴()()122251042e e e 93k t t k k----⎛⎫==== ⎪⎝⎭∴1210t t -=21．已知函数π()2sin cos 6f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求5π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)把函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标保持不变），得到函数()g x 的图象．设()g x 的最小正周期为T ，π2πT <<，且图象关于7π10x =对称，求ω的值．【正确答案】(1)12-(2)56【分析】（1）利用三角恒等变换及辅助角公式化简()f x ，进而求得5π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）根据三角函数图象变换规律得到函数()g x 的解析式，由()g x 的最小正周期T 的范围求出ω的范围，结合图象关于7π10x =对称求得ω的值.【详解】（1）1()2sin sin 22f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos sin x x x =-1cos 222x x -=-11sin 2cos 2222x x =+-π1sin 262x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴2π65π5π11sin 1262f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）把函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得6ππ12π11sin 2sin 2223y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将曲线上各点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标保持不变），得到函数π1()sin 232g x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象．∵π2πT <<，∴2π1π2π122ωω<<⇒<<∵()g x 关于7π10x =对称，∴7π2π,Z 1032ππk k ω⋅+=+∈51,Z 76k k ω⎛⎫⇒=+∈ ⎪⎝⎭又∵112ω<<，∴15183712761530k k ⎛⎫<+<⇒<< ⎪⎝⎭∵Z k ∈，∴1k =，∴56ω=.22．已知函数()()ln 11,20,ln ,0.x x f x x x ⎧--+-<<⎪=⎨>⎪⎩．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若关于x 的方程(21)f x m -=有4个不同的解，记为()12341234,,,,x x x x x x x x <<<，且312415x x x x λ⋅->恒成立，求λ的取值范围．【正确答案】(1)(1,0),(1,)-+∞(2)510λ->．【分析】（1）将函数化为分段函数，根据对数函数的单调性及复合函数的单调性直接得解；（2）根据题意可得出31323431,1,21x x x x x x x =-=-=-，分离参数可得233342521x x x λ-+->-，令321t x =-，换元后利用均值不等式求解.【详解】（1）（1）()()()ln 2,21ln ,10ln ,01ln ,1x x x x f x x x x x ⎧-+-<≤-⎪---<<⎪=⎨-<≤⎪⎪>⎩.根据复合函数单调性的知识得()f x 的单调递增区间有(1,0),(1,)-+∞．（2）由（1）可知1234221121021121x x x x -<-<-<-<<-<<-化简可得：1234110122x x x x -<<<<<<<∵()()()()123421212121f x f x f x f x m-=-=-=-=∴()()()()1234ln 212ln 21ln 21ln 21x x x x --+=---=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴()()12341212212121x x x x -+=--=-=-∴31323431,1,21x x x x x x x =-=-=-∵312415x x x x λ⋅->恒成立∴()()()333121115x x x λ⋅---->∴233342521x x x λ-+->-对任意31,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即：2333max42521x x x λ⎛⎫-+-⎪> - ⎪⎝⎭令321t x =-，则31(0,1),2t t x +∈=∴223331441211152552114202210t t x x t x t +⎛⎫-++--+- ⎪-⎝⎭==--+≤-+=-（当且仅当5t =时，等号成立）∴510λ>．关键点点睛：根据题意中方程有四个解可转化出124,,x x x 三者与3x 的关系，进而将不等式转化为关于3x 的不等式，为分离参数创造条件，分离参数后，整体换元是第二个关键点，由321t x =-换元，化简变形成为能够使用均值不等式的结构，求出函数最值，得到参数的取值范围，对能力要求较高，属于难题.。

浙江省嘉兴市高一上学期数学期末考试试卷

浙江省嘉兴市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·保定期中) 已知集合A={x|x2≤4x}，B={x|x＜1}，则A∩B等于（）A . （﹣∞，1）B . [0，1）C . [0，4]D . [﹣4，+∞）2. （2分） (2017高一下·廊坊期末) 设m，n，l为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（）①m∥l，n∥l，则m∥n；②m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m∥l，m∥α，则l∥α；④若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；⑤若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β⑥α∥γ，β∥γ，则α∥β．A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（）A . 2 倍B . 2倍C . 倍D . 倍4. （2分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=3，BD=4，则三棱锥A﹣BCD外接球的半径为（）A . 2B . 3C . 4D .5. （2分）空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于x轴对称的点为A'，点B（2，1，﹣1），则=（）A .B .C . 3D .6. （2分）已知两点A（1，2），B（3，1）到直线l距离分别是，﹣，则满足条件的直线l共有（）条．A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2019高一上·遵义期中) 设，，，则，，的大小关系是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·阜阳月考) 下列四个图象中，表示函数的图象的是（）A .B .C .D .9. （2分）已知直线l：y=x+1平分圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=4，则直线x=3同圆C的位置关系是（）A . 相交B . 相切C . 相离D . 不能确定10. （2分）定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一下·濮阳期末) 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A . 2B .C .D . 312. （2分） (2017高一上·乌鲁木齐期中) 已知函数满足对任意 ,都有成立,则的范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·汪清月考) 已知，则的值为________.14. （1分） (2018高三上·贵阳月考) 若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的渐近线方程是________．15. （1分） (2017高一上·南通开学考) 设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为________．16. （1分） (2017高二上·静海期末) 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分）已知集合，B={x|1﹣m≤x≤m+1}．（1）若m=2，求A∩B；（2）若B⊆A，求m的取值范围．18. （5分） (2017高三下·黑龙江开学考) 如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．19. （5分）判断并证明函数f（x）=x+ 在（﹣∞，﹣1]上的单调性．20. （15分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．设AA1=AC=CB=2，AB=2 ，（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1与A1D所成角的大小．（3）求B点到平面A1DC的距离．21. （5分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知圆O：x2+y2=4与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求• 的取值范围．22. （5分）(2017·沈阳模拟) 已知f（x）=ex与g（x）=ax+b的图象交于P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）两点．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值；（Ⅱ）且PQ的中点为M（x0 ， y0），求证：f（x0）＜a＜y0 ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、。

浙江省嘉兴市高一数学上学期期末考试试题(含解析)

C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除 .
【详解】根据函数图象得定义域为，所以不合题意；
选项，计算，不符合函数图象；
对于选项，与函数图象不一致；
选项符合函数图象特征.
应选：B
【点睛】此题考查根据函数图象选择适宜的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
故答案为：
点睛】此题考查根据函数解析式解不等式，涉及分段函数和复合函数，利用换元法结合图象处理问题，表达数形结合思想.
16.如下图, ,那么 =______.
【答案】36
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算法那么，，即可计算求解.
【详解】 ,
.
故答案为：36
【点睛】此题考查平面向量的根本运算，涉及向量的线性运算，根据关系求数量积.
.
(1)假设 ,求方程的解集；
(2)假设函数恰有两个不同的零点 ,求的值.
【答案】(1) ；(2)当时, ；当时, .
【解析】
【分析】
〔1〕分类讨论解方程即可；
〔2〕将转化为讨论函数的公共点问题,分类讨论求解.
【详解】(1)当时, ,所以
所以或解得或
所以当时,方程的解集为；
【详解】由题：，
，即 .
应选：B
【点睛】此题考查求集合的交集，判断集合的包含关系，关键在于读懂题目所给的集合关系.
的边长为1,那么 =( )
A.2B.3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
正方形中根据向量的加法法那么，即可得解.
【详解】由题正方形的边长为1,根据向量加法法那么，

2020-2021学年浙江省嘉兴市高一上学期期末检测数学试题

浙江省嘉兴市2020-2021学年高一上学期期末检测数学试题一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则A B ⋃=（） A ．{3}B ．{1,2,3}C ．{1,2,3,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}2．计算：sin150︒=（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-3．下列函数中是奇函数且在区间(1,0)-上是增函数的是（） A ．2xy -= B ．1y x x=+C ．2y x -=D ．sin y x =4．已知π02α<<，π02β<<，则“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设lg3a =，lg5b =，则2log 12的值为（） A ．221b a b -+-B ．221b a b -+-C ．221a b b-+-D ．221a b b-++6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=且在区间[0,)+∞单调递减，()f x 的部分图像如图所示，则不等式()21x f x ≥-的解集为（）A ．[2,2]-B ．[2,1]-C ．[1,1]-D ．[1,2]- 7．已知0a >，0b >，且121a b +=，则2b a+的最小值为（）A ．B ．3C ．8D ．98．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ≤），满足π06f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且对于任意的x ∈R 都有2π()3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（） A ．5B ．7C ．9D ．11二、选择题Ⅱ：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列命题是真命题的是（） A ．x ∀∈R ，12x x+≥ B ．0x ∃>，ln x x =C ．x ∀∈R ，21x x +≥- D ．0x ∃>，22xx =10．下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15︒-︒=B ．1sin 4040sin 702︒+︒=︒C ．ππsincos 884= D ．tan152︒=11．已知函数()f x 的定义域为R ，则下列说法正确的是（） A ．若()f x 为R 上的单调递增函数，则()f x 的值域为RB ．若对于任意的x 都有()(2)f x f x =-+，则(4)()f x f x +=C ．若存在n 个i x （1i n ≤≤，2n ≥，*i ∈N ），使得()()()12n f x f x f x <<⋯<成立，则()f x 在R 上单调递增D ．()f x 一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和12．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，当0x <时，23()22f x x ax a =++（a ∈R ），则下列说法正确的是（） A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13238-=________． 14．若角α的终边过点(,3)P m -，且4cos 5α=，则m 的值为________． 15．个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-五险一金（个人缴纳部分）-累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为________． 16．已知函数2()22b a f x ax x =+-，当[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，则a b +的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题10分）已知全集U =R ，集合{}2560A x x x =-+≤∣，集合{}2220B x x x =-->∣．（Ⅰ）求A R，A B ⋂；（Ⅱ）若集合{30}C x x a =+>∣，满足A C C ⋃=，求实数a 的取值范围．18．（本题12分）已知sin α=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求sin 2α的值；（Ⅱ）求cos3α的值．19．（本题12分）第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，多个国家和地区的参展企业携大批新产品、新技术、新服务首发首展．某跨国公司带来了高端压缩机模型参展，通过展会调研，嘉兴某企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款压缩机．生产此款压缩机预计全年需投入固定成本1000万元，每生产x 千台．．压缩机，需另投入资金y 万元，且2210299,040900945010000,40x x x y x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，根据市场行情，每台压缩机售价为0.899万元，且当年内生产的压缩机当年能全部销售完．（Ⅰ）求2021年该企业年利润z （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式；（Ⅱ）2021年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额-成本）20．（本题12分）已知函数2π()2cossin 1(0)2f x x x x ωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，其最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π3个单位得到函数()y g x =，求函数()y g x =在区间7π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上的值域．21．（本题12分）对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足以下条件：①()y f x =在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()y f x =在[,]a b 上的值域是[,]a b ，那么我们把函数()()y f x x D =∈叫做闭函数．（Ⅰ）判断函数()33xg x x =-是不是闭函数？若是，请找出区间[,]a b ；若不是，请说明理由；（Ⅱ）若()2()ln e x h x m =+为闭函数，求实数m 的取值范围（e 为自然对数的底数）．22．（本题12分）已知0a >，b ∈R ，函数2()(2)f x ax a b x =+-．（Ⅰ）若函数()y f x =在[1,1]-上有两个不同的零点，求ba的取值范围；（Ⅱ）求证：当[1,1]x ∈-时，|()||2|f x a b a ≤-+．——★ 参考答案 ★——一、选择题Ⅰ1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C 二、选择题Ⅱ9．CD 10．ACD 11．BD 12．AC12．『解析』因为()()0f x f x -+=所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+，所以23()()22f x f x x ax a =--=-+-，综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根，则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =，而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根．当0x <时，23222a x ax a ax ++=+，所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+，当0x >时，23222a x ax a ax -+-=+，所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >．三、填空题13．π- 14．4 15．1790元 16．2 16．『解析』2211()22222b a x f x ax x a x b ⎛⎫=+-=-+≥- ⎪⎝⎭，令2122x x -=，则12x =-或1x =，故112442a b f ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭得2a b +≤，当23a =，43b =时，2221()333f x x x =+-满足．四、解答题17．解：（Ⅰ）{}2560{(2)(3)0}{23}A x x x x x x x x =-+≤=--≤=≤≤∣∣∣，所以{2 3}A x x x =<>R∣或．{}2220{1 1B x x x x x x =-->=<>∣∣或，因为213<+<，所以{13}A B xx ⋂=<≤∣. （Ⅱ）因为A C C ⋃=，所以A C ⊆，{30}3a C x x a x x ⎧⎫=+>=>-⎨⎬⎩⎭∣∣，所以23a-<，即6a >-． 18．解：（Ⅰ）因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos 0α<cos 10α==-， 3sin 22sin cos 5ααα==-．（Ⅱ）224cos 2cossin 5ααα=-=，cos3cos(2)cos cos2sin sin 2ααααααα=+=-4355⎛⎫=- ⎪⎝⎭50=-． 19．解：（Ⅰ）()22899102991000,0409009450100008991000,40x x x x z x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+--≥⎪⎩2106001000,040100008450,40x x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当040x <<时，210(30)8000z x =--+，当30x =时，max 8000z =万元；当40x ≥时，100008450z x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，因为10000200x x+≥，当且仅当100x =时取等号，所以当100x =时，max 82508000z =>万元万元，综上当100x =时，max 8250z =万元，所以2021年产量为100（千台）时，企业所获年利润最大为8250万元．20．解：（Ⅰ）因为2π()2cossin 1(0)2f x x x x ωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭22cos 1cos x x x ωωω=--cos 22x x ωω=-12cos 2222x x ωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭π2cos 23x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以2πππ|2|T ωω===，即1ω=，π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2ππ22π()3k x k k -≤+≤∈Z ，得2ππππ()36k x k k -≤≤-∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为2πππ,π()36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ．（Ⅱ）π()2cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移3π个单位得到π()2cos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当7π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ5π2336x -<-<，所以πcos 2123x ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，()2g x ≤，所以函数()y g x =的值域为(2]．21．解：（Ⅰ）因为()33x g x x =-，所以110(1)333g -=+=， (1)0g =，2(2)3323g =-⨯=，(1)(1)g g ->，(1)(2)g g <，所以()33x g x x =-不是单调函数故不是闭函数．（Ⅱ）()2()ln e x h x m =+在定义域上单调递增，当[,]x a b ∈时，[,]y a b ∈，所以()()22()ln e ()ln e a b h a m a h b m b⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，即22e e 0e e 0a a b b m m ⎧-+=⎨-+=⎩．所以a 、b 是方程2ee 0x x m -+=的两个根，令e (0,)x t =∈+∞且在R 上单调递增，则方程20t t m -+=在(0,)+∞上有两个不同的实根，因为2m t t =-+，令2()h t t t =-+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递减，1124h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以10,4m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 22．解：（Ⅰ）2()(2)0f x ax a b x =+-=，所以10x =或22b a x a -=，则21120b a a b a a-⎧-≤≤⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，即132b a b a⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，所以[1,2)(2,3]b a ∈⋃．（Ⅱ）法①先证()|2|f x a b a ≤-+，因为2()(2)f x ax a b x =+-，所以(1)3f a b =-，(1)f a b -=-+，(1)(1)42f f a b --=-，因为0a >，所以max 3,2()max{(1),(1)}2,2a b b a f x f f a b a b a b a -≤⎧=-==-+⎨->⎩∣，即()|2|f x a b a ≤-+成立；下证()|2|f x a b a ≥---，因为2()(2)f x ax a b x =+-，对称轴为22b a x a-=， ①212b a x a-=≤-，即0b ≤时， ()y f x =在[1,1]-上单调递增，所以min ()(1)f x f a b =-=-+，min ()|2|220f x a b a a b a b a a +-+=-++-+=>； ②212b a x a-=≥，即4b a ≥时， ()y f x =在[1,1]-上单调递减，所以min ()(1)3f x f a b ==-，min ()|2|3220f x a b a a b b a a a +-+=-+-+=>； ③2112b a x a--<=<，即04b a <<时， 2min 2(2)()24b a a b f x f a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以min ()|2|f x a b a +-+2(2)|2|4a b a b a a--=+-+22228,02488,244a b b a a a ab b a b a a ⎧-<≤⎪⎪=⎨-+-⎪<<⎪⎩，当02b a <≤时，min ()|2|0f x a b a +-+>，当24a b a <<时，令22()88h b b ab a =-+-在(2,4)a a 单调递增，又因为2(2)40h a a =>，所以min ()|2|0f x a b a +-+>，综上当[1,1]x ∈-时，|()||2|f x a b a ≤-+．法②：因为2()(2)f x ax a b x =+-，所以(1)3f a b =-，(1)f a b -=-+，得(1)(1)20f f a +-=>，所以max{|(1)|,|(1)|}max{(1),(1)}f f f f -=-， 11(1)(1)22a f f =-+，31(1)(1)22b f f =-+，于是2(1)(1)(1)(1)|()|22f f f f f x x x -+--=+∣ 22(1)(1)22x x x x f f +-=+- 22(1)(1)22x x x x f f +-≤+-∣ 22|(1)||(1)|22x x x x f f +-=+- 22max{|(1)|,|(1)|}22x x x x f f ⎛⎫+-≤-+ ⎪⎝⎭．由||||max{||,||}a b a b a b +=+-得{}222max ,||122x x x x x x +-+=≤，所以|()|max{|(1)|,|(1)|}f x f f ≤- max{(1),(1)}f f =-(1)(1)|(1)(1)||2|22f f f f a b a +---=+=-+．。

浙江省嘉兴市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

浙江省嘉兴市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 若A ⊆B ，A ⊆C ，B ={0,1，2，3，4，5，6}，C ={0,2，4，6，8，10}，则这样的A 的个数为( )A. 4B. 15C. 16D. 322. 如图，已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，，⟨OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=30∘，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =( )A. 1B. 2C. 3D.43. 已知α是第二限角，则下列结论正确的是( )A. sinα⋅cosα>0B. sinα⋅tanα<0C. cosα⋅tanα<0D. 以上都有可能4. 函数y =1−2x 的值域为( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1]D. (−∞,1)5. 已知a ⃗ =(3,4)，|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a ⃗ ·b ⃗ 的值是( )A. 7B. 12C. 5D. 256. 已知函数f(x)=2sin(π4−2x)，则函数f(x)的单调递减区间为( )A. [3π8+2kπ,7π8+2kπ](k ∈Z)B. [−π8+2kπ,3π8+2kπ](k ∈Z)C. [3π8+kπ,7π8+kπ](k ∈Z)D. [−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)7. 已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A. f(x)=ln|x|e xB. f(x)=e x ln|x|C. f(x)=ln|x|xD. f(x)=(x −1)ln|x|8. 为了得到函数y =3sin(2x +π5)的图象，只需把y =3sin2x 上的所有的点( )A. 向左平行移动π10长度单位 B. 向右平行移动π10长度单位 C. 向右平行移动π5长度单位D. 向左平行移动π5长度单位9. 在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点A,B 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则点集|P |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R|所表示的区域的面积是( ) A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√310. 已知cos x =−12，且x ∈[0,2π]，则角x 等于( )．A. 2π3或4π3B. π3或2π3C. π6或5π6D. 5π6或11π6二、填空题（本大题共7小题，共39.0分） 11. 计算log 83⋅log 932=______．12. 已知函数f(x)={2x ,x >0x,x ≤0，则f(1)+f(−1)为________．13. 已知点A(1,−2)，若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与a =(2,3)同向，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13，则点B 的坐标为________． 14. 若tanα=13，则sinαcosα=________．15. 已知函数f(x)={2x ,x >0−x 2−2x +1,x ⩽0，若f(f(a))=4，则a =________．16. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 17. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0)，若关于x 的方程f(x)=ax(a >0)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题（本大题共5小题，共61.0分）18. 已知集合A ={x|a ≤x ≤a +8}，B ={x|x <−1或x >5}，(1)当a =0时，求A ∩B ，A ∪(C R B)； (2)若A ∪B =B ，求实数a 的取值范围．19. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(3,1)，c ⃗ =b ⃗ −k a ⃗ ，且a⃗ ⊥c ⃗ ． (1)求向量b ⃗ 在向量a ⃗ 的方向上的投影； (2)求实数k 的值及向量c ⃗ 的坐标．20. 已知函数f(x)=a⋅2x −2+a 2x +1,a ∈R ．(1)试判断f (x)的单调性，并证明你的结论； (2)若f (x)为定义域上的奇函数，求函数f (x)的值域．21. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x =3π8对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．(1)求函数f(x)的解析式以及它的单调递增区间； (2)是否存在实数m ，满足不等式f(√m+18)>f(√−m+48)？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22.求函数f(x)=x3−x2−x−2的零点．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A ⊆B ，A ⊆C ， ∴A ⊆(B ∩C)，∵B ={0,1，2，3，4，5，6}，C ={0,2，4，6，8，10}， ∴B ∩C ={0,2，4，6}， ∴A 的个数为16，故选C ．利用A ⊆B ，A ⊆C ，可得A ⊆(B ∩C)，求出B ∩C ，即可得出结论．本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：C解析：本题考查平面向量的模，平面向量的数量积，属于中档题．根据OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，等式左右两端点乘OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而建立方程组，即可求解．解：由题意可知，， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，．∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即3=32x ，①∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即32=x −12y ，②联立①②可得：{x =2y =1，故x +y =3．故选C ．3.答案：B解析：直接利用角的象限，判断正弦函数与余弦函数、正切函数的值的符号，然后判断选项．本题考查角的象限与三角函数值的符号的判断，考查计算能力．解：因为α是第二限角，所以sinα>0，cosα<0，tanα<0，所以sinα⋅tanα<0．故选B．4.答案：D解析：解：函数y=1−2x，其定义域为R．∵2x的值域为(0,+∞)，∴函数y=1−2x的值域为(−∞,1)，故选：D．利用指数函数的图象及性质求解即可．本题考查了值域的求法，利用了指数函数值域求解．比较基础．5.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题．利用数量积的定义即可得出．解：∵a⃗=(3,4)，∴|a⃗|=5．又|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，=5．则a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos60°=5×2×12故选C．6.答案：D解析：本题主要考查诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题．利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调递减区间．解：∵函数f(x)=2sin(π4−2x)=−2sin(2x −π4)，令2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，求得kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，可得函数的减区间为[kπ−π8,kπ+3π8]，k ∈Z ，故选：D ．7.答案：A解析：解：由图象可知，当x →+∞时，f(x)→0，当x →−∞时，f(x)→+∞ 对于A ：满足要求，对于B ：当x →+∞时，f(x)=e x ln|x|→+∞，不满足，对于C ：当x →−∞时，f(x)=e x ln|x|→0，不满足，对于D ：当x →−∞时，f(x)=(x −1)ln|x|→−∞，不满足，故选：A ．通过函数的变化趋势即可判断．本题考查了函数图象的判断，函数值的变换趋势，零点等方面来判断．8.答案：A解析：解：把y =3sin2x 上的所有的点向左平行移动π10长度单位，可得函数y =3sin(2x +π5)的图象，故选：A ．利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．9.答案：D解析：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域，两定点A ，B 满足∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P 点坐标，由平面向量基本定理，把P 的坐标用A ，B 的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P 所表示区域的面积，属中档题．解：由两定点A ，B 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2|−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A(√3,−1)，B(√3,1).再设P(x,y).由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得：(x,y)=(√3λ,−λ)+(√3μ,μ)=(√3(λ+μ),μ−λ). 所以{λ+μ=√33xμ−λ=y，解得{λ=√36x −12y μ=√36x +12y ①. 由|λ|+|μ|≤1.所以①等价于{ √36x −12y ≥0√36x +12y ≥0x ≤√3或{ √36x −12y ≥0√36x +12y <0y ≥−1或{ √36x −12y <0√36x +12y ≥0y ≤1或{ √36x −12y <0√36x +12y <0x ≥−√3. 可行域如图中矩形ABCD 及其内部区域，则区域面积为2×2√3=4√3. 故选D .10.答案：A解析：本题主要考查三角函数的求值问题，根据诱导公式以及余弦函数的图象和性质是解决本题的关键，根据余弦函数的图象和性质进行求解即可．比较基础，属中档题．解：∵cosx =−12<0， ∴x 在第二象限或第三象限． ∵cos(π−π3)=−cos π3=−12， ∴x =π−π3=2π3．∵cos(π+π3)=−cos π3=−12， ∴x =π+π3=4π3，∴满足条件的角x =2π3或4π3．故选A ．11.答案：56解析：本题考查对数式的计算，属于基础题．根据对数的换底公式以及运算性质计算，即可得到答案．解：．故答案为56．12.答案：1解析：本题考查了分段函数，将x 的值代入函数的解析式即可得答案．解：由函数f(x)={2x ,x >0x,x ⩽0 可得f(1)+f(−1)=2−1=1，故答案为1．13.答案：(5,4)解析：本题主要考查两向量间的共线问题，属基础题．先假设A 、B 点的坐标，表示出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗ =(2,3)同向且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13，可确定点B 的坐标．解：设A 点坐标为(x A ,y A )，B 点坐标为(x B ,y B )， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a⃗ 同向， ∴可设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ =(2λ,3λ)(λ>0)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2λ)2+(3λ)2=2√13，∴λ=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x B −x A ,y B −y A )=(4,6)， ∴{x B −x A =4y B −y A =6，∵{x A =1y A =−2，解得{x B =5y B =4， ∴B 点坐标为(5,4)．故答案为(5,4)．14.答案：310解析：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解：∵tanα=13，∴sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=1319+1=310，故答案为310．15.答案：1或−1解析：本题考查了分段函数的解析式，令m =f(a) ，则f(m)=4，分m >0，m <0可得m =2，即可得f(a)=2，分a >0和a ⩽0讨论，可得a 的值．解：令m =f(a) ，则f(m)=4，当m >0时，由2m =4，解得m =2；当m ⩽0时，由−m 2−2m +1=4，无解．故f(a)=2，当a >0时，由2a =2，解得a =1;当a ⩽0时，由−a 2−2a +1=2，解得a =−1．综上：a =1或a =−1．故答案为1或−1．16.答案：−4解析：解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，∴AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=2√2×2×(−√22)=−4 故答案为：−4由已知得AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°，代入计算即可得到所求值．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。

2021-2022学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{02},{11}A xx B x x =≤<=-<<∣∣，则A B ⋃=（） A ．(1,0]- B ．(1,2)- C ．[0,1) D ．(0,1)【答案】B【分析】直接根据集合运算求解即可.【详解】解：因为{02},{11}A xx B x x =≤<=-<<∣∣，所以A B ⋃={12}xx -<<∣，即A B ⋃=(1,2)-. 故选：B2．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP 交单位圆O 于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan θ的值为A ．35B ．45C ．43-D ．34-【答案】C【解析】根据三角函数的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O 于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得445tan 335y x θ===--.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．已知命题:,100p a N a ∃∈≥，则¬p 为（） A ．,100a N a ∃∈≤ B ．,100a N a ∃∈< C ．,100a N a ∀∈≤ D ．,100a N a ∀∈<【答案】D【分析】根据特称命题与全称命题的关系，即可得到结果. 【详解】∵命题:,100p a N a ∃∈≥， ∴¬p ：为,100a N a ∀∈< 故选：D4．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】由0a b >>得110b aa b ab --=<，则11a b<；若1a =-，1b =，则11a b<，但不能推出0a b >>；因此“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．5．将函数sin2y x =的图象向左平移3π个单位，得到函数f （x ）的图象，则（） A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据正弦函数图象变换的性质进行求解即可. 【详解】因为函数sin2y x =的图象向左平移3π个单位，得到函数f （x ）的图象，所以()2sin[2()]=sin 233f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故选：C6．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）． A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得；【详解】解：因为()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以定义域为R ，且()()()221sin 1sin 11x xf x x x f x e e -⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时，222210111e e e--=<++，sin 20>，所以()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ；故选：A7．设函数()()224,4log 4,4x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234122x x x x +++的最小值为（） A ．312B ．16C ．332D ．17【答案】B【分析】作出函数()f x 的大致图象，可知124x x +=，由()y f x =与y t =的图象有四个交点可得()024t f <<=，计算2log (4)4t x =-=求得x 的值即可得4x 的范围，根据()()4232log 4log 40x x -+-=可得3x 与4x 的关系，再根据基本不等式计算34122x x +的最小值即可求解.【详解】作出函数()f x 的大致图象，如图所示：当4x ≤时，()24f x x x =-+对称轴为2x =，所以124x x +=，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则()024t f <<=，由2log (4)(2)4t x f =-==，得6516x =或20x ，则4520x <<，又2423log (4)log (4)x x -=--，所以()()4232log 4log 40x x -+-=，所以()()43441x x -⋅-=，所以43144x x =+-，且44(1,16)x -∈，所以()4434441121224241412204x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝+-⎭+=++-2101210≥+==，当且仅当()4412424x x -=-，即46x =时，等号成立，故123414x x x x +++的最小值为16. 故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．已知a ，b ，c 都是正实数，设a b c M a b b c c a=+++++，则下列判断正确的是（） A ．01M <≤ B ．312M <≤C ．322M ≤< D ．12M <<【答案】D【分析】根据正数的性质，结合放缩法进行判断即可. 【详解】因为a ，b ，c 都是正实数，所以有： 1a b c M a b c a b c a b c >++=++++++，又2a c b a c bM a b c a b c a b c+++<++=++++++，故选：D. 二、多选题9．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()()22,f t t g x x ==B ．()()cos ,sin 2f x x g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭C ．()()()20,(0)x x f x g x x x ⎧≥==⎨-<⎩D ．()()4lo ,log f x g x g x ==【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】()()22,f t t g x x ==对应关系和定义域显然相同，故A 正确；B 选项中，因为()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以B 正确；C 选项中，()2f x =的定义域为[0,)+∞，()g x 的定义域为R ，故C 不正确；D 选项中，显然()(),f x g x 的定义域都为(0,)+∞，又()24221lo log log 2f x g x x x ===，()12221log log l 2og x x g x ===，故D 正确. 故选：ABD10．血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压140mmHg ≥或舒张压90mmHg ≥，则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年26岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点起，0=t ），他的血压()p t （单位：）与经过的时间t （单位：h ）满足关系式()11622sin 63p t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A ．血压()p t 的最小正周期为6B ．当天下午3点小王的血压为105C ．当天小王有高血压D ．当天小王的收缩压与舒张压之差为44【答案】BCD【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算出()9p 的值，可判断B 选项；计算出()p t 的最大值和最小值，结合题干条件可判断C 选项；计算出()()max min p t p t -，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，血压()p t 的最小正周期为2126ππ=，A 错；对于B 选项，下午3点时，即9t =，可得()3911622sin 11622cos 105233p πππ⎛⎫=++=-= ⎪⎝⎭，B 对；对于C 选项，因为()max 11622138140p t =+=<，()min 116229490p t =-=≥，所以，当天小王有高血压，C 对；对于D 选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为()()max min 1389444p t p t -=-=，D 对. 故选：BCD.11．已知函数()()2ln 1f x x ax a =---，下列说法正确的有（）A ．不存在实数a ，使f （x ）的定义域为RB ．函数f （x ）一定有最小值C ．对任意正实数a ，f （x ）的值域为RD ．若函数f （x ）在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是(,1)-∞ 【答案】ACD【分析】A. 根据f （x ）的定义域为R ，由210x ax a --->，利用判别式判断；B. 取0a =判断；C.令21u x ax a =---，根据u 的值域判断；D.由2222210aa a ⎧≤⎪⎨⎪--->⎩求解判断.【详解】A. 若f （x ）的定义域为R ，则对于不等式210x ax a --->，()()()224120a a a ∆=-++=+<不成立，故正确；B. 当0a =时，()()2ln 1f x x =-，因为21u x =-能取遍()0,∞+所有的数，所以()f x R ∈，故错误；C.2221124a a u x ax a x a ⎛⎫=---=---- ⎪⎝⎭，因为2104a a ---<，所以u 能取遍()0,∞+所有的数，所以f （x ）的值域为R ，故正确；D. 若函数f （x ）在区间[2,)+∞上单调递增，则2222210aa a ⎧≤⎪⎨⎪--->⎩ ，即41a a ≤⎧⎨<⎩，解得 1a <，所以实数a 的取值范围是(,1)-∞，故正确.故选：ACD12．已知正实数x ，y 满足22x y +=，若不等式222326240x m xy y x y -+++>恒成立，则实数m 的值可以为（） A ．4- B ．2- C ．1 D ．3【答案】BC【分析】参变分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】∵()22424x y x y +==+，∴()2222222236236244104252,222x y x y x y x y x y xy x ym xy xy xy y x++++++++<===++而25x yy x+≥则22m <，故选：BC . 三、填空题13．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出扇形面积计算方法：以径乘周，四而一，意思是：将直径乘以弧长再除以4.则此问题中，扇形的面积是___________平方步.【答案】120【分析】将扇形的直径乘以弧长再除以4，可得结果. 【详解】由题意可知，该扇形的面积为30161204S ⨯==（平方步）. 故答案为：120.14．计算：()0131lg4127lg502π-+++=___________.【答案】4【分析】根据对数计算公式lg lg lg M N MN +=及指数计算公式进行计算.【详解】解：()1301lg4127lg502π-+++12=lg413lg50-++ =2+lg2lg50+()=2lg 2504+⨯=故答案为：415．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()60f x f x ++=，且函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，则()2022f =___________. 【答案】0【分析】求出函数的周期为12，即可得到()()20220f f =-，又()00f =即可得解. 【详解】()()60f x f x ++=，()()6f x f x ∴+=-，()()()126f x f x f x ∴+=-+=，所以函数()f x 是以12为周期的函数， ()()()()202212168660f f f f ∴=⨯+==-又函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，利用函数图像平移知，函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即()00f =，所以()20220f = 故答案为：0 16．设函数()(0af x x a x=->），若存在实数1x ，2x ，满足1212x x <<<，使()()124f x f x +≥成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】3a >【分析】原问题等价于()(){}max 1,22,f f >分类讨论即可得到结果. 【详解】由题知，(0)ay x a x=->在()1,2上单调递增，只需()(){}()()max 1,22,1|1|,2|2|2a f f f a f >=-=-（1）当2a ≥即4a ≥时，()()12f f >，则12,3a a ->>，所以4a ≥；（2）当12a <<即14a <<时，若()()12f f ≥，即12,22aa a -≥-≥时，12,3a a ->>，所以34a <<；若()()12f f <，即2a <时，22,02aa -><，所以a 无解；（3）当1a ≤即01a <≤时，()()12f f <，则22,02aa -><，所以a 无解；综上所述，3a >. 故答案为：3a >四、解答题17．已知集合{}260A x x x =--≤，集合{}122x aB x -=>.(1)若1a =，求A B ； (2)若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}23x x <≤； (2)2a ≥.【分析】（1）当1a =时，求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得结果；（2）求出集合B ，可得出集合RB ，再利用集合的包含关系可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：当1a =时，{}{}{}1122112x B x x x x x -=>=->=>，又因为{}{}26023A x x x x x =--≤=-≤≤，因此，{}23A B x x ⋂=<≤.(2)解：{}{}{}12211x aB x x x a x x a -=>=->=>+，故{}R 1B x x a =≤+，因为RA B ⊆，则13a +≥，解得2a ≥.18．已知1tan 3α=，(0,2πα∈）.(1)求sin 3cos 2cos sin αααα+-的值；(2)若()cos αβ-=，求cos β的值. 【答案】(1)2(2)cos β=或cos β=【分析】（1）由1tan 3α=得到cos 3sin αα=，代入求解；另解：分子分母同除以cos α求解；.（2）根据1tan 3α=，得到sin ,cos αα，再根据()cos αβ-=，得到()sin αβ-，然后由cos cos[()]βααβ=--求解. (1)解：解法一：由题意，cos 3sin αα=，所以原式sin 9sin 10sin 26sin sin 5sin αααααα+===-.解法二：原式tan 322tan αα+==-.(2) 因为1tan 3α=，所以sin αα==又()cos αβ-=，所以()sin αβ-=，所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-⎛ ⎝⎭.所以cos β=或cos β=. 19．已知定义在R 上的函数()(1)x xk f x a a --=-（0a >且1a ≠）是奇函数.(1)求实数k 的值；(2)若函数f （x ）满足()10f <，且对任意1x >，不等式()()2log 2log 20x f x f t ++-<恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)2k = (2)4t <【分析】（1）利用奇函数定义得到参数的值；（2）由()10f <，可知()x xf x a a -=-在R 上递减，结合奇偶性，原不等式等价于221log 2log x t x++>对x ∈R 恒成立，利用均值不等式得到结果. (1)因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()0010a k a ---=则2k =.经检验满足题意， ∴实数k 的值为2； (2)由（1）知，()x xf x a a -=-，因为1(1)0f a a -=-<，又0a >且1a ≠，所以01a <<；所以()x xf x a a -=-在R 上递减，且f （x ）为奇函数，所以()()22log 2log 2,log 2log 2x x f x f t x t +<-+>-，即221log 2log x t x++>对x ∈R 恒成立，而1x >时21og 0x >，所以221log 2,2log x x x+≥=时取等号，所以4t <20．已知函数()44cos cos sin f x x x x x =--. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值及取得最值时x 的值.【答案】(1)最小正周期为π，单调增区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ (2)当12x π=时，()f x 的最大值为0，当3x π=时，()f x 的最小值为2-【分析】（1）由三角恒等变换得()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求函数的最小正周期和单调区间；（2）由题知42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再整体代换求解即可得答案. (1)解： ()()()()222424cos sin cos cos sin cos sin f x x x x x x x x x x =--=+-cos22cos 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 所以最小正周期为22T ππ==，令2222,3k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调增区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2) 解：因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当232x ππ+=时，()f x 的最大值为0，当23x ππ+=时，()f x 的最小值为2- 所以当12x π=时，()f x 的最大值为0，当3x π=时，()f x 的最小值为2- 21．我国承诺2030年前达“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳，要采取植树，节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，嘉兴某企业响应号召，生产上开展节能减排.该企业是用电大户，去年的用电量达到20万度，经预测，在去年基础上，今年该企业若减少用电x 万度，今年的受损效益S (x )(万元)满足()250,0440*******,420x x S x x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩.为解决用电问题，今年该企业决定进行技术升级，实现效益增值，今年的增效效益Z (x )(万元)满足()()(),04800520,420S x x x Z x S x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩，政府为鼓励企业节能，补贴节能费()100n x x =万元.(1)减少用电量多少万度时，今年该企业增效效益达到544万元？(2)减少用电量多少万度时，今年该企业总效益最大？【答案】(1)减少用电量5万度时，增效效益达到544万元;(2)当减少用电8万度时，企业总效益最大.【分析】（1）首先求出()Z x ，令()544Z x =解出x 的值即可；（2）首先根据题意求出企业总收益Q (x )，然后只需要求分段函数Q (x )的最大值即可.(1)易知()25004400300620420x x Z x x x x ≤≤⎧⎪=⎨--+<≤⎪⎩，，，因为04x ≤≤时，()50200Z x x =≤，所以由2400300620544x x--+=，得219751000x x --=，解得5x =；即减少用电量5万度时，增效效益达到544万元.(2)设企业总收益为Q (x )万元，则()()()()225015004400100120420x x x Q x Z x S x n x x x x ⎧-+≤≤⎪=-+=⎨-++<≤⎪⎩，，，当04x ≤≤时，()232253225502222Q x x Q ⎛⎫⎛⎫=--+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当420x <≤时，()()2115055054008844Q x Q x ⎛⎫=--+≤= ⎪⎝⎭，因为22550524<，所以()382Q Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 综上知，当减少用电8万度时，企业总效益最大.22．已知函数2()2(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈≠R .(1)若20a b c ++=，且(0)(1)0f f ⋅>，求c a的取值范围； (2)若()f x 在[1,1]-上有零点，求证：当1a ≥-时，|||1|c b a ≤+-.【答案】(1)01c a<< (2)证明见解析【分析】（1）由题知()20c a b c ++>，再结合已知得()0c c a -<，进而解得01c a <<. （2）根据题意0[1,1]x ∃∈-，满足02020ax bx c ++=，进而分0a >和10a -≤<两种情况求解即可.(1)解： ()()0(1)20f f c a b c ⋅=++>，由于20a b c ++=，则()0c c a -<，解得01c a<<. (2)解：由条件知，0[1,1]x ∃∈-，满足02020ax bx c ++=. ①当0a >时，20002|||||1|c ax bx bx b b a =--≤-≤≤+-，当且仅当10a -=，2020ax -=，0||c bx b =-=，即01,0,0a x b c ====时取等号； ②当10a -≤<时，2000222|||||1|c ax bx a bx a b b a =--≤--≤-+≤+-. 当且仅当1c a c ≤++，2022ax a -=-，0bx b -=，21a a -=-时取等号，即201,1a x =-=时取等号.。

浙江省嘉兴市高一数学上学期期末试卷(含解析)

浙江省嘉兴市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）如果M={1，2，3}，N={3，5}，则M∩N=（）A．{1，2，3，5} B．{1，2，3} C．{3，5} D．{3}2．（4分）2lg2+lg25=（）A．1 B．2 C．10 D．1003．（4分）不等式x2+5x﹣6＜0的解集为（）A．（﹣6，1）B．（﹣∞，6）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣2） D．（﹣∞，3）∪（2，+∞）4．（4分）平面向量与的夹角为60°且=2，=1，则向量+2的模为（）A．B．12 C．D．105．（4分）已知函数f（x）=x+，则下列说法正确的是（）A．f（x）是增函数B．f（x）是减函数C．f（x）是奇函数D．f（x）是偶函数（4分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，且|BD|=2|DC|，点E在线段AD上，且|AE|=2|ED|，6．设=，=，若=m+n，则m+n=（）A．﹣B．C．﹣3 D．37．（4分）函数f（x）=log a x+x﹣b（2＜a＜3＜b＜4）的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．（4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．7个9．（4分）如图，已知△ABC中，A=90°，B=30°，点P在BC上运动且满足=，当取到最小值时，λ的值为（）A．B．C．D．10．（4分）已知f（x）=log2（其中x＞1），g（x）=x2﹣2ax+a2+b（其中x∈R，a＞0，b＞1），则下列判断正确的是（）A．f（g（a﹣1））＞f（g（a））B．f（g（））＞f（g（））C．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0且a）D．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知2∈，则m=．12．（3分）函数f（x）=log2（2x+3）的定义域为．13．（3分）已知幂函数f（x）=x a，且f（4）=2，则f（6）=．14．（3分）若，是两个不共线的向量，已知=2+k，=+3，=2﹣，若A，B，D三点共线，则k=．15．（3分）已知奇函数y=f（x）满足当x＜0时，f（x）=x2，则=．16．（3分）已知定义在上的奇函数f（x）=a x﹣a﹣x（其中0＜a＜1），若m满足f（m2﹣4m）≥0，则m的取值范围为．17．（3分）已知△ABC是边长为2的正三角形，以AC为直径作半圆O（如图），P为半圆上任一点，则的最大值为．18．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））≤0，则实数a的取值范围是．三、解答题（共4小题，满分36分）19．（8分）已知全集为U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x（3﹣x）＞0}，M={x|2x﹣a ＜0}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若（A∪B）⊆M，求实数a的取值范围．20．（8分）已知在Rt△ABC中，其中∠A为直角，向量=+，=2+3，=（2m+1）+（m﹣3），其中，是互相垂直的两个单位向量．（1）求实数m的值；（2）过A作AE⊥BC于E，延长AE至D，使四边形ABDC为直角梯形（其中AC、BD为底边），用，表示．21．（10分）已知函数f（x）=a﹣，x∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）令g（x）=，若函数y=g（x）的图象始终在直线y=1的上方，求实数a的取值范围．22．（10分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（3a﹣b）x+c，其中a＞0，f（1）=﹣a，若函数y=f（x）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1∈（﹣1，），x2∉（﹣1，）；（1）求证：﹣＜＜；（2）若函数y=f（x）的顶点为C，当|AB|取得最小值时，△ABC为等腰直角三角形，求此时的二次函数y=f（x）的解析式．（3）当x∈时，函数y=f（x）的最小值为﹣b，求的值．浙江省嘉兴市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）如果M={1，2，3}，N={3，5}，则M∩N=（）A．{1，2，3，5} B．{1，2，3} C．{3，5} D．{3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据交集的定义进行求解．解答：解：∵M={1，2，3}，N={3，5}，∴M∩N={3}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）2lg2+lg25=（）A．1 B．2 C．10 D．100考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则求解即可．解答：解：2lg2+lg25=2lg2+2lg5=2．故选：B．点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．3．（4分）不等式x2+5x﹣6＜0的解集为（）A．（﹣6，1）B．（﹣∞，6）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣2） D．（﹣∞，3）∪（2，+∞）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用二次不等式的求法，求解即可．解答：解：不等式x2+5x﹣6＜0，化为：（x﹣1）（x+6）＜0．不等式的解集为：x∈（﹣6，1）．故选：A．点评：本题考查二次不等式的解法，考查计算能力．4．（4分）平面向量与的夹角为60°且=2，=1，则向量+2的模为（）A．B．12 C．D．10考点：平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模．专题：计算题．分析：由与的夹角为60°且=2，=1，知+2|==，由此能求出结果．解答：解：∵与的夹角为60°且=2，=1，∴+2|====2．故选A．点评：本题考查平面向量的数量积及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5．（4分）已知函数f（x）=x+，则下列说法正确的是（）A．f（x）是增函数B．f（x）是减函数C．f（x）是奇函数D．f（x）是偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的性质进行判断即可．解答：解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据定义是解决本题的关键．（4分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，且|BD|=2|DC|，点E在线段AD上，且|AE|=2|ED|，6．设=，=，若=m+n，则m+n=（）A．﹣B．C．﹣3 D．3考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的减法，共线向量基本定理，向量的加法便容易得到，所以根据平面向量基本定理可得到．解答：解：根据已知条件，==；∴；又；∴根据平面向量基本定理得：m+n=．故选A．点评：考查向量减法、加法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．7．（4分）函数f（x）=log a x+x﹣b（2＜a＜3＜b＜4）的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由2＜a＜3＜b＜4可判断f（2）=log a2+2﹣b＜0，f（3）=log a3+3﹣b＞0；从而可得f（2）f（3）＜0；从而判断零点的区间．解答：解：函数f（x）=log a x+x﹣b在定义域上连续，又∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜log a2＜1，1＜log a3，﹣2＜2﹣b＜﹣1，﹣1＜3﹣b＜0；∴f（2）=log a2+2﹣b＜0，f（3）=log a3+3﹣b＞0；故f（2）f（3）＜0；故选C．点评：本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题．8．（4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．7个考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由|log2x|=1，|log2x|=2分别求出x的值，然后写出所有解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的定义域得答案．解答：解：由|log2x|=1，得log2x=±1，当log2x=1时，x=2，当log2x=﹣1时，x=；由|log2x|=2，得log2x=±2，当log2x=2时，x=4，当log2x=﹣2时，x=．∴满足解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的“孪生函数”的定义域有：{2，4}、{2，}、{，4}、{，}、{2，，4}、{2，，}、{2，4，}、{，4，}、{2，，4，}共9个．故选：B．点评：本题是新定义题，考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题．9．（4分）如图，已知△ABC中，A=90°，B=30°，点P在BC上运动且满足=，当取到最小值时，λ的值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．不妨设BC=4，P（x，0），则A．（0≤x≤4）．可得=．利用二次函数的单调性可得当x=时，取到最小值．利用=，即可解出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设BC=4，P（x，0），则A．（0≤x≤4）．∴=•（4﹣x，0）=（3﹣x）（4﹣x）=x2﹣7x+12=．当x=时，取到最小值．∴=，∴=λ（﹣4，0），∴，解得λ=．故选：D．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（4分）已知f（x）=log2（其中x＞1），g（x）=x2﹣2ax+a2+b（其中x∈R，a＞0，b＞1），则下列判断正确的是（）A．f（g（a﹣1））＞f（g（a））B．f（g（））＞f（g（））C．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0且a）D．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）考点：命题的真假判断与应用；对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据复合函数的单调性，先求出函数f（x）与g（x）的单调区间，再分别利用函数的单调性进行判断即可．解答：解：∵f（x）=log2=log2（1+），设t=1+，则t在（1，+∞）上单调递减，∴y=f（x）在（1，+∞）上单调递减，∵g（x）=x2﹣2ax+a2+b=（x﹣a）2+b，∴g（x）=（x﹣a）2+b，在（﹣∞，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，对于A，∵g（a﹣1）﹣g（a）=1＞0，且g（a）＞1，∴g（a﹣1）＞g（a）＞1，∵y=f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（g（a﹣1））＜f（g（a），故A不正确对于B．∵g（）＜g（），且g（）＞1，∴f（g（））＞f（g（）），故B正确对于C，=1+，则1＜≤2，∴f（）＞f（3），∵f（3）=1，f（）＞1，∴无法比较g（f（））与g（f（3））的大小，对于D，=1+，则1＜≤3，∴f（）≥（f（3）），∵f（3）=1，f（）≥1∴无法比较g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）的大小，故选：B．点评：本题考查了利用函数的单调性比较大小，关键是求出函数f（x）与g（x）的单调区间，属于中档题．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知2∈，则m=．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合．分析：利用2∈{2m﹣1，﹣2}，可得2m﹣1=2，即可求出m的值．解答：解：∵2∈{2m﹣1，﹣2}，∴2m﹣1=2，∴m=，故答案为：．点评：本题考查元素与集合关系，考查学生的计算能力，比较基础．12．（3分）函数f（x）=log2（2x+3）的定义域为（﹣，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则2x+3＞0，即x＞﹣，故函数的定义域为（﹣，+∞），故答案为：（﹣，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．（3分）已知幂函数f（x）=x a，且f（4）=2，则f（6）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（4）=2列出方程求出a的值，即可求出函数的解析式，再求出f（6）的值．解答：解：因为幂函数f（x）=x a，且f（4）=2，所以4a=2，解得a=，则=，所以f（6）=，故答案为：．点评：本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、函数值，属于基础题．14．（3分）若，是两个不共线的向量，已知=2+k，=+3，=2﹣，若A，B，D三点共线，则k=﹣8．考点：向量的共线定理．专题：计算题．分析：先求出，利用A，B，D三点共线，=，求出k即可．解答：解：=（2﹣）﹣（+3）=﹣4因为A，B，D三点共线，所以=，已知=2+k，=﹣4所以k=﹣8，故答案为：﹣8．点评：本题考查向量的共线定理，考查运算能力，是基础题．15．（3分）已知奇函数y=f（x）满足当x＜0时，f（x）=x2，则=﹣1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得，由此能求出=﹣1．解答：解：∵奇函数y=f（x）满足当x＜0时，f（x）=x2，∴，∴f（1）=﹣1，f（f（1））=f（﹣1）=1，f（f（f（1）））=﹣1，…其规律是法则为奇数层时为﹣1，为偶数层时函数值为1∴=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16．（3分）已知定义在上的奇函数f（x）=a x﹣a﹣x（其中0＜a＜1），若m满足f（m2﹣4m）≥0，则m的取值范围为∪．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数是奇函数，定义域关于原点对称求出t的值，然后研究函数f（x）的单调性，则即可列出关于m的不等式组解之即可．解答：解：因为原函数为奇函数，所以t﹣4+3t=0，解得t=1，所以定义域为，且f（0）=0又，因为0＜a＜1，所以lna＜0，所以f′（x）＜0，所以函数在上递减，则由f（m2﹣4m）≥0得f（m2﹣4m）≥f（0），即﹣3≤m2﹣4m≤0，解得∪．故答案为∪．点评：本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题，要注意在列不等式组时不可忽视了定义域．17．（3分）已知△ABC是边长为2的正三角形，以AC为直径作半圆O（如图），P为半圆上任一点，则的最大值为5．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．取BC的中点D（1，0），A（1，），O，作⊙O的垂直于x轴的切线MN，切点为M．设P（x，y），则．可得=2x．即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．取BC的中点D（1，0），A（1，），O，作⊙O的垂直于x轴的切线MN，切点为M．设P（x，y），则．则=（2，0）•（x，y）=2x=5．故答案为：5．点评：本题考查了向量的数量积运算性质、直角三角形的边角关系、圆的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．18．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））≤0，则实数a的取值范围是．考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：令t=f（a），则f（t）≤0，讨论t≤1，t＞1，解不等式可得﹣1≤f（a）≤1，再由a≤1，a＞1，结合二次不等式的解法和对数不等式的解法，求并集即可得到．解答：解：令t=f（a），则f（t）≤0，当t≤1时，有2t2﹣2≤0，解得﹣1≤t≤1；当t＞1时，lgt≤0，解得0＜t≤1，不成立．即有﹣1≤f（a）≤1，当a≤1时，﹣1≤2a2﹣2≤1，解得≤a≤或﹣≤a≤﹣，则有≤a≤1或﹣≤a≤﹣；当a＞1时，有﹣1≤lga≤1，解得≤a≤10，则有1＜a≤10．综上可得a的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查分段函数的运用，考查不等式的解法，考查对数函数的单调性的运用，考查换元法及运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题（共4小题，满分36分）19．（8分）已知全集为U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x（3﹣x）＞0}，M={x|2x﹣a ＜0}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若（A∪B）⊆M，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）求出集合A，B，根据集合的基本运算即可求A∩（∁U B）；（2）根据（A∪B）⊆M，建立条件关系即可求实数a的取值范围解答：解：（1）A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x（3﹣x）＞0}={x|0＜x＜3}，∁U B={x|x≥3或x≤0}，则A∩（∁U B）={x|﹣1＜x≤0}；（2）A∪B={x|﹣1＜x＜3}，M={x|2x﹣a＜0}={x|x＜}若（A∪B）⊆M，则，解得a≥6，则实数a的取值范围分析：（1）奇函数f（x）在x=0处有定义，则f（0）=0，即可得到a；（2）判断g（x）为偶函数，则有g（x）＞1等价为f（x）＞1在时，函数y=f（x）的最小值为﹣b，求的值．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）代入x=1，求得c=a﹣b，再由f（﹣1）＞0，f（）＜0，解不等式即可得证；（2）运用韦达定理和弦长公式，配方求得最小值2，进而得到a=b，c=0，再由△ABC为等腰直角三角形，求得C（1，﹣1），即可得到f（x）的解析式；（3）由于f（x）的图象的开口向上，则f（x）在的最小值，可能为顶点或两端点．分别求f（0）=﹣b，或f（1）=﹣b，或f（）=﹣b，再检验对称轴和区间的关系，即可判断．解答：（1）证明：f（1）=﹣a，可得a﹣（3a﹣b）+c=﹣a，化简得c=a﹣b，由x1∈（﹣1，），可得f（﹣1）＞0，f（）＜0，即有a+（3a﹣b）+c＞0且a﹣（3a﹣b）+c＜0，即5a﹣2b＞0，且﹣a﹣2b＜0，解得﹣＜＜；（2）解：由f（x）=0的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|=|x1﹣x2|===，当=1∈时，|AB|取得最小值，且为2，即有f（x）=ax2﹣2ax+c=ax（x﹣2），即有A（0，0），B（2，0），则C的横坐标为1，由△ABC为等腰直角三角形，则C（1，﹣1），则有﹣1=a•（1﹣2），解得a=1，故f（x）=x2﹣2x；（3）解：由于f（x）的图象的开口向上，则f（x）在的最小值，可能为顶点处或两端点处．若f（x）的最小值为f（0）=﹣b，即为c=﹣b=a﹣b，解得=，则f（x）的对称轴为x==∈，则区间不为增区间，舍去；若f（x）的最小值为f（1）=﹣b，即为a﹣3a+b+c=﹣b，代入c=a﹣b，解得=，则f（x）的对称轴为x==∈，则区间不为减区间，舍去；若f（x）的最小值为f（）=﹣b，即为=﹣b，代入c=a﹣b，解得=2或，则f（x）的对称轴为x==∈，或∈，故成立．综上可得=2或．点评：本题考查二次函数的解析式的求法和最值的求法，主要考查二次方程的韦达定理和单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，注意求最值时，讨论最值取得的可能之处，是简化解题的策略．。

2023-2024学年浙江省嘉兴市重点名校高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】因为 y sin 2x cos 2x
2 sin(2x ) ，所以将函数 y 4
2 sin 2x 的图象向左平移 4 个单位，选
28
D.
考点：三角函数图像变换
义域 R，是奇函数，且是增函数，正确；对于 D，是奇函数，但是是减函数，故错
考点：本题考查函数的奇偶性和单调性
点评：解决本题的关键是掌握初等函数的奇偶性和单调性
3、B
【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：因为 p : π π ， q : 0 π ，
3
3
3
所以由 p 不能推出 q ，由 q 能推出 p ，故 p 是 q 的必要不充分条件
12．若正数 x，y 满足 x y 1，则 3 1 的最小值是_________ xy
13．如图所示， ABC 中， AC 12cm ，边 AC 上的高 BD 12cm ，则其水平放置的直观图的面积为______
14．函数 f x 2cos2x 的图象关于原点对称，则 __________
④作答.
【详解】依题意， f (x) cos x cos x ，因 f (x 4 ) cos(x 4 )cos x 4 cos xcos x f (x) ， f (x) 是周期函数， 4
2
2
2
是它的一个周期，①正确；
因 f (π x) cos(π x) cos π x cos xsin x ， f (π x) cos(π x) cos π x cos x sin x ，
A.
B.

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嘉兴市2017～2018学年第一学期期末检测高一数学参考答案（2018.2）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．）
1．B ； 2．C ；
3．D ；
4．B ； 5．A ； 6．D ；
7．C ； 8．C ；
9．B ；
10．A ．
10.【解析】：242)(++--=
x t tx x f 24++-=x t ，令m x =+2
4
，则2m ax =-t m ，
因为[]2,1-∈x ，则]4,1[∈m ,所以2=t ，或3=t . 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，）
11.5；
12．2；
13．)0,1(； 14.),1[+∞；
15.1；
16．2； 17．23； 18．]2,5
2
[
18．解法一：因为|2|2a b -=r r ，|3|2a b +=r r ，所以|36|6a b -=r r ，|26|4a b +=r r
，
所以|62||63|2b a b a +--=|6263|b a b a ++-≤|62||63|b a b a ++-≤10=，
即1052≤≤
]2,5
2[．
解法二：如图：b OB a OA 2,==，3-=，由已知得2==AC AB ,则A 一定在BC 中垂线上，以A
为圆
心，2为半径作圆A ，平移BC 到11C B 处
时
5
2
=
，平移BC 到)0(22=b C B
2=，所
以
]2,5
2
[．
三、解答题（本大题有4小题，共36分，） 19．（本题8分）
已知集合}12|{+<<-=m x m x A ，}51|{<<=x x B . （Ⅰ）若1=m ，求B A Y ；
1
B 1
C 22
（Ⅱ）若A B A =I ，求实数m 的取值范围．解：(Ⅰ) 由1=m 得，{}12A x x =-<<，
所以}51{<<-=x x B A Y ； ……4分（Ⅱ）因为A B A =I ，所以B A ⊆，
⎩
⎨
⎧≤+≥-511
2m m ，解得43≤≤m . .......8分 20．（本题8分）
已知1e 、2e 是夹角为︒60的两个单位向量，2123e e a -=，2132e e -=．（Ⅰ）求⋅的值；
（Ⅱ）求+与-的夹角．
解：(Ⅰ)因为1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，所以2
1
21=
⋅e e ， ()()12123223a b e e e e ⋅=-⋅-r r u r u r u r u r 2221216136e e e e +⋅-=
2
1162136=+-
=， …… 4分（Ⅱ）2155e e -=+，21e e +=-，设a b +r r 与a b -r r
的夹角为θ，
则1212()()(55)()a b a b e e e e +⋅-=-⋅+r r r r u r u r u r u r 0552
221=-=e e ，
所以()()
cos 0a b a b a b a b
θ+⋅-==+⋅-r r r r
r r r r ，即2πθ=，
所以a b +r r 与a b -r r 的夹角为2
π
． …… 8分
21．（本题10分）
已知)0()(2≠++=a c bx ax x f ，满足条件x x f x f 2)()1(=-+（R ∈x ），且1)0(=f ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）设3)(-=mx x g ，已知当]3,2
1
[∈x 时，函数)(x g y =的图像与)2(x f y =的图像
有且只有一个公共点，求m 的取值范围．
解：（Ⅰ）由1)0(=f 得，1=c ，由)(2)()1(R x x x f x f ∈=-+，得
x bx ax x x b x a 2)1(]1)1()1([22=++-++++，
化简得，x b a ax 22=++，
所以0,22=+=b a a ，则1,1-==b a .所以1)(2
+-=x x x f . ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得124)2(2
+-=x x x f
由题意得12432
+-=-x x mx 在]3,2
1[∈x 上只有唯一解，
2)1(44242-+=+-=x
x x x x m ，
令m y =，2)1(4)(-+
=x x x h ，]3,2
1
[∈x ，又)(x h 在]1,2
1
[单调递减，在]3,1[单调递增，
8)21(=h ，6)1(=h ，3
34)3(=h ，所以6=m 或3
34
8≤<m .……… 10分 22．（本题10分）
已知函数k
ka a x f x
x --=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．
（Ⅰ）求实数k 的值；
（Ⅱ）若2=a ，)(2)(22x mf a a x g x x -+=-，且)(x g 在]1,0[上的最小值为1，求
实数m 的值．
解：(Ⅰ) ∵)(x f 是定义域为R 的奇函数，∴0)0(=f ，
∴01
=-k ，∴1=k 。

…………4分
（Ⅱ）因为2=a ，所以
)22(222)(22x x x x m x g ----+=()2)22
(2222
+---=--x x
x
x m ，
令x
x
x f t --==2
2)(，因为x
x x f --=2
2)(在]1,0[∈x 是增函数，所]2
3
,0[∈t .
令222
+-=mt t h(t)]2
3,0[,2)(2
2∈-+-=t m m t ，
①若0≤m ，12)0(≠==h h(t)min ，不合题意； ②若230<
<m ，12)(2
=-==m m h h(t)min ，解得1±=m ，因为2
30<<m ，
所以1=m ； ③若23≥
m ，13417)23(=-==m h h(t)min 解得2
31213<=m ，舍去综上：1=m . …………10分。