高中数学解题思路大全—组合问题的解决方案
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
解题技巧如何运用排列组合原理解决高中数学题目
解题技巧如何运用排列组合原理解决高中数学题目在高中数学中，排列组合是一个重要的数学概念和解题方法。
通过应用排列组合原理，我们可以解决各种高中数学题目，包括概率、计数问题、图形排列等。
本文将详细介绍解题技巧如何运用排列组合原理解决高中数学题目。
一、排列组合的基本概念在应用排列组合原理解题之前，我们首先需要了解排列和组合的基本概念。
1. 排列：从若干不同元素中选取一部分进行排列，所选元素之间有顺序关系。
当元素全部选取时，称为全排列；当元素选取的个数小于总数时，称为部分排列。
2. 组合：从若干不同元素中选取一部分进行组合，所选元素之间无顺序关系。
在解决高中数学题目时，我们常用排列组合来计算可能性和数量。
二、解题技巧1. 应用排列计算可能性在某些问题中，需要计算某个事件的可能性。
例如，从1到10中选取3个数字，求这3个数字的排列方式有多少种？解法：根据排列的定义，我们可以用排列的计算公式来解题。
对于从n个不同元素中，选取m个元素进行排列，可以使用下述公式计算：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，符号“!”表示阶乘运算。
应用于该题目，我们可以得到：P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720因此，这3个数字的排列方式有720种。
2. 应用组合计算数量在某些问题中，需要计算某个事件的数量。
例如，在一批5张扑克牌中，从中选取3张牌，求有多少种不同的组合方式？解法：根据组合的定义，我们可以用组合的计算公式来解题。
对于从n个不同元素中，选取m个元素进行组合，可以使用下述公式计算：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)同样地，应用于该题目，我们可以得到：C(5,3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 10因此，这5张扑克牌中选取3张牌的不同组合方式有10种。
3. 应用排列组合解决概率问题排列组合在解决概率问题时也非常有用。
高中数学排列组合解题方法
高中数学排列组合解题方法高中数学排列组合解题方法近年来，排列组合题在高考试题中占据较大比例，或单独命题，或与概率内容相结合，由于排列组合题抽象性较强，解题思路灵活，方法多样，切入点多，学生在解题过程中往往容易出现思维遗漏、或重复的错误。
因此，在高中数学排列组合教学过程中，教师要加强解题训练，引导学生熟练掌握和灵活运用解题技巧，使问题迎刃而解。
下面是小编为大家带来的高中数学排列组合解题方法，欢迎阅读。
1.相离问题插空法相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。
它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。
例1 在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？解析：该题若直接进行解答较为麻烦，此时可以借助相离问题插空法，可以使问题迎刃而解。
先将原来的6个节目排列好，这时中间和两端有7个空位，然后用一个节目去插7个空位，有A种方法;接着再用另一个节目去插8个空位，有A种方法;将最后一个节目插入到9个空位中，有A种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法AAA=504种。
例2 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C种方法。
故共有AC种方法。
2.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。
例3 有6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有多少种？解析：由于甲、乙两人必须要排在一起，故可将甲、乙两人捆绑起来作为一个整体进行考虑，即将两人视为一人，再与其他四人进行全排列，则有A种排法，甲、乙两人之间有A种排法。
排列组合问题的几种巧解方法
排列组合问题的几种巧解方法排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。
但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。
求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。
本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。
一、对等法。
在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。
例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。
并且也避免了问题的复杂性。
解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。
二、插入法。
对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。
例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。
所涉及问题是排列问题。
解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。
根据乘法原理，共有的不同坐法为种。
高中数学排列与组合算法解题思路
高中数学排列与组合算法解题思路在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念，也是解题的常见考点之一。
掌握排列与组合的算法解题思路，对于高中学生来说是非常重要的。
本文将以具体的题目为例，分析和说明排列与组合的考点和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、排列问题排列问题是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的问题。
常见的排列问题有全排列、循环排列等。
1. 全排列问题全排列问题是指从给定的元素中选取所有的元素按照一定的顺序排列的问题。
下面以一个具体的例题来说明全排列的解题思路。
例题：有三个不同的字母A、B、C，从中选取两个字母进行排列，列出所有可能的情况。
解题思路：根据排列的定义，我们知道在这个问题中，有3个元素，选取2个进行排列。
根据排列的计算公式，可以得到全排列的个数为3 × 2 = 6。
我们可以使用穷举法列出所有的情况：AB, AC, BA, BC, CA, CB通过这个例题，我们可以看到全排列问题的解题思路是通过穷举法列出所有的情况，根据排列的计算公式计算出全排列的个数。
2. 循环排列问题循环排列问题是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列，并且最后一个元素与第一个元素相连的问题。
下面以一个具体的例题来说明循环排列的解题思路。
例题：有三个不同的字母A、B、C，从中选取两个字母进行循环排列，列出所有可能的情况。
解题思路：根据循环排列的定义，我们知道在这个问题中，有3个元素，选取2个进行循环排列。
循环排列的个数等于全排列的个数除以元素个数，即6 ÷ 3 = 2。
我们可以使用穷举法列出所有的情况：AB, BC, CA通过这个例题，我们可以看到循环排列问题的解题思路是先计算出全排列的个数，然后除以元素个数得到循环排列的个数，最后使用穷举法列出所有的情况。
二、组合问题组合问题是指从给定的元素中选取若干个元素进行组合的问题。
常见的组合问题有从n个元素中选取m个元素的组合、有重复元素的组合等。
高中数学解题思路大全—组合问题的解决方案
A B 组合问题的解决方案一、对应思想解组合问题，即所研究的问题对应着某些元素的组合．解决此类问题要注意把握每一具体问题中“对应”的确切含义．例1(1)圆上有10个点,两两连成弦,这些弦在圆内最多可形成_____个交点.(2)平面上有4条水平直线,5条竖直直线,能形成矩形______个.（3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？（4）如图是由12个小正方形组成的43⨯矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中 条 解析：(1)每一个交点对应着两条相交弦，而两条相交弦又对应着圆上4点，故交点数等于从圆上的10个点中取4点的方法数，为410C 个.(2) 每一个矩形对应着两条水平直线和两条竖直直线，所以形成的矩形数等于2524C C ⋅个.（3）把问题想象成在可以移动的10盏灯中关掉3盏灯后剩下7盏灯，在7盏灯产生的6个空位中选出3个位置安排移走的3盏灯（为熄灭的灯）所对应的方法数，为36C 种；（4）相邻两点算作一步，则从点A 到点B 的最短路径对应着7步，其中横向安排4步、纵向安排3步，所以最短路径对应着7步中安排4步横向走的方法数,有4735C =． 附：1、（2004湖北文科）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．360 D ．720解析：每一种符合要求的方法对应着10个位置选定7个对号安排和余下3个位置的完全不对号安排，10个位置选定7个的方法数为710C 种，3个位置的完全不对号安排有2种，故总数为7102240C ⨯=种．故选（ B ）．2、（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 . 解析：每一种符合要求的方法对应着选定一条直径的两个端点和在余下的2n-2个点中选择1点，方法数为()()12221n C n n n ⨯-=-种． 二、至多至少组合问题:即分类后某元素个数满足至多多少个或至少多少个的要求的组合问题.可分类或用间接法,体会两者是可以相互转化的．此类问题一定要注意避免不完全分组会产生重复造成记数出错．例2、某班有54位同学，正、副班长和学习委员各1名，现选派6名同学参加某课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？（1）正、副班长和学习委员至少有一人入选（2）正、副班长和学习委员至多有一人入选解析：（1）正、副班长和学习委员至少一人入选可分为只有一人入选、有两人入选和三人都入选三类，方法数为152433351351351C C C C C C ⋅+⋅+⋅，本题也可用间接法：没有任何限制的选法为654C ，而不符合要求即正、副班长和学习委员都不入选的方法数为651C ，所以满足题目要求的选法数为665451C C -；对本题的进一步理解：从54人中选出题目要求的选法可画图理解为如图的分类，由此可见本题既可用直接分类法也可用间接排除法解决，这对至多至少组合问题具有一般性．（2）由以上分类易知正、副班长和学习委员至多有一人入选包含两类:3人均不入选和3人中恰有1人入选，则满足要求的方法数为61551351C C C +.附：1、(2005全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种．解：此题是典型的“至多至少组合问题”，可分类（以选出3人中包含女生的人数分为3类），共有1221346464100C C C C C ⋅+⋅+=种，或用间接法为33106100C C -=种． 2、（2005浙江卷）从集合{ P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．解：此题为“至多至少组合问题”，计算出满足要求的2字母和2数字的组合的总数（采用间接法）为221141039C C C C ⨯-⨯种，故不同排法种数是22114410394()5832C C C C A ⨯-⨯⨯=种．三、分组搭配组合问题:即对某些元素按一定要求分组或按一定要求分配的问题.要掌握平均分组和不平均分组的处理方法；注意对平均分组又分配和不平均分组又分配的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．例3、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法或分法：(1)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(2)分为三份，每份两本；(3)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(4)分给甲、乙、丙三人，每人两本；⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解析：(1)此为不平均分组的题目，只须按三个步骤分别选出1本的一份、2本的一份和3本的一份即可，方法总数为332516C C C ⋅⋅种；(2) 此为平均分组的题目，只须先假定三个位置A 、B 、C ，每个位置安排2本书，按三个步骤分别选出2本安排在A 、B 和C ，共有222426C C C ⋅⋅种方法，而此题为平均分组，上述算法已对每一分组在A 、B 、C 三个位置进行了排列，故满足要求的平均分组为33222426A C C C ⋅⋅种；(3) 此为不平均分组又分配的题目，可采用先分组后分配的方法，即第一步分组共有332516C C C ⋅⋅种方法，第二步每一种分法得到的3组分给甲、乙、丙三人的方法都是33A 种，故采用先分组后分配的方法得分配方法共33332516A C C C ⋅⋅⋅种；本题也可采用“边分边给”的方法解决，即先选出1本书并将这本书分配给1人的方法数为1163C C ⋅种，再选出2本书并将这2本书分配给1人的方法数为2152C C ⋅种，第三步选出3本书并将这3本书分配给1人的方法数为3131C C ⋅种，故采用“边分边给”的方法得方法总数为112131635231C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种；(4)此为平均分组又分配的问题，可采用“先分（分组）后给（分配）”得方法数为2223642333C C C A A ⋅⋅⋅种；若采用“边分（分组）边给（分配）”的方法理解本题可分三步完成：甲分得2本书、乙分得2本书、丙分得2本书，方法数为222642C C C ⋅⋅种；⑸先分类再结合上述解法得方法数为3346A C ⋅+332516A C C ⋅⋅+2426C C ⋅种．例4、3名司机和6名售票员分别分配到3辆不同的公交车上,每辆车上1名司机2名售票员,分配方法共多少种?解析：将问题分两步：对3名司机和6名售票员分为3组，每组1名司机和2名售票员，先假定司机不动，则分组方法为222642C C C ⋅⋅种，再对每一分法分得的3组在3个位置（3辆不同的公交车）进行排列得分配方法共有22236423()C C C A ⋅⋅⋅种；若采用边分边给的方法则分3步完成：第一、二、三辆公交车分别选1名司机2名售票员,分配方法共()()()212121634221C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种．附：1、（2005北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A（C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．在解答本题时请仔细体会“边分（分组）边给（分配）”的运用．答案为(A ).2、（2005湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A ．168B ．96C ．72D ．144解析：本题是典型的分组搭配问题（不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．本题把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票分为4组的方法数为6种，每一种分组的分配方法均为44A ，故本题的方法数为446A ⨯种．故选（D ）．请仔细体会“先分（分组）后给（分配）”的运用．3、（2005江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），本题适用“先分（分组）后给（分配）”法，没有公共顶点的两条棱一组的分组有（PA ，BC ）、（PB ，CD ）、（PC ，AD ）、（PD ，AB ）或（PA ，CD ）、（PB ，DA ）、（PC ，AB ）、（PD ，BC ）共2大组，而每大组的4小组在4个位置的分配就是4个元素在4个位置的全排列，所以安全存放的不同方法种数为 44248A ⨯= 种．故选( B)．。
高中数学排列与组合的解题技巧
高中数学排列与组合的解题技巧在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和题型。
它们不仅在数学考试中常常出现，而且在实际生活中也有广泛的应用。
掌握排列与组合的解题技巧，不仅可以帮助我们在考试中取得好成绩，还可以在解决实际问题时提供有效的思路和方法。
一、排列问题排列是指从给定的元素中选出若干个进行排列，其顺序是重要的。
在排列问题中，我们常常需要考虑以下几个方面的技巧。
1.1 有关位置的排列对于有关位置的排列问题，我们可以利用“填空法”来解决。
例如，某班有10名同学，要从中选出3名同学参加篮球比赛，问有多少种不同的排列方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从10名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的9名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的8名同学中选择一个填入第三个空格。
根据乘法原理，可以得到答案为10×9×8=720种不同的排列方式。
1.2 有关重复元素的排列在有些排列问题中，给定的元素中可能存在重复的元素。
对于这类问题，我们需要注意重复元素的处理。
例如，某班有5名同学，其中2名同学是双胞胎，要从中选出3名同学参加篮球比赛，问有多少种不同的排列方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从5名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的4名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的3名同学中选择一个填入第三个空格。
根据乘法原理，可以得到答案为5×4×3=60种不同的排列方式。
但是由于双胞胎两名同学是相同的，所以要将重复的排列方式去掉。
即答案为60/2=30种不同的排列方式。
二、组合问题组合是指从给定的元素中选出若干个进行组合，其顺序不重要。
在组合问题中，我们常常需要考虑以下几个方面的技巧。
2.1 有关位置的组合对于有关位置的组合问题，我们可以利用“填空法”来解决。
例如，某班有10名同学，要从中选出3名同学组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从10名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的9名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的8名同学中选择一个填入第三个空格。
高中数学有关排列组合的解题方法
高中数学有关排列组合的解题方法
排列组合在高中数学课程中是一个重要的知识点。
它可以用来解决一系列问题，求解不同数量物品之间可能出现的组合方式。
本文探讨了解决高中数学排列组合题目的有效方法，帮助计算高中数学知识点的学生，可以更有效地掌握和掌握排列组合的解题方法。
首先，解决排列组合的问题，必须了解清楚题目的要求，并细致分析题目的内容，即了解问题所涉及的元素，元素之间的关系，以及它们之间的组合特性。
有时，可能需要花一点时间来确定问题的准确含义，以便确定排列组合的解决方案。
其次，要解决任何排列组合问题，一定要建立完备的数学模型。
因此，要解决
一个排列组合问题，先要把问题化简成一个适当的组合数学模型，并考察对该模型的有效应用。
这种情况下，可能需要考虑多种情况，组合多种形式，这样才能准确地定义解，更容易解决问题，最终形成逻辑的解答。
最后，每位学生都应该经常总结，通过练习习题，掌握排列组合的各种解题方法，不断总结思维和技巧，及时根据多问题，提高解决排列组合题目的效率和能力。
总结来说，解决高中数学排列组合问题的有效方法包括：首先，细致分析题目
的内容；其次，把问题化简成一个适当的组合数学模型；最后，经常总结，总结知识点，练习习题，不断完善自己的技能，以此提高解决排列组合题目的效率和能力。
学生应该把握住这些宝贵的机会，积极地学习。
这将有效地帮助学生们掌握排列组合的解题方法，并熟练地解答高中数学相关题目。
高中数学解排列组合问题的常用技巧
解排列组合问题的常用技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。
解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍几种常用的解题技巧。
一、特殊元素“优先安排法”对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，在考虑其他元素。
例⒈ 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）Ａ．２４个 Ｂ．３０个 Ｃ．４０个 Ｄ．６０个分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类：①０排在末尾时，有24A 个，②0不排在末尾时，则有131312A A A 个，由分类计数原理，共有偶数3013131224=+A A A A 个，选B ． 例. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A. 300种B. 240种C. 144种D. 96种解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案（种），故选（B ）。
二、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。
例⒉ 100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？分析：从100件产品中选3件产品的选法有3100C 种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有142603973100=-C C 种。
高中数学中的排列与组合问题解析与技巧
高中数学中的排列与组合问题解析与技巧导言：在高中数学中，排列与组合是一个重要的数学概念和工具。
它们不仅在数学中具有重要的地位，还在现实生活中有广泛的应用。
本文将对排列与组合的基本概念进行解析，并介绍一些解题技巧和实际应用。
一、排列与组合的基本概念1. 排列：排列是指从n个不同的元素中，取出r个元素进行排序的方法总数，用P(n, r)表示。
其中，n表示元素的总数，r表示要取出的元素个数。
排列问题中，元素的顺序是重要的。
2. 组合：组合是指从n个不同的元素中，取出r个元素的组合方式的总数，用C(n, r)表示。
与排列不同的是，组合问题中，元素的顺序并不重要。
二、排列与组合的关系和计算公式排列与组合之间有以下关系：P(n, r) = n! / (n - r)!C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)其中，"!"表示阶乘运算，即某个正整数n的阶乘为1*2*3*...*n。
三、排列与组合的应用举例1. 从一组人中选出一个委员会：假设有10个人，从中选出一个由3人组成的委员会。
这是一个组合问题，可以使用组合公式C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!)进行计算。
结果为C(10, 3) = 120种不同的选委员会方式。
2. 买彩票中奖的概率计算：假设彩票中有50个号码，要中3个号码的一等奖。
这是一个排列问题，可以使用排列公式P(50, 3) = 50! / (50 - 3)!进行计算。
结果为P(50, 3) = 19,600种不同的中奖号码排列方式。
四、排列与组合问题的解题技巧1. 理解题意：在解决排列与组合问题时，首先要准确理解题意。
明确元素的总数和要取出的个数，确定问题的类型是排列还是组合。
2. 熟练运用计算公式：排列与组合的计算公式是解决问题的基础，需要熟练掌握。
在计算过程中，可以利用阶乘的定义，将问题化简为简单的数学运算。
3. 注意特殊情况：有些排列与组合问题中存在特殊情况，需要注意。
高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页10828
高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
高中数学专题复习：排列组合难题21种方法
高考数学专题复习系列排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
组合问题的解题方法与策略
组合问题的解题方法与策略组合问题的解题方法与策略组合问题是数学中常见的一种问题类型，其解题方法和策略也是很多学生所关注的。
本文将从组合问题的定义、基本概念、解题方法和策略等方面进行详细介绍。
一、组合问题的定义和基本概念1.1 定义组合是指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），不考虑它们之间的顺序，所能得到的不同组合数目。
1.2 基本概念- 排列：指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），考虑它们之间的顺序，所能得到的不同排列数目。
- 重复排列：指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），允许重复，考虑它们之间的顺序，所能得到的不同排列数目。
- 组合：指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），不考虑它们之间的顺序，所能得到的不同组合数目。
- 重复组合：指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），允许重复，不考虑它们之间的顺序，所能得到的不同组合数目。
二、组合问题的解题方法2.1 公式法组合问题可以使用公式来求解。
对于从n个元素中取出r个元素的组合数，其公式为：C(n,r) = n! / r!(n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
例如，从5个不同元素中取出3个元素的组合数为：C(5,3) = 5! / 3!(5-3)! = 102.2 枚举法枚举法是指通过枚举所有可能的情况来求解问题。
对于组合问题，可以通过枚举每一个可能的组合来计算总数。
例如，从4个不同元素中取出2个元素的所有组合如下所示：{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}共有6种情况，因此从4个不同元素中取出2个元素的组合数为6。
枚举法虽然简单易懂，但在处理大规模数据时效率较低。
2.3 递推法递推法是指通过计算前面已知结果来推导后面未知结果的方法。
对于组合问题，可以使用递推公式来求解。
例如，要求从6个不同元素中取出3个元素的组合数，可以通过递推公式C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)来计算。
高中数学-排列组合13种方法精讲
排列组合1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
3、排列及排列数：（1）排列：排列数：从n个不同元素中取出m个（m≤n）个元素的所有排列的个数，（2）排列数公式()()1.nnA mn=m-⋅⋅⋅-1+n全排列：4、组合及组合数：（1）组合：组合数：（2）\计算公式：.5、组合数的性质：1、捆绑与插空法：例1．8位同学排成一队，问：⑴甲乙必须相邻，有多少种排法？⑵甲乙不相邻，有多少种排法？⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）2、定序问题缩倍法：例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。
现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）例2．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A,B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?3、 标号排位问题分步法：例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种例2．将标有1, 2,… 10的10个小球投入同样标有1, 2,… 10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?4、 有序分配问题逐分法：例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）种A. 1260B. 2025C. 2520D. 5040例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）种A 、4448412C C C B 、44484123C C C C 、3348412A C C D 、334448412A C C C例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？（1） 平均分给甲、乙、丙三人；（2） 甲得一本，乙得两本，丙得三本.5、 隔板法：例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,则不同的装法共有多少种?6、多元问题分类法：例1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A. 210个B. 300个C. 464个D. 600个例2．（1）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（2）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）共有多少种？7、至少问题间接法：例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种A. 140B. 80C. 70D. 35例2．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。
高二数学排列组合问题的常见题型与解题策略
排列组合问题的常见题型与解题策略解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，防漏防重；周密思考，用准加乘；直接间接，思路可循；先选后排，有条不紊；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
（一）.两个原则：（1）特殊元素（特殊位置）的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。
多数情况下，其特征是某一个或几个位置不能放置某一个或某几个特殊元素。
针对实际问题， 可采用“元素优先”或 “位置优先”。
例1-1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。
故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有种。
故共有（2）排列组合混合问题------先选后排例1-2: 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解: 第一步 从5个球中选出2个组成复合元共有 种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有 种方法 根据分步计数原理装球的方法共有 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?（二）．合理分类与准确分步25C 44A 25C 44A解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质（约束条件）进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．分类是高中数学中一种重要的思想方法例2-1 已知集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数．解法1：233241454545105C C C C C C ++=解题思路是：从正面考虑分类，将含5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集分为三类：233241⎧⎪⎨⎪⎩个偶数，个奇数个偶数，个奇数个偶数，个奇数 解法2：55419554105C C C C --=解题思路是：从反面考虑，全部子集个数为59C ，减去不符合条件的两类：541⎧⎨⎩全部个都是奇数个奇数，个偶数 直接法、间接法是两类很重要的思考方法和解题方法．错解：23472105C C =解题思路是：先由4个偶数选2个偶数，再由剩下的7个数（2个偶数，5个奇数）选3个数，组成含有5个元素的集合且满足至少有2例2-2：（与上面例2是完全相同的题目）由12人组成文娱小组，其中5人只会唱歌，5人只会跳舞，2人又会唱歌又会跳舞。
高中排列组合题型及解题方法
高中排列组合题型及解题方法高中排列组合题型及解题方法排列和组合是高中数学中比较重要的一部分，也是经常会被考到的题型。
排列组合题的解题方法也比较多样，下面我们就来详细讲解一下高中排列组合题型及解题方法。
一、排列排列是指从一定个数中取出一部分进行排序，其顺序不同，则排列也不同。
简单来说，就是“从n个不同元素中取出m个元素进行排列”的问题，排列的计算公式是P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
下面就来看一个具体的实例：在有10个人中挑选三个人排队，问有多少种排法？解题思路：从10个人中取出3人进行排列，共有P(10,3)种排列方法，即P(10,3)=10 * 9 * 8 = 720 种方案。
二、组合组合是指从一定个数中取出一部分，其顺序不同，则组合相同。
简单来说，就是“从n个不同元素中取出m个元素”的问题，组合的计算公式是C(n,m)=n!/m!(n-m)!。
下面就来看一个具体的实例：有8个人排成一行，现需从中选出5个人组成小组，请问有多少种组合方式？解题思路：从8个人中选出5人组成小组，共有C(8,5)种组合方法，即C(8,5)=8!/5!3!=56种方案。
三、排列组合计数法排列组合计数法是指通过组合、排列的计算，求解相关方案数的方法。
其中常见的方法有加法原理、乘法原理以及容斥原理。
1. 加法原理加法原理是指，在计算某个事件发生的总次数时，如果该事件可以被分解成m个互不相交的子事件，且每个子事件的发生次数分别为n1,n2,...,nm，则该事件发生的总次数为n1+n2+...+nm。
下面举例说明：一件工作分成两个阶段，第一阶段有4种做法，第二阶段有3种做法，则整个工作的做法有4+3=7种。
2. 乘法原理乘法原理是指，在计算某个事件发生的总次数时，如果该事件可以被分解成m个独立的子事件，且第一子事件有n1种发生方式，第二子事件有n2种发生方式，..., 第m个子事件有nm种发生方式，则该事件发生的总次数为n1*n2*...*nm。
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法，⋯，在第 n 类办法中有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 .先排末位共有 C31然后排首位共有 C41C41 A 43C31最后排其它位置共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
高中数学排列组合的概念及解题技巧
高中数学排列组合的概念及解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念，涉及到许多实际问题的求解。
掌握排列组合的概念和解题技巧，不仅可以帮助我们解决数学问题，还能培养我们的逻辑思维和分析能力。
本文将详细介绍排列组合的概念，并结合具体题目，分析解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用排列组合。
一、排列的概念及解题技巧排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的顺序会得到不同的排列数。
常见的排列问题包括字母的排列、数字的排列等。
例如，有5个不同的字母A、B、C、D、E，要从中选取3个字母进行排列，求排列的个数。
我们可以使用以下的解题思路：首先，确定排列的个数与选取的元素个数有关，即从5个字母中选取3个字母进行排列。
根据排列的定义，第一个字母有5种选择，第二个字母有4种选择（因为第一个字母已经选取了一个），第三个字母有3种选择（因为前两个字母已经选取了两个）。
所以，排列的个数为5×4×3=60。
除了使用直接计算的方法外，我们还可以使用排列公式进行计算。
排列公式是指当选取的元素个数和总元素个数已知时，计算排列的个数的公式。
对于上述的问题，我们可以使用排列公式进行计算：排列公式为：A(n,m) = n!/(n-m)!其中，n表示总元素个数，m表示选取的元素个数，"!"表示阶乘运算。
根据排列公式，我们可以得到A(5,3) = 5!/(5-3)! = 5×4×3 = 60，与前面的计算结果一致。
二、组合的概念及解题技巧组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，与排列不同的是，组合中元素的顺序并不重要，相同的元素组成的不同顺序的组合被视为同一种组合。
常见的组合问题包括选课组合、人员分组等。
例如，有5个不同的字母A、B、C、D、E，要从中选取3个字母进行组合，求组合的个数。
我们可以使用以下的解题思路：首先，确定组合的个数与选取的元素个数有关，即从5个字母中选取3个字母进行组合。
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A B 组合问题的解决方案
一、对应思想解组合问题，即所研究的问题对应着某些元素的组合．解决此类问题要注意把握每一具体问题中“对应”的确切含义．
例1(1)圆上有10个点,两两连成弦,这些弦在圆内最多可形成_____个交点.
(2)平面上有4条水平直线,5条竖直直线,能形成矩形______个.
（3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以
把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？
（4）如图是由12个小正方形组成的43⨯矩形网格，一质点
沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中 条 解析：(1)每一个交点对应着两条相交弦，而两条相交弦又对应着圆上4点，故交点数等于从圆上的10个点中取4点的方法数，为4
10C 个.
(2) 每一个矩形对应着两条水平直线和两条竖直直线，所以形成的矩形数等于2524C C ⋅个.（3）把问题想象成在可以移动的10盏灯中关掉3盏灯后剩下7盏灯，在7盏灯产生的6个空位中选出3个位置安排移走的3盏灯（为熄灭的灯）所对应的方法数，为3
6C 种；
（4）相邻两点算作一步，则从点A 到点B 的最短路径对应着7步，其中横向安排4步、纵向安排3步，
所以最短路径对应着7步中安排4步横向走的方法数,有4735C =． 附：1、（2004湖北文科）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．
一致的放入方法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．360 D ．720
解析：每一种符合要求的方法对应着10个位置选定7个对号安排和余下3个位置的完全不对号安排，10个位置选定7个的方法数为710C 种，3个位置的完全不对号安排有2种，故总数为7
102240C ⨯=种．故选（ B ）．
2、（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 . 解析：每一种符合要求的方法对应着选定一条直径的两个端点和在余下的2n-2个点中选择1点，方法数为()()12221n C n n n ⨯-=-种． 二、至多至少组合问题:即分类后某元素个数满足至多多少个或至少多少个的要求的组合问题.可分类或用间接法,体会两者是可以相互转化的．此类问题一定要注意避免不完全分组会产生重复造成记数出错．
例2、某班有54位同学，正、副班长和学习委员各1名，现选派6名同学参加某课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？
（1）正、副班长和学习委员至少有一人入选
（2）正、副班长和学习委员至多有一人入选
解析：（1）正、副班长和学习委员至少一人入选可分为只有一
人入选、有两人入选和三人都入选三类，方法数为
152433351351351C C C C C C ⋅+⋅+⋅，本题也可用间接法：没有任何限
制的选法为6
54C ，而不符合要求即正、副班长和学习委员都不
入选的方法数为651C ，所以满足题目要求的选法数为665451C C -；对本题的进一步理解：从54人中选出题目要求的选法可画图理解为如图的分类，由此可见本题既可用直接分类法也可用间接排除法解决，这对至多至少组合问题具有一般性．
（2）由以上分类易知正、副班长和学习委员至多有一人入选包含两类:3人均不入选和3人中恰有1人入选，则满足要求的方法数为615
51351C C C +.
附：1、(2005全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种．
解：此题是典型的“至多至少组合问题”，可分类（以选出3人中包含女生的人数分为3类），共有1221346464100C C C C C ⋅+⋅+=种，或用间接法为33106100C C -=种． 2、（2005浙江卷）从集合{ P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．
解：此题为“至多至少组合问题”，计算出满足要求的2字母和2数字的组合的总数（采用间接法）为221141039C C C C ⨯-⨯种，故不同排法种数是22114410394()5832C C C C A ⨯-⨯⨯=种．
三、分组搭配组合问题:即对某些元素按一定要求分组或按一定要求分配的问题.要掌握平均分组和不平均分组的处理方法；注意对平均分组又分配和不平均分组又分配的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．
例3、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法或分法：
(1)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
解析：(1)此为不平均分组的题目，只须按三个步骤分别选出1本的一份、2本的一份和3本的一份即可，
方法总数为332516C C C ⋅⋅种；
(2) 此为平均分组的题目，只须先假定三个位置A 、B 、C ，每个位置安排2本书，按三个步骤分别选出2
本安排在A 、B 和C ，共有222426C C C ⋅⋅种方法，而此题为平均分组，上述算法已对每一分组在A 、B 、C 三个位置进行了排列，故满足要求的平均分组为33
222426A C C C ⋅⋅种；(3) 此为不平均分组又分配的题目，可采用先分组后分配的方法，即第一步分组共有332516C C C ⋅⋅种方法，第二步每一种分法得到的3组分给甲、
乙、丙三人的方法都是33A 种，故采用先分组后分配的方法得分配方法共33332516A C C C ⋅⋅⋅种；本题也可采
用“边分边给”的方法解决，即先选出1本书并将这本书分配给1人的方法数为11
63C C ⋅种，再选出2本书
并将这2本书分配给1人的方法数为2152C C ⋅种，第三步选出3本书并将这3本书分配给1人的方法数为
3131C C ⋅种，故采用“边分边给”的方法得方法总数为112131635231C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种；(4)此为平均分组又分配的问题，可采用“先分（分组）后给（分配）”得方法数为2223642333
C C C A A ⋅⋅⋅种；若采用“边分（分组）边给（分配）”的方法理解本题可分三步完成：甲分得2本书、乙分得2本书、丙分得2本书，方法数为
222642C C C ⋅⋅种；
⑸先分类再结合上述解法得方法数为3346A C ⋅+332516A C C ⋅⋅+2426C C ⋅种．
例4、3名司机和6名售票员分别分配到3辆不同的公交车上,每辆车上1名司机2名售票员,分配方法共多少种?
解析：将问题分两步：对3名司机和6名售票员分为3组，每组1名司机和2名售票员，先假定司机不动，
则分组方法为222642C C C ⋅⋅种，再对每一分法分得的3组在3个位置（3辆不同的公交车）进行排列得分
配方法共有22236423()C C C A ⋅⋅⋅种；若采用边分边给的方法则分3步完成：第一、二、三辆公交车分别选
1名司机2名售票员,分配方法共()()()
212121634221C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种．
附：1、（2005北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A
（C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．在解答本题时请仔细体会“边分（分组）边给（分配）”的运用．答案为(A ).
2、（2005湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分
1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）
A ．168
B ．96
C ．72
D ．144
解析：本题是典型的分组搭配问题（不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．本题把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票分为4组的方法数为6种，每一种分组的分配方法均为44A ，故本题的方法数为446A ⨯种．故选
（D ）．请仔细体会“先分（分组）后给（分配）”的运用．
3、（2005江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )
（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0
解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），本题适用“先分（分组）后给（分
配）”法，没有公共顶点的两条棱一组的分组有（PA ，BC ）、（PB ，CD ）、（PC ，
AD ）、（PD ，AB ）或（PA ，CD ）、（PB ，DA ）、（PC ，AB ）、（PD ，BC ）共
2大组，而每大组的4小组在4个位置的分配就是4个元素在4个位置的全排列，所以安全存放的不同方
法种数为 44248A ⨯= 种．故选( B)．。