第一章 命题逻辑.ppt(2)

否定“”
设P为一命题，则P就是一个复合命题，用于表达陈述句“不是P所说 的情形”，称为命题P的否命题。“P”读作“非P”。 命题联结词“”相当于语句中的“非”、“不”、“无”、“没有” 或“并非”等否定词。
P： 地球上没有生物。 P： 并非地球上没有生物。 P： 地球上有生物。

(P∨Q)，((P∧Q)→R)，(((P∧Q)∨R)S) (T∧Q)，(F→S)，(((P→Q)∧(Q→R))(P→R))


(P∨)，(P→(∧Q))，((PQ)R)，P→(Q→R


将语句翻译成命题公式
可以消除自然语言中的二义性 可以分析命题公式以确定其真值 用推理规则进行推理分析

真值
命题的值称为“真值”。 若一个命题为真，我们称它的真值为真(TRUE)，用 “T”或“1”表示。 若一个命题为假，我们称它的真值为假(FALSE)，用 “F”或“0”表示。

命题的表示
用大写字母或带下标的大写字母表示命题。 表示命题的符号称为命题标识符。

“P”的真值表
P F T
P T F

合取“∧”
设P和Q是两个命题，则P∧Q是一个复合命题：当P和Q同时为T时， P∧Q为T，否则为F。命题P∧Q称为P与Q的合取。式子P∧Q称为合取 式，读作“P与Q”或者“P并且Q”。
命题联结词“∧”相当于语句中的“并且”、“既是…，又是…”、“不 但…，而且…”、“虽然…，但是…”、“尽管…，仍然…”等词语。“∧” 在逻辑电路中表示“与门”，在开关电路中表示“串联”联接方式。
设A和B是两个命题公式，它们含有相同的命题变元P1，P2，…，Pn，且 对任意一组真值指派A与B都有相同的真值，则称公式A和B是等价的公式。 记作AB。
可以使用真值表来判断两个公式是否等价：公式A和公式B等价当且仅当 表中给出它们真值的两列完全一样。

证明: P∨Q P→Q。
P ： 地球上没有生物。 S1 ： 3＋3＝6 。

命题常元与命题变元
如果一个命题标识符表示确定的命题，就称为命题常元。
如果命题标识符只用于表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。
Q： x是偶数。

命题联结词
复合命题是由若干个原子命题经联结词而构成的新命题，那么要将复 合命题符号化，首先要将联结词符号化，这样就形成了数理逻辑特有 的命题联结词。 几种常用的命题联结词： 否定“” 合取“∧” 析取“∨” 异或“” 蕴含“→” 等值“”

除非你已满16周岁，否则只要你身高不足1米2就不能乘公园滑行铁道。
S：你能乘公园滑行铁道。
U：你身高不足1米2。 V：你已满16周岁。
语句可翻译成：(U∧V)→S。

如果李明和张华不去看电影，我就去。
P: 李明去看电影。 Q: 张华去看电影。 R: 我去看电影。 语句翻译成: (PQ) R

“P Q”的真值表
P F F T T
Q F T F T
PQ T F F T

P： 它是等边三角形。
Q： 它的三个内角都为60。 。 显然，P与Q具有充要条件的关系，所以复合命题“如果它是等边三角形， 则它的三个内角都为60”具有形式PQ。
∵A为F，那么E∧A为F， B为T ，∴ B→(E∧A)为F，与已知矛盾。 假设D与A同时为T：∵D为T，CD为T，∴C为F。∵C为F，E→C 为T，∴E为F，∴E∧A为F。∵E∧A为F，B→(E∧A)为T，∴B为F。

真值表
公式中所有命题变元的一组确定的取值，称为公式的一组真值指派。 含有ｎ个命题变元的公式具有2n组不同的真值指派。 列出公式所有真值指派及公式的相应真值的表格，称为公式的真值表。
命题联结词“→”相当于语句中的“如果…，那么…”，“若…，则…”， “只要…，就…”等词语。

“P → Q”的真值表
P
Q
P→Q
ห้องสมุดไป่ตู้
F
F T
F
T F
T
T F
T
T
T

P： 太阳绕着地球转。
Q： 今天天下雨。 P→Q： 如果太阳绕着地球转，那么今天天下雨。

命题公式
命题公式（简称公式）可按以下法则生成：
① T ，F 是命题公式；
② 命题变元是命题公式；
③ 如果P是命题公式，则P也是命题公式；
④ 如果P和Q是命题公式，则(P∧Q)，(P∨Q)，(PQ)，(P→Q)， (PQ)都是命题公式； ⑤ 只有按以上法则有限次所得结果才是命题公式。

命题的概念
具有真假意义的陈述句称之为命题。
注 意：
命题表达一个判断； 命题必须具有真假值； 不一定要知道它的真假值。 悖论不是命题，因为不能指定它的真假值。

例：下列语句哪些是命题，哪些不是？
球是圆的。 太阳绕着地球转。

R： 明晨八时我在家休息。 S： 明晨八时我去单位上班。 复合命题“明晨八时我在家休息，或者我去单位上班”中的两个原子命 题R和S是不可能同时为T的，那么其中的“或者”是在不相容意义下使 用的，我们称之为“不可兼或”。

异或“”
设P和Q是两个命题，则PQ是一个复合命题：当P和Q中恰有一个为T 时，PQ为T，否则为F。式子PQ称为异或式。
P F F T T
Q F T F T
P T T F F
P∨Q T T F T
P→Q T T F T

证明: P∨(Q∧R) (P∨Q)∧(P∨R)。
P F F F F T T T T Q F F T T F F T T R F T F T F T F T Q∧ R F F F T F F F T P∨Q F F T T T T T T P∨R F T F T T T T T P∨(Q∧R) F F F T T T T T (P∨Q)∧(P∨R) F F F T T T T T
命题逻辑
例子1: 谁说谎
他说谎！ 他说谎！
他们说谎！

例子2: 九宫格
6
8
9
5
8
3 7
6
5 7
9
6 2 5
7
4
9
1
2
9
6 3 8 1
4
1 5 3
3
7
9
8 3 6
4
6

逻辑推理的一般过程
新命题
推理的方法
得到什么结论？
推理的依据
怎么推理？

占据空间的，有质量的而且不断变化的叫做物质。
A: 它占据空间。
B: 它有质量。 C: 它不断变化。 D: 它叫做物质。 语句可翻译成： (A B C) D

家庭生活困难或者学习成绩优秀的学生可以享受助学金。
P: 某同学家庭生活困难。 Q: 某同学学习成绩优秀。

“P ∨Q”的真值表
P F F T T
Q F T F T
P∨Q F T T T

命题联结词“∨”相当于语句中的“或者”，但自然语言中的“或者”有两种不 同的含义：一种是相容的，一种是不相容的。
P： 李明是学生。
Q： 李明是运动员。
复合命题“李明是学生，或者是运动员”中的两个原子命题P和Q是可以 同时为T的，那么其中的“或者”是在相容意义下使用的，我们称之为 “相容”。
将已知信息翻译为命题公式： A∨B，CD，E→C，DA，B→(E∧A)。 并且这些命题公式都是为T的命题公式。

已知：A∨B，CD，E→C，DA，B→(E∧A)均为真。 ∵DA为T，∴D与A必有相同的真值。
假设D与A同时为F：∵ A∨B 为T, A为F，∴B为T。
1+1=2。 仔细阅读。 今天几号？ 存在外星人。 碳是一种金属。 我正在说谎。 如果你去看电影，那么我也去。 太漂亮了！ x+1=2。 x+y=z。

原子命题与复合命题
原子命题：不能从自身分解出和自身不同的命题。 复合命题：由若干个原子命题通过联结词构成的新命题。
R: 某同学可以享受助学金。 语句可翻译成： (PQ) R

黄色染料与红色染料合成为棕色或橙色染料。
M： 黄色染料与红色染料合成为棕色染料。 N： 黄色染料与红色染料合成为橙色染料。 语句可翻译成： M N

例: 谁在谈话？
五个朋友都能进入谈话室。如果知道下面这些信息，能决定谁在谈话吗？ 凯文或希思或他们两个都在谈话。兰迪或维杰在谈话，但没有同时谈话。 如果阿比在谈话，那么兰迪也在谈话。维杰和凯文或者两人都在谈话，或 者都不谈话。如果希思在谈话，那么阿比和凯文也在谈。解释你的推理。 A: 凯文在谈话。 C: 兰迪在谈话。 B: 希思在谈话。 D: 维杰在谈话。 E: 阿比在谈话。

“P Q”的真值表
P F F T
Q F T F
PQ F T T
T
T
F

蕴含“→”
设P和Q是两个命题，则P→Q是一个蕴含式复合命题：当P为T而Q为 F 时，P→Q为F，否则为T。式子P→Q称为蕴含式，读作“如果P，则Q”。 P称为蕴含式的前件（或前提），Q称为蕴含式的后件（或结论）。

P∧Q的真值表
P F F T T
Q F T F T
P∧Q F F F T

P： 李明会下中国象棋。
Q： 李明会下国际象棋。
P∧Q： 李明既会下中国象棋，又会下国际象棋。

析取“∨”
设P和Q是两个命题，则P∨Q是一个复合命题：当P和Q同时为F时， P∨Q为F，否则为T。命题P∨Q称为P与Q的析取。式子P∨Q称为析取 式，读作“P或Q”。
已知命题
根据什么进行 推理？
什么是前提？ 有哪些前提？