2019年中考数学试题汇编二次函数选择题(解析版)

1.（2019年湖北省荆门市）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程﹣x2+4x ﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．

【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），所以抛物线与坐标轴有2个交点．

故选：C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．

2.（2019年湖南省益阳市）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac

＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（）

A．①②B．①④C．②③D．②④

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，

∴ac＜0，故①正确；

②∵对称轴x＜﹣1，

∴﹣＜﹣1，a＞0，

∴b＜2a，

∴b﹣2a＜0，故②正确．

③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．

④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误；

故选：A．

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

3.（2019年湖南省益阳市）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）

A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x2

【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．

【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，

y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，

y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，

y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D 不符合题意，

故选：B．

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．

4.（2019年湖南省岳阳市）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a

为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）

A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1

【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知，解之可得．

【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个实数根，

且x1＜1＜x2，

整理，得：x2+x+c＝0，

则．

解得c＜﹣2，

故选：B．

【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．

5.（2019年湖北省鄂州市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下

列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＞0，可得出abc＜0，选项①正确；

②把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；

③由x＝1时对应的函数值＜0，可得出a+b+c＜0，得到a+c＜﹣b，由a＞0，c＞0，﹣b

＞0，得到（）a+c）2﹣b2＜0，选项③正确；

④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④正确．

【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＞0，

∴abc＜0，①正确；

②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，

∵，∴b＝﹣2a，

把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；

③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，

∴a+c＜﹣b，

∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，

∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；

④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，

∴a+b+c≤am2+mb+c，

即a+b≤m（am+b），所以④正确．

故选：D．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和

二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

6.（2019年甘肃省兰州市）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，

则下列结论正确的是（）

A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2

【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．

【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；

当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；

所以2＞y1＞y2．

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．

7.（2019年四川省遂宁市）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下

列结论不正确的是（）

A．a＝4

B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）

C．当x＝﹣1时，b＞﹣5

D．当x＞3时，y随x的增大而增大

【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．

【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b

∴对称轴为直线x＝＝2

∴a＝4，故A选项正确；

当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8

∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；

当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0

即1+4+b＜0

∴b＜﹣5，故C选项不正确；

∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上

∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；

故选：C．

【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．

8.（2019年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的

图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2

C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1

【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．

【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+1，