大学物理 力矩 转动定律 转动惯量

例1求长为L质量为m 的均匀细棒对端点轴的转动惯量。
解: 取如图坐标，dm = dx
A dm L B x
J A x dx mL / 3
2 2 0
L
注意
J 与刚体的总质量有关
11
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
例2 求长为L质量为m 的均匀细棒对中心垂线转轴的转 动惯量。
mg
19
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
例2 一定滑轮质量为 m，半径为 r , 不能伸长的轻绳两边 分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上, m1 >m2, 绳与滑轮间 无相对滑动。设轮轴光滑无摩擦, 滑轮的初角速度为零。
求:滑轮转动角速度随时间变化的规 律。
m r
m2
m1
20
2 – 5 刚体的定轴转动
J L1
1 2 J o mo R 2
1 2 mL L 3
(棒对边缘轴) (圆盘对中心轴)
2
J L 2 J 0 m0 d
(圆盘对棒边缘轴)
1 1 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R ) 3 2
14
2 – 5 刚体的定轴转动
例4 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
1 2 J ml 3
23
2 – 5 刚体的定轴转动
棒处于θ角时： 而
第二章 动力学基础
d dt
作变换：
1 mgl sin M 3 g sin 2 1 2 J 2l ml 3
3g d d d d sin d d d 2l dt d dt d

m1 m2 g
m m 1 m r 1 2 2
0 t
m2 g
m1 m2 gt
21
1 m1 m2 m r 2
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
例3一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒, 其一端有一固定的 光滑水平轴, 因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在竖 直位置, 由于微小扰动, 在重力作用下由 静止开始转动。
二、刚体绕定轴转动微分方程
第二章 动力学基础
作用在 mk 上的外力F ，内力 f k k dvk mk Fk f k dt
在圆规迹切线方向
z

o
vk
mk ak mk rk Fk f k
两边乘以rk，并对整个刚体求和
2 k k
mk
( m r ) Fk rk f k rk
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
解 (1)
第二章 动力学基础
Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2 J 0 .5
rO
mg T ma
(2)
Tr J
两者区别?
F
T
T
a r
mgr 98 0.2 2 21.8 rad/s 2 2 J mr 0.5 10 0.2
1 2 J L / 2x dx ML 12
L/2 2
z M O L
dx
x
对端点
注意 二者关系：
J 0 x dx 0
2
L
L
M 1 2 x dx ML L 3
2
J 与转轴的位置有关
1 1 2 1 2 L 2 J O＋m mL mL mL J 端点 4 3 2 12
第二章 动力学基础
J 0 R dm 0 R dl
2 2
L
2 πR
R
2 3
2 πR
dl
0
dl
R
O
m
m 2 2 πR mR 2 πR
15
2 – 5 刚体的定轴转动
例5 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。
第二章 动力学基础
m 2mr dm ds 2 2 πrdr 2 dr πR R
7
2 – 5 刚体的定轴转动
讨论
第二章 动力学基础
(1) 转动定律与牛顿第二定律比较：
M J 、 F ma M F , J m, a
两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效应的。
dv F ma m dt
d M J J dt
(2) m反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性。
M ij
O
M ji
d
ri
F ji i F
ij
rj
j
Mij M ji
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
2 不在转动平面内的力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
M Z r F
方向由右螺旋法则确定。
F
r
A
F
4
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体：

dm dl
dm dS
dm dV
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：

：质量体密度
2 – 5 刚体的定轴转动
（1）用定义式计算
第二章 动力学基础
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
2.6 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一、力矩 力: 改变质点的运动状态,质点获得加速度。
力矩： 改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。 1. 力 F 对z 轴的力矩 (力F 在垂直于轴的平面内)
z
r
A
M z ( F ) Fr sin Fh Fτ r
12
2
2 – 5 刚体的定轴转动
平行轴定理
第二章 动力学基础
z'
z M L C
J z' J z ML
2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量；
Jz
刚体绕通过质心的轴的转动惯量； 两轴间垂直距离。
13
L
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
例3 求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何 计算？(棒长为L、圆盘半径为R）
求:它由此下摆角

时的
l
O
角加速度和角速度。
l /2
P
22
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解: 棒下摆为加速过程, 外力矩为重力对O 的力矩。重力作用在棒重心, 当棒处在下 l 摆 角时, 重力矩大小为：
l /2
1 M mgl sin 2
J
O
P
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中 作用在质心所产生的力矩一样。 因此棒绕 轴O的转动惯量为：
J r dm
2 0
m
R dr r
m

注意
R
0
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
J 与质量分布有关
O
16
2 – 5 刚体的定轴转动
（2）用平行轴定理、迭加法
第二章 动力学基础
M
J = J 大– J 小 J = J 大+ J 小
o
. .
R
O
(3) 实验法
如三线扭摆法。
17
2 – 5 刚体的定轴转动
h θ
F Fn
F
1
2 – 5 刚体的定轴转动
第Hale Waihona Puke Baidu章 动力学基础
矢量形式
M r F
z
r
A
大小
M rF sin
由右螺旋法则确定。
h θ
F Fn
F
方向
思考：一对作用力与反作用力的力矩和等于对少？
2
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
解:以m1 ,m2 ,m 为研究对象,受力分析 m1：
第二章 动力学基础
m1 g T1 m1a1 m2： T m g m a 2 2 2 2

T2
T2 m2
m r
T1 T1
滑轮 m：
1 2 T1r T2 r J mr 2 a1 a2 a r

m1
m1 g
则
J z M z
或
d Jz Mz dt
6
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
M z J z
刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角 加速度的乘积等于作用在刚体上所有外力对该轴力 矩的代数和。
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比,与刚体的转动惯量成反比。
— 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。
四、转动定律的应用举例
第二章 动力学基础
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
F
k k k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
2 k k
第二章 动力学基础
( m r ) Fk rk f k rk
k k k
其中
F r
k k k
k
M z 称为合外力矩 ；
内力矩之和为零；
f k rk 0
k
令
2 J z m， r k k
称为刚体对z轴的转动惯量。
8
2 – 5 刚体的定轴转动
三、转动惯量 刚体质量不连续分布 刚体质量连续分布 确定转动惯量的三个要素: (1) 总质量； (2) 质量分布； (3) 转轴的位置。
第二章 动力学基础
J mi ri 2
J r dm
2
i
9
2 – 5 刚体的定轴转动
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
两边积分：


0
d

0
3g sin d 2l
角速度：
3g 1 cos l
24