单纯形法,大M法
运筹学课件 单纯形法的计算步骤
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
管理运筹学 易错判断题整理
2 网络图的线路与关键路线。 3 最早时间，最迟时间，作业的最早开始，最早结束，最迟开始， 最迟结束时间，作业的总时差，自由时差的概念及计算方法。
判断题： 1 在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。 √ 2 一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流问题一定可以转化为 求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
√ 6. 任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
√ 7. 凡能用大M法求解也一定可用两阶段法求解。
√ 8. 两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
√ 9. 两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优 解。
× 10. 人工变量一旦出基就不会再进基。
√ 11. 当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。 ×
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
1 最优对策中，如果最优解要求一个人呢采取纯策略，则另一个人也必须采取纯策 ×
2 在两人零和对策支付矩阵的某一行或某一列上加上常数k 将不影响双方各自的最优 ×
3 博弈的纳什均衡是博弈双方达到均势平衡的解，也是使博弈双方得到最好结果的 ×
单纯形法大M法两阶段法
大M法和两阶段法
如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单位向量组，解 题时应先加入人工变量，人工地构成一个单位向量组。 人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。
两种方法可控制人工变量取值使用，尽快地把人工变量减小到零。
• 大M法 • 两阶段法
大 M法
大M单纯形法要求将目标函数中 min z = -3X1 + X2+X3 的人工变量被指定一个很大的 x1 - 2x2 + x3 ≤ 11 目标函数系数（人工变量与松 - 4x1 + x2 +2 x3 ≥ 3 弛剩余变量不同之处）。 - 2x1+ x3 = 1 x1 ，x2 ，x3 ≥ 0
xk进基，xBr离基，用Pk替代PBr得新的可行基B
bi br r＝min{ | aik 0} ark aik
步5.以ark为主元素进行迭代.转步2
新可行解：x=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…， 0,xk,0,…，0)
单纯形法流程图
开始 初始可行基
所有σj≥0？
目录
1 2 3 4 单纯形算法计算步骤 初始可行基的确定 大 M法 两阶段法
线性规划的单纯形算法
计算流程
初始基本可行解
N 沿边界找新 的基本可行解
是否最优解或 无限最优解? Y
结束
线性规划解的概念
若A = ( B, N )， 其中B ( P 1, P 2 , …，Pm )可逆，称B为基矩阵 x1 x2 xB 相应地X＝ , x B为基变量，x N为非基变量 xN xn xB 代入约束：(B,N)B-1b-B 1Nx N xN
单纯形法大m法
单纯形法和大M法都是线性规划中的求解方法。
单纯形法是一种在约束条件下寻找最优解的方法。
它通过不断地迭代和转换，寻找使目标函数值最大或最小的解。
单纯形法适用于具有线性约束和线性目标函数的优化问题。
大M法是一种处理线性规划问题的方法，当约束条件中存在“≤”的不等式约束时，可以用大M法来处理。
大M法通过引入一个非常大的数M，将原问题转化为标准形式，从而可以利用单纯形法进行求解。
大M法的关键在于如何选择合适的M值，以保证原问题的约束条件得以满足，并且目标函数取得最大或最小值。
综上所述，单纯形法和大M法都是解决线性规划问题的方法，其中单纯形法适用于具有线性约束和线性目标函数的优化问题，而大M 法则适用于处理含有“≤”的不等式约束的问题。
1-5 单纯形法的进一步讨论
大M法
在一个线性规划问题的约束条件中加入人 工变量后， 工变量后 ， 要求人工变量对目标函数的取 值无影响， 为此可取人工变量在目标函数 值无影响 ， 中的系数为-M(M为非常大的正数 ，这样目 为非常大的正数)， 中的系数为 为非常大的正数 标函数要实现最大化， 人工变量只能取零， 标函数要实现最大化 ， 人工变量只能取零 ， 因此必须把人工变量从基变量中换出， 因此必须把人工变量从基变量中换出 ， 否 则目标函数就不可能实现最大化。 则目标函数就不可能实现最大化。
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4 -2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9 xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解 引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为 所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7 x1+ x2+ x3+x4 =4 -2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1 3x2+x3 +x7=9 xi ≥0,j=1,…,7
X B X = 同理将 写成分块矩阵 同理将C写成分块矩阵 （CB，CN）， 写成分块矩阵C=（ X N
CB=(C1,C2,…,Cm), CN=(Cm+1Cm+2，…，cn) 则AX=b可写成 ， 可写成
X B (B， ) = BX B + NXN = b N X N
CB 0 0 -3 0 0 1
bi 0 3 1 0 5/2 3/2
θ 9 3/2
3/2 x3入，x1出 -1/2 -1/4 3/4 -3/4
所以：X*=(x2,x3,x4)T=(5/2,3/2,0)T Z*=3/2 所以：
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
进基变量的相持
出基变量的相持
max
z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
≥50
(1)
3x1
-x3
+2x4
80
(2)
x1
+x2
+x4
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4
≥ 0
1-4 线性规划- 大M法、两阶段法及几种特殊情况
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School of Business ECUST
单纯形法
单纯形法的一般思路+例子
单纯形表结构+例子
单纯形法的计算步骤
单纯形法的矩阵描述
大M法
两阶段法
几种特殊情况
无可行解
无界解
多重最优解
1
X3
0
-3 0 2 0 0 -2-M -M
σj
-1 0 1 0 1 -1 0
1
X5
0
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
2
X5
0
-1 2+2M -M -M 0 0 0
σj
3/1
0 1 0 0 1 0 0
3
X5
0
X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
3/2
X2
2
1/2/1/2
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1Hale Waihona Puke -x2+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50 (1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80 (2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60 (3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
4 2 -3 5
0
0 MM
CB XB
[ x1]
x2
x3
x4
x5
x6 x7 x8 b
M [ x7]
2
-1
1
2
-1 0 1 0 50
0 x6
3 0 -1 2
0
1 0 0 80
M x8
1 10
1
0
0 0 1 60
1 0 0 1 1 0 -1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
运筹学第一章 1.4 大M法和两阶段法
（2）写出初始基本可行解 ）写出初始基本可行解——
根据“ 用非基变量表示基变量的表达式” 根据 “ 用非基变量表示基变量的表达式 ” ， 非基变量取0 算出基变量， 非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解。 初始基本可行解。 2、建立判别准则： 建立判别准则： （1）两个基本表达式的一般形式 LP限制条件中全部是 LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新 限制条件中全部是“ 类型约束， 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述： 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述 ：
2、处理人工变量的方法： 处理人工变量的方法：
（1）大M法——在约束条件中人为地加入非负 在约束条件中人为地加入非负 的人工变量， 的人工变量，以便使它们对应的系数列向量构 成单位阵。 成单位阵。 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 目标函数中， 在目标函数中，给人工变量前面添上一个绝对 值很大的负系数M>>0 迭代过程中， 值很大的负系数 -M （ M>>0 ） ， 迭代过程中 ， 只要基变量中还存在人工变量， 只要基变量中还存在人工变量，目标函数就不 可能实现极大化——惩罚！ 惩罚！ 可能实现极大化 惩罚
σj =cj −zj =cj −∑ a c
i= 1
m
' n+i ij
（2）最优性判别定理
若 X = (0,0,L0,b ,b ,Lb ) 是对应于基B的基本 是对应于基B , , 可行解， 的检验数， 可行解，σ j 是非基变量 x (j0) 的检验数，若对 于一切非基变量的角指标j 于一切非基变量的角指标j，均有 σ j ≤0，则 X(0)为最优解。 为最优解。
最优性判别定理； 最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理 有限最优解”
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
11LP问题的单纯形法大M法,无解
练习㈠. 单纯形表
4 10 0 x3 0 1 3 1 0 7 7 x4 0 4 2 0 1 9 9/4
0 00 0 0
4 10 0
基变量列中_x_4_换为_x_1_,
0 4 改C 列,___换为___. B 2020/11/10
Excel
练习㈠用单纯形法
迭代
基
CB
次数 变量
x1
4
x2
1
x3
0
x4
0
bi
比
x3 0 1 3 1 0 7 7
0
x4 0 4 2
zj
00
0 1 9 9/4 000
σj=Cj- zj 4 1 0 0
迭代 次数
基 变量
CB
x1
x2
x3
x4
bi
Max z =4 x1+x2+0x3+0x4-Mx5
x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5=9
基再是引谁进?一这 理x个1个?, “x“2 人,-”x工3如,变x何4, 处x5≥ 0
量”x5 2020/11/10
练习㈡.用单纯形法
Max z =4x1+x2+0x3+0x4-Mx5
4 10 0 x3 0 1 3 1 0 7 x4 0 4 2 0 1 9
0 00 0 0
4 1 0 0 基?
填目标函数系数,填基变量列, 填20C20/11/1B0 列,计算Zj,计算检验数σj,
单纯形法——精选推荐
单纯形法第⼆章单纯形法2.1 单纯形法原理（⼤M法）例3 min z＝4x1＋3x2＋8x3x1＋x3≥2x2＋2x3≥5x j≥0（j=1，2，3）⼀、构造初始可⾏基（m×m单位阵）每个约束都有⼀个系数为+1的独有变量（基变量）1．引⼊附加变量，化为标准型（⾸先变为b≥0）x1＋x3－x4＝2x2＋2x3－x5＝5x j≥0（j=1，2，...,5）（x4、x5为附加变量）min z＝4x1＋3x2＋8x3＋0x4＋0x5假设化为标准型后,仍⽆初始可⾏基2. 若约束中附加变量系数为-1或原约束为等式，必须引⼊⼈⼯变量x1＋x3－x4＋x6＝2 ① (基变量为x6)x2＋2x3－x5＋x7＝5 ② (基变量为x7)x j≥0（j=1，2，...,7）（x6、x7为⼈⼯变量）⼈⼯变量>0时，约束被篡改3. ⽬标函数中附加变量系数为0，⽽⼈⼯变量系数为Mmin z＝4x1＋3x2＋8x3＋0x4＋0x5＋M x6＋M x7③M——罚因⼦（很⼤正数）⼤M法——罚函数法⼆、求出⼀个基本可⾏解1. ⽤⾮基变量表⽰基变量和⽬标函数由①：x6＝2－x1－x3＋x4④由②：x7＝5－x2－2x3＋x5⑤将④、⑤代⼊③：z＝(4-M)x1＋(3-M)x2＋(8-3M)x3＋M x4＋M x5＋7M ⑥检验数σj= ⑥式中各⾮基变量x j的系数，z＝z0＋∑σ∈Jj jj x（J为⾮基变量下标的集合）基变量的检验数＝02、求出⼀个基本可⾏解及相应z值令各⾮基变量为0，x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝0由④、⑤、⑥得x6＝2，x7＝5，z＝7M三、最优性检验（求min）1．最优性检验的依据——检验数σｊ2．最优解判别定理：若在极⼩化问题中，对于某个基本可⾏解，所有检验数σｊ≥0，且⼈⼯变量为0，则这个基本可⾏解是最优解。
例3中，σ１＜0，σ２＜0，σ３＜0，需继续迭代3．⽆穷多组最优解判别定理：若在极⼩化问题中，对于某个基本可⾏解，所有检验数σｊ≥0，⼜有某个⾮基变量检验数为0，且⼈⼯变量为0，则线性规划问题有⽆穷多组最优解。
运筹学期末复习重点
一、线性规划问题约束条件：不超过各工序可用时间非负约束1）0.7x1+x2≤6302) x1,x2≥0图解法：设定Z值然后带入值取各个公式的两个端点描点画图二、单纯形法步骤：标准化目标函数最大约束条件等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e 右端非负Max Z=x1+x2. x1+2x2≤6 ,2x1+x2≤16,x1,x2≥0z−x1−x2=0 x1+2x2+s1=6 ,2x1+x2+s2=16 ,x1,x2,s1,s2 ≥0两组约束四个变量故有2个非基本变量，2个基本变量进入变量与离开变量的确定从非基本变量中找一个进入变量（进入到基本变量中），从基本变量中找一个离开变量（作为非基本变量）在Row 0 中，从左往右选择非基本变量中系数最小的作为进入变量（前面化为单位矩阵，为最优解）大M法：步骤同上，约束等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e+人工变量a（=也是加a）min z=4x1+x2. s.t 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6, x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−4x1−x2−Ma1−Ma2(M=100) s.t 3x1+x2+a1=3 , 4x1+3x2−e2+a2=6, x1+2x2+s3=4,x1,x2,e2,s3,a1,a2 ≥0M假定为无限大正值1.判断是否为最优解ROW a1 a2 系数化为0. 由于此时ROW 0 非基本变量的系数不全为非负数，因此，并非最优解。
进入变量与离开变量的确定重复以上步骤化为单位矩阵取得最优解。
两阶段法：第一阶段：引入人工变量a1,a2 min z=a1+a2 , max z=−a1−a2 min z=4x1+x2, s.t. 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6 ,x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−a1−a2 s.t.3x1+x2+a1=3,4x1+3x2−e2+a2=6x1+2x2+s3=4,x1,x2,e2,s3,a1,a2≥0经过前面变换单位矩阵得到最优解的单纯形表第二阶段：min z=4x1+x2→max z=−4x1−x2将第一阶段最后最优解的单纯形表Row 0 替换为z+4x1+x2=0的系数然后重复上述步骤得到最优解。
单纯形法
-M X6 0 1 0 0 0 1
-M X7 0 0 1 0 -1 -2 1 θ 11 3/2 1
-1
X3 cj-zj
1
-2 -1
0 -1+M
0 1 0 0
1 0
0 0 1 0
0 0
1 0 0 0
0 -M
-2 -1 0 -1
0 0
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
人工变量
第2页
cj CB 0 -M -M XB X4 X6 X7 cj-zj b 11 3 1
3 X1 1 -4 -2 3-6M
-1 X2 -2 1 0 -1+M
-1 X3 1 2 1 -1+3M
0 X4 1 0 0 0
0 X5 0 -1 0 -M
-M X6 0 1 0 0
-M X7 0 0 1 0 θ
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
X4 X2 X3 cj-zj
12 1 1
3 0 -2 1
4 -
第14页
cj CB 0 -1 -1 XB X4 X2 X3 cj-zj 3 X1 4 b 12 1 1
3 X1 3 0 -2 1 1
-1 X2 0 1 0 0 0
-1 X3 0 0 1 0 0
-1 X3 1 2 1 -1+3M 0 0 1 0 0 0
0 X4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 X5 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1
-M X6 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1
线性规划
第一章线性规划及单纯形方法主要内容线性规划的模型、标准型、图解法、解、单纯形法、大M法、两阶段法讲授重点线性规划问题的解、单纯形法、大M法、两阶段法教学方法讲授式、启发式本章知识结构图第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出在生产和经营等管理工作中，需要经常进行计划或规划，即：在现有各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期目标达到最优。
看如下两个例子：例1美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。
已知各制造一件时分别占用的设备A,B的台时、调试时间、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1—1所示。
问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润为最大。
表 1—1I Ⅱ每天可用能力设备A(h) 设备B(h) 调试工序(h) 06152l15245利润(元) 2 1例2 捷运公司拟在下一年度的l～4月的4个月内需租用仓库堆放物资。
已知各月份所需仓库面积数列于表1—2。
仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表1—3。
租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。
因此该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。
每次办理时可签一份，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签订租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。
表 1-2 单位：100m22二、线性规划问题的数学模型例1中先用变量x 1和x 2分别表示美佳公司制造家电I 和Ⅱ的数量。
这时该公司可获取的利润为(2x 1+x 2)元，令z=2x 1+x 2，因问题中要求获取的利润为最大，即max z 。
家电Ⅰ、Ⅱ的制造件数受设备A 、B 和调试工序能力的能力限制，同时家电Ⅰ、Ⅱ制造数量不可能为负值。
由此例1的数学模型可表为：目标函数 212max x x z += 约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤)1.1(0,)1.1(5)1.1(2426)1.1(1552121212d x x c x x b x x a x例2中若用变量x ij 表示捷运公司在第i(i=1，…，4)个月初签订的租借期方ｊ(ｊ＝1，…，4)个月的仓库面积的合同(单位为lOOm ２)。
单纯形法、大M法、两阶段法
对于一些问题，大M法可能无法得到精确解，且需要人工选择足够大的M值，容易造成 误差。
04 两阶段法
两阶段法的原理
01
两阶段法是一种求解线性规划问题的迭代算法，它将问题分 解为两个阶段进行求解。
02
第一阶段是预处理阶段，通过引入松弛变量和剩余变量，将 原问题转化为标准形式。
03
第二阶段是求解标准形式的问题，通过迭代更新变量的值， 直到找到最优解或满足终止条件。
04
约束条件是决策变量必须满足的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
02 单纯形法
单纯形法的原理
线性规划问题是在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标 函数。单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法。
03 大M法
大M法的原理
大M法是一种求解线性规划问题的近似算法，其基本思想是通过引入一个足够大的常数M，将原问题转化 为一个易于求解的近似问题。
在大M法中，将约束条件中的“≤”或“≥”替换为“=”，并引入一个新变量，使得近似问题在某种意义 下逼近原问题。
大M法的步骤
1. 确定原问题的约束 条件和目标函数。
线性规划的应用场景
生产计划
01
在制造业中，线性规划可以用于制定生产计划，优化资源配置，
提高生产效率。
物流优化
02
在物流领域，线性规划可以用于优化运输路线、仓储布局和配
送方案，降低成本。
金融投资
03
在金融领域，线性规划可以用于投资组合优化，帮助投资者在
单纯形法大M法求解线性规划问题
两阶段法
两阶段法引入人工变量的目的和原则与大M法相同，所不同的是
处理人工变量的方法。 两阶段法的步骤： 求解一个辅助线性规划。目标函数取所有人工变量之和，并取极小 化；约束条件为原问题中引入人工变量后包含一个单位矩阵的标准型 的约束条件。 如果辅助线性规划存在一个基本可行解，使目标函数的最小值等于 零，则所有人工变量都已经“离基”。表明原问题已经得了一个初始 的基本可行解，可转入第二阶段继续计算；否则说明原问题没有可行 解，可停止计算。 求原问题的最优解。在第一阶段已求得原问题的一个初始基本可行 解的基础上，继续用单纯形法求原问题的最优解
大M法首先将线性规划问题化为标准型。如果约束方程组中包含 有一个单位矩阵 I ，那么已经得到了一个初始可行基。否则在约束方 程组的左边加上若干个非负的人工变量，使人工变量对应的系数列向 量与其它变量的系数列向量共同构成一个单位矩阵。以单位矩阵为初 始基，即可求得一个初始的基本可行解。 为了求得原问题的初始基本可行解，必须尽快通过迭代过程把人 工变量从基变量中替换出来成为非基变量。为此可以在目标函数中赋 予人工变量一个绝对值很大的负系数-Ｍ。这样只要基变量中还存在 人工变量，目标函数就不可能实现极大化。 以后的计算与单纯形表解法相同，Ｍ只需认定是一个很大的正数即 可。假如在单纯形最优表的基变量中还包含人工变量，则说明原问题 无可行解。否则最优解中剔除人工变量的剩余部分即为原问题的初始 基本可行解。
12
13
9
例3、求解下述线性规划问题：
m a x Z = 3 x 1 -8 0 x 2 + 2 x 3 -2 4 x 4 x 1 -3 2 x 2 -4 x 3 3 6 x 4 0 x -2 4 x - x 6 x 0 1 2 3 4 x3 1 x j 0 ,j 1 ,2 ,3 ,4
单纯形法大M法求解线性规划问题
则线性规划问题有无穷多最优解。
11
基本可行解的改进
如果现行的基本可行解Ｘ不是最优解，即在检验向量
N=CN-CBB-中1N存在正的检验数，则需在原基本可行解Ｘ的基础上
寻找一个新的基本可行解，并使目标函数值有所改善。具体做法
是：
➢ 先从检验数为正的非基变量中确定一个换入变量，使它从非基
变量变成基变量（将它的值从零增至正值），
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是≤的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有≥不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
X B = B - 1 b - B - 1 N X N X B = B - 1 b - B - 1 P m + k x m + k
其中 P m + k 为Ａ中与 x m + k 对应的系数列向量。
现在需在 X B=(x1,x2, xm )T 中确定一个基变量为换出变量。
当 x m + k由零慢慢增加到某个值时，X 的B 非负性可能被打破。
数注列 意向保量持基变P 3 量=变x换125的成系换数出列变向量量x4P所5 =对为应10 单的位单向位量向不量变。
,P 4
1 0
1 3
2 4
2 1
1 0
0 1
78 第一行除以 ２ 123
11
1 2
410
0 1
4 7
第二 行 减 去 第一行 1522
11 30
1 2
0
4
-1 2
0920__第四次课_大M法
CT x CT x MET y
0
0 10 满 但
12
3
0
1
0 15 足 ③
①不
21
5
0
0
1 20 ② 满
-1 -2 -3 1 M M 0
足
12
1
1
0
0 10 满 但
1
2
3
0
1
0
15
足④ ①不
21
5
0
0
1 20 ② 满
③足
-2-3M -4-3M -4-8M 0 0 0 0
Page 21
12
1
1
0
0 10 满 但
12
3
0
1
0 15 足 ④
是原LP问题的最优解. 若 y ( y1 , y2 ,L , ym ) 0, 则原LP问题无最优解.
6）新LP无界(无最优解)，则原LP问题也无最优解. 说明：在上面5)中提到的 y 0 的情况属于下面情形：
用单纯形法求解新LP得到的新表格满足① ② ③ ④， 但人工变量并没有完全成为自由变量。此时说明 原LP问题是无可行解，因此原LP无最优解.
令y ( xn1 , xn2 ,L , xnm )T , E (1,1,L ,1)T
Page 7
min z CT x MET y
Ax y b
s.t .
x
0,
y0
L L (4.2)
人工变量全 是自由变量
定理4.1 设( x* , y* )T是(4.2)的最优解. 若 y* 0, 则x*是(4.1) 的最优解；若 y* 0, 则(4.1)没有可行解.
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单纯形法小结
Page 20
建 立 个数
模 型 两 三个 xj≥0
个 以上
求 图 单纯 不
解 解 形法 处
法、
理
单
纯
形
法
取值
xj无 约束
令xj = xj′ - xj″
xj ≤ 0
令 xj’ = - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
等式或 不等式
极大或极小
bi ≥0 bi < 0 ≤ = ≥ max Z
-1
0
0
-M
x3
x4
x5
x6
1
－1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
1
2
0
1
0
1
0
0
0
－1+2M↑ －M
0
－1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
－M
0
0
0
－1/5
0
0
3/5
1
1
－2/5
0
0
0
0
0
1
2
0
1
5/3
1
0
2/3
0
-5
-25/3
-M
x7
θi
0
4
0
5
1
1→
3/5 →
8/3 ——
——
31/3 →
——
2、两阶段法 在原来问题引入人工变量后分两个阶段求解线性
x1-2x2+x3+x4
=11
-4x1+x2+2x3 -x5+x6 =3
-2x1 +x3
+x7 =1
xi≥0,i=1,2, …,7
用单纯形法进行第一阶段的计算如下表
2020/8/20
人工变量x6=x7＝ 0，第一阶段目标函数W=0，则 (0，1，1，12，0)T是原线性规划问题的基可行解，转第 二阶段的计算
x6
-M
x5
-1
x3
j
2
x2
-M
x5
-1
x3
j
2
x2
3
x1
-1
x3
2020/8/20 j
3
b
x1
4
-4
10
1
1
2
3－2M
3
－6
8
－3
1
2
5-6M 3/5 －6/5
31/5 3/5 11/5 －2/5
5↑
13
0
31/3
1
19/3
0
0
2 x2 3 －1 －2 2+M 5 3 －2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0
验数，即：k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
变量作为换出变量。 L
2020/8/20
min
bi aik
aik
0
单纯形法的计算步骤
Page 4
③ 用换入变量Xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的 基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地 可以画出一个新的单纯形表。
4）解的判断同单纯形法
2020/8/20
例4.2 用两阶段法求解线性规划问题
minΖ=-3x1+x2+x3
s.t.
x1-2x2+x3 ≤11
-4x1+x2+2x3 ≥3
-2x1 +x3
=1
x1,x2,x3, ≥0
解：先在约束条件中加入人工变量，写出辅助规划问
题。
s.t.
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Min W=x6+x7
1
0
1/3 30
0
0 －4/3
0
3/5 －1/5
1 －1/5 －2/5
0 －1 －1
最优值：
单纯形法的计算步骤
Page 6
例1.11 用单纯形法求解
max Z x1 2 x2 x3
2x1 3x2 2x3 15
s.t
1 3 x1 x2 x1、x2、x3
5x3 0
20
解：将数学模型化为标准形式：
x3
x7
1
x j 0, j 1,2,,7
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
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单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 11
cj
CB
XB
0
x6
-M
x5
-M
x7
j
0
不 约束条 加 加 减 不
处 理
件两端 同乘以
松
入
去
处
-1 弛 人 xs 理
变工加
量变入
xs
量 xa
xa
minZ
令 z′=- Z minZ =－ max z′
新加变 量目标
系数 xs xa
0 -M
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A
求: j cj zj
循环
所有 是
j 0
否
找 出( j )max即 k
基变 量中是否 否
4x1 3x2 x3 4
x12x1x2
2x3 2x2
10 x3
1
x1、x2、x3 0
解：首先将数学模型化为标准形式
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max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 x4 4
x1
x2
2x3
x5
10
2
x1
2x2
x3
1
x j 0, j 1,2,,5
30
x1
,
x2
,
x3
,
x4
0
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单纯形法的计算步骤
Page 2
2）求出线性规划的初始基可行解， 列出初始单纯形表。
cj
3
4
0 0 σj cj ciaij
θi
cB
XB
b
x1
x2
x3
x4
0
x3
40
2
1
1
0
0
x4
30
1
3
0
1
j
3？ 0
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21) 3 (0 2 01) 3
σj cj ciaij
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单纯形法的计算步骤
Page 3
3）进行最优性检验
如果表中所有检验数 j 0 ，则表中的基可行解就是问题
的最优解，计算停止。否则继续下一步。
4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入变 量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检
单纯形法的计算步骤
Page 1
例1.10 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x2
2xx1 13
x x
2 2
40 30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
x1
3x2
x4
要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数
存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约 束可用线性等式或不等式描述
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2020/8/20
规划问题的方法。其中，第一阶段在原来问题中引入 人工变量，设法构造一个单位阵的初始可行基，另外 在目标函数中令非人工变量的系数全部为0，人工变量 的系数为1，构造一个新的辅助目标函数。在此基础上， 建立辅助线性规划问题。然后运用单纯形方法求解， 直到辅助目标函数值为0时为止。第二阶段重新回到原 来的问题，以第一阶段得到的可行基为初始可行基， 运用单纯形方法以求出原来问题的解。
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3)两阶段法的计算步骤 （1）不考虑原问题是否存在基可行解， 引进人工变 量，构造辅助线性规划问题。 （2）用单纯形方法求解辅助问题，若辅助问题的目标 函数值w≠ 0，则原问题无可行解，停止计算。 （3）若辅助问题目标函数的值w =0，则将第一阶段 计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的 系数换原问题的目标函数系数，作为第二阶段的初始 表。
max Z x1 2 x2 x3
2x1 3x2 2x3 x4 15
s.t
1
3 x
j
x1
x2 0, j
5x3 x5 1,2,,5
20
不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
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单纯形法的计算步骤
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cj
1
cB 基变量 b
x1
0
x4
15 2
1、大M 法
通过引进人工变量，构造一个辅助的线性规划问题，然后 由辅助的线性规划问题找出原问题的第一个初始可行基，在此 基础上，利用单纯形方法求出原问题的最优解。
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单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 9
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x2 x3
且存在人工变量>0时，则表明原线性规划无可行解。
5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。 2020/8/20