人教版高中数学必修1《函数的单调性》教案

课题：函数的单调性（教案）

教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修1第一章

【教学目标】

1、知识与技能：

（1）建立增（减）函数的概念

通过观察一些函数图象的升降，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义，掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图型语言到数学语言，理解增函数、减函数区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与方法

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

3、情态与价值：渗透从直观到抽象，从特殊到一般的数学思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，让学生感受数学思想方法的魅力。【教学重点】形成增（减）函数的形式化定义

【教学难点】用定义证明函数的单调性

【教学方法与手段】

1、教法与学法：主要采取的教学方法是教师启发引导，学生探究学习的教学方法。从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体投影、几何画板.

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

由于天气的原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，下图是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

提问：我们可以通过图象来捕捉到一些什么信息？

分析：学生可能会发现以下信息，当天的最高温度与最低温度以及达到的时刻，在某个时刻的温度，某些时段温度升高，某些时段温度降低，等等。 二、探索归纳，形成概念 1、借助图象，直观感知

问题1：下面分别是函数2,y x y x ==的图象，观察函数图象的升降趋势。

分析：学生会观察到一次函数y x =的图象从左到右都是上升的，而二次函数

2y x =的图象在y 轴的左侧从左到右是下降的，在y 轴的右侧从左到右是上升的。

问题2：以函数2x y =为例，完成下列表格，并思考下列问题。

思考：（1）观察表格中，自变量x 的值从0到5变化时，函数值y 如何变化？

（2）在()0,+∞上，任意改变12,x x 的值，当12x x <时，都有2212x x <吗？

（3）对于函数2x y =，在区间()0,+∞上，随着x 的增大，相应的()f x 如何变化？

分析：教师引导学生完成表格，解决问题，并通过几何画板进行动画演示，帮助学生理解抽象的概念。

问题3：在数学上规定：函数2x y =在区间()0,+∞上是增函数，谁能给增函数下个定义？

分析：引导学生讨论、交流，说出各自的想法。学生在下定义的时候可能会出现的情况：没有说明12x x 、在哪个区间上，没有考虑到12x x 、是任意取的两个数，还有就是没有考虑到“当12x x >时，都有12()()f x f x >”是否也对。 2、抽象概括，形成概念

（1）增函数的定义：

一般地，设函数()f x 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ， 当12x x <时，都有12()()f x f x <， 那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数。

分析：在学习增函数的定义时，学生会对“某个区间”“任意两个”等关键词不够重视，教师需要引导学生更好的理解这些关键词。

练习：判断下列说法是否正确

①函数2y x =在区间[-5，5]上满足(1)(3)f f -<，则函数2y x =在区间[-5，5]上是增函数。

②定义在R 上的函数)(x f 满足(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f <-<-<<<

分析：对于学生错误的回答，教师要引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量21,x x ．

思考：通过判断题，引导学生掌握增函数的定义中要注意的2点 ①单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数局部的性质；

②研究函数在某个区间上的单调性不能只取两个特殊值，或者无数多个特殊值，必须要取该区间内的任意两个数。

（2）减函数的定义：

一般地，设函数()f x 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的 任意两个变量的值12,x x ，当12x x <时， 都有12()()f x f x >，那么就说函数

()f x 在区间D 上是减函数。

分析：学生学习了增函数的定义后，通过类比的方法能概括出减函数的定义。

（3）单调区间的定义

如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。

三、巩固基础，演练提升 1、例题

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

分析：教师提示利用函数单调性的几何意义，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生。图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数。另外，教师还要提醒学生注意单调区间的书写。

例2 物理学中的玻意耳定律P=V

k

（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，

当其体积V 减少时，压强P 将增大。试用函数的单调性证明之。

分析：学生先思考或讨论，再到黑板上书写，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤。最后教师指出，已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决。

2、练习

（1）画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数。 ①244y x x =-+ ②23y x =- （2）证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数。

分析：在第1题的教学中，教师让学生出黑板画出函数的图象，并且根据单调性的几何意义写出单调区间。第2题可以让学生先画出函数的图象，体会一下函数的单调性，再用单调性的定义证明。让学生掌握判断函数单调性的两种方法：图象法与定义法。