变量与函数第一课时 教案 (2)doc
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变量与函数(1)
知识技能目标
1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念;
2.了解表示函数关系的三种方法:解析法、列表法、图象法,并会用解析法表示数量关系. 过程性目标
1.通过实际问题,引导学生直观感知,领悟函数基本概念的意义;
2.引导学生联系代数式和方程的相关知识,继续探索数量关系,增强数学建模意识,列出函数关系式.
教学过程
一、创设情境
在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.
问题1如图是某地一天内的气温变化图.
看图回答:
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.
(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?
(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为-1℃、2℃、5℃;
(2)这一天中,最高气温是5℃.最低气温是-4℃;
(3)这一天中,3时~14时的气温在逐渐升高.0时~3时和14时~24时的气温在逐渐降低.
从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢?
二、探究归纳
问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率:
观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.
解随着存期x的增长,相应的年利率y也随着增长.
问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:
观察上表回答:
(1)波长l 和频率f 数值之间有什么关系? (2)波长l 越大,频率f 就________. 解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值,即
lf =300 000, 或者说
l
300000
=
f . (2)波长l 越大,频率f 就 越小 .
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r 表示圆的半径,S 表示圆的面积则S 与r 之间满足下列关系:S =_________.
利用这个关系式,试求出半径为1 cm 、1.5 cm 、2 cm 、2.6 cm 、3.2 cm 时圆的面积,并将结果填入下表:
由此可以看出,圆的半径越大,它的面积就_________.
解 S =πr 2
.
圆的半径越大,它的面积就越大.
在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中,刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T ,气温T 随着时间t 的变化而变化,它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量(variable ).
上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有惟一的值与之对应,我们就说x 是自变量(independent variable ),y 是因变量(dependent variable ),此时也称y 是x 的函数(function ).表示函数关系的方法通常有三种: (1)解析法,如问题3中的l
300000=
f ,问题4中的S =π r 2
,这些表达式称为函数的关系式.
(2)列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频率关系表. (3)图象法,如问题1中的气温曲线.
问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量(constant ),如问题3中的300 000,问题4中的π等.
三、实践应用
例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 解 (1)平均身高是146.1cm ;
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速;
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.
例2 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量: (1)圆的周长C 与半径r 的关系式;
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s (千米)和所用时间t (时)的关系式; (3)n 边形的内角和S 与边数n 的关系式. 解 (1)C =2π r ,2π是常量,r 、C 是变量; (2)s =60t ,60是常量,t 、s 是变量;
(3)S =(n -2)×180,2、180是常量,n 、S 是变量.
四、交流反思 1.函数概念包含: (1)两个变量;
(2)两个变量之间的对应关系. 2.在某个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;数值始终保持不变的量,叫做常量.例如x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有惟一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量. 3.函数关系三种表示方法: (1)解析法; (2)列表法; (3)图象法.
五、检测反馈
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.
2.分别指出下列各关系式中的变量与常量:
(1)三角形的一边长5cm ,它的面积S (cm 2
)与这边上的高h (cm)的关系式是h S 2
5
; (2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α,则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90-α ;
(3)若某种报纸的单价为a 元,x 表示购买这种报纸的份数,则购买报纸的总价y (元)与x 间的关系是:y =ax .
3.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量: