人教版高中数学必修四《平面向量的解题方法》
高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法单选题1、在△ABC 中，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则△ABC －定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 答案：C分析：根据向量的数量积的运算公式，求得cosA <0，得到A 为钝角，即可求解. 由向量的数量积的运算公式，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA <0，即cosA <0， 因为A ∈(0,π)，所以A 为钝角，所以△ABC －定是钝角三角形. 故选：C.2、已知a ，b ⃗ 是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b ⃗ ，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1 答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 再由AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ ， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.3、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π3，b =3，a =√3，则c =（ ）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9，即c 2−√3c −6=0，解得：c =−√3（舍），∴c =2√3.c故选：B.4、已知非零向量a →与b →共线，下列说法不正确的是（ ） A ．a →=b →或a →=−b →B ．a →与b →平行C ．a →与b →方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a →=λb →答案：A分析：根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果． 非零向量a →与b →共线，对于A ，a →=λb →，λ≠0，故A 错误；对于B ，∵向量a →与b →共线，∴向量a →与b →平行，故B 正确； 对于C ，∵向量a →与b →共线，∴a →与b →方向相同或相反，故C 正确； 对于D ，∵a →与b →共线，∴存在实数λ，使得a →=λb →，故D 正确. 故选：A.5、已知向量a =(−1,m )，b ⃗ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃗ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃗ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、已知f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx （ω>0），将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到g (x )的图象．g (x )的部分图象如图所示（D 、C 分别为函数的最高点和最低点）：其中CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，则ω=（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 答案：C分析：先求出g (x )的解析式，再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22得到cos∠ACB =12，进而求出|AB |=2，所以T =2×2=4，ω=π 由f (x )=√32sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π3)，∴g (x )=√3sin (12ωx +π3)，因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⋅cos∠ACB =|AD |22∴cos∠ACB =12，∴△ACB 为正三角形，又△ABC 的高为√3， ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4， ∴即2π12ω=4πω=4，∴ω=π， 故选：C ．7、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ，再向北走3km，即向东北走3√2km.故选：B.8、在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则2b2+c2bc 的取值范围为（）A．(4315,5915)B．[2√2,4315)C．[2√2,5915)D．[2√2,+∞)答案：C分析：根据余弦定理和△ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示B，求出bc =sinBsinC的取值范围，即可求出2b2+c2bc的取值范围．解：在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，且△ABC的面积S=12bcsinA，由2S=a2−(b−c)2，得bcsinA=2bc−2bccosA，化简得sinA+2cosA=2，又A∈(0,π2)，sin2A+cos2A=1，联立得5sin2A−4sinA=0，解得或sinA=0（舍去），所以bc =sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35，因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<π2，B=π−A−C<π2，所以π2−A<C<π2，所以tanC>tan(π2−A)=1tanA=34，所以1tanC∈(0,43)，所以bc∈(35,53)，设bc =t，其中t∈(35,53)，所以2b2+c2bc=2bc+cb=2t+1t=2(t+12t)，由对勾函数单调性知y=2t+1t 在(35,√22)上单调递减，在(√22,53)上单调递增，当t=√22时，y=2√2；当t=35时，y=4315；当t=53时，y=5915；所以y∈[2√2,5915)，即2b2+c2bc的取值范围是[2√2,5915)．故选：C.小提示：关键点点睛：由2b2+c2bc =2bc+cb，所以本题的解题关键点是根据已知及bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=4 sin5AsinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35求出bc的取值范围.多选题9、等边三角形ABC 中，BD →=DC →,EC →=2AE →，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ） A ．AD →=12(AB →+AC →)B ．BE →=23BC →+13BA →C ．AF →=12AD →D ．BF →=12BA →+13BC →答案：AC分析：可画出图形，根据条件可得出D 为边BC 的中点，从而得出选项A 正确； 由EC →=2AE →可得出AE →=13AC →，进而可得出BE →=13BC →+23BA →，从而得出选择B 错误；可设AF →=12AD →，进而得出AF →=λ2AB →+3λ2AE →，从而得出λ=12，进而得出选项C 正确；由AF →=12AD →即可得出BF →=12BA →+14BC →，从而得出选项D 错误． 如图，∵BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，∴AD →=12(AB →+AC →)，∴A 正确； ∵EC →=2AE →，∴AE →=13AC →=13(BC →−BA →)，∴BE →=BA →+AE →=BA →+13(BC →−BA →)=13BC →+23BA →，∴ B 错误；设AF →=λAD →=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2AE →，且B ，F ，E 三点共线，∴λ2+3λ2=1，解得λ=12，∴AF →=12AD →，∴C 正确；BF →=BA →+AF →=BA →+12AD →=BA →+12(BD →−BA →)=BA →+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →，∴D 错误. 故选：AC10、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC,AB 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B ．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C ．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3D ．ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为76 答案：BD解析：可证明EO =CE ，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以E 为AB 的中点，且CE ⊥AB ，以E 为原点如图建立直角坐标系，则E (0,0)，A (−1,0)，B (1,0)，C(0,√3)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,2√33)，则D (−13,2√33)， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得GE//AD 且GE =12AD =DC ， 所以△CDO ≌△EGO ，EO =CO ，则O (0,√32)， 对于A ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误；对于B ，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确； 对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√32)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√36)， 所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,−√33)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23，故C 错误； 对于D ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√33)， 所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+22=76，故D 正确.故选：BD.小提示：关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键. 11、下列说法中错误的是（ ）. A ．若a //b ⃗ ，b ⃗ //c ，c //d ，则a //d B ．若|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，则a =b⃗ C ．若a ，b ⃗ 非零向量且|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，则a ⊥b ⃗ D ．若a //b ⃗ ，则有且只有一个实数λ，使得a =λb ⃗ 答案：ABD分析：对于题中所给的条件与结论需要考虑周全，可以得出结论. A 选项，当b ⃗ ，c 中至少有一个0⃗ 时，a 与d 可能不平行，故A 错误； B 选项，由|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，可得a =b ⃗ 或a =−b⃗ ，故B 错误； C 选项，|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，根据数量积规则，则两边平方化简可得a ⋅b ⃗ =0， ∴a ⊥b⃗ ，故C 正确； D 选项，根据向量共线基本定理可知当a ,b⃗ 都为非零向量时成立， a 为零向量时也成立(λ=0) ，若b ⃗ =0⃗ 时，λ 不存在，但b ⃗ //a （零向量与所有的向量共线），故D 错误； 故选：ABD.12、下列说法错误的是（ ）A ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb⃗ B ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b⃗ 共线且反向C ．已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞) D ．在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 为等腰三角形 答案：AC分析：若a =b ⃗ =0⃗ 可判断A ；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B ；求出a +λb ⃗ 的坐标，根据a ⋅(a +λb ⃗ )>0且a 与a +λb ⃗ 不共线求出λ的取值范围可判断C ；取AC 的中点D ，根据向量的线性运算可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可判断D ，进而可得正确选项. 对于A ：若a =b ⃗ =0⃗ 满足a //b⃗ ，则实数λ不唯一，故选项A 错误； 对于B ：两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则(a −b ⃗ )2=(|a |+|b⃗ |)2， 所以a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2|a ||b ⃗ |，可得2a ⋅b ⃗ =2|a ||b ⃗ |⋅cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−2|a ||b ⃗ |，cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−1，因为0≤〈a ⋅b ⃗ 〉≤π，所以〈a ⋅b ⃗ 〉=π，所以a 与b⃗ 共线且反向，故选项B 正确； 对于C ：已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，所以a +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，若a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则a ⋅(a +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)>0，解得：λ>−53，当λ=0时，a +λb ⃗ =a ，此时a 与a +λb ⃗ 的夹角为0，不符合题意，所以λ≠0，所以λ的取值范围是(−53,0)∪(0,+∞)，故选项C 不正确；对于D ：在△ABC 中，取AC 的中点D ，由BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故BD 垂直平分AC ，所以△ABC 为等腰三角形，故选项D 正确． 故选：AC ．13、有下列说法，其中错误的说法为 A ．若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //cB ．若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，S ΔAOC ，S ΔABC 分别表示ΔAOC ，ΔABC 的面积，则S ΔAOC :S ΔABC =1:6 C ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向D ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb ⃗ 答案：AD分析：对每一个选项逐一分析判断得解.A. 若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //c ，如果a ，c 都是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B. 如图，D,E 分别是AC,BC 的中点，2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴2（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0⃗ ，∴4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OD =16AB,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6,所以该选项是正确的；C. 两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向，所以该选项是正确的；D. 若a //b ⃗ ，如果a 是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，则不存在实数λ使得a =λb ⃗ ，所以该选项是错误的. 故选A,D小提示：本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 填空题14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且a ,b ⃗ 是不共线的向量，则向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________. 答案：−12a −12b⃗ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a −12b⃗ .所以答案是：−12a−12b⃗15、在△ABC中，若a=2，c=2√3,cosC=−12，M是BC的中点，则AM的长为____________．答案：√7分析：在△ABC中，由余弦定理求出b=2，进而，在△AMC中，由余弦定理可得AM.在△ABC中，由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC得b2+2b−8=0，又b>0，所以b=2.在△AMC中，CA=b=2，CM=a2=1，由余弦定理得AM2=CA2+CM2−2CA⋅CM⋅cosC=22+12−2×2×1×(−12)=7，所以AM=√7.所以答案是：√7.16、在△ABC中，cos∠BAC=−13，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可.设DC=x,AB=y，因为BD＝2DC，AD＝DC，所以BC=3x,AD=DC=x，在△ADC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅DC =4+x2−x24x=1x，在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CB2−AB22AC⋅BC =4+9x2−y212x，于是有4+9x2−y212x =1x⇒9x2−y2=8(1)，在△ABC中，由余弦定理可知：cosA=AB2+CA2−CB22AB⋅AC =y2+4−9x24y=−13，⇒27x2−3y2−4y=12(2)，把(1)代入(2)中得，y=3，所以答案是：3解答题17、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2答案：(1)5π8；(2)证明见解析．分析：（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．（2）由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．18、如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ；（1）当θ=π12时，求四边形ABCD的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l的最大值.答案：（1）√6−√24+14；（2）5分析：（1）把四边形ABCD分解为三个等腰三角形：△COB,△COD,△DOA，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用θ表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示BC，CD和DA，令t=sinθ2，转化为二次函数的最值问题，即得解.（1）连结，则∠COD=π12,∠AOD=5π6∴四边形ABCD的面积为2×12×1×1×sinπ12+12×1×1×sin5π6=√6−√24+14（2）由题意，在△BOC中，∠OBC=π−θ2，由正弦定理BC sinθ=OBsin(π−θ2)=1cosθ2∴BC=CD=sinθcosθ2=2sinθ2同理在△AOD中，∠OAD=θ,∠DOA=π−2θ，由正弦定理DAsin(π−2θ)=ODsinθ∴DA=sin2θsinθ=2cosθ∴l=2+4sin θ2+2cosθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2),0<θ<π2OD令t =sin θ2(0<t <√22) ∴l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12)2+5 ∴t =12时，即θ=π3，l 的最大值为5 小提示：本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题。
高中数学人教A必修4课件：2.3.3平面向量的坐标运算
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的和
a+b=(x1+x2,y 1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的差
a-b=(x1-x2,y 1-y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这
个实数乘原来向量的相应坐标
λa=(λx1,λy1)
向量
坐标
一个向量的坐标等于表示此向量
即ACDB,ACBD,ADCB.而错解中只考虑了ACDB一种情形,而遗漏
了另两种情况.
-16-
2.3.3
题型一
平面向量的坐标运算
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
正解:设第四个顶点坐标为 D(x,y).
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 (1)已知 a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3),试用 b,c 表
示 a.
(2)已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),以 ,
的有向线段的终点的坐标减去始
公式
点的坐标
已知 A(x1,y 1),B(x2,y 2),则
= (2 − 1,
2 − 1)
-3-
2.3.3
平面向量的坐标运算
M 目标导航
UBIAODAOHANG
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理示范教案 新人教B版必修4
2.2.1 平面向量基本定理示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略． 应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF ＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①② B．②③ C ．①③ D．①②③ 活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B图7．a>0，b<0 ．a<0，b<0 思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →. ∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB 中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B 组 2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1＋λ2e 2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料 一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC 中，D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b .设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .①又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →.∴C、P 、L 三点共线．∴AD、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB →C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB →2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.611。
平面向量做题技巧
平面向量做题技巧1. 嘿，平面向量做题的时候，要学会找关键信息呀！就像你在一堆玩具中找到你最喜欢的那个一样。
比如已知向量的模和夹角，那不是很明显要去用相关公式嘛！2. 哎呀，一定要记住向量的加减法法则哦，这可太重要啦！就好比搭积木，一块一块地往上加，或者把多余的拿走，不就清楚啦。
像那种给出几个向量让你合成的题，不就用这个嘛！3. 注意啦，向量的数量积可不能马虎！这就好像你和朋友之间的默契，要好好去感受和计算呀。
比如判断向量垂直，不就看数量积是不是零嘛！4. 嘿，在做题时别死脑筋呀，要灵活运用啊！就像跳舞要随着音乐节奏变换动作一样。
碰到复杂的向量问题，多想想有没有简便方法呀！5. 哇塞，对于那些和几何图形结合的题，要把图形看透呀！这就如同你了解一个人的性格一样重要。
比如在三角形里的向量问题，不就利用三角形的特点嘛！6. 记住哦，单位向量也有大用处呢！就好像一个小小的指南针能指引方向一样。
在一些问题里，利用单位向量来转化不就简单多啦！7. 千万别忘了向量共线的条件呀！这就好比走在同一条路上的伙伴。
看到相关条件，马上就想到共线的性质呀！8. 哎呀呀，平面向量做题技巧真的很关键呢！就像拥有一把万能钥匙能打开各种难题的门。
遇到困难别退缩，用对技巧呀！9. 注意那些隐含条件呀，别漏了它们！这就像宝藏藏在角落里，你得细心才能发现。
很多时候答案就在那些被忽略的地方呢！10. 真的，平面向量做题要多用心呀！就像对自己喜欢的事情一样充满热情。
用心去体会每一个技巧，你会发现做题越来越轻松啦！我的观点结论就是：掌握这些平面向量做题技巧，能让你在解题时更加得心应手，轻松应对各种难题，一定要好好运用哦！。
高中数学平面向量解题技巧
求解．
解答：由题意可知，犅→犈＝犅→犃 ＋犃→犈＝犅→犃 ＋ ２３犃→犇
＝犅→犃
＋
２ ３
×
１ ２（犃→犅
＋犃→犆）＝
１ ３犃→犆
－
２ ３犃→犅．
点评：本题考查了平面向量的线性运算以及平面
向量基本定理的应用．
三、向量的坐标表示
想要学生正确理解向量的坐标表示，在新课讲授 阶段，首 先 教 师 需 要 对 正 交 分 解 进 行 详 细 讲 解，保 证 学生能够 掌 握 基 本 单 位 向 量 等 基 础；其 次，在 向 量 正 交分解的基础上讲解向量的坐标表示．向量的坐标表 示形式考查也较多，坐标形式对于学生后续几何综合 题作答也是非常重要的基础，因此教师需要重视这一 块．学 生 不 仅 需 要 能 够 理 解 坐 标 表 示，同 时 也 需 要 能 够进行正确的计算．
一、向量的概念及表示
向量是沟通代数和几何的工具，在学习向量概念
时，需 要 从 大 小 和 方 向 两 方 面 进 行 学 习．大 小 反 映 了 向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征．高中 数学中平面向量最基础的考查方式是对概念和表示
方式的考查，对于这种类型的题目，难度较低，但是学
生容易出现简单错误．教师需要在平时授课过程中对 基础概念讲授清楚，辅助以案例帮助学生理解．
例 ４ 已 知 犪 ＝１， 犫 ＝２，则 犪＋犫 ＋ 犪－犫 的最大值等于（ ）．
Ａ．４ Ｂ．槡３＋槡７ Ｃ．２槡５ Ｄ．５ 分析：根据题目 所 给 的 形 式，可 以 考 虑 使 用 不 等
槡 式性质 犪＋犫 ＋ 犪－犫 ≤２×
犪＋犫
２＋
犪－犫
２
，
２
进而变形得到答案．
高中数学必修四 第二章平面向量 2.5.1平面几何中的向量方法
典型例题
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
平行问题
【例 1】 如图,已知 AC,BD 是梯形 ABCD 的对角线,E,F 分别是 BD,AC 的中点.求证:EF∥BC.
分析:要证明 EF∥BC,只要证出������������ = ������������������(������∈R)即可.
题型一 题型二 题型三 题型四
2.用向量的坐标处理问题时,建立平面直角坐标系的基本原则 剖析:选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量,也会带来不 必要的麻烦. 具有公共原点的两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,因 此在已知图形中,只要选择互相垂直的两条直线为坐标轴就能建立 直角坐标系,但是又不能随便选择坐标轴,选择的基本原则是: (1)尽量用已知图形中两个互相垂直的向量所在的直线为坐标轴; (2)尽量选择已知图形中某一特殊点为原点; (3)位于坐标轴上的已知点越多越好.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三
【例 3】
长度问题
如图,已知在▱ABCD
中,AB=3,AD=1,∠DAB=
π 3
,
求对角线������������和������������的长.
题型一 题型二 题型三 题型四
高中数学经典解题技巧及方法计划平面向量
可编辑可修改高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这局部的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。
首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的根本概念性问题，同学们应该先把根本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及根本概念1〕了解向量的实际背景。
2〕理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
3〕理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算1〕掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
2〕掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
3〕了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的根本定理及坐标表示1〕了解平面向量的根本定理及其意义。
2〕掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
3〕会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
4〕理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积1〕理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
2〕了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
3〕掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4〕能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
1第1页〔共6页〕数学投稿咨询山东世纪金榜书业向量的应用〔1〕会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
〔2〕会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。
一、向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其根本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
人教数学必修四课件-251平面几何中的向量方法
a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
a b x1 x2 y1 y2 .
3. 向量平行与垂直的判定:
a // b x1 y2 x2 y1 0.
复习引入
1. 两个向量的数量积：
a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
课后作业
1. 阅读教材P.109到P.111; 2. 《习案》作业二十五.
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
a aa
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
运用向量方法解决平面几何问题可 以分哪几个步骤？
“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的 关系，如距离、夹角等问题；
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可 以分哪几个步骤？
“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的 关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
பைடு நூலகம்
讲授新课
例1. 已知AC为⊙O的一条直径， ∠ABC为圆周角. 求证：∠ABC＝90o.
讲解范例：
高中数学中平面向量问题的四大解题策略
高中数学中平面向量问题的四大解题策略“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，是高中数学知识体系的重要组成部分，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，平面向量在培养学生良好学习素养、提升学习解题能力中发挥着重要作用。
近年来，随着新课程改革，平面向量章节知识内容所占比重逐步加大。
掌握灵活、多样、实用的解题方法和策略是学好平面向量知识的重要条件和基本要义。
下面例举四个方法解决平面向量问题。
1 数形结合思想由于向量具有“数”与“形”双重身份，利用数形结合思想，将问题内容通过图形形式进行有效展示，并抓住内在关联，进行求解，会使得问题得到事半功倍的效果。
例1：①已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R，恒有|OA-OB-kBC|≥|AC|，△ABC一定是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定分析：∵|OA-OB-kBC|=|BA-kBC|≥|AC|根据向量的数乘和减法的几何意义可知|■|为的最小值，由图形可知■⊥■。
所以选A。
②已知■=（2，0），■=（2，2），■=（■cosα，■sinα），则■与■夹角的取值范围是（）A.[■，■]B.[■，■]C.[■，■]D.[■，■]分析：此题虽然所给条件主要是向量的坐标形式，但用坐标法来解决此类问题，计算量和难度相当大，但注意观察向量■=（■cosα，■sinα）会发现。
所以A点的轨迹是以点C（2，2）为圆心、2为半径的圆，作出图象如图，从图中可知两向量■与■夹角的取值范围是[■，■]。
通过以上两例体现出数形结合思想对解题对过程的简洁作用。
2 转化合思想利用三角形法则，向量共线定理，三角形的中线向量性质以及向量模的运算转化为向量的运算等都是进行向量转化的常用技巧；例2：①[2012·课程标准卷] 已知向量a，b夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=■，则|b|=________。
高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)
高中数学经典解题技巧如何学习平面向量
高中数学经典解题技巧如何学习平面向量高中数学经典解题技巧如何学习平面向量高中数学经典解题技巧：平面向量首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1. 平面向量的实际背景及基本概念(1) 了解向量的实际背景。
(2) 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
(3) 理解向量的几何意义。
2. 向量的线性运算(1) 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
(2) 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的.含义。
(3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3. 平面向量的基本定理及坐标表示(1) 了解平面向量的基本定理及其意义。
(2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
(3) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
(4) 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4. 平面向量的数量积(1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
(2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
(3) 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5. 向量的应用(1) 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
(2) 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。
一、向量的有关概念及运算考情聚焦：1.向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2.该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算;有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
3.多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。
解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
平面向量求解技巧
平面向量求解技巧平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
在应用平面向量求解问题时，以下技巧或方法可以帮助我们更快速、准确地解决问题。
1. 确定坐标系：在解决平面向量问题时，通常需要确定一个相应的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
选择合适的坐标系可以简化问题，并使计算更加方便。
2. 表示向量：向量是带有方向的量，可以使用一个有序的数对来表示。
在直角坐标系中，一个向量可以表示为(x, x)，其中x和x分别表示该向量在x轴和x轴上的分量。
在极坐标系中，一个向量可以表示为(x, x)，其中x表示向量的长度，x表示向量与正半轴的夹角。
3. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头相连接，连接后的向量为原向量的和。
在直角坐标系中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
4. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算。
即，将被减向量进行取负操作，再将该向量与减向量进行加法运算。
在直角坐标系中，向量的减法可以通过将减向量的对应分量取负，然后与被减向量的对应分量相加得到。
5. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是将一个向量的长度与一个标量相乘，得到一个新的向量。
数量乘法会改变向量的大小，但不会改变向量的方向。
6. 向量的点乘：向量的点乘也称为内积或数量积。
点乘的结果是一个标量，不带有方向。
点乘可以用来求解两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直等。
7. 向量的叉乘：向量的叉乘也称为外积或向量积。
叉乘的结果是一个新的向量，方向垂直于原始向量组成的平面，并遵循右手定则。
向量的叉乘可以用来求解平行四边形的面积、判断三个向量的共面性等。
8. 解决几何问题：应用平面向量求解平面几何问题时，我们通常可以将几何问题抽象为向量问题。
通过将几何问题转化为向量问题，我们可以利用向量的性质和计算方法快速求解。
9. 利用向量运算化简问题：在求解平面向量问题时，可以利用向量运算的性质化简问题。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.5.1平面几何中的向量方法》教案_001
2.5.1 平面几何中的向量方法教学目的：让学生经历用向量方法解决几何问题的过程，体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
教学重点：向量方法在几何问题中的应用。
教学难点：例2的教学及其方法是本课的难点。
教学过程一、复习提问平面向量的坐标表示、模、夹角公式是什么？二、新课例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图，AC＝AB＋AD，DB＝AB－AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？解：设＝，＝，则＝＋，＝－｜｜2＝（＋）2＝｜｜2＋2•＋｜｜2｜DB｜2＝（－）2＝｜｜2－2•＋｜｜2｜｜2＋｜｜2＝2（｜｜2＋｜｜2）＝2（｜AB｜2＋｜AD｜2）即平行四边形的两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍。
注意：在解决有关长度的问题时，我们常常要考虑向量的数量积。
平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，困此，可以用向量的方法解决平面几何中的一些问题。
例2、如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、DC 的中点，BE 、CF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由R 、T 是对角线上的两点，要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需判断 AR 、RT 、TC 与AC 之间的关系即可。
解：设＝，＝，则＝＋，＝－21 设＝n ，＝m因为 +=所以 n AC ＝21b ＋m EB 即 n （a ＋b ）＝21b ＋m （a －21b ） 整理，得：（n －m ）a ＋（n ＋21-m ）b ＝0 由于、不共线，故有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0210m n m n ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3131m n 所以，设AR ＝31AC 同理，TC ＝31AC ，于是，RT ＝31AC 所以，有AR ＝RT ＝TC。
高中数学经典解题技巧及方法计划：平面向量
.高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这局部的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。
首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的根本概念性问题，同学们应该先把根本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及根本概念1〕了解向量的实际背景。
2〕理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
3〕理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算1〕掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
2〕掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
3〕了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的根本定理及坐标表示1〕了解平面向量的根本定理及其意义。
2〕掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
3〕会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
4〕理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积1〕理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
2〕了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
3〕掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
4〕能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直（关系。
向量的应用1〕会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
2〕会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
..好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的 解题技巧。
一、向量的有关概念及运算 考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其根本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧和方法平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。
首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3）理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5.向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。
一、向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
快速解决平面向量题目的技巧
快速解决平面向量题目的技巧解决平面向量题目的技巧在学习平面向量时，很多学生常常觉得题目难以解决，因为涉及到复杂的计算和概念。
然而，只要我们掌握一些解题技巧，就能够快速解决这类问题。
本文将介绍一些快速解决平面向量题目的技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、向量的加减运算在解决平面向量题目时，向量的加减运算是非常基础也是重要的一步。
我们可以使用三角形法则或平行四边形法则来进行运算。
1. 三角形法则三角形法则适用于解决两个向量相加的问题。
即将两个向量的起点和终点相连接，构成一个三角形，那么连接起点和三角形的终点的向量就是所要求的向量。
例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。
其中，Cx = Ax + Bx，Cy = Ay + By。
2. 平行四边形法则平行四边形法则适用于解决两个向量相减的问题。
即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，那么连接起点和平行四边形的对角线的向量就是所要求的向量。
例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。
其中，Cx = Ax - Bx，Cy = Ay - By。
二、向量的数量积和向量积除了向量的加减运算外，向量的数量积和向量积也是平面向量题目中常见的计算方法。
这两个概念在解决平面向量问题时非常重要。
1. 向量的数量积向量的数量积又称点积，表示为A·B。
计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角。
在解决平面向量问题时，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们的关系，例如判断是否正交、平行或夹角大小等。
2. 向量的向量积向量的向量积又称叉积，表示为A×B。
计算公式为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示单位法向量。
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。
首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3）理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5. 向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。
一、向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
高一数学人必修四课件时平面向量的正交分解及坐标表示
若向量AB的起点A的坐标为(x1, y1)，终点B的坐 标为(x2, y2)，则向量AB的坐标为(x2-x1, y2-y1) 。
零向量与单位向量的坐标表示
零向量的坐标为(0,0)；单位向量的坐标为(1,0)或 (0,1)或(-1,0)或(0,-1)。
坐标运算在几何问题中应用
3 例2
已知向量$vec{OA} = (3, 4)$，向量$vec{OB} = (1, 2)$ ，求$angle AOB$的余弦值。
4 • 解析
首先计算两个向量的模$|vec{OA}| = sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，$|vec{OB}| = sqrt{1^2 + 2^2} = sqrt{5}$，然 后计算两个向量的点积$vec{OA} cdot vec{OB} = 3 times 1 + 4 times 2 = 11$，最后利用余弦公式 $cosangle AOB = frac{vec{OA} cdot vec{OB}}{|vec{OA}| times |vec{OB}|} = frac{11}{5sqrt{5}}$求出余弦值。
平面直角坐标系简介
定义
平面直角坐标系是由两条互相垂直、 原点重合的数轴组成，水平的数轴称 为x轴，垂直的数轴称为y轴。
坐标原点
坐标轴上的点
在x轴上的点，其纵坐标为0；在y轴 上的点，其横坐标为0。
两数轴的交点称为坐标原点，其坐标 记为(0,0)。
向量坐标表示法规则
1 2 3
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，一个向量可以用一对有序 实数来表示，这对有序实数称为该向量的坐标。
总结归纳
平面向量的正交分解及坐标表示是高中数学的重要内容之一 。通过本节课的学习，学生们应该掌握以下几点
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ab 0
；
判定两向量垂直 ； ；
2
a 与 b 同向，则 a b | a || b | a b | a || b |
2
若 a 与 b 反向，则 特别地，a a (3)cos
| a | a a a | a | a ，
2
a b | a || b | ；
在平行四边形ABCD中，AD 1，BAD E为CD的中点，若AC BE 1, 求 AB B C
E D
3
,
A
下午3时16分5秒
典例探究1
2013高考天津理数
1 AC AB AD, BE BC CE AD AB, 2 1 AC BE ( AB AD)( AD AB) 选择恰当 2 的基底 2 2 1 1 AB AD AB AD 2 2 2 1 1 1 AB 1 AB 1 1 2 2 2 1 解得 AB 2
结合律
分配律
(a b)c ac bc
(a b) c a c b c
下午3时16分3秒
知识回顾
5．数量积的坐标运算 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 (1)a· b＝ a1b1＋a2b2 . (2)a⊥b⇔ a1b1＋a2b2＝ .0 (3)|a|＝
2 2 a1＋a2 .
下午3时16分3秒
(4)cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2 2 2 2 2 a1＋a2 b1＋b2
.
测试成绩分析汇总
下午3时16分5秒
课前小练
在RtABC 中， C
y A
2
, BC 2, 求 AB BC
C O
下午3时16分5秒
B
x
典例探究1
2013高考天津理数
下午3时16分5秒
典例探究1
2013高考天津ห้องสมุดไป่ตู้数
x 3 设 AB x, A(0,0) B ( , x) 2 2 x 3 C (1 , x) D (1,0) 2 2 合理建系， x 3 正确运算 E (1 , x) 4 4 x 3 x 3 则 AC (1 , x) BE (1 , x) 2 2 4 4 x x 3 3 AC BE (1 ) (1 ) x ( x) 1 2 4 2 4 1 解得x 2 下午3时16分5秒
→ → 在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设BC＝2BD， 1 → → → → CA＝3CE，则AD· BE＝____. 4
B
典例探究3
2011高考湖南理数
y
D
A O 下午3时16分5秒
C
E
x
小试牛刀1
已知在ABC中，A
2015-2016河南期末
2
, AB 2,
1 1 AC 4, AF AB, CE CA, 2 2 1 1 BD BC, 求 DE DF. 4 4
下午3时16分5秒
典例探究2
已知等腰直角三角形 AOB中，AC, BD为两直 角边上的中线，求 AC, BD相交所形成的钝角 的余弦值 .
y
B C A
4 5
O 下午3时16分5秒
D
x
方法总结
AD 1，BAD ， 3
AC BE 1, 求 AB
等腰直角，中线， 求余弦值 .
下午3时16分5秒
知识回顾
基本概念. 运算与基 本定理
平面向量 数量积
平面向量 应用举例
下午3时16分3秒
知识回顾
下午3时16分3秒
知识回顾
F
S
下午3时16分3秒
知识回顾
定义 已知两个非零向量 a与 b，我们把数量
| a || b | cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，
记作 a b ，即
a b | a || b | cos
，
其中 是 a与 b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
1.“ ”是数量积运算符号，不能省略也不能用“ ”代替；
2. 数量积 a b 的结果是一个实数.
下午3时16分3秒
知识回顾
平面向量数量积的性质
(1) a b
(2)若
( a 与 b 是非零向量)
用于计算向量的模 用于计算向量的夹角,以 及判断三角形的形状.
下午3时16分3秒
(4) | a b | ≤
| a || b | .
知识回顾
运算律
交换律
实数乘法
向量的数量积
ab ba
(ab)c a(bc)
a b ba
(a b) c a (b c)
( a) b a (b) a b
B F
D
下午3时16分5秒
A
E
C
思考提升
2017全国卷2
已知ABC是边长为2的等边三角形， P为平 面ABC内一点，求PA ( PB PC)的最小值.
y
A
3 2
C B
下午3时16分5秒
O
x
巩固升华
平面向量
下午3时16分5秒
作业布置
优化学案滚动习题（4） 单元测评（2） 思考;请同学们大胆猜想如果 将平面向量推广到空间，你 有什么发现？