高考文科数学命题热点名师解密专题：含参数的导数问题解题规律含答案

当x
,0 时， g x 0；当 x 0, 时， g x 0 .
所以函数 g x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增 . 又 g 0
1， g 1 a ，
因为 x 0 ，所以 x 1 0 ， ex 1所以
3, 4
3
（ 2）见解析（ 3） m e 4
【解析】 试题分析：（Ⅰ）求出 f ' x ， f ' x 0 求得 x 的范围，可得函数 f x 增区间， f ' x 0 求得
x 的范围，可得函数 f x 的减区间；（Ⅱ）先求得
（ x 0 ），可得 g ' 1 0 ，又可证
明
在定义域内递增， 即可证明 1是 g(x) 的唯一极小值点； （Ⅲ）令两函数的值域有交集即
化能力，运算能力，属于难题．
（四）多变量问题
例 4．已知函数
（Ⅰ）求 f x 的单调区间；
（ 0 x ），
（Ⅱ）求证： 1 是 g x 的唯一极小值点；
（ m R）
（Ⅲ）若存在 a ， b 0, ，满足
，求 m 的取值范围 .（只需写出结论）
【答案】 (1) 单调递增区间为
0, 3 ， f x 的单调递减区间为 4
，
，即
，
所以
.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题
.不等式证明问题是近年高
考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函
数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，
结合已解答的问题把要证的不等式 变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明
6．复合函数的导数
(1) 对于两个函数 y＝ f(u)和 u＝ g( x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数 (函数 y＝
f(u)和 u＝g( x)) 的复合函数为 y＝ f(g(x)) ． （二）构造函数
例 2．已知函数
.
（ 1）讨论 的单调性；
（ 2）当
, 为两个不相等的正数，证明：
.
【答案】（ 1）
时， 在区间
内为增函数；
时， 在区间
内为增函数；
在区
间
内为减函数； （2）见解析 .
【解析】 (1)求出
，分两种种情况讨论
的范围，在定义域内，分别令
求得 的范围，可得函数
增区间，
求得 的范围，可得函数 的减区间；（ 2）设
令
，则原不等式也等价于即
.设
，原不等式等价于
，
，利用导数可得
又 g ' 1 0 ，故方程 g ' x 0 只有唯一实根 x 1
当 x 变化时， g ' x ， g x 的变化情况如下：
x
0,1
1
1,
g' x
0
gx
极小值
故 g x 在 x 1 时取得极小值 g 1 m，即 1 是 g x 的唯一极小值点 .
3
（Ⅲ） m e 4
（五）与 三角函数有关的函数问题
例 5．已知函数
在
处的切线斜率为
恒成立，求出 b 的最大值 .(2)转 ，进而得
解得
.
所以 因为函数 故 显然 所以 因为 可知
，故 在 上单调
或 即 恒成立即可 .
在
上单减，
在 上恒成立 . 在 上不恒成立 .
单增
故 （ 2）当
，所以实数 的最大值为 1. 时，由（ 1）知函数 在 上单调递增
不妨设
，使得
即为存在不等的
（Ⅲ）当 x 0 时，
恒成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】 (1) y x 1 (2) 0, （ 3） 【解析】 试题分析：（1）根据导数的几何意义得到 f 0 1， f 0 1，根据这两点可以写出切线方程。 （ 2）对函数 g x 进行单调性的研究，分 a 0， a 0 ， a 0 ,三种情况讨论单调性，研究函数的图像变
（ x 0）.
(1) 若 a 1 ，求函数 f x 的极大值；
(2) 若 x 0, 时，恒有 f x 0 成立，求实数 a 的取值范围． 2
【答案】（ 1） 2k 1 ；（ 2） 1,
【解析】 试题分析：（ 1）当 a 1 时，
，对其求导
，判断导数与 0 的关
系，故而可得其极值； （ 2）对 f x 求导，
.
练习 1.已知函数
.
（ 1）证明 : f x 有两个零点；
（ 2）已知
1 ，若 x0 R ,使得
【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析 .
，试比较
与 2 x0 的大小 .
【解析】 试题分析： (1)
在 0,3 上单调递减，在 3, 上单调递增，根据函数的最值
情况确定零点个数； (2) 由
，
，令 t
.
（ 1）讨论 的单调性；
（ 2）已知 存在两个极值点 ， ，令
，若
，
，
求 的取值范围 .
【答案】（ 1）见解析；（ 2）
.
【解析】（ 1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间
.
（ 2）将 可得到 的取值范围 .
变形为
，利用韦达将其转化为关于 a 的函数，求得最值，即
①当 减.
时，在
②当
时，在
恒成立，
∴函数
在 R 上单调递增 .
综上，当
时，
在
当 时，
在 R 上单调递增 .
上单调递减，在
上 单调递增。
（ 2）证明：当
时，由（ 1）知函数
单调递增，不存在两个零点。
所以
。
设函数
的两个零点为
，
则
，
设
，
解得 所以
， ，
要证
，
只需证
，
设
设
所以 所以 所以
在区间
故
．
， 上单调递增， ，
单调递增，
练习 1.已知函数
（ 2）由
，而
∴
令t
，
则
∴函数 h t 在 1, 上单调递增，故
∴
， .
，
又∵
在 1, 上是增函数，∴ x0
，即 2 x0
.
2
（三）极值点偏移
例 3．已知函数
(其中 e 是自然对数的底数， k∈ R)．
(1) 讨论函数
的单调性；
(2) 当函数 有两个零点
时，证明：
．
【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析 .
综上，由①②得：
b
27
.
2
练习 1.已知函数
在 处的切线斜率为
（ 1）若函数
在 上单调，求实数 的最大值；
（ 2）当
时，若存在不等的
使得
【答案】（ 1） ；（ 2）
.
， .
，求实数 的取值范围 .
【解析】 (1)先根据切线的斜率求出
，再根据函数单调，得到
化为存在不等的 到 k＞ 0.
，且
使得
【详解】（ 1）函数
换趋势，得到参数方位。 （ 3）原不等式等价于 可。 解析：
恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即
（Ⅰ）当 a 1 时，
. f 0 1， f 0 1.
所以函数 f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y x 1.
（Ⅱ）函数 g x 的定义域为 R ，由已知得
.
①当 a 0 时，函数
只有一个零点；
②当 a 0 ，因为 ex 2a 0，
【答案】（ 1） 3,1；（ 2）
.
【解析】 试题分析：（ 1）求得 f x 的导数， 可得切线的斜率和切点， 由已知切线的方程可得 a, b 的方程组，
解方程即可得到所求； （ 2）求得 f x 的导数，利用导数研究函数
单调性即可得到函数 f x 在
, 值域 .
42
试题解析：（ 1）
为 ），又
的单调性，利用
专题 08 含参数的导数问题解题规律
一．知识点 基本初等函数的导数公式
(1) 常用函数的导数 ① (C) ′＝ ________(C 为常数 ); ② (x) ′＝ ________；
③ (x2) ′＝ ________；④
1 x
′＝ ________；
⑤ ( x) ′＝________．
(2) 初等函数的导数公式 ① (xn) ′＝ ________；② (sin x) ′＝ __________ ； ③ (cosx) ′＝ ________；④ (ex) ′＝ ________； ⑤ (ax) ′＝ ___________；⑥ (ln x) ′＝ ________； ⑦ (logax) ′＝ __________ ．
无极大值； （ 2） b
27
.
2
，都有
，求实数
， 定 义 域 为 0, ，
，函数没有极大值 .
，结合 函数的 单调性可 得
(2) 由已知
，构造函数
，则 G x
在 0,2 上单调递减，分类讨论可得：
①当 x
1,2 时， b
27
.
2
②当 x 0,1 时， , b 0，
综上，由①②得：
b
27
.
2
（ 2）由已知
，且
使得
.
其否定为：任意
，都有
即：函数
在
由（ 1）知：
即
所以若存在不等的 实数 的取值范围为 （七）讨论参数求参数
使得 .
上单调递增 .
例 7．已知函数
，
（Ⅰ）当 a 1 时，求函数 f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 g x 有两个零点，试求 a 的取值范围；
（ e 为自然对数的底数） ．
，
设
，则 G x 在 0,2 上单调递减，
①当 x 1,2 时，
，
所以
，
整理： 设
，则
在 1,2 上恒成立，
所以 h x 在 1,2 上单调递增，所以 h x 最大值是
.
②当 x 0,1 时，
，
所以
，
整理： b
设
，则
在 0,1 上恒成立，
所以 m x 在 0,1 上单调递增，所以 m x 最大值是
【解析】 本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。
（ 1）求导数后，根据导函数的
符号判断出函数的单调性。 （2）根据题意将证明
的问题转化为证明
，
即证
，构造函数
，
利用函数 的单调性证明即可。
试题解析：
（ 1）解：∵
∴ ①当 ∴当
。
时，令
，解得
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增。
②当
时，
在区
间
内为增函数，
，从而可得结论 .
【详解】（ 1）函数 的定义域为
，
.
若
，
，则 在区间
内为增函数；
若
，令
，得
.则当
时，
， 在区间
当
时，
， 在区间
内为减函数 .
内为增函数；
（ 2）当
时，
.不妨设
，则原不等式等价于
，
令
，则原不等式也等价于即
下面证明当
时，
.. 恒成立 .
设 故 在区间
，则 内为增函数，
可.
（Ⅰ）因为
令 f ' x 0 ，得
因为 0 x
，所以 x 3 4
当 x 变化时， f ' x ， f x 的变化情况如下：
x
0, 3
3
3,
4
4
4
f' x
0
fx
极大值
故 f x 的单调递增区间为
3 0,
， f x 的单调递减区间为
3 ,
（Ⅱ）证明：
4
4
（ x 0 ），
设
故 g ' x 在 0,
，则 是单调递增函数，
，
，可得：
函数 h t 在
1, 上单调递增，
，∴
，
又∵
在 1, 上是增函数，∴ x0
，即 2 x0
.
2
试题解析：
（ 1）据题知
，求导得：
令 f x 0 ，有 x 3；令 f x 0 ，得 0 x 3 ，所以 f x 在 0,3 上单调递减，在 3,
递增，
上单调
∴
令 x 1 ，有 f 1 1 0 ；令 x e2 ，有 故 f x 在 1,3 和 3,e 各有 1 个零点 .∴ f x 有两个零点 .
，
时， f ' x 0 ， f x 单调递减，且 围是 1, .
，所以 f ' x 有唯一零点， 记为 x0 ，当 x 0, x0 ，即 f x 0 不恒成立；综上所述， a 的取值范
练习 1.已知函数的
(1) 求 a, b的值
(2) 求函数 f x 在
, 值域 .
42
图象在点
处的切线方程为 y 5x . 4
上
， 单调递增；在
上
， 单调递
和
上
， 单调递减；
在
（ 2） 由（ 1）可知， 则
上
， 单调递增 .
，则
，
，且
， .
，
从而
.
令
，
，则
.
因为
，所以
，
所以 在
上单调递减，则
，即
.
因为
，
，即
，所以
，
即 的取值范围为
.
【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转
， k N 时， f ' x 0 ， f x 单调
递增， 当
，k N 时， f ' x 0 ， f x 单调递减， 所以， 当
时，
f x 取得极大值 2k 1 ， k N .
（ 2）
当 a 1 0 ，即 a 1 时， f ' x 0 ，所以 f x 单调递增，所以
；
当 a 1 时，
，
所以 f ' x 单调递增，
，当 a 1时，函数单调递增，不
等式成立；当 a 1时，对其进行二次求导，可得 f '' x 0 恒成立， f ' x 单调递增，结合零点存在定理
可得 f ' x 有唯一零点 x0 ，进而可得当 x
不恒成立；
0, x0 时， f x 单调递减， 且
，即 f x 0
试题解析： （ 1） a 1 时，
，当
5．导数的运算法则 (1)[ f(x) ±g(x)] ＝′________________________ ；
(2)[ f(x) ·g(x)] ＝′_________________________ ；
f（ x） (3) g（ x） ′＝ ____________________________ ．
，解得 a 3,b 1.
（ 2）由（ 1）知，
，
函数 f x 在
Leabharlann Baidu
,上
42
递增，
，
， 函数 f x 在
, 上的值域为
.
42
（六）构造函数求参数
例 6．设函数
.
（ 1）当 a 1 时，求函 数 g x 的极值；
（ 2）设
b 的取值范围 .
【答案】（ 1） 【解析】 试题分析：
(1) 当 a 1 时 ，
，对任意