人教版九年级数学上册《22章 二次函数 用函数观点看数列找规律问题》优质课教案_5
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师：我们先从两个比较简单的数列开始，看能不能直接表示出她们的第n个数.
引例：按一定规律排列的数列2.，0，-2，-4，-6，…第n个数是___，
按一定规律排列的数列-6，-4.，-2.，0.，2，…第n个数____.
生：按一定规律排列的数列:2.，0.，－2.，－4.，－6.，…中的第n个数是-2n+4，
因，学生对这些问题的认识仍然是静止的，孤立的，并没有形成对变量、变量之间依存
关系的初步认识，进而影响到对函数概念的理解.每次碰到找规律问题，都用小学学过
的一些数字规律来解决或者观察图形规律解决，一旦图形规律不明显或者不符合常见的
数字规律，就会束手无策.
教学方式：启发式教学结合小组讨论与全班展示
教学手段：数列是一类特殊的函数，它是函数知识的延伸.本节课试图通过一般规律能用一次函数
或二次函数解析式形式表示的规律问题，通过研究它们的特殊性质，一方面为同学们提
供一种新的解决规律问题的思路和解决这类问题的策略；另一方面更希望学生能够体会
变化的数、代数式与函数的关系，从而加深对变量、对应、函数等概念的理解，以及培
养学生探究的方法、习惯和能力.
技术准备：多媒体、实物投影展台
教学目标
1、能归纳出某些类数字规律问题的解决策略；
按一定规律排列的数列:－6.，－4.，－2.，0.，2.，…中的第n个数是2n-8.
师：请同学思考，上述每个找规律问题中存在几个变量？
生1：数列中变化的数.
生2：有两个变量，因为还有它们的序号.
师：细心的同学会发现，老师举的两个例子前五个数用的是同样的五个数字.但它们的规律却不一样，它们的第n个数表示出来可不一样.是哪个重要的因素在影响这个事情呢？
3、你能总结出一些数列找规律的策略吗？
4、某些方程不等式的问题是否能从函数的角度思考乃至解决？
教学流程示意
教学过程
教学实录
师：就象同学们看到的，这节课老师还没想好标题，因为它不是课本里设定好的一节课，而是大家平时练习中反映出来在数列找规律中还存在一些问题.为此我们也做了5道小题的前测.第1、2题有图形背景，同学们完成的不错，但对于后面的数列找规律问题还有一定困难.这节课我们就探索一下，有没有一种方法能让同学们遇到类似题目更有方向更有把握.上完课我会请同学们帮我定个标题.
生：这些数所在的位置.
师：是哪个量在刻画着它们的位置呢？
生：就是第n个数的n.
师：以第二个数列为例，列出两个变量后观察它们的变化分别有什么特征？
生：第n个数的n逐次增加1，第二个变量差都是2.
师：既然是两个变量的问题，请同学回忆，我们之前研究过的那个知识就是针对两个变量的问题研究的？
生：函数.
师：没错，所以老师提的第二个思考问题就是求数列第n个数的问题能否看成是一个函数问题呢？
教学基本信息
课题
用函数观点看数列找规律问题
学科
数学
学段：初中
年级
9年级
相关
领域
数列、方程不等式、一次函数、二次函数
教材
书名：数学出版社：人民教育出版社出版日期：2014年10月
指导思想与理论依据
《课程标准》在每个学段都对学生的数感提出要求，表现形式多用找规律的问题呈现.1-3年级课标要求为:探索简单的变化规律.找规律的问题的特点是规律简单，大多以自然数列中的部分，比如1.，2.，3，或加以简单的重复规律，表现形式直观简洁，大多图形为主，学生只要能够根据前几个的规律表示出下一个位置的图形或者数字即可，意在让学生体会到规律的存在，规律和自然数列之间的关系；4-6年级课标要求为：探索给定情境中隐含的规律或变化趋势.找规律问题的特点是，以文字叙述的形式给出，有简单的循环规律，但是表达形式不够直观简洁，需要学生自己能够通过给出条件，借助各种符号表示出规律，发现规律，或者尝试借助于表格形式归纳规律，对学生的能力有了一定的要求.课程标准中7-9年级的课程内容“函数”中有“探索简单实例中的数量关系和变化规律”的要求，比起小学阶段，初中的找规律问题的不同点在于，规律和表征形式更复杂，要求表示出规律的一般形式，要求学生会用字母表示数和对函数关系的理解，高中的对数列的性质进行更一般的研究.
生1：能，因为一个变量随着另一个变量的变化而变化.
生2：能，因为对于每一个n来说，都有唯一确定的数值与它相对应.
师：大家能用函数概念来解释这个问题非常好，那么既然是函数问题，老师就用函数重要表达形式之一的表格来呈现了.请同学进一步思考，这能否看成是某个函数模型呢？为什么？
生1：可以看成是一次函数问题.因为这个数列的第n个数是2n-8，也就是解析式就是y =2n-8.
生1：用字母表示数.
生2：设一次函数一般形式.
师：板演证明一次函数当自变量一次增加1的时候，对应的相邻函数值的差都是k.
师：那我们是否能够形成某种解题策略了呢？那位同学能帮我们概括一下，以后当我们遇到什么特征的数列就考虑用什么方法去求它的书策略一：函数自变量的取值依次增加1的规律变化时，如果相邻函数值之间的一次差相等，那么这个函数是一次函数.
教学背景分析
教学内容：数列是特殊的函数，定义域为自然数集N*，相应位置上的数字或图形是位置的函数，函
数关系体现在数字规律中，找规律问题中的定义域是隐藏的，初中阶段学习了函数概念
以及一次函数、二次函数和反比例函数模型.
学生情况：虽然在学习函数概念之前，学生已经接触到大量与“规律”有关的问题，但由于种种原
生2：可以看成是一次函数问题.可以通过在坐标系中描点看看它们是否在一条直线上.
师：非常好，同学们还考虑到了函数三种重要表达形式中的解析式形式和图象形式.那老师就想知道了，这是这个数列的特殊规律还是可以推广到一般呀？或者我们有什么办法能知道，是不是所有的一次函数当自变量一次增加1的时候，对应的相邻函数值的差都相等呢？
2、能从运动变化的角度，用函数的观点认识和解决找规律问题，体会数学知识之间的内在联系；
3、通过数字规律问题，进一步加深对函数概念的理解；
4、在探究数字规律问题的过程中，培养学生勇于探索的精神，和用联系的观点看待问题的辨证思
想，体会数学的价值.
问题框架
1、数列找规律问题可以看成是几个变量的问题？
2、根据数列中变量的变化特征是否能发现对应的函数模型？
引例：按一定规律排列的数列2.，0，-2，-4，-6，…第n个数是___，
按一定规律排列的数列-6，-4.，-2.，0.，2，…第n个数____.
生：按一定规律排列的数列:2.，0.，－2.，－4.，－6.，…中的第n个数是-2n+4，
因，学生对这些问题的认识仍然是静止的，孤立的，并没有形成对变量、变量之间依存
关系的初步认识，进而影响到对函数概念的理解.每次碰到找规律问题，都用小学学过
的一些数字规律来解决或者观察图形规律解决，一旦图形规律不明显或者不符合常见的
数字规律，就会束手无策.
教学方式：启发式教学结合小组讨论与全班展示
教学手段：数列是一类特殊的函数，它是函数知识的延伸.本节课试图通过一般规律能用一次函数
或二次函数解析式形式表示的规律问题，通过研究它们的特殊性质，一方面为同学们提
供一种新的解决规律问题的思路和解决这类问题的策略；另一方面更希望学生能够体会
变化的数、代数式与函数的关系，从而加深对变量、对应、函数等概念的理解，以及培
养学生探究的方法、习惯和能力.
技术准备：多媒体、实物投影展台
教学目标
1、能归纳出某些类数字规律问题的解决策略；
按一定规律排列的数列:－6.，－4.，－2.，0.，2.，…中的第n个数是2n-8.
师：请同学思考，上述每个找规律问题中存在几个变量？
生1：数列中变化的数.
生2：有两个变量，因为还有它们的序号.
师：细心的同学会发现，老师举的两个例子前五个数用的是同样的五个数字.但它们的规律却不一样，它们的第n个数表示出来可不一样.是哪个重要的因素在影响这个事情呢？
3、你能总结出一些数列找规律的策略吗？
4、某些方程不等式的问题是否能从函数的角度思考乃至解决？
教学流程示意
教学过程
教学实录
师：就象同学们看到的，这节课老师还没想好标题，因为它不是课本里设定好的一节课，而是大家平时练习中反映出来在数列找规律中还存在一些问题.为此我们也做了5道小题的前测.第1、2题有图形背景，同学们完成的不错，但对于后面的数列找规律问题还有一定困难.这节课我们就探索一下，有没有一种方法能让同学们遇到类似题目更有方向更有把握.上完课我会请同学们帮我定个标题.
生：这些数所在的位置.
师：是哪个量在刻画着它们的位置呢？
生：就是第n个数的n.
师：以第二个数列为例，列出两个变量后观察它们的变化分别有什么特征？
生：第n个数的n逐次增加1，第二个变量差都是2.
师：既然是两个变量的问题，请同学回忆，我们之前研究过的那个知识就是针对两个变量的问题研究的？
生：函数.
师：没错，所以老师提的第二个思考问题就是求数列第n个数的问题能否看成是一个函数问题呢？
教学基本信息
课题
用函数观点看数列找规律问题
学科
数学
学段：初中
年级
9年级
相关
领域
数列、方程不等式、一次函数、二次函数
教材
书名：数学出版社：人民教育出版社出版日期：2014年10月
指导思想与理论依据
《课程标准》在每个学段都对学生的数感提出要求，表现形式多用找规律的问题呈现.1-3年级课标要求为:探索简单的变化规律.找规律的问题的特点是规律简单，大多以自然数列中的部分，比如1.，2.，3，或加以简单的重复规律，表现形式直观简洁，大多图形为主，学生只要能够根据前几个的规律表示出下一个位置的图形或者数字即可，意在让学生体会到规律的存在，规律和自然数列之间的关系；4-6年级课标要求为：探索给定情境中隐含的规律或变化趋势.找规律问题的特点是，以文字叙述的形式给出，有简单的循环规律，但是表达形式不够直观简洁，需要学生自己能够通过给出条件，借助各种符号表示出规律，发现规律，或者尝试借助于表格形式归纳规律，对学生的能力有了一定的要求.课程标准中7-9年级的课程内容“函数”中有“探索简单实例中的数量关系和变化规律”的要求，比起小学阶段，初中的找规律问题的不同点在于，规律和表征形式更复杂，要求表示出规律的一般形式，要求学生会用字母表示数和对函数关系的理解，高中的对数列的性质进行更一般的研究.
生1：能，因为一个变量随着另一个变量的变化而变化.
生2：能，因为对于每一个n来说，都有唯一确定的数值与它相对应.
师：大家能用函数概念来解释这个问题非常好，那么既然是函数问题，老师就用函数重要表达形式之一的表格来呈现了.请同学进一步思考，这能否看成是某个函数模型呢？为什么？
生1：可以看成是一次函数问题.因为这个数列的第n个数是2n-8，也就是解析式就是y =2n-8.
生1：用字母表示数.
生2：设一次函数一般形式.
师：板演证明一次函数当自变量一次增加1的时候，对应的相邻函数值的差都是k.
师：那我们是否能够形成某种解题策略了呢？那位同学能帮我们概括一下，以后当我们遇到什么特征的数列就考虑用什么方法去求它的书策略一：函数自变量的取值依次增加1的规律变化时，如果相邻函数值之间的一次差相等，那么这个函数是一次函数.
教学背景分析
教学内容：数列是特殊的函数，定义域为自然数集N*，相应位置上的数字或图形是位置的函数，函
数关系体现在数字规律中，找规律问题中的定义域是隐藏的，初中阶段学习了函数概念
以及一次函数、二次函数和反比例函数模型.
学生情况：虽然在学习函数概念之前，学生已经接触到大量与“规律”有关的问题，但由于种种原
生2：可以看成是一次函数问题.可以通过在坐标系中描点看看它们是否在一条直线上.
师：非常好，同学们还考虑到了函数三种重要表达形式中的解析式形式和图象形式.那老师就想知道了，这是这个数列的特殊规律还是可以推广到一般呀？或者我们有什么办法能知道，是不是所有的一次函数当自变量一次增加1的时候，对应的相邻函数值的差都相等呢？
2、能从运动变化的角度，用函数的观点认识和解决找规律问题，体会数学知识之间的内在联系；
3、通过数字规律问题，进一步加深对函数概念的理解；
4、在探究数字规律问题的过程中，培养学生勇于探索的精神，和用联系的观点看待问题的辨证思
想，体会数学的价值.
问题框架
1、数列找规律问题可以看成是几个变量的问题？
2、根据数列中变量的变化特征是否能发现对应的函数模型？