高等数学1-5模拟卷附答案

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新程高等数学1-5模拟卷附答案

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟考试试题（一）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1. 当x →0时，函数e x -cosx-x 是x 2的（） A.低阶无穷小量 B.等价无穷小量C.高阶无穷小量D.同阶但非等价的无穷小量2..A.f (x C.f (x3.A.4. A ．C ．5. A.2C.⎰6、直线273==--与平面－２x-7y+3z=3的位置关系是（）. A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面斜交二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、21dz z y dy y+=的解的是 . 8、301lim(1)4xx x-→+= .9、设0()10,12,133x f x x x x ⎧≥⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪->-⎩ 则在x = 处, ()f x 不可导. 10、z=,y x 122--则dz . 11、131(1x dx -+=⎰，应设15、设()y y x =是由函数方程22ln()1x y x y +=+-在(0,1)处所确定的隐函数, 求y '及(0,1)|.dy16、计算120x x e dx⎰.17cos sin 1y x y x '+=01x y ==1819.20、求复合函数2,y u f x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数，其中f 具有连续的二阶偏导数.求2u x y∂∂∂四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21、当0x >时，证明不等式)1lnx x +>2223、与x24、设函数()f x 连续, 且201(2)arctan .2xtf x t dt x -=⎰已知(1)1,f = 求21()f x dx ⎰的值.江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟考试试题（二）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、1lim sin4n n n→∞=（） A.2 B.41C.1D.21 2（1A.2（2A.e C.e 3.当x A. C.4. A.B.C.D.5 A.- 6.→0h A.)x (f 410' B. )x (f 210'C.)x (f 0'D.4)x (f 0'二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π>+π≤4x k x 224x x sin 在x=4π处可导，则k= 8、曲线2xy e -=在x = 处有拐点.9、设()21,0x x af t dt e x =->⎰，则()f x =.10、→→→→→→→→→→→→.1112131415、设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂。

高中数学【必修1—必修5】学业水平考试复习题及答案

必修5综合复习一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150 2. 等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 3. 若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45- 4. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )A ．090B ．060C ．0135D ．01505. 已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．86. 如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值7．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是( )A ．12B ．32C ．52D ．18. 在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（）A ．51-B ．61-C ．71-D ．81-9. 在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（）A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．都不对 10.二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小, 则a 的取值范围是 ( )A ．31a -<<B ．20a -<<C ．10a -<<D ．02a << 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

高中数学必修1-5综合测试题及答案详解(优秀经典测试卷)

高中数学必修1-5测试卷总分共１５０分，考试时间为２个小时一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1. 已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =A ．{0,1}B ．{10}-，C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1,2}-- 2. 圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为A.(2 , 0) , 4B. (2 , 0) , 2C.( 2 , 0) , 4-D. ( 2 , 0) , 2-3. 已知实数列1，a ，b ，c ，2成等比数列，则abc 等于（）A ．4 B ．±4 C ．22 D ．±224. 函数()442-+-=x x x f 在区间[]3,1上（）A.没有零点B.只有一个零点C.有两个零点D.以上选项都错误５.右图所示的程序框图，若输入的, , a b c 分别为21, 32,75，则输出的, , a b c 分别是A ．75,21, 32B ．21, 32, 75C ．32,21,75D ．75, 32, 21６.已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=( )A ．3B ．5C ．3D ．107. 如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有A ．3块B ．4块C ．5块D ．6块8. 圆2220x y y +-=与圆222360x y x +--=的位置关系是A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离9. 从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射试验，若采取每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5枚导弹的编号可能是A. 1, 2, 3, 4, 5B. 2, 4, 6, 16, 32C. 3, 13, 23, 33, 43D. 5, 10, 15, 20, 2510. 某校1 000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示. 规定不低于90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是A. 300B. 150C. 30D. 15二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是 12. 假设要考察某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样本时，先将500袋牛奶按000，01，…，499进行编号，如果从随机数表第八行第四列的数开始按三位数连续向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号： .（下面摘取了随机数表第七行至第九行）84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 2067663016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 2387933211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 2795413. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y += 垂直的直线方程是．14.关于函数()4sin(2),()3f x x x R π=+∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为4cos(2)6y x π=-； ③()y f x =的图象关于(,0)6π-对称；④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称；其中正确的序号为。

新程高等数学1-5模拟卷附答案汇总

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟考试试题（一）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1. 当x →0时，函数e x -cosx-x 是x 2的（） A.低阶无穷小量 B.等价无穷小量C.高阶无穷小量D.同阶但非等价的无穷小量2.. 下列函数中，当x →0时是无穷小量的是（）A.f (x )=xx sin B.f (x )=x 1C.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥002x xx xD.f (x )=x1x)(1+3.、下列级数中，条件收敛的是（）. A. ∑∞=++12231n n n B. ()11nn ∞=-∑ C. ()11nn ∞=-∑21sin 1n n n ∞=+∑4. 下列函数在给定区间上满足罗尔中值定理条件的是（）A ．[]π,0,cos sin )(x x x f +=B ．[]1,0,1)(x x x f -=C ．[]e x x x f ,1,ln )(∈=D ．()=tan ,0,4f x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5. 曲线x 2=4-y 与x 轴所围图形的面积为（） A.⎰-202dx )x 4(2 B.⎰-202dx )x 4(C.⎰-2dy y 4D.2⎰-20dy y 46、直线34273x y z++==--与平面－２x-7y+3z=3的位置关系是（）. A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面斜交二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、21dz z y dy y+=的解的是 . 8、301lim(1)4xx x-→+= .9、设0()10,12,133x f x x x x ⎧≥⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪->-⎩ 则在x = 处, ()f x 不可导. 10、z=,y x 122--则dz . 11、131(1x dx -+=⎰，12、用待定系数法求方程25sin 2xy y y e x '''-+=的通解时，特解*y 应设为 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、（1）计算011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. （2）求极限1lim(1)tan2x xx π→-14、计算dx x cos x cos 203⎰π-15、设()y y x =是由函数方程22ln()1x y x y +=+-在(0,1)处所确定的隐函数, 求y '及(0,1)|.dy16、计算120x x e dx⎰.17、求微分方程cos sin 1y x y x '+=满足01x y ==的特解.18、计算⎰⎰==+=D0y ,2y x ,x y D ,xydxdy 由其中围成的平面区域.19、求过点()1,2,1且与两直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩和200x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩都平行的平面方程.20、求复合函数2,y u f x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数，其中f 具有连续的二阶偏导数.求2u x y∂∂∂四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21、当0x >时，证明不等式)1lnx x +>五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22、计算二重积分：211y xdx e dy-⎰⎰.23、已知曲线：:C y =（1）求C 上一点()2,1处的切线L 的方程；（2）求,L C 与x轴所围平面图形A 的面积S ；（3）求A 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积y V .24、设函数()f x 连续, 且201(2)arctan .2xtf x t dt x -=⎰已知(1)1,f = 求21()f x dx ⎰的值.江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟考试试题（二）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、1lim sin4n n n→∞=（） A.2 B.41C.1D.21 2（1）() 07 0x e x f x x ⎧≠=⎨=⎩，则=→)x (f lim 0x ( )A.不存在B.∞C.0D.12（2）设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-1,0,)1(1x k x x x 连续，则k=( )A.e -1B.e +1C.e 0D.不存在3.当0x →时，2（1xe -）+x 2sinx1是x 的（） A.等价无穷小 B.同阶但不等价的无穷小 C.高阶无穷小 D.低阶无穷小4.当△x →0时，1cos x -∆与△x 相比，是( ) A.与△x 等价的无穷小量B.与△x 同阶(但不等价)的无穷小量C.比△x 低阶的无穷小量D.比△x 高阶的无穷小量5曲线y=x 3-1在点(-2，-9)的切线斜率k=( ) A.-9 B.7 C.12 D.-86.设函数f(x)在x 0可导，则=--+→h)h 2x (f )h 2x (f lim 000h （）A.)x (f 410'B. )x (f 210'C.)x (f 0'D.4)x (f 0'二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π>+π≤4x k x 224x x sin 在x=4π处可导，则k= 8、曲线2xy e -=在x = 处有拐点.9、设()21,0x x af t dt e x =->⎰，则()f x =.10、设→→→c b a ,,为单位向量，且满足0=++→→→c b a ，则=⋅+⋅+⋅→→→→→→a c c b b a .11、幂级数∑∞=⋅-12)1(n n nnx 的收敛区间为 .12、交换二次积分次序：()2220,y y dy f x y dx =⎰⎰.三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限xsin xsin tgx x lim330x -+→.14、设函数()y y x =由参数方程()32ln 1x t t y t t ⎧=-+⎨=+⎩所确定，求22d y dx .15、设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂。

(完整word版)高等数学上册作业1-5有答案

第一学期高等数学(一)作业（五）三、解答下列各题班级：姓名：学号： 1、求函数x x x x f e )33()(2-+=的极值.一、填空题1、函数33)(x x x f --=在]3,1[上的最大值为 .2、曲线122+=x xy 的渐近线为 .3、曲线xx x f e )(2-=凹区间是 .4、曲线13++=x x y 的拐点为 .5、曲线2x y =在点)1,1(处的曲率=K .二、单项选择题1、条件0)(0=''x f 是曲线)(x f y =在0x x =处有拐点的条件.(A) 必要； (B) 充分；(C) 充分必要； (D) 既不充分，也不必要 . 2、若点)1,0(是曲线 c bx x y ++=23的拐点，则有 .（A ）13=-=c b ，；（B ）10==c b ，；（C ）R c b ∈=，0；（D ）1=∈c R b ，.3、函数2332)(xx x f -=在[]4,1-上的最小值为 .(A)7-； (B)5-； (C)1-； (D) 0. 4、函数1123++=x x y 在定义域内 .（A ）单调增加；（B ）单调减少；（C ）图形为凹的；（D ）图形为凸的. 5、设32)2()(-=x x x f ，则 .(A) 0=x 是)(x f 的极小点； (B) 0=x 是)(x f 的极大点； (C) 2=x 是)(x f 的极小点； (D) 2=x 是)(x f 的极大点.2、求函数2824+-=x x y 在区间[]3,1-上的最大值与最小值.3、求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹、凸区间与拐点.4、设)(x f 在),(∞+-∞上连续、可导，且k x f x ='∞→)(lim ，求[])()(lim x f a x f x -+∞→.5、证明：当2π0<<<y x 时，有 2tan2tan tan yx y x +>+.四、解答下列各题 1、讨论方程a x x =-55的实根数目.2、设)(x f 在),[∞+a 上连续，当a x >时，0)(>>'k x f ，又0)(<a f ，证明方程0)(=x f 在()ka f a a )(,-内有唯一实根.3、设)(x f 在0x x =的某邻域内有连续的四阶导数，且0)()(00='''=''x f x f ，但0)(0)4(≠x f，试证明))(,(00x f x 不是曲线)(x f y =的拐点.参考答案一、 1、1)1(=f ； 2、0=y ； 3、)2ln ,(-∞； 4、)1,0(； 5、552.二、 1、(D)； 2、(B)； 3、(B)； 4、(A)； 5、（B ）. 三、 1、极大值5e 7)5(-=-f ，极小值3)0(-=f ； 2、最大值11)3(=f ，最小值14)2(-=f ；3、凹区间：),0(∞+，凸区间：)0,(-∞，拐点：)2,0(-；4、a k .四、 1、当 4>a 或4-<a 时，方程有一个实根；当 4=a 或4-=a 时，方程有两个实根；当 44<<-a 时，方程有三个实根.2、提示：在[]ka f a a )(,-应用拉格朗日中值定理. 3、提示：令)()(x f x F ''=，)(x F 在0x 取得极值0)()(00=''=x f x F .。

专升本高等数学一(选择题)模拟试卷5(题后含答案及解析)

专升本高等数学一（选择题）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1.1．函数y=sinx+的最小正周期是( )A．2πB．πC．D．正确答案：A解析：y=sinx+=2π，故选A．知识模块：函数、极限与连续2．若=5，则( )A．a=一9，b=14B．a=1，b=一6C．a=一2，b=0D．a=一2，b=一5正确答案：B解析：若(x2＋ax＋b)=0，因此4+2a+b=0，2a+b=一4，即b=一4－2a，故所以a=1，而b=一6．知识模块：函数、极限与连续3．设函数f(x)=则f(x)在( )A．x=0，x=1处都间断B．x=0，x=1处都连续C．x=0处间断，x=1处连续D．x=0处连续，x=1处间断正确答案：C解析：因为在x=0处，，因此f(x)在x=0处间断．在x=1处，=f(1)，因此，在x=1处连续，故选C．知识模块：函数、极限与连续4．设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则A．f(0)=0且f－’(0)存在B．f(0)=1且f－’(0)存在C．f(0)=0且f＋’(0)存在D．f(0)=1且f＋’(0)存在正确答案：C解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有=f＋’(0)，故选C．知识模块：一元函数微分学5．设函数f(x)=｜x3一1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )。

A．充分必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既非充分又非必要条件正确答案：A解析：由φ(1)=0可知即f＋’(1)=f －’(1)=0，所以，f’(1)=0．设f(x)在x=1处可导，因为f(1)=0，所以(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，知识模块：一元函数微分学6．函数f(x)=在x=0处( )A．连续且可导B．连续且不可导C．不连续D．不仅可导，导数也连续正确答案：B解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；又因不存在，所以函数在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学7．函数f(x，y)=x2+xy+y2+x—y+1的极小值点是( )A．(1，一1)B．(一1，1)C．(一1，一1)D．(1，1)正确答案：B解析：∵f(x，y)=x2+xy+y2+x—y+1，∴fx(x，y)=2x+y+1，fy(x，y)=x+2y一1，∴令得驻点(－1，1)．又A=fxx(x，y)=2，B=fxy=1，C=fyy=2，∴B2一AC=1—4=一3＜0，又A=2＞0，∴驻点(一1，1)是函数的极小值点．知识模块：多元函数积分学8．化二重积分f(x，y)dσ为极坐标下的二次积分，其中D：4≤x2+y2≤9，正确的是( )A．∫02πdθ∫4θf(x，y)rdrB．∫02πdθ∫23f(x，y)rdrC．∫02πdθ∫23f(rcosθ，rsinθ)rdrD．∫02πdθ∫49f(rcosθ，rsinθ)rdr正确答案：C解析：该积分区域在极坐标系下可表示为：0≤θ≤2π，2≤r≤3，则该积分在极坐标系下为f(x，y)dσ=∫02πdθ∫23f(rcosθ，rsinθ)rdr，故选C．知识模块：多元函数积分学9．设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’(2)= ( )A．2f(2)B．f(2)C．一f(2)D．0正确答案：B解析：交换积分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1t[∫1xf(x)dy]dx=∫1tf(x)(x －1)dx，于是，F’(t)=f(t)(t－1)，从而有F’(2)=f(2)，故应选B．知识模块：多元函数积分学10．设L为三个顶点分别为(一1，0)，(0，0)和(0，1)的三角形区域的边界，L的方向为顺时针方向，则(3x—y)dx+(x一2y)dy= ( )A．0B．1C．2D．一1正确答案：D解析：L如图5—12所示，设P=3x－y,Q=x一2y，=1，(3x—y)dx+(x一2y)dy=dxdy=2×1×1×=1，(3x—y)dx+(x一2y)dy=(3x —y)dx+(x一2y)dy=一1，故选D．知识模块：多元函数积分学11．L为从点(0，0)经点(0，1)到点(1，1)的折线，则∫Lx2dy+ydx= ( ) A．1B．2C．0D．一1正确答案：A解析：积分路径如图5—13所示，∫Lx2dy+ydx=x2dy+ydx+x2dy+ydx=0+∫01dx=1，故选A知识模块：多元函数积分学12．L是抛物线y2=4x上从点(1，2)到点(1，一2)的一段弧，则∫Lyds= ( )A．0B．1C．2D．3正确答案：A解析：由于L为方程y2=4x从点(1，2)到点(1，一2)的一段弧，因此∫Lyds=∫－22y dy=∫－22y dy，因被积函数是在对称区间上的奇函数，则∫Lyds=0，故选A．知识模块：多元函数积分学13．设曲线L的方程是x=acost，y=asint(a＞0，0≤t≤2π)，则曲线积分(x2+y2)nds=( )A．2πa2nB．2πa2n＋1C．一πanD．πan正确答案：B解析：(x2+y2)nds=∫02π(a2)n dt=2πa2n＋1．知识模块：多元函数积分学14．方程xy’=2y的特解为( )A．y=2xB．y=x2C．y=2x3D．y=2x4正确答案：B解析：分离变量可得，两边积分得ln｜y｜=lnx2＋C1，即y=Cx2，所以方程的特解中x的最高次数也应该为2，故选B．知识模块：常微分方程15．微分方程y’’一2y’=x的特解应设为( )A．AxB．Ax+BC．Ax2+BxD．Ax2+Bx+C正确答案：C解析：因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r2一2r=0，得特征根为r1=0，r2=2．于是特解应设为y*=(Ax＋B)x=Ax2+Bx．知识模块：常微分方程16．微分方程y’=的通解为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：设=μ，y=xμ，y’=μ＋=tanμ．所以，ln｜sinμ｜=ln｜x｜+ln｜C｜，sinμ=Cx，原方程的通解为=Cx(C为任意常数)．知识模块：常微分方程17．已知梯形OABC，=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：如图8—1所示，D是OA的中点，==b—a，故选D．知识模块：向量代数与空间解析几何18．设有直线L：及平面π：4x一2y+z一2=0，则直线L ( )A．平行于πB．在π上C．垂直于πD．与π斜交正确答案：C解析：设直线L的方向向量为l，平面π的法向量为n，则l==一28i＋14j一7k，n={4，一2，1}，与l的对应分量成比例，则l平行于n，故直线L垂直于平面π，故选C．知识模块：向量代数与空间解析几何19．平面x+=1在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a、b、c，则( ) A．a=2，b=1，c=一1B．a=1，C．a=一1，b=一2，c=2D．a=1，b=2，一2正确答案：D解析：令y=z=0，得平面在x轴上的截距为1，令x=z=0，得平面在y轴上的截距为2，令x=y=0，得平面在z轴上的截距为一2，则a=1，b=2，c=一2，故选D．知识模块：向量代数与空间解析几何20．方程y2一4z2=1在空间解析几何中表示( )A．抛物柱面B．椭圆柱面C．双曲柱面D．圆锥面正确答案：C解析：方程y2一4z2=1满足双曲柱面一=1的形式，故方程y2一4z2=1在空间解析几何中表示双曲柱面．知识模块：向量代数与空间解析几何。

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题-数学(五)(数学)+答案解析(附后)

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题-数学（五）(数学)1. 已知，则( )A. B. C. D.2. 已知集合，，，则A. B. C. D.3.已知，，设命题，命题，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，则( )A. B. C. D.5. 科研团队对某型号投篮机器人进行投篮试验，假设机器人每次投篮的命中率相同，且两次投篮试验中至少投中一次的概率为若机器人进行5次投篮试验，则投中次数的期望为( )A. B. 3 C. D. 46.已知数列的前n项和为，，则A. 132B. 134C. 136D. 1387. 某中学开展劳动实习，学生需要将半径为4的实心木球加工成由同底的圆锥和圆柱组成的陀螺半成品，圆锥的顶点在球面上，如图所示.若圆锥与圆柱的体积之比为，则陀螺半成品的底面积的最大值为( )A. B. C. D.8. 函数的零点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 空气质量指数简称是能够对空气质量进行定量描述的数据，污染物监测为6项：二氧化硫、二氧化氮、PM10、、一氧化碳和臭氧，AQI将这6项污染物用统一的评价标准呈现，AQI越小代表空气质量越好．甲、乙两地在9次空气质量监测中的AQI数据如图所示，则( )A. 甲地的AQI的平均值大于乙地B. 甲地的AQI的方差大于乙地C. 甲地的AQI的中位数大于乙地D. 甲地的空气质量好于乙地10. 已知函数，，则( )A. 与的图象有公共点B. 与的图象关于y轴对称C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象D. 与在区间上单调性相反11. 已知椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，P为C上一点．若的面积为，则点P可能位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12. 已知，则A. 的最大值为1B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最小值为13. 若双曲线C的两个顶点是以两个焦点为端点的线段的三等分点，则C的一个标准方程为__________.14. 若展开式中项的系数为80，则__________.15. 如图，在等腰直角中，，，D为AC的中点，将线段AC绕点D旋转得到线段设M为边AB上的点，则的最小值为__________.16. 在直角梯形ABCD中，，，，P为四边形ABCD所在平面外一点，且，，设M为PD的中点，则CM的值为__________.17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足求若，，求的周长.18. 已知数列的前n项和为，，数列为等差数列，且，求的通项公式；若对任意的N，都有，证明：19. 光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将光能直接转变为电能的一种技术，具有充分的清洁性、绝对的安全性，相对的广泛性、资源的充足性及潜在的经济性等优点，但同时受到四季、昼夜以及阴晴等气象条件的影响．某西部城市统计了从3月份以来连续6个月的光伏发电量单位：万千瓦时如表所示：月份x345678发电量万千瓦时172019242526从前4个月中随机选择2个月，求这2个月的光伏发电量均不低于20万千瓦时的概率；由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系．根据表中前4组数据，求y关于x的线性回归方程；根据所求的线性回归方程计算7，8月发电量的预测值，并与当月发电量的真实值y进行比较．若满足，则可用此回归方程预测以后的发电量，并预测9月的发电量；若不满足，请说明理由．参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20. 如图，四棱锥的底面是矩形，证明：若，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值的取值范围.21. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，过点A作C 的切线l，过点A作垂直于l的直线交y轴于点求t的取值范围;设直线AH与C的另一个交点为D，BH与C的另一个交点为E，证明：22. 已知函数当时，证明：；若存在极小值点，求的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，复数的模，属于基础题.先由复数的四则运算化简复数z，得，再求即可.【解答】解：因为，所以，所以，则故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，考查集合间的关系.由题意化简B、C，即可解答.【解答】解：由题意知，，故故选：3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，涉及基本不等式，属于基础题.利用基本不等式，可推出“\(p⇒q\)”，取特殊值可得到“\(q⇏p\)”，从而得到答案.【解答】解：，若，则，所以p是q的充分条件，若\(x=0.81\)，\(y=0.25\)，则\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1.4\leqslant\sqrt{2}\)，而\(x+y=1.06>1\)，所以\(q⇏p\)，故p是q的充分不必要条件.故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式，属于基础题.利用同角三角函数中的平方关系，完成弦与切的互化，进而得出结论．【解答】解：由，得，故选：5.【答案】B【解析】【分析】本题考查n次独立重复试验与二项分布，考查离散型随机变量的期望，属于基础题.先求出p，再利用二项分布的期望即可求解.【解答】解：设机器人投篮命中的概率为p，在两次投篮中投中的次数为X，则，则，解得，则在5次投篮试验中，投中次数的期望为6.【答案】D【解析】【分析】本题考查递推公式的应用，考查数列分组求和，属于中档题.由数列的递推公式，得，再求和得出答案．【解答】解：因为，所以，所以，所以7.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆锥与圆柱的体积公式，考查直观想象的核心素养，属于中档题．若使陀螺半成品的底面积最大，则圆锥的顶点和圆柱底面圆均在球面上，作出轴截面，结合圆锥与圆柱的体积公式，即可得结果．【解答】解：若使陀螺半成品的底面积最大，则圆锥的顶点和圆柱底面圆均在球面上，此陀螺半成品的轴截面如图，球心O即为长方形ABCD对角线的交点，由圆锥与圆柱的体积之比为，得圆锥与圆柱的高之比为，则，由，得，故为等边三角形，则，故底面积的最大值故选：8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数零点个数求解，属于基础题.利用对数的运算和函数的零点求解即可.【解答】解：由题知的定义域为，因为，所以令，得，所以，所以或，所以或，所以的零点个数为9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查折线统计图和样本的数据特征，属于基础题.利用已知图表对选项逐个判断即可.【解答】解：由题图可知，甲地AQI除第2次低于乙地外，其他8次均高于乙地，所以甲地的AQI的平均值不会小于乙地的平均值，A选项正确;甲地的AQI没有乙地的波动大，所以甲地的AQI数据更为稳定，则甲地的AQI的方差小于乙地的方差，B选项错误;甲地的AQI的中位数位于50到60之间，乙地的AQI的中位数位于40到50之间，甲地的AQI的中位数大于乙地的中位数，C选项正确;因为AQI越小代表空气质量越好，所以乙地的空气质量好于甲地的空气质量，D选项错误.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查三角函数的性质，函数的对称性，单调性以及函数图像的平移.对于A：取，可得出函数与有公共点，进而判断选项A；对于B：根据函数对称性来判断选项B；对于C：根据函数平移法则可判断选项C；对于D：根据函数单调性可判断选项【解答】解：对于A：因为，所以与的图象均经过点，故A选项正确;对于B：，故与的图象关于y轴对称，故B选项正确;对于C：的图象向左平移个单位长度得到的函数解析式为：，故C选项不正确;对于D：令，，得：，，令，得：函数在区间上单调递增，同理可得函数在区间上单调递减，故与在区间上单调性不同，故D选项正确.，故选：11.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查椭圆的性质，属于中档题.先求出三角形面积的表达式，进而解出m的可能取值，进而分析这个公共点所在的象限.【解答】解：由得，，，则直线AB的方程为，设经过点P且与AB平行的直线l的方程为，则直线AB与l的距离，的面积，所以，解得或，当时，由得，解得，此时l与椭圆有一个公共点位于第一象限；当时，因为，所以公共点位于第二象限、第四象限.故答案选：12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.转化为利用基本不等式求最值进行求解即可.【解答】解：，当且仅当时取等号，A 选项正确；，则，当且仅当时取等号，故B错误；当a，b，c同号时，，则，当且仅当时取等号，故C正确；当a，c同号，b与a，c异号时，则当且仅当时取取等号，D选项正确.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，属于基础题.根据题意，得到，进而求得标准方程.【解答】解：设C的方程为，设焦距为由题意，，则，即，不妨设则则C的一个标准方程为14.【答案】2【解析】【分析】本题考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【解答】解：展开式的通项公式为，由可得，则由题意可得，解得故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的数量积，属于中档题.先判断四边形AECF为矩形，得，设，再利用数量积的运算性质得，利用二次函数的性质即可求解.【解答】解：连接AF，FC，CE，EA，因为，D为AC，EF的中点，所以四边形AECF为矩形，则，，设，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了空间几何体中线段长度的求法，涉及余弦定理，属于中档题.取AD的中点N，连接MN，CN，利用三角形中位线定理、勾股定理等知识计算MN，NC的长，并且得到，在中，利用余弦定理计算CM的长即可.【解答】解：由题意可知，，，取AD的中点N，连接MN，CN，如图，在中，因为，，所以，在直角梯形ABCD中，因为，，所以四边形ANCB为平行四边形，所以，，所以在中，由余弦定理可得，故故答案为：17.【答案】解：因为，所以由正弦定理得，而，因此，所以，即因为C为三角形内角，所以，因此，即，所以因为，所以由正弦定理得①.又因为，，所以由余弦定理得②，因此由①②解得，，所以的周长为【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，正弦定理和余弦定理，属于中档题.利用正弦定理，结合题目条件得，再利用两角和的正弦函数公式，计算得结论;利用正弦定理，结合题目条件得，再利用余弦定理得余弦定理得，解得，，从而得结论.18.【答案】解：因为数列的前n项和，当时，，当时，，满足，所以，则，设等差数列的公差为d，则，，即，所以证明：，对任意的，，即因为对任意的，都有，所以，，所以【解析】本题考查数列的递推关系式及等差数列的通项公式，以及数列的函数特征，属于中档题.先由与的关系得出，再由等差数列的通项公式得出由得出，由得出的取值范围即可得出.19.【答案】解：设“从前4个月中随机选择2个月，这2个月的光伏发电量均不低于20万千瓦时”为事件A，从前4个月中随机选择2个月的基本事件有：3月和4月，3月和5月，3月和6月，4月和5月，4月和6月，5月和6月，共6个基本事件.其中事件A包括1个基本事件，所以，，，，则所以所求线性回归方程为当时，，当时，，故可用此回归方程预测以后的发电量，当时，，所以9月的发电量预计为29万千瓦时.【解析】本题考查古典概型和回归直线方程及其应用，属于中档题.利用古典概型的概率公式即可求解;求出回归直线方程的系数，得所求线性回归方程为；分别令、和，即可求出预测值.20.【答案】证明：因为四边形ABCD为矩形，所以，因为所以，又，AB，平面PAB，所以平面PAB，又因为平面PAB，所以，同理，，又，平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以解：如图，以A为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.设则，则则设平面PCD的一个法向量为，则有，得令可得所以设直线PB与平面PCD所成角为，，因为，所以所以在上单调递增，所以当时，当时，所以即直线PB与平面PCD所成角的正弦值的取值范围为【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质及利用空间向量求线面角，属于中档题.利用已知条件证明平面ABCD，再利用线面垂直的性质即可求解.利用空间向量求线面角，再利用边长的范围确定正弦值的范围.21.【答案】解：由，得，设，则切线l的斜率，即直线AH的斜率，故直线AH的方程为，整理得当时，点H的纵坐标，因为，所以，故t的取值范围是证明：设，，，由题意得直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为，联立整理得，，，即设直线AD的方程为，联立整理得，，，即同理可得，即则，故【解析】本题考查导数的几何意义，考查直线与抛物线的位置关系，属于较难题.利用导数的几何意义求出直线AH的方程，进而求出t的范围；设，，，由题意得直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为，分别求出，，，进而得到，即可证明结论.22.【答案】证明：，由，得，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故解：由可知当时，无极小值.当时，令，解得或①若，则，当x变化时，，的变化情况如下表：x-+-单调递减单调递增单调递减故在处取极小值，则②若，即时，在R上恒成立，所以单调递减，无极值.③若，则，当x变化时，，的变化情况如下表：x-+-单调递减单调递增单调递减故在处取极小值.则令，设，则，令，得或舍去当时，，单调递增;当时，，单调递减;所以所以，当且仅当时取等号，综上，的最大值为【解析】本题考查了利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数的极值、最值，属于较难题.，由，得，，再利用单调性求得的最大值，即可证明；由可知当时，无极小值.当时，令，解得或，讨论两根的大小，结合单调性求得极小值点，进而可得的最大值.。

高等数学(工本)模拟试卷(12345)及答案

高等数学（工本）模拟试卷(一)及答案一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1:参考答案：A2:参考答案：DA:充分而不必要的条件B:必要而不充分的条件C:充分且必要的条件D:既非充分条件又非必要条件3:参考答案：CA:发散B:绝对收敛C:条件收敛D:无法判断4:参考答案：C5:参考答案：B参考解析：本题考查三重积分的性质二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1:参考答案：2:参考答案：3:参考答案：4:参考答案：π(f(a)-f(0))5:参考答案：三、计算题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1:2:3:4:5:6:求内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高.7:8:9:10:11:12:四、综合题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分)1:2:3:高等数学（工本）模拟试卷(二)及答案一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1:参考答案：D2:参考答案：C3:参考答案：A4:参考答案：A5:参考答案：A二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1:参考答案：1-sin12:参考答案：2x+y-4=03:参考答案：4:参考答案：5:参考答案：设α={2,-3,1},β={1,-1,3},则以α、β为邻边的平行四边形的面积S=_____.三、计算题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)1:2:3:求与三个点A(3，7，-4)，B(-5，7，-4)，C(-5，1，-4)的距离都相等的点的轨迹. 4:5:6:设|α+β|=|α-β|,α={3,y,8},β={-1,1,1},求y.7:求经过点P(3，0，-1)，平行于平面π:3x-7y+5z-12=0的平面方程.8:9:10:11:12:四、综合题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分)1:验证4sinxsin3ycosxdx-3cos3ycos2xdy在整个Oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y).2:3:高等数学（工本）模拟试卷(三) 及答案一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

考研数学一(高等数学)模拟试卷151(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷151(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=，则x=0是f(x)的( )．A．连续点B．第一类间断点C．第二类间断点D．不能判断连续性的点正确答案：B解析：知识模块：高等数学2．设(x+y≠0)为某函数的全微分，则a为( )．A．一1B．0C．1D．2正确答案：D解析：知识模块：高等数学填空题3．设a＞0，且=1，则a=________，b=________．正确答案：a=4，b=1解析：知识模块：高等数学4．设f(x)二阶连续可导，且=1，f’’(0)=e，则=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学5．∫1＋∞=________．正确答案：解析：∫1＋∞知识模块：高等数学6．设L1：，L2：，则过L1平行于L2的平面方程为_________．正确答案：所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0 解析：因为所求平面π经过L1，所以点M(1，2，3)在平面π上，因为π与L1，L2都平行，所以所求平面的法向量为n=｛1，0，一1｝×｛2，1，1｝=｛1，一3，1｝，所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0．知识模块：高等数学7．设f(x，y)可微，且f1’(一1，3)=一2，f2’(一1，3)=1，令z=f(2x—y，)，则dz｜(1，3)=_________．正确答案：-7dx＋3dy解析：知识模块：高等数学8．设f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)==_________．正确答案：2πf(0，0)解析：知识模块：高等数学9．级数的收敛域为________，和函数为________．正确答案：[-2，2)，S(x)=解析：知识模块：高等数学10．微分方程(2x+3)y’’=4y’的通解为_________．正确答案：y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2解析：令y’=p，则dx，两边积分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y’=C1(2x+3)2，于是y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2．知识模块：高等数学11．设f(x，y)可微，f(1，2)=2，fx’(1，2)=3，fy’(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=________．正确答案：47解析：因为φ’(x)=fx’[x，f(x，2x)]+fy’[x，f(x，2x)]×[fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)]，所以φ’(1)=fx’[1，f(1，2)]+fy’[1，f(1，2)]×[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=3+4×(3+8)=47．知识模块：高等数学12．=__________．正确答案：解析：知识模块：高等数学13．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．正确答案：y’’’一3y’+4y’一2y=0解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ－1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y’’’一3y’+4y’一2y=0．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学练习册（1-5章）带答案

高等数学习题册（上册）目录习题1-1 函数 (1)习题1-2 常用的经济函数 (5)习题2-1 极限 (9)习题2-2 无穷小与无穷大，极限运算法则 (13)习题2-3 极限存在准则，两个重要极限及无穷小的比较 (17)习题2-4 函数的连续性 (21)习题2-5 闭区间上连续函数的性质 (25)第二章综合题 (29)第二章自测题 (36)习题3-1 导数概念 (40)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（一） (44)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（二） (48)习题3-3 高阶导数 (52)习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 (56)习题3-5 函数的微分 (60)习题3-6 边际与弹性 (64)第三章综合题 (68)第三章自测题 (74)习题4-1 中值定理 (78)习题4-2 洛必达法则 (82)习题4-3 导数的应用（一） (86)习题4-3 导数的应用（二） (90)习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用 (94)习题4-5 泰勒公式 (98)第四章综合题 (100)第四章自测题 (104)习题5-1 不定积分的概念、性质 (108)习题5-2 换元积分法（一） (112)习题5-2 换元积分法（二） (116)习题5-3 分部积分法 (120)习题5-4 有理函数的积分 (122)第五章综合题 (124)第五章自测题 (128)微积分（上）模拟试卷一 (134)微积分（上）模拟试卷二 (138)参考答案 (142)习题1-1 函数1. 填空题：（1）()x y 32log log =的定义域。

（2）523arcsin3xx y -+-=的定义域。

（3）xxy +-=11的反函数。

（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ，则=)(x f 。

2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。

高一数学考卷(必修一、五)含答案

上恒成立

1 a a 9

1 3 2 3
1

0
或
1 3 a 9a 6

1

0
或
1

3 1
a

1 a 2 a
3 1
0
解得： a 1，
( ) 所以外层函数 f x = loga t 在定义域内是单调增函数，
若函数 f x loga
3．已知数列an 满足 an an1 2(n 2) ，且 a1, a3 , a4 成等比数列，则数列an 的通项
公式为（）
A． an 2n
B． an 2n 10
C． an 2n 10
D． an 2n 4
【答案】C 【解析】
∵数列an满足 an an1 2n 2 ∴数列an是公差为 2 的等差数列．
【点睛】
研究集【分析】
分别求出 a 、 b 、 c 与 1、0 的大小关系，即可比较出大小关系
【详解】
0 a 0.20.2 1， b 1.20.2 1， c log1.2 0.2 0 ，则 c a b . 故选 B ．
【点睛】
本题考查了指数、对数的大小比较，只需找出中间转换量即可，较为简单
【详解】
由 f x ex ex ln x2 1 x 2 ,令 g(x) ex ex ln( x 2 1 x) ，
则 f (x) g(x) 2 ，由 x2 1 x2 x x , x2 1 x 0 恒成立,
g x 定义域为 R,
2
4
故选：C
【点睛】

高等数学题库参考答案上期(1-5)(2012)

第一章函数一.单选题1. 已知函数x x x f 2)(2+=,则)21()2(f f 与的积为( Ｃ )A. 1B. 3C. 10D. 52. 下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（Ｃ）A. x 3sin B. 13+x C. x x +3 D. x x -33. 已知函数x x x f 4)3()(2+-=,则)1()2(-f f 与的和为（Ｂ） A. 23.25 B. 33.25 C. 33 D. 234. 已知：1)(2+=x x f ，则=+)1(x f （Ａ）A.1)1(2++xB. 2+xC.22+x D. 2)2(+x5.已知：2)(2-=x x f ，则=+)1(x f （ A ）A.122-+x xB.2+xC.22+xD.2)2(+x二.判断题1.)0(2>=x x y 是偶函数. ( × ) 2.函数12)(+=x x f 在定义域内是奇函数. （ × ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数. ( × ) 4.复合函数)]([x g f 的定义域即是)(x g 的定义域. ( × ) 5.函数2x y =与x y =相同. ( × )6.已知函数)1(11)(2-<-=x xx f ，则)31(1--f 的值是-2. ( √ )三.填空题 1.函数21-+=x x y 的定义域为：2,1≠-≥x x . 2.函数12-=x y 的定义域为：11≥-≤x x 或.3.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是０ . 4.函数11+=x y 的定义域为：1->x . 5.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于x y =对称.6.函数)1(13)(-≠+-=x x ax x f ,若它的反函数是 x x x f -+=-13)(1,则=a 1 .7.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数u y 2log =和2sin +=x u复合而成.8.1)(2+=x x f ,x x 2sin )(=ϕ,则=)]([x f ϕ1)2(sin 2+x . 9.设43)(2++=x x x f ，=)2(f 14 ，2)1(2++=-x x x f . 10.设函数41)(+-=x x x f ，则61)2(=f ，xxx f 411)1(+-=. 11.函数)1ln(2x x y -++=的定义域为12<≤-x .四.计算题1.已知函数⎩⎨⎧>-≤=0,20,sin )(x x x x x f 求)]2([),5(f f f . 解:3)5(=f , 00sin )0()]2([===f f f2.求定义域1142++-=x x y . (21≤<-x ) 3.求定义域1)2lg(++=x y . )2(->x4.求定义域523arcsin3xx y -+-=. )31(≤≤-x5.写出函数)5tan(32+=x y 的复合过程. (.5,,tan 23+===x v v u u y ) 6.写出函数212x y -=的复合过程. )1,2(2x u y u -==7.写出函数xe y 3cos=的复合过程. .)3,3,cos ,(x t t v v u e y u ====8.写出函数)12(sin 2+=x y 的复合过程. .)12,sin ,(2+===x v v u u y9.写出函数)15tan(+=x y 的复合过程. .)15,tan (+==x u u y五、应用题1.有一边长为a 的正方形铁片,从它的四个角截去相等的小方块,然后折起各边做一个无盖小盒子,求它的容积与截去小方块边长之间的函数关系.2.设一矩形,长为x ,面积为A ,周长为L ,现巳知面积A 一定，将周长L 表为x 的函数.第二章极限与连续一.单选题1.如果xe 1为无穷小量，则x 的变化趋势是（ C ） A.+∞→xB.-∞→xC.-→0xD.+→0x2.=-+→22011lim x x x ( D )A. -2B. 2C. 0D.213.极限2sin limx xxπ→=（ C ）A. 1B.0C.2π D.π4.当1→x 时，下列变量中是无穷小的是（ A ）A.13-x B. x sin C. xe D. )1ln(+x5.当1x →时，21x -是（ D ）的无穷小量.A.比1x -高阶B.比1x -低阶C.与1x -等价D.与1x -同阶但不等价 6.)0()0(-=+a f a f 是函数)(x f 在a x =处连续的（ A ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件7.=+→∞136lim n nn ( A ) A. 2 B. ∞ C. 0 D.218.x x x 22lim22-→=（ D ）A.1B.3C.5D.7 9.已知下列四个数列： ①2=n x ,②132+=n x n ,③132)1(1+-=+n x n n ,④1313)1(1+--=-n n x n n ,则其中收敛的数列为（ D ）A.①B.①②C.①④D.①②③ 10.若A x f xx =→)(lim 0, 则（ D ）A. 0)(x x f 在处必连续B. 恒有A x f =)(C. A x f =)(0D. A x f x f =+=-)0()0(00 11.初等函数的连续区间一定是（ A ）A.定义区间B.闭区间C.开区间D.),(∞+-∞ 12.1lim(53)x x →--=（ C ）A.2B.8C.-8D.15 13.从1)(lim 0=→x f x x 不能推出（ C ）A.1)(lim 0=→x f x x －B.1)0(0＝+x fC.1)(0＝x fD.0]1)([lim 0=→－x f x x14.当∞→n 时，数列,12,,35,23,1n n -的极限是（ C ）A.1B.0C.2D.不存在15.11lim sin x xx →∞=（ B ） A.1 B.0 C.∞ D.无极限 16.1lim(2)x x →∞+=（ B ）A.1B.2C.3D.∞17.xx e10lim →=（ D ）A.0B.∞+C. 1D.不存在18.1lim x →-（ A ）A.0B.1C.5D.lg 519.极限0cos lim2x x x →+=（ B ） A.1B.12C.13 D.1420.设⎩⎨⎧≤+>=)0()0()(x xa x ex f x,要使 0)(0=x x f 在处连续，则a=( B )A.2B.1C.0D.-121.1x =是函数21()1x f x x -=-的（ B ）A.连续点B.可去间断点C.第一类但非可去间断点D.第二类间断点22. 设函数122+-=x x y ，当x 从1变到5.1时，求自变量x 的增量和函数y 的增量（ B ）A.0.5；1.25B.0.5；0.25C. 0.5；-1.25D.0.5；-0.2523.1limx →=（ B ）A.1/2B.1/4C.0D.∞ 24. 4ln tan lim x x π→=（ A ）A.0B.1C.2D.325.2x →=（ B ）A.0B.1C.2D.3 二.判断题1.无限变小的变量称为无穷小. （ × ）2.数列n x n sin =的极限不存在. （ √ ）3.极限212(cot 2)3lim x x π→= . ( √ ) 4.非常小的数是无穷小. （ × ） 5.xy =在0=x 处不连续. ( × )6.已知数列2)1(1nn x -+=,则0lim =∞→n n x . （ × ） 7.已知)(0x f 不存在，但)(lim 0x f x x →有可能存在. ( √ )8.若)0(0+x f 与)0(0-x f 都存在，则)(lim 0x f xx →必存在. ( × )9.无穷小之和仍是无穷小. （ × ） 10.函数的间断点处函数一定无意义.（ × ）11.极限0ln(1)1limx x x →+=. ( √ ） 12.无限个无穷小的和还是无穷小. ( × )13.0lim 2lim 1lim 321lim 2222=+++=++++→∞→∞→∞→∞nn nnnn n n n n . ( × )14.设)(x f y =在],[b a 上连续，且无零点，则)(x f 在],[b a 上恒为正或恒为负. ( √ ) 15.17)524(lim 22=+-→x x x . ( √ )16.任何常数都不是无穷小. （ × ）17.无穷小与无穷大互为倒数关系. （ × ）18.当1→x 时，无穷小量21x -比31x -的阶高. （ × ） 19.一切初等函数都是连续的. （ × ） 20.若A x f x x =→)(lim 0,则A x f =)(0. （ × ）21.e x xx =-∞→)11(lim . ( × )22.零是无穷小量. （ √ ）三.填空题1.xx )31(lim ∞+→= 0 .2.若x 由1变到9.0时,函数1)(2+=x x f 的增量是 -0.19 .3.函数121-=x y ,当∞→x 时是无穷小量,当21→x 时是无穷大量.4.若Ax f x =→)(lim 1,则=-)01(f A .5.若0x x →时,)(x f 为无穷大量,则()x f xx 1lim→为无穷小量 .6.3lim1x nn →∞=+ 3 . 7.函数22-+=x x y ,当5.0,1-=∆=x x 时,=∆y -1.25 . 8.x arctan 在),0[+∞上的最小值为 0 . 9.若1)(lim 1-=→x f x ,则=+)01(f -1 .10.x 由1变到9.0时,函数1)(2-+=x x x f 的增量是 -0.29 . 11.若0x x →时,)(x f 为无穷小,且0)(≠x f ，则)(1limx f x x →= 无穷大量 .12.设)(x f 在()+∞∞-,上连续,2)(lim 0=→x xx ϕ,则=→)]([lim 0x f xx ϕ)2(f .13.设)(x α是无穷小量,)(x E 是有界函数,则)()(x E x α为无穷小量 .14.设)1ln(1)(x x x f -=,若定义1)0(-=f ,则)(x f 在0=x 处连续.15.02sinlim=∞→nn n π .16.设)(x f 在()+∞∞-,上连续,()1lim 0=→x f x x ,则()=→]ln[lim 0x f xx 0 .17.若0x x →时,0)(≠x f 且为无穷小量,则()x f x x 1lim→为无穷大量 .18.10(12)lim xx x →+=2e .19.当∞→n 时,数列nn x )32(= 以____0 为极限. 20.)32(lim 21+-→x x x = 4 .21.=-+∞→)1(lim n n n 0 .22.有限个无穷小量之和为无穷小量 . 23.函数)1ln(1)(-=x x f 的连续区间是),2()2,1(+∞ .24.以零为极限的变量称为无穷小量 .25.若函数)(x f 在点0x 处连续，则)]()([lim 00x f x f x x -→=_ 0 .26.)54(lim 2-→x x = 3 .27.若)(x f 在点0x 可导，则)()(lim 00x f x f x x =→.28.极限5435324lim 233=+-+∞→xx x x x . 29.极限434tan 3sin lim 0=→x x x .30.若A x f =)(lim ，则A x f -)(是_ 无穷小量 . 四.计算题1.求极限38213limx x x +---→ .解: 原式21324lim)13)(2(8lim323838=-++-=-+++=-→-→xx x x x xx x2.求极限0cos ln lim 0=→x x . 解: 原式=01ln 0cos ln ==3.求极限1)2(cos lim 22=→x x π. 解: 原式1cos 2==π4.求极限ππ-→x x x sin lim . 解: 原式1sin lim-=--=→ttx t t π令 5.求极限26)2(tan lim x x π→. 解: 原式3)3(tan2==π6.求极限21212022lim --→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---e x x x xx . 解: 原式212110])1[(lim --→=+=ex x x7.求极限∞=--+→125lim1x x x .解: ∞=⇒-=-+=-→→原式26)25(lim ,0)1(lim 11x x x x8.求极限32652lim 2423-+-+-∞→x x x x x x 解: 此式为多项式组成的∞∞型0=⇒原式 9.求极限212limx xx +∞→. 解: 此式为多项式组成的∞∞型0=⇒原式10.求极限)11(lim 22+--++∞→x x x x x . 解:原式1112lim22=+-+++=∞→x x x x xx11.求极限33ln lim 21+-→x x x . 解:原式01ln ==12.求极限2)213(lim -+∞→x x x . 解:原式932==13.求极限1275lim223+---∞→x x x x x . 解: 此式为多项式组成的∞∞型∞=⇒原式 14.求极限32323526limxx x x x x x ----∞→. 解: 此式为多项式组成的∞∞型236==⇒原式15.求极限xx x 34lim+∞→. 解: 此式为多项式组成的∞∞型414==⇒原式16.求极限20)6(sin 2cos sin 6lim 20=+-+→πx x x x x . 解:原式20)21(56sin 10622==-+=π 17.求极限224lim 2x x x →-++. 解:∞=⇒=+=+-→-→原式8)4(lim ,0)2(lim 222x x x x18.求极限)1311(lim 31x x x ---→. 解:原式1)1(2lim 12lim 21321-=++-+=--+=→→x x x x x x x x 19.求极限1)21(lim -∞→=++e x x xx . 解:原式11)11(lim 1)111(lim ---∞→∞→=+⋅=----+=e ttx x t x xx 令20.求极限13sin lim 0-→x x x . 解:原式01=-=21.求极限113lim 21++-→x x x . 解:原式122-=-=22.求极限121lim 221---→x x x x . 解:原式32121lim1=++=→x x x 23.求极限)122(lim 21+-→x x x . 解:原式1112122=+⨯-⨯=24.求极限)15(lim 1+→x x . 解:原式6115=+⨯=25.求极限2232)2(2lim-+→x x x x . ∞=⇒=+=-→→原式解16)2(lim ,0)2(lim :23222x x x x x26.求极限2)1(321lim n n n -++++∞→ . 解:原式21)1(21lim 2=-=∞→n n n n 27.求极限82lim 32--→x x x . 解:原式121421lim 22=++=→x x x28.求极限xx x 10)1(lim -→. 解:原式1110])1[(lim --→=+=-e t tx t t 令29.求极限13cos 5lim +-∞→x x x x . 解:原式3113cos 51lim=+-=∞→x x xx 30.求极限)732(lim 22-+→xx x . 解:原式2572342=-+⨯=31.求极限xx x x x ∆-∆+→∆330)(lim . 解:原式22203])(33[lim x x x x x x =∆+∆+=→∆32.求极限k xx e kx k x 2)(lim =-+∞→. 解：原式k k k t t xx e tt k k x t kk x 22)11(])11[(lim 2)211(lim =+⋅+-=-+=∞→∞→令 33.求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311211lim x x x . 解:原式∞=⇒-=-+=---+=→→→原式，而1)1(lim ,0)1(lim 11lim 2131321x x x xx x x x x 34.求极限620)31(lim -→=-e x xx . 解：原式6610])1[(lim 3--→=+-=e t x t t t 令五.应用题 1.讨论函数⎩⎨⎧>+≤=2321)(x x x x f 在2=x 处的连续性.解：.)()02()02(5)3(lim )(lim ,11lim )(lim 2222不连续而x f f f x x f x f x x x x ∴+≠-⇒=+===++--→→→→2.设函数22y x x =+,当x 从1变到1.1时,求自变量x 的增量和函数y 的增量.解: 自变量x 的增量为:1.0=∆x 函数y 的增量为:0.4112-1.11.122=++⨯=∆）（）（y3.设⎩⎨⎧>-≤=111)(x x x x x f ,求当1→x 时,求)(x f 的左、右极限,并判断当1→x 时,)(x f 的极限是否存在.解: )01()01(0)1(lim )(lim ,1lim )(lim 1111+≠-⇒=-===++--→→→→f f x x f x x f x x x x .)(的极限不存在x f ∴4.讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--=<+=11111111)(x x x x x x x f 在1x =点处的连续性,若间断说明其间断类型.解:2111lim 11lim )(lim ,2111lim )(lim 11111=+=--==+=+++--→→→→→x x x x f x x f x x x x x.1)(1)1(,21)(lim )01()01(1处不连续在而=⇒==⇒+=-⇒→x x f f x f f f x 又.121)(lim 1为可去间断点=⇒=→x x f x5. 当3→x 时,比较92-x 与)3(6-x 两无穷小量的阶.解: ⇒=--→1)3(69lim 23x x x 92-x 与)3(6-x 是等价无穷小.6. 当1→x 时,比较21x -与2)1(-x 两无穷小量的阶.解: ⇒∞=-+=--→→xx x x x x 11lim )1(1lim 1221 21x -是比2)1(-x 更低阶的无穷小. 7.设⎪⎩⎪⎨⎧<=>=001)(x e x x xx f x ,讨论它在0=x 点处的连续性,若间断说明其间断类型. 解:,0lim )(lim 0==++→→x x f x x ,1lim )(lim 0==-+-→→xx x e x f )(lim 0x f x →∴不存在,则)(x f 在0=x 处不连续.8.试证明函数11)(2--=x x x f 当1→x 时的极限不存在.解:,211lim )(lim 211=--=++→→x x x f x x,211lim )(lim 211-=--=+-→→xx x f x x )(lim 1x f x →∴不存在9.已知2)(lim =-∞→xx c x x ,求c .解：2ln 211lim 11lim )(lim =⇒==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=-+∞→∞→∞→t e t c c x t c c x c x x c cct t xx x x 令10.设⎩⎨⎧>-≤-=12112)(x xx x x f ,求 )(lim 0x f x → 、)(lim 1x f x →和)(lim 2x f x →.解：1)12(lim )(lim 0-=-=→→x x f x x ；0)2(lim )(lim 22=-=→→x x f x x ；1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，1)12(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x .1)(lim 1=⇒→x f x 11.设⎪⎩⎪⎨⎧<<=<<-=21312113)(2x x x x x x f ,求)(lim ),(lim ),(lim 210x f x f x f x x x →→→. 解：03lim )(lim 0==→→x x f x x ；63lim )(lim 222==→→x x f x x ；33lim )(lim 11==++→→x x f x x ，33lim )(lim 211==--→→x x f x x .3)(lim 1=⇒→x f x12.设函数34y x =-,当x 从1变到0.9时,求自变量x 的增量和函数y 的增量.解：1.019.0-=-=∆x ；.4.0)143()9.043(=⨯--⨯-=∆y13.设⎩⎨⎧>+≤≤-=11101)(2x x x x x f ,试讨论)(x f 在2,1,21===x x x 处的连续性,并写出连续区间.解：;43)1(lim )(lim 22121-=-=→→x x f x x 3)1(lim )(lim 22=+=→→x x f x x ； 2)1(lim )(lim 11=+=++→→x x f x x ，0)1(lim )(lim 211=-=--→→x x f x x )(lim 1x f x →⇒不存在。

高数第五版答案1-5

1 2 3 ( n 1) n2
n
;
( n 1) n
解
n
lim
lim
n
2 n2

1 n 1 1 lim 2 n n 2
.
(13) lim 解 lim
( n 1)( n 2 )( n 3) 5n 3
n
;
1 5
( n 1)( n 2 )( n 3) 5n 3
x1
解
lim (
x1
(1 x )( x 2 ) 1 3 1 x x2 3 x2 ) lim lim lim 1 . x 1 (1 x )(1 x x 2 ) x 1 (1 x )(1 x x 2 ) x1 1 x x 2 1 x 1 x3
;
4x3 2x2 x 4x2 2x 1 1 lim . 解 lim 2
x 0 x 0
3x 2
2
(5) lim
( x h)2 x 2 h
h 0
;
lim x 2 2 hx h 2 x 2 lim ( 2 x h ) 2 x h 0 h
解 lim
( x h)2 x 2 h
h 0
h 0
.
1 1 (6) lim ( 2 2 ) ;
x
x
x
1 1 1 1 解 lim ( 2 2 ) 2 lim lim 2 2 .
xHale Waihona Puke xxx
x
x
x
(7) lim
x
x 2 1 ; 2 x 2 x 1
1 1 x2
解

高等数学第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）yx =与是同一函数（2）y x =与y=（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数（4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e-（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数（2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数（4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数（6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数（8）()f x =是偶函数⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的（2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的（4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0<a 时，ax y e =在其定义域内是单调递减的， 0>a 时，ax ye =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界（3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π （2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π （3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数（2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(xxu u u f +==可以构成复合函数 8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x ex f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f（4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f 9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x xx f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1）Λ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限（2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sinπn x n =没有极限（4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1）01lim2=∞→x x （2）011lim =++∞→x x （3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量（2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量（4）+∞→x 时，xe 是无穷大量（5）∞→n 时，3)1(2+-n n n是无穷大量（6）∞→x 时，xxsin 是无穷小量（7）∞→x 时，x1sin 是无穷小量（8）0→x 时，12-x是无穷小量 5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？（１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价（２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→n n n n n Λ （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x（9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x 4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限：（1）252sin 5sin lim0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→xxx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→xx x （6）0sin sin lim 0=+-→x x xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→x x x x7.求下列极限：（1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,2,2)(2x x x x f x 的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim=→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Qx Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数（B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数（D ）周期函数二、填空题 1.设10()20xx x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩，则(2)f = 4 . 2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的. 3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e .6.函数ln(4)y x =-+的连续区间为 [)4,1 .三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=09.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x-→∞- 1-=e15.11lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。

2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(五)答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（五）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，则A B ⋂的子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.8个【答案】C 【解析】【分析】先通过集合的交集运算得出A B ⋂，即可根据集合内元素的个数得出子集个数.【详解】集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，{}1,3A B ∴= ，则A B ⋂的子集共有224=个，故选：C.2.已知复数52i2iz =-，则z =（）A.1B.35C.355D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法、除法运算，以及模的定义求解.【详解】因为()()()542i 2i 2i 2i 2i 24i 24i 2i 2i i 2i 2i 2i 555z +-+======-+--⋅--+，所以255z ==，故选:D.3.在ABC 中，记AB m = ，AC n =u u ur r ，则()CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r （）A.m n- B.22m n+u r r C.22n m-r u r D.22m n-u r r 【答案】D 【解析】【分析】利用向量线性运算和向量数量积的运算律可直接求得结果.【详解】()()()2222CB AB AC AB AC AB AC AB AC m n ⋅+=-⋅+=-=- .故选：D.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3.故选：A.5.如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PA 与CE 所成角的余弦值为（）A.B.3311C.6D.66【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后用向量方法即可求解【详解】连接,AC BD 交于O ，由题意，以O 为原点，分别以OB →,OC →，OP →的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，由正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1可得AC BD ==，所以()()()()10,0,1,0,,0,,,,0,,22P A C D E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()10,1,22PA CE ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设异面直线PA 与CE 所成的角为θ，所以12332cos 11PA CE PA CEθ-⋅===⋅故选：B6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm 规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（）A.0.78B.0.64C.0.58D.0.48【答案】A 【解析】【分析】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.【详解】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据题意可得∶12351010()0.2,()0.4,()0.4252525P A P A P A ======，123(10.10.9,(10.20.8,()10.30|)|).7|P B A P B A P B A =-==-==-=，由全概率公式可得∶112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.90.40.80.40.70.78=⨯+⨯+⨯=.故选：A7.已知()1sinsin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭.若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,3 B.(][),03,-∞+∞ C.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.【详解】()1sin sin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭1cos sin sin22222x x x x =-+()1cos 1sin 222x x -=-+1sin cos 22x x =+ππcos sin sin cos 66x x=+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则问题转化为在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()20min132m m f x --≥⎡⎤⎣⎦因为0ππ6x ≤≤，所以0ππ7π366x ≤+≤，所以()0112f x -≤≤，所以221133022m m m m --≥-⇒-≥，解得：3m ≥或0m ≤即实数m 的取值范围为：(][),03,-∞+∞ ，故选：B.8.已知(),,1,a b c ∈+∞，且1ln 1e a a ---=，2ln 2e b b ---=，4ln 4e c c ---=，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()e x f x x -=+，利用导函数可得ln ln ln a a b b c c -<-<-，再令()ln g x x x =-，利用导函数求()g x 单调性即可求解.【详解】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()exf x x -=+，则()e 1x f x -'=-+，因为当0x >时()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()124f f f <<，即ln ln ln a a b b c c -<-<-，令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，因为当1x >时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，又因为(),,1,a b c ∈+∞且()()()g a g b g c <<，所以a b c <<，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围[)0,50，[)50,100，[)100,200，[)200,300，[]300,500分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级.如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（）A.这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量的中位数是196.5D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】ABC 【解析】【分析】根据趋势图可判断出空气质量指数位于[)100,200的天数，知A 正确；由2日到5日空气质量指数依次下降知B 正确；由中位数的定义可计算知C 正确；根据方差与数据波动幅度之间的关系可知D 错误.【详解】对于A ，由空气质量指数趋势图可知：这14天中，空气质量指数位于[)100,200的天数有4,6,9,10,11日，则有5天空气质量指数为“轻度污染”，A 正确；对于B ，从2日到5日空气质量指数依次下降，则空气质量越来越好，B 正确；对于C ，将14天空气质量指数按照从小到大顺序排序，中位数为第7和第8个数的平均数，即179214196.52+=，C 正确；对于D ，若连续三天空气质量指数方差最小，则连续三天数据波动幅度最小，显然5日到7日数据波动幅度最大，则方差应为最大，D 错误.故选：ABC .10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若()2sin cos sin 2ααα-=，则角α可取的值用密位制表示可能是（）A.10—50B.2—50C.13—50D.42—50【答案】BD 【解析】【分析】通过三角恒等变换化简()2sin cos sin 2ααα-=，得出,12k k Z παπ=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，再通过题意对选项一一化为弧度制，即可判断是否符合题意.【详解】()2sin cos sin 2ααα-=Q ，22sin 2sin cos cos 2sin cos αααααα∴-+=，22sin cos 1αα+= ，4sin cos 1αα∴=，即1sin 22α=，,12k k Z παπ∴=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，对于选项A ：密位制10—50对应的角的弧度制为105072600020ππ⨯=，不符合题意，故选项A 错误；对于选项B ：密位制2—50对应的角的弧度制为2502600012ππ⨯=，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：密位制13—50对应的角的弧度制为135092600020ππ⨯=，不符合题意，故选项C 错误；对于选项D ：密位制42—50对应的角的弧度制为4250172600012ππ⨯=，符合题意，故选项D 正确；综上所述，选项BD 正确，故选：BD.11.已知点A ，B 分别是双曲线22:14x C y -=的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则下列说法正确的是（）A.双曲线CB.双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.12k k 为定值14D.存在点P ，使得1212k k +=【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，求出c =，得到离心率；B 选项，求出焦点坐标和渐近线方程，得到焦点到渐近线的距离；C 选项，设(),P m n ，表达出12,22n n k k m m ==+-，结合2214m n -=求出1214k k =；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，由渐近线方程得到2mn >，结合2214m n -=得到1212m k k n +>=.【详解】A 选项，由题意得：2a =，1b =，故c ===故离心率为52c a =，A 正确；B 选项，双曲线C 的焦点为()，渐近线的方程为20y x ±=，故焦点到渐近线的距离为1d ==，B 正确；C 选项，由题意得：()()2,0,2,0A B -，设(),P m n ，则2214m n -=，2214m n -=，故12,22n n k k m m ==+-，21222224241414n n n k k m m m m m =⋅=-=--=+-，C 正确；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，2214m n -=，2244m n -=，因为渐近线的方程为20y x ±=，故2m n >，即2mn >，使得2122221222222444n n mn n mn n mn mn m m k m m mnn k -++=+====--+->+，D 错误；故选：ABC12.已知()221f x x =+，()4g x x =-，若方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（）A.1-B.15C.35D.1【答案】BC 【解析】【分析】通过分类讨论去绝对值，得出()()24601a x a x ++-=>，()()24601a x a x -+-=<-，与()20441ax x x a ++=≤-，再根据根的数量确定a 的取值范围，即可对选项一一验证.【详解】当()()f x g x ≤时，即2214x x +≤-，解得1x ≤，当()()f x g x >时，即2214x x +>-，解得1x >，则当1x >时，()()()()f x g x f x g x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420g x ax a -+++=，即2460x ax a ++-=，此时若1x >则()()24601a x a x ++-=> ①，此时若1x <-则()()24601a x a x -+-=<- ②，当1x ≤时，()()()()f x g x g x f x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420f x ax a -+++=，即()24041ax a x x +=-+≤ ③，其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根，原方程有四个不同的实数根，∴方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根，对于方程()20441ax x x a ++=≤-有两个不同的实数根，可以等价为：2Δ640118540340a a a a a ⎧=+>⎪⎪-<<⎪⎨⎪-≤⎪-≤⎪⎩解得405a <≤，对于选项A ：405a <≤取不到1-，故选项A 错误；对于选项B ：当15a =时，方程①的根为26111>，方程②的根为2619-<-，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：当35a =时，方程①的根为18113>，方程②的根为1817-<-，符合题意，故选项C 正确；对于选项D ：405a <≤取不到1，故选项D 错误；综上所述，选项BC 正确，故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含4x 的项的系数为______.【答案】1458-【解析】【分析】利用赋值法，令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为2n ，即可求得n ；再由二项展开式的通项求得含4x 项的系数.【详解】令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为62642==n ，则6n =,其中通项()()66621661C 3C 31rrr rr rr r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令624r -=，则1r =，则()1154426C 311458T x x =⋅⋅-=-，故含4x 的项的系数为1458-.故答案为：1458-.14.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，则12V V 的值是______.【答案】23##2:3【解析】【分析】利用圆柱体的侧面积和体积公式求解即可.【详解】设甲的高为1h ，乙的高为2h ，由题意可得122π22π3h h ⨯⨯=⨯⨯，所以1232h h =，所以()()211222π223π3h V V h ⨯⨯==⨯⨯，故答案为：2315.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30n S n+的最小值为__________．【答案】612【解析】【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得n S ，再应用基本不等式求得30n S n+的最小值.【详解】解：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差为15的等差数列{}n a ，则2(1)151815222n n n S n n n -=+⨯=+∴30153011612222n S n n n +=++≥+=当且仅当1530=2n n，即2n =时，等号成立，∴30n S n +的最小值为612．故答案为：612.16.抛物线()2:20C y px p =>的焦点到直线10x y -+=的距离为528，点M 是C 上任意一点，点N 是圆()22:31D x y -+=上任意一点，则MN 的最小值是______.【答案】1112-【解析】【分析】根据焦点到直线的距离可构造方程求得p ，得到抛物线方程；由圆的方程可得圆心和半径；设()2,M t t ，利用两点间距离公式可表示出DM ，根据二次函数性质求得minDM；由圆的几何性质可知所求最小值为minDMr -.【详解】由抛物线方程得：焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，8=，解得：12p =，∴抛物线2:C y x =，设()2,M t t ；由圆的方程可知：圆心()3,0D ，半径1r =，DM ∴=则当252t =时，min112DM ==，min1111122MN r ∴=-=.故答案为：12-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin sin sin A B A B +-=)sin sin A C C -.（1）求角B 的大小；（2）若BC 边上的高为2b c -，求sin C .【答案】（1）π6B =（2）1sin 5C =【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；（2）利用面积公式可得52b c =，再利用正弦定理边角互化即可求解.【小问1详解】由题意可得222sin sin sin sin A B A C C -=-，根据正弦定理可得222a b c -=-，所以222c a b ac+-=又根据余弦定理可得2223cos 22c a b B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π6B =.【小问2详解】因为11(2)sin 22ABC S a b c ac B =-= ，即52b c =，由正弦定理可得5sin sin 2B C =，所以21sin sin 55C B ==.18.设等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，()*141n n n a S a n +=+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设5nn a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.【答案】（1）21n a n =-（2）16【解析】【分析】(1)根据,n n a S 的关系求出数列的首项公差即可求解；(2)根据定义分别写出数列{}n b 的前10项，求和即可.【小问1详解】设等差数列公差为d ，因为()*141n n n a S a n +=+∈N，所以当2n ≥时，1141n n n Sa a --=+，所以1114411n n n n n n a a S S a a -+--=+--，所以114n n n n n a a a a a +-=-，因为0n a >，所以1124n n a a d +--==，所以2d =，令1n =得1121141(2)1a a a a a =+=++整理得211210a a -+=解得11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得215n n b -⎡⎤=⎢⎣⎦，所以215n n b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的前10项和等于1357111315195555557559155⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦001112233316=+++++++++=.19.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频率0.080.240.360.200.12（1）估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中竞赛成绩在[)50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在[)50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）75.4（2）分布列见解析；期望()34E X =【解析】【分析】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；（2）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在[)50,60的总人数，进而确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.【小问1详解】平均数为550.08650.24750.36850.20950.1275.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由题意知：样本中竞赛成绩在[)50,60的共有1000.088⨯=人，其中有男生2人，则X 所有可能的取值为0,1,2，()3638C 2050C 5614P X ∴====；()216238C C 30151C 5628P X ====；()126238C C 632C 5628P X ====；X ∴的分布列为X12P5141528328∴数学期望()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=.20.如图所示的几何体中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，四边形PDCE 为矩形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，F 为PA 的中点，N 为PC 与DE 的交点，PD =112AB AD CD ===.（1）求证：//FN 平面ABCD ；（2）若G 是线段CD 上一点，平面PBC 与平面EFG 所成角的余弦值为6，求DG 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）49-.【解析】【分析】（1）连接AC ，证明//FN AC ，利用线面平行的判定定理即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为四边形PDCE 为矩形，则N 为PC 的中点，连接AC，在PAC △中，F ，N 分别为PA ，PC 的中点，则有//FN AC ，而直线FN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以//FN 平面ABCD ；【小问2详解】因为平面PDCE ⊥平面ABCD ，DP DC ⊥，平面PDCE ⋂平面ABCD CD =，DP ⊂平面PDCE ，所以DP ⊥平面ABCD ，又//AB CD ，AB AD ⊥，故DC AD ⊥，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则12(00(100),(110),(020),(02(0),,22,,,,,,,,P A B C E F ，设()0,,0G t ，[]0,2t ∈，所以(11,,,,(110)PB BC ==-，1222,,FE ⎛=- ⎪⎝⎭，(0,2GE t =-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则0m PB x y m BC x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,m =，设平面EFG 的法向量为(),,n a b c =r ，则()12202220n FE a b nGE t b ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令b =，得)2n t =+-r，所以cos ,6m n n n m m ⋅==⋅，整理可得298110t t +-=，解得11549t -=或11549t =(舍去)，即DG 的长为49.21.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P，离心率为22，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意，结合离心率及椭圆,,ab c 的关系列出方程即可得到结果；（2）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩求出AB 与MN ，所以12S AB MN =⋅代入整理成关于k 的式子，求式子的值域即可.【小问1详解】设椭圆C 的焦距为2c ，则22c a =，所以a =因为222a b c =+，所以b c =，又OP FP ⋅=，,OP b FP a ==，所以ab =，即1c =所以1a b ==所以2212x y +=【小问2详解】当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，设直线1l 的方程为=1x -，此时直线2l 与x 轴重合，即AB MN ==，所以122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--由22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=此时()224420k k ∆=++>，∴12222k y y k +=+，12212y y k -⋅=+则AB ==)()222122k k k k+=++.把上式中的k 换成1k -得：MN =则四边形AMBN 的面积为12S AB MN =⋅=)())22221112122k k k k k k ++⋅⋅=++()()()222241212k k k +++令21k t +=，则1t >，且221k t +=+，22121k t +=-()()()22222241421212kt S t t kk +===+-++2411924t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，()1t >，∴1629S ≤<，所以四边形AMBN 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.已知函数()()()ln 21f x x m x m m =+-+-∈R .（1）当4m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在正整数m ，使得()0f x ≤恒成立，若存在求出m 的最小值，若不存在说明理由.【答案】（1）函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）存在正整数3m =【解析】【分析】（1）当4m =时，对函数()f x 求导，令()0f x ¢>和()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调区间；（2）要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤恒成立，讨论2m ≤和m>2，求出()f x 的单调性，即可知要使()max 1ln02f x m m =-≤-，令()()()ln 22g m m m m =-+>，对()g m 求导，得出()g m 的单调性，即可得解.【小问1详解】当4m =时，函数()ln 23f x x x =--的定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，解得：102x <<；令()0f x '<，解得：12x >，所以函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】()()ln 21f x x m x m =+-+-的定义域为()0,∞+，()()2112m x f x m x x-+=+'-=，若20m -≥，即2m ≤，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无最大值；若20m -<，即m>2，函数()f x 在10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,2m ∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭上单调递减.当12x m =-时，函数()f x 取得最大值，且()max 11ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤，所以1ln02m m -≤-，即()ln 20m m -+≥，令()()()ln 22g m m m m =-+>，()()1110222m g m m m m -=+=>>--'所以()g m 在()2,+∞上单调递增，当m 趋近于2时，()0g m <，()3ln130g =+>，所以存在最小正整数3m =，使得()()ln 20g m m m =-+>，即是使得()0f x ≤恒成立.。

高等数学模拟考试题及答案1

《高等数学》模拟试题一一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．点1=x 是函数112--=x x y 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点2．设)(x f 在),(b a 内可导，则在),(b a 内，0)(>'x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．无关条件 3．设x x x F cos )(2+=是)(x f 的一个原函数，则)(x f 等于（）A ．x x cos 2B ．2cos xxC ．x x sin 33+D ．x x sin 2-4．级数∑∞=-11)1(n nn（） A ．绝对收敛 B ．条件收敛 C ．发散 D ．敛散性不确定 5．微分方程'''20y y y ++=的通解为 ( )A ．x ceB ．.x ce -C ．12()x c c x e +D ．12()x c c x e -+ 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 1. =--+→121lim21x x x .2. 设),1cos()(+=x x f 则=')(x f .3. 过点(1,1,1)且与平面2x +3y =1垂直的直线方程为4. 设,1xyz =则=dz . 5. 设⎰-+=xx x dx x f 02,1sin )(则=')(x f .三、计算题(本大题共6小题,共48分). 1. 计算极限: 302)1ln(limxdttxx ⎰+→ (5分).2．设0sin 2=++z z x e xy ，求xz∂∂ (5分). 3．设x x x f ln 2)(2-=，求)(x f 的单调区间和极值.(8分)4．D 是由曲线x e y =，Ox 轴，Oy 轴及4=x 围成的平面区域，试在(0,4)内找一点0x ，使直线0x x =平分平面区域D 的面积.(8分) 5．验证函数2()n yz x f x =满足方程2z z x y nz x y ∂∂+=∂∂(其中f 可微).(8分) 6．改变二次积分21101(,)y y dy f x y dx --⎰⎰的积分次序(7分)7．求解下列微分方程：'2'1.y xy x y -=+(7分) 四、证明题(本大题共2小题,共12分). 1．证明：当1>x 时，1)1(2ln +->x x x .(6分) 2．函数f (x )在[0,1]上可导,且f (1)=2120()xf x dx ⎰,证明：存在一点ξ∈(0,1)使得ξf '(ξ)+ f (ξ)=0 (6分).《高等数学》模拟试题二一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．曲线11+-=x x y 的垂直渐近线为（） A ．1-=x B ．1=x C ．1-=y D ．1=y2．当0→x 时，)21ln(xα+与x 是等价无穷小，则α等于（）A ．2B ． 2-C ．21D ．21-3．下列式子中正确的是（）A ．⎰+='c x f dx x f )3()3(B ．'[()]()d f x dx f x =⎰C ．⎰=bax f dx x f dx d )()( D ．⎰⎰=-b a b a du u f dx x f 0)()( 4．下列命题中，正确的是（）A ．0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 B ．0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必发散C ．0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 D ．0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必发散5．微分方程'''23x y y y xe +-=的特解形式为 ( )A ．()x ax b e +B ．2x ax eC ．x axeD ．2()x ax bx e + 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 6. 201cos limx xx →-=7. 设x x x f ln )(=，则='')1(f . 8.'(sin 1)cos f x xdx +⎰=9. 过点(2,0,1)且与直线210x y z==垂直的平面方程为 10. 幂级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02n nx 的收敛半径为=R .三、计算题(本大题共4小题,共48分). 1. 求极限: lim (arctan )2x x x π→+∞- (5分).2．设),(y x z z =是由方程133=-xyz z 确定的隐函数，求全微分dz (5分). 3．求函数x x x f ln )(2-=在],1[e 上的最值(8分).4．求由曲线1-=x y ，4=x 与0=y 所围成的平面图形绕Ox 轴旋转所得到的旋转体的体积V (8分).5．f (x )在[0,1]上连续，求证21100()()()yx dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰ (7分).6．求解下列微分方程： 2()0ydx x y dy ++= (7分).7．已知1(0),2f =-求f (x )使曲线积分[()]()x l e f x ydx f x dy +-⎰与路径无关，并计算(8分).(1,1)(0,0)[()]()x e f x dx f x dy +-⎰四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当x >0时，2x arctan x >ln(1+x 2) (6分).2．设f (x )在(-1,1)内可微，且f (0)=0, |f ' (x )|< M (M >0), 试证在(-1,1)内恒有|f (x )|<M(6分).《高等数学》模拟试题三一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 1．设53)(+=x x f ，则[]2)(-x f f 等于（）A ．149+xB ．33+xC ．149-xD ．33-x2．设x x f 3)(= ，则ax a f x f a x --→)()(lim 等于（）A ．3ln 3aB ．a3 C ．3ln D ．3ln 3a3．设函数f (x )连续，0(),st I t f tx dx =⎰其中t >0,s >0,则积分I （）A ．依赖于s 和tB ．依赖于s ,t,xC ．依赖于t 和xD ．依赖于s ,不依赖于t 4．级数111nn a ∞=+∑收敛的条件为（） A ．a ≥1 B ．a >1 C ． a ≤1 D ．a <15．微分方程0cos =+x y dxdy的通解为 ( )A ．x c y sin =B ．x ce y sin -=C ．x ce y cos -=D ．x c y cos = 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 设3lim ln()16,xx x a x a→∞+=-则a =12. 设22sin ,cos ,x t y t ==则dydx=13. ⎰=xdx x sin cos 3 . 14.''()xf x dx ⎰=5．设sin y =xy , 则dydx= 三、计算题(本大题共4小题,共48分). 1. 求极限lim x →+∞(5分).2．求函数f (x )=20(1)(2)xt t dt --⎰的极值(7分).3．平面图形由曲线3,4y x y x=+=，求此图形的面积S (7分).4．求微分方程'cot ln y x y y =满足初始条件4x y π==(5分).5．求幂级数112nnn n x ∞=+∑的收敛区间以及和函数 (8分).6. 计算二重积分:⎰⎰+Ddxdy y x )3(22，其中区域D 是由直线2,1,2,====x x x y x y 围成(8分)7．设函数f (x )满足0()()()xxx f x x f t dt e tf t dt +=+⎰⎰，求f (x ) (8分).四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当0>x 时，2211)1ln(x x x x +>+++(6分). 2．证明：双曲线)0(1>=x xy 上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积等于2(6分).《高等数学》模拟试题一参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．B 2.B3.D4.B5.D二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.1422.2sin(1)x x +3.111230x z z ---==4.2()ydx xdyxy + 5. sin 2x -+三、计算题(本大题共4小题,共44分).1.解：220322000ln(1)ln(1)21111limlim lim 6310331x x x x t dtx x x x x x→→→++==⨯=⨯=++⎰ 2.解：方程两边对x 求导得：22sin cos 0xy z zye x z x z x x∂∂+++=∂∂22sin 1cos xy z ye x z x x z∂+∴=-∂+ 3.解：对函数x x x f ln 2)(2-=求导得：'1()4f x x x =-，令11140 ()22x x x -==-得舍去，列表：x (0,12) 12(12,+∞) y’ - 0+ y单减极小值1ln 22+单增由表可知, f (x )在(0,12)上单调减少，在(2,+∞)上单调增加，在12x =处取得极小值1ln 22+.4.解：由题意知，4x xx x e dx e dx =⎰⎰，所以0041x x e e e -=-401 ln2e x +∴=5.证：求函数2()nyz x f x =的偏导数： 113223222()()()()2(),n n n n z y y y y y nx f x f nx f x yf x x x x x x---∂-=+•=-∂ 22221()()(),n n z y y x f x f y x x x-∂=•=∂ 所以132222222222[()2()]2[()] ()2()2()n n n n n n z z y y yxy x nx f x yf y x f x y x x xy y ynx f x yf x yf nzx x x -----∂∂+=-+∂∂=-+=6.解：21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰=0110(,)x dx f x y dy +-⎰⎰+110(,)xdx f x y dy -⎰⎰7.解：整理方程为1(1)dy dx y x x =-+，所以 (ln(1))(ln ln(1))d y d x x -=-+ 1ln(1)ln1xy C x -=++ 11x y Cx =++ 四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明：令2(1)()ln ,(0)21x F x x F x -=-=+，由于2'2(1)()0 (1)(1)x F x x x x -=>>+，所以，当1>x 时()(0)20F x F >=>，即1)1(2ln +->x x x .2.证明：令()()F x xf x =，函数F (x )在[0,1]上可导. 根据积分中值定理，存在1(0,)2c ∈,使得112201(1)(1)2()2()2()()2F f xf x dx F x dx F c F c ====••=⎰⎰再根据罗尔定理，存在一点ξ∈(c ,1使得'()0,F ξ=即 ξf '(ξ)+ f (ξ)=0《高等数学》模拟试题二参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)(sin 1)f x C++ 40x y +-=三、计算题(本大题共4小题,共48分).22221arctan 12lim (arctan )lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞--+-====+-233()0z dz yzdx xzdy xydz -++=2 yzdx xzdydz z xy+∴=-x x x f ln )(2-=求导得：'()2ln f x x x x =--，令'()0,f x =得12x e-=. 比较112211(),(1)0,()22f e e f f e e e --====-可知, f (x ) 在],1[e 上的最小值为2e -，最大值为12e.4442211119(1)()22V dx x dx x x ππππ==-=-=⎰⎰222111111()()()[]()()yyyx xxdy f x dx dx e f x dy f x e dy dx e e f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰20ydx xdy y dy ++=31()03d xy y +=313xy y C +=曲线积分与路径无关的条件，有()()x df x e f x dx=+' (())x y y e y f x -==微分方程'x y y e -=的通解为x x y ce xe =+，由于1(0),2f =-有12c =-，所以1()2x x f x e xe =-+四、证明题(本大题共2小题,共12分).2()2arctan ln(1),(0)0F x x x x F =-+=，由于'2222()2arctan 2arctan 0 (0)11x xF x x x x x x =+-=>>++，所以，当x >0时()(0)0F x F >=，即2x arctan x >ln(1+x 2).设x 为(-1,1)内任意点，函数f (x )在[x ,0](x <0)或[0, x ](x >0)上可导. 根据拉格朗日中值定理，存在介于x 与0之间的点c ，使得''|()||()(0)||()||0||()|f x f x f f c c f c M =-=-<<《高等数学》模拟试题三参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)2-141cos4x C-+'()()x f x C++cosyy x-三、计算题(本大题共4小题,共48分).3 lim lim lim2 x x x→+∞===f(x)=2(1)(2)xt t dt--⎰求导得：'2()(1)(2)f x x x=--，令'()0,f x=得121,2x x==. 列表：由表可知, f112320017(1)(2)[584]12t t dt t t t dt--=-+-=-⎰⎰.3321131(4)(43ln)43ln32S x dx x x xx=--=--=-⎰整理微分方程得tanlndyxdxy y=1ln ln tan ln|cos|y xdx x C==-+⎰ln|cos|xCey e-=对于初始条件4x y π==C =1. 所以所求特解为ln|cos |x e y e-=幂级数112n n n n x ∞=+∑的收敛半径为1112lim lim 222n n n n n n u n R u n +→∞→∞++==⨯=+，且当x =2或-2时幂级数发散，所以幂级数的收敛区间为(-2,2).设其和函数为S (x ),则1'1112221''22122222()(1)() (1)()222(1)2 ()()1(1)(1)444 1.(2)(2)(1)2n nn n n n n n x x S x n t n t t t t t t t t tt t t x x xx x x x ∞∞∞+===∞+==+=+=+-+====+++++===-+++∑∑∑∑⎰⎰+Ddxdy y x)3(22化为二次积分为222222122223311(3)(3) [()]830.xxDx xx y dxdy dx x y dy x y y dx x dx +=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰'0()()xx f x f t dt e +=⎰两边再求导数，整理得到'''()()x f x f x e +=或'''x y y e +=微分方程'''x y y e +=对应的齐次方程的通解为12x y c c e -=+，特解为12x y e =.所以'''x y y e +=的通解为1212x x y c c e e -=++.又由于(0)1f =(原方程两边代入x =0), '(0)1f =(求一次导数后的方程两边代入x =0),所以11,c =212c =-，所求方程的解为11sh 2x x e e y x --=+=+.四、证明题(本大题共2小题,共12分).()ln(1(0)0F x x x F =+=，由于'()ln(0 (0)F x x x =>>，所以，当x >0时()(0)0F x F >=，即2211)1ln(x x x x +>+++.t 为(0,+∞)内任意点，双曲线1y x =上在x=t 处的切线方程为 211()y x t t t -=-- 该直线与两坐标轴分别相交于2(0,),(2,0)A B t t由A ，B 和坐标原点O 形成三角形面积为12|||2|22S t t=⨯⨯=所以结论成立.。

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默
B.
x2
C. 3 A.
ex , x 0 f ( x) sin x ,x 0 x
D.
12 x f ( x) e , x 0 0, x 0
学
在区间[) （） C
1 f ax b c a
y ex
x
/
C. y
4 9 f ax b d ( 1 x) 9 A 5
2
B.等价无穷小量 D.同阶但非等价的无穷小量
下列函数中，当x→0时是无穷小量的是（ B.f(x)= 1 x
1 x
x
x0 x0
D.f(x)= (1 x)
默
1
n 1 n
3.、下列级数中，条件收敛的是（
n 1 A. 3 n2
n 1 2
学
1 n

）.
n
B.
C.
x 1
(2) 求极限 lim( x e )
x 0
14
2 d2y x t 求 dx 2 1 t2 y ln
10
默
1 x x
默
x
学
默默学--sin 2 x 15 求不定积分 cos dx x
2
16 计算
2
1
x(ln x) 2 dx
16、 f ( x) 在[0,1]上连续, 求 [1 xf ( x)]e
1 0
17、求微分方程 dy
dx
默
3
2y ( x 1) 2 满足条件 y 1 x
学
f ( x)
dx.
x 0
0 的特解
。
默
2
18、计算不定积分:
x2 1 dx x
19、设一平面经过原点及点 6, 3, 2 ，且与平面
)
C.0
D.1
A.e-1 C.e0
默
x
3.当 x 0 时，2（ e A.等价无穷小 C.高阶无穷小
默
1 ）+x2sin
1 x
1 (1 x) x , x 0 2（2）设f(x)= x 1 k ,
学
连续，则k=( B.e+1 是x的（
A.不存在
B.∞
)
D.不存在）
B.同阶但不等价的无穷小 D.低阶无穷小 )
4.当△x→0时，1 cos x 与△x相比，是( A.与△x等价的无穷小量 B.与△x同阶(但不等价)的无穷小量 C.比△x低阶的无穷小量
5
默默学---
D.比△x高阶的无穷小量 5曲线y=x3-1在点(-2，-9)的切线斜率k=( A.-9 C.12 B.7 D.-8
1
n 1
1 n n
D.
n
n 1

sin n 2 1
4. ）
下列函数在给定区间上满足罗尔中值定理条件的是（ A． f ( x) sin x cos x , 0, C． f ( x) ln x , x 1, e B． f ( x ) x
1 x , 0,1
默
默
x=2和曲线xy=1所围成的区域，试求 x
D
学
2
y2
d
.
8
默默学---
高等数学
模拟考试试题（三）
一填在题后的括号内。 1 A.1 2
1 1 设 f ( x) sin 1 X ，则 f ( ) ＝（） x
3
z x 2 y 2 , 则全微分 dz ..................
y '' 3 y ' 2 y 0 的通解为 ..................
。特别提醒；以下各题必须写出必要的答题步骤。
三计算题(每题9分，共72分)
1 １3 (1) 求 lim( x x ). 1 ln x
D.2
4 y dy
x3 y4 z 6、直线 2 7 3 与平面－２x- 7y+3z=3 的位置关系是（
）. A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面斜交二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
2
dy
y
8、 lim(1
x 0
9、设
10、z= 11、
C
f / x 2 x sin x 4
D都不对
下列级数中绝对收敛的是
默默学---
（
） A 1
n 1 n1 n 1Fra bibliotekB 1
n 1

n
1 2n
C 7 n 1
n 1

D 1 sin 1 n
n 1

n
二填空题（每题4分，共计24分）将正确的答案填在题后横线上。 7 级数 3
f ax b c
a 2 1
默
2
1,1]上，下列函数中不满足罗尔定理的是(
1
x2
y ln(1 x 2 ) x 2
D.
B
1 f ax b a
D （
f / ax b
f x
x

sin t 2 dt , f / x
）
2
A 0 6
9
B 1
平行的平面方程.
y u f , x2 y x 的二阶混合偏导数，其中 f 20、求复合函数
3
默
D
x , x y 2, y 0
学
x 0
1
的特解.
围成的平面区域.
默默学---
具有连续的二阶偏导数.求
2u xy
四、证明题（本大题共1小题，满分8分） 21、当 x 0 时，证明不等式
默默学---
高等数学）
模拟考试试题（一）
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分 1. 当x 0时，函数ex-cosx-x是x2的（） A.低阶无穷小量 C.高阶无穷小量 2.. ） x A.f(x)= sin x
C.f(x)= x
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分
2
学
则在 x 处,
f ( x) 不可导.
7、 dz 1 z y 的解的是
.
，
x
sin 2 x 的通解时，
默默学--1 1 lim x x 0 x 13、（1）计算 e 1 .
.
x 2 e x dx
.
17、求微分方程 y cos x y sin x 1 满足 y 18、计算 xydxdy, 其中D由y
默
x 2 y z 1 0 2 x y z 0 19、求过点 1, 2,1 且与两直线 x y z 1 0 和 x y z 0 都
n 1 n
5n n x 的收敛域为 n
8 设 9

2 0
e x 1, x 0 在 x 0 处可导, f ( x) x a, x 0
则a
.
sin 3 xdx aB ............ ............
10 函数 y ln(1 x) 的水平渐近线为y=---------11 12
默
D． f ( x)= tan x , x 0,
4
5. 曲线x2=4-y与x轴所围图形的面积为（）
1
默默学---
A. 2 C.
2 0
2 0
(4 x 2 )dx 4 y dy
B.
2 0
(4 x 2 )dx
2 0
高等数学模拟考试试题（二）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、 lim n sin
n
1 （ 4n
） B. 1 4 D. 1 2
A.2 C.1 2（1）
e x .....x 0 f x ，则 xlim f (x) ( 0 7.......x 0
y
24、设函数 f ( x) 连续, 且 tf (2 x t )dt 1 arctan x . 已知 f (1) 1, 求 f ( x)dx 的值. 2
x 2 2 0 1
4
默
默
23、已知曲线： C : y
x 1 ，（1）求 C 上一点 2,1 处的
学
默默学---
1 1
默
1 x 2 y2 ,
3 x0 x , f ( x) 3 x , 1 x 0, 1 2 x , x 1 3 3
默
. .
1 3 x ) 4x
.
则dz
(1 x 3 1 x 2）dx
12、用待定系数法求方程 y 2 y 5 y e 特解 y * 应设为）

x2 a
默
f t dt e x 1, x 0

默
.
n
2 0
sin x 2 xk 2
4 x 4 x
，则 f x

10、设 a , b , c 为单位向量，且满足 a b c 0 ，则
a b b c c a
.
17 设 w f ( x y z, xyz ), f 有二阶连续偏导数, 18
w 2 w 求 , . x xz
y |x 0 0 求微分方程 y 2 y y cos x 满足 3 的解. y |x 0 2
单项
选择题（每题4分，共24分）将正确答案选项的字母