7第五章习题课

L L
L H f 1
L
L
H f 2
L
H1f H2 f L
c(0) n1
c(0) n2
L
0
H ff
E (1) n
c(0) nf
H11
E (1) n
H12
L
H 21
H 22
E (1) n
L
L
L
L
H f 1
H f 2
L
H1f H2 f 0 L
H ff
E (1) n
能量的一级修正值为
，En一(1) 级近似值为
基态能量近似值
E1
E(0) 1
E (1) 1
2h2 2 L2
2U 0 a L
n 2和 n 的4 能级差
E
16 2h2
2 L2
2U0a L
U0
2
sin
4 a
L
4 2h2 2 L2
2U0a L
U0
sin
2 a
L
6 2h2 L2
U0
1 2
sin
4 a
L
sin
2 a
L
当 a 时= ，L 有
E
6 2h2 L2
4U0a L
20U0
3
a
L
2
x3 x5 sin x x L (x 0)
3! 5!
(n 1)(n 2)m,n2
g2
x2
2
n2,n
E(0) n
E(0) n2
x2
2
n2,n
E(0) n
E(0) n2
g2
4 4
n(n 1)
2h
(n 1)(n 2)
2h
g2
4 4
4n 2
2h
n
1 2
h
2
g2
2
4
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
n
1 2
h
1
g
2
解作比较。
解：
H
E(0) 1
a
b
b
E(0) 2
a
E(0) 1 0
0 a
E(0) 2
b
b a
H
(0)
H
En
E(0) n
H nn
m
/ Hm n 2
E(0) n
E(0) m
E1
E(0) 1
a
b2
E(0) 1
E(0) 2
E2
E(0) 2
a
b2
E(0) 2
E(0) 1
下面求能量的精确解。
两个宽为a、高为 的小微U扰0 势垒中心位于
和
x
1 4
L
x
3 4
L
处，a是小量（例如 a = L /）10。0 试用一级微扰论计算修正后的基态能
量值及 和n 2的能n级差4 。
解： 一维无限深势阱的本征解为
E(0) n
n2 2h2 2 L2
U0
n 1, 2,3,L
(0) n
(
x)
2 sin n x
1 E
0
3E 0 0
0 0 2E
再求近似解。
E1 2 1 2 E2 2 1 2 E3 2
1 0 0 0 0
H
0
3
0
0
0
H
(0)
H
0 0 2 0 0
E1
1
0
2
13
02 1 (2)
1
1 2
2
E2
3
0
2
31
3
02 (2)
3
1 2
2
E3
2
02 2 1
02 2
3
2
4.一个一维无限深势阱如图所示，在 x和 0 x处有L两个无限高壁，
LL
O
1 4
L
3 4
L
L
x
微扰势
H
U
0
0
L a x L a , 3L a x 3L a
42
4 24 2
42
x取其它值
能级修正值为
E (1) n
H nn
L
0
*(0) n
H
(0) n
dx
2U0 L/4a/2 sin2 n x dx 2U0 3L/4a/2 sin2 n x dx
Hnn
n H n
g
n
x2
n
x2 n
1
2
2
n(n 1) n 2 (2n 1) n
g
2
2
(2n
1)
n
1 2
h
g
2
(n 1)(n 2) n 2
E(2) n
m
/ H m n 2
E(0) n
E(0) m
g2
m
/
x2 2 mn
E(0) n
E(0) m
xm2n
m x2 n
1
2
2
n(n 1)m,n2 (2n 1)m,n
E(0) 2
2a)
1 2
(E2(0)
E(0) 1
)
1
2b2
(
E(0) 2
E(0) 1
)2
E(0) 2
a
b2
E(0) 2
E(0) 1
显然，两种方法的结果一致。
3.设哈密顿算符的矩阵形式为
1 0
H
3
0
0 0 2
求其精确的本征值；若 =，1求其本征值至二级近似。
解： 先求精确解。
E(0) 1
a
b
b
E(0) 2
a
c1 c2
E
c1 c2
E(0) 1
a
E
b 0
b
E(0) 2
a
E
E
1 2
(E1(0)
E(0) 2
2a)
1 2
(
E(0) 2
E(0) 1
)2
4b2
2
1 2
(E1(0)
E(0) 2
2a)
1 2
(E2(0)
E(0) 1
)
1
2b
E(0) 2
E(0) 1
En
E(0) n
E (1) n
近似波函数
f
n
c(0) (0) n n
1
二、例题
1.设一维谐振子的哈密顿算符为 ，Hˆ再(0)加上微扰
密顿算符为
Hˆ
Hˆ
(0)
Hˆ
p2
2
1 2
2 x2
gx2
试用微扰法求能量近似值。
解：
E(0) n
n
1 2
h
H，ˆ 系统gx的2 哈
E(1) n
1 2
(E1(0)
E(0) 2
2a)
1 2
(
E(0) 2
E(0) 1
)
1
2b2
(
E(0) 2
E(0) 1
)2
E1
1 2
(E1(0)
E(0) 2
2Βιβλιοθήκη Baidu)
1 2
(E2(0)
E(0) 1
)
1
2b2
(
E(0) 2
E(0) 1
)2
E(0) 1
a
b2
E(0) 1
E(0) 2
E2
1 2
(E1(0)
L L/4a/2
L
L 3L/4a/2
L
2U 0 a L
U0
n
cos
n
2
cos 3n
2
sin
n a
L
2U0a 2U0 cos n cos n sin n a
L n
2L
2U0a L
(1)k U0
k
2U 0 a
sin
2k
L
a
L
n 2k n 2k 1
能量近似值
En
E (0) n
E (1) n
第五章习题课
一、小结
1.非简并定态微扰理论
En
E(0) n
Hˆ nn
m
/ Hm n 2
E(0) n
E(0) m
n
(0) n
m
/ Hm n
(0)
E(0) n
E(0) m
m
2.简并情况下的微扰理论 求解 在Hˆ 简E并n(0)子空间中的本征方程，即
H11
E (1) n
H 21
H12
H 22
E (1) n
g2
2 24
实际上
H
p2
2
1 2
2 x2
gx2
p2
2
1 2
2
2g
x2
p2
2
1 2
2 x2
En
n
1 2
h
n
1 2
h
1
2g
2
2.在 H表(象0) 中，若哈密顿算符的矩阵形式为
H
E(0) 1
a
b
b
E(0) 2
a
其中，a、b为小的实数，且
E (0) 1
E。2(0求) 能量至二级修正，并与精确