高中数学人教A版《复数的概念》精品系列1
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m 1
（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数.
高中数学人教A版《复数的概念》精品 系列1
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【解题提示】 依据复数的分类列出方程（不等式）（组） 求解 . 解：（1）要使z为实数，需满足m2+2m-3＝0，且 m(m 2) 有
m 1
意义 ， 即m-1 ≠0，解 得m＝ -3； （2）要使z为虚数，需满足m2+2m-3≠0，且 m(m 2) 有意义，
（1）定义 向量 OZ 的模叫做复数z＝a+bi的模或绝对值，记作 |z| 或 |a+bi|.即|z|＝|a+bi|＝ a2 b2 ，其中a，b∈R. 如果 b＝0，那么 z＝a+bi 是一个实数 a，它的模就等于|a| （a 的绝对值）
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值.
解：根据复数相等的充要条件，得
2x 1
1 y, (3 y),
解得
x
5 2
，
③
y 4.
把③代入②，得5+4a-（6+b）i＝9-8i，且a，b∈R，
∴
5 6
4a 9, b 8,
解得
a b
1, 2.
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m 1
即m-1 ≠0，解 得m≠1 且m≠-3 ； （3）要使z为纯虚数，需满足 m(m 2) ＝0，且m2+2m-3≠0，
m 1
解得 m＝0或 m＝-2.
【点拨】 利用复数的分类求参数时，要先确定使构成复数的实部、虚部的式子有意 义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.
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训练题1［2019·河北石家庄高三质检］已知a，b∈R，则“a＝b”是“（a-b）+
（a+b）i为纯虚数”的
（）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C 解析：若a＝b＝0，则（a-b）+（a+b）i不是纯虚数；
若
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这样，复数z＝a+bi（a，b∈R）可以分类如下：
复数
实数(b=0)， 虚数(b 0)(当a=0
时为纯虚数).
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，
可用图7.1-1表示.
图7.1-1
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（3）共轭复数的性质
①(z ) ＝z；②z＝ z ⇔ z为实数；③z＝- z （且z≠0）⇔z为纯
虚数；
1 ④z＝ z ⇔ |z|＝1.
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常考题型
一. 复数的概念及分类
例1 已知m∈R，复数z＝ m(m 2) +（m2+2m-3）i，当m为何值时，
3
在复平面内对应的点位于第四象限.
训练题6 ［2019·河南郑州高三质测］已知复数z＝（a2-2a） +（a2-a-2）i对应的点在虚轴上，则 （ ） A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1 C.a＝0 D.a＝2或a＝0 答案： D 解析：由题意，得a2-2a＝0，解得a＝0或a＝2.
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（a-b）+（a+b）i是纯虚数，则
a a
b b
0, 0.
故选C.
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训练题 2. 若复数z＝ 3x 1 -x+（x2-4x+3）i>0，则实
数x＝
.
答案： 1 解析：∵ z>0，∴ z∈R，∴ x2-4x+3＝0，∴ x＝1或x＝ 3. 又 3x 1 -x>0，∴ x＝1.
知识梳理
一、复数的相关概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数（complex number），其中i叫做 虚数单位（英语单词：imaginary unit的首字母）.全体复数所构成的集合C＝ {a+bi|a，b∈R}叫做复数集. 复数通常用字母z表示，即z＝a+bi（a，b∈R）.以后不作特殊说明时，复数z ＝a+bi都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
0.
5 2
，分别代入①式，
得a＝11或a＝- 71 .
5
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训练题3［2019·河南名校高二联考］已知关于实数x，y的方
程组
(2x (2x
1) ay)
i
=y (3 (4x y
y)i b)i
， =9 8i
有实数解，求实数a，b的
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【解】 （1）由复数相等的充要条件，
得
x y
y =x
=10，，解得
x y
1 2
1 2
.
,
（2）设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2- a m-1＝
2
（10-m-2m 2） i，
所以
3m2 10
a m 1 2
m 2m2
0，由②解得m＝2或m＝
应点 在上半 平面（ 含实轴 ）.
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训练题5［2019·湖南长沙市长郡中学高二调考］若 2 <m<1，
3
则复数z＝（3m-2）+（m-1）i在复平面内对应的点位于第 象限.
答案：四 解析：∵ 2 <m<1，∴ 3m-2>0，m-1<0，∴ 复数z
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【 解】
（1
）
要使
点位
于第
四象
限，
需
m 2
m
2
8m 3m
15 0, 28 0,
∴
m 3或m 5， 7 m 4，
解得 -7<m<3.
∴ 当m∈（-7，3）时，复数z在复平面内的对应点在第四象
限.
2.复数相等
在复数集C＝{a+bi|a，b∈R}中任取两个数a+bi，c+di（a，b，c， d∈R），我们规定： a+bi与c+di相等当且仅当a＝c且b＝d.即两个复数相等的充要条件是：实 部与虚部分别 相等.
3.复数的分类
对于复数a+bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝ b＝0时， 它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.
(2)模的常用性质
设z1，z2是任意两个复数，则
（1）|z1·z2|＝|z1|·|z2|，
z1 z2
| |
z1 z2
| |
（ |z2| ≠0 ） （复 数 的 乘、 除
法将在下节学习到）. （2）|zn1|＝|z1|n（n∈Z*）. （3）||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1+z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线； ②当||z1|-|z2||＝|z1+z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线. （4）||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1-z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线； ②当||z1|-|z2||＝|z1-z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线.
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三 复数与复平面内点的关系
例 3 当 实 数 m 为 何 值 时 ， 复 数 z ＝ （ m2-8m+15 ） + （m2+3m-28）i在复平面内的对应点 （1）位于第四象限； （2）位于x轴负半轴上； （3）在上半平面（含实轴）. 【解题提示】 （1）根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解. （2）根据实部小于0，虚部等于0，列式求解. （3）根据虚部大于或等于0，列不等式求解.
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训练题7［2019·河南郑州一中高三二联］若x，y∈R，i为虚数单位，且
x+y+（x-y）i＝3-i，则复数x+yi在复平面内所对应的点在 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：A 解析：∵ x+y+（x-y）i＝3-i，
∴
x
x
y y
m2 8m 15 0,
（2
）要
使点位
于x轴负
半轴上
，需
m
2
3m
28
0,
∴ 3mm7或 5m，4，解得m＝4.
∴ 当m＝4时，复数z在复平面内的对应点在x轴负半轴上.
（3 ）要 使点位 于上半 平面（ 含实轴 ），需m2 +3m-28 ≥0，
解得 m≥4 或m≤-7.
∴ 当m∈（-∞，-7］∪［4，+∞）时，复数z在复平面内对
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四 复数与平面向量的关系
训练题4 题已知x是实数，y是纯虚数，且满足（2x-1）+（3-y）i＝y-i，求x和y.
解：∵ y是纯虚数，∴ 可设y＝bi（b∈R，b≠0），则（2x-1）
+（3-bi）i＝（b-1）i，整理，得（2x-1+b）+3i＝
（b-1 ）i.
由复数相等的充要条件，
得
2x 1 b b 1 3,
0,
b 4,
解得
x
3 2
,
∴
x＝- 3 ，y＝4i.
2
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【思路点拨】 已知复数相等求解参数时： （1）将等式两边整理为a+bi（a，b∈R）的形式. （2）由复数相等的充要条件得到由实数等式所组成的方程（组）. （3）解方程（组），求出相应的参数. （4）解关于方程有实根的问题，一般都是先把实根代入方程，再用复数 相等的充要条件求解. 复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法， 转化过程主要依据复数相等的充要条件.
第七章 复 数
7.1 复数的概念
学习目标
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部 的矛盾在数系扩充过程中的作用. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在 复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的 复数用代数形式表示 重点：复数的有关概念、复数的代数形式及其几何意义. 难点：复数相等的条件；复数的几何意义.
3，解得
1，
x源自文库
y
1, 2.
∴ 复数1+2i在复平面内所对应的点在第一象限.
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【思路点拨】 根据已知复数在复平面内所对应的位置求解参数时： （1）首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标. （2）根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系. （3）求解相应的不等式（组）或方程（组）. 【注意】 复数z＝a+bi（a，b∈R）与复平面内的点（a，b）是一一对应的.
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二. 复数相等的应用
例2（1）若（x+y）+yi＝（x+1）i，求实数x，y的 值； （2）关于x的方程3x2- a x-1＝（10-x-2x2）i有实根，
2
求实数a的值.
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三、复数的几何意义 1、用复平面内的点表示复数
若点Z的横坐标是a，纵坐标是b，则复数z＝a+bi可用点Z（a，b）表示，这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然， 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 按照这种表示方法，可知，复数集C中的数与复平面内的点 可以建立一一对应关系.如图 特别提示：复数z＝a+bi（a，b∈R）的对应点的坐标为Z（a，b）， 而不是（a,bi).
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2、用平面向量表示复数
复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量可以 建立如图所示的一一对应关系（实数0与零向量对应）
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3.复数的模
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4.共轭复数
（1）定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复
数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚z数.z
（2）记法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a+bi，那么 ＝a-bi.
（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数.
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【解题提示】 依据复数的分类列出方程（不等式）（组） 求解 . 解：（1）要使z为实数，需满足m2+2m-3＝0，且 m(m 2) 有
m 1
意义 ， 即m-1 ≠0，解 得m＝ -3； （2）要使z为虚数，需满足m2+2m-3≠0，且 m(m 2) 有意义，
（1）定义 向量 OZ 的模叫做复数z＝a+bi的模或绝对值，记作 |z| 或 |a+bi|.即|z|＝|a+bi|＝ a2 b2 ，其中a，b∈R. 如果 b＝0，那么 z＝a+bi 是一个实数 a，它的模就等于|a| （a 的绝对值）
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值.
解：根据复数相等的充要条件，得
2x 1
1 y, (3 y),
解得
x
5 2
，
③
y 4.
把③代入②，得5+4a-（6+b）i＝9-8i，且a，b∈R，
∴
5 6
4a 9, b 8,
解得
a b
1, 2.
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m 1
即m-1 ≠0，解 得m≠1 且m≠-3 ； （3）要使z为纯虚数，需满足 m(m 2) ＝0，且m2+2m-3≠0，
m 1
解得 m＝0或 m＝-2.
【点拨】 利用复数的分类求参数时，要先确定使构成复数的实部、虚部的式子有意 义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.
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训练题1［2019·河北石家庄高三质检］已知a，b∈R，则“a＝b”是“（a-b）+
（a+b）i为纯虚数”的
（）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C 解析：若a＝b＝0，则（a-b）+（a+b）i不是纯虚数；
若
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这样，复数z＝a+bi（a，b∈R）可以分类如下：
复数
实数(b=0)， 虚数(b 0)(当a=0
时为纯虚数).
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，
可用图7.1-1表示.
图7.1-1
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（3）共轭复数的性质
①(z ) ＝z；②z＝ z ⇔ z为实数；③z＝- z （且z≠0）⇔z为纯
虚数；
1 ④z＝ z ⇔ |z|＝1.
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常考题型
一. 复数的概念及分类
例1 已知m∈R，复数z＝ m(m 2) +（m2+2m-3）i，当m为何值时，
3
在复平面内对应的点位于第四象限.
训练题6 ［2019·河南郑州高三质测］已知复数z＝（a2-2a） +（a2-a-2）i对应的点在虚轴上，则 （ ） A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1 C.a＝0 D.a＝2或a＝0 答案： D 解析：由题意，得a2-2a＝0，解得a＝0或a＝2.
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（a-b）+（a+b）i是纯虚数，则
a a
b b
0, 0.
故选C.
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训练题 2. 若复数z＝ 3x 1 -x+（x2-4x+3）i>0，则实
数x＝
.
答案： 1 解析：∵ z>0，∴ z∈R，∴ x2-4x+3＝0，∴ x＝1或x＝ 3. 又 3x 1 -x>0，∴ x＝1.
知识梳理
一、复数的相关概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数（complex number），其中i叫做 虚数单位（英语单词：imaginary unit的首字母）.全体复数所构成的集合C＝ {a+bi|a，b∈R}叫做复数集. 复数通常用字母z表示，即z＝a+bi（a，b∈R）.以后不作特殊说明时，复数z ＝a+bi都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
0.
5 2
，分别代入①式，
得a＝11或a＝- 71 .
5
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训练题3［2019·河南名校高二联考］已知关于实数x，y的方
程组
(2x (2x
1) ay)
i
=y (3 (4x y
y)i b)i
， =9 8i
有实数解，求实数a，b的
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【解】 （1）由复数相等的充要条件，
得
x y
y =x
=10，，解得
x y
1 2
1 2
.
,
（2）设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2- a m-1＝
2
（10-m-2m 2） i，
所以
3m2 10
a m 1 2
m 2m2
0，由②解得m＝2或m＝
应点 在上半 平面（ 含实轴 ）.
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训练题5［2019·湖南长沙市长郡中学高二调考］若 2 <m<1，
3
则复数z＝（3m-2）+（m-1）i在复平面内对应的点位于第 象限.
答案：四 解析：∵ 2 <m<1，∴ 3m-2>0，m-1<0，∴ 复数z
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【 解】
（1
）
要使
点位
于第
四象
限，
需
m 2
m
2
8m 3m
15 0, 28 0,
∴
m 3或m 5， 7 m 4，
解得 -7<m<3.
∴ 当m∈（-7，3）时，复数z在复平面内的对应点在第四象
限.
2.复数相等
在复数集C＝{a+bi|a，b∈R}中任取两个数a+bi，c+di（a，b，c， d∈R），我们规定： a+bi与c+di相等当且仅当a＝c且b＝d.即两个复数相等的充要条件是：实 部与虚部分别 相等.
3.复数的分类
对于复数a+bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝ b＝0时， 它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.
(2)模的常用性质
设z1，z2是任意两个复数，则
（1）|z1·z2|＝|z1|·|z2|，
z1 z2
| |
z1 z2
| |
（ |z2| ≠0 ） （复 数 的 乘、 除
法将在下节学习到）. （2）|zn1|＝|z1|n（n∈Z*）. （3）||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1+z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线； ②当||z1|-|z2||＝|z1+z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线. （4）||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1-z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线； ②当||z1|-|z2||＝|z1-z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线.
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三 复数与复平面内点的关系
例 3 当 实 数 m 为 何 值 时 ， 复 数 z ＝ （ m2-8m+15 ） + （m2+3m-28）i在复平面内的对应点 （1）位于第四象限； （2）位于x轴负半轴上； （3）在上半平面（含实轴）. 【解题提示】 （1）根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解. （2）根据实部小于0，虚部等于0，列式求解. （3）根据虚部大于或等于0，列不等式求解.
高中数学人教A版《复数的概念》精品 系列1
训练题7［2019·河南郑州一中高三二联］若x，y∈R，i为虚数单位，且
x+y+（x-y）i＝3-i，则复数x+yi在复平面内所对应的点在 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：A 解析：∵ x+y+（x-y）i＝3-i，
∴
x
x
y y
m2 8m 15 0,
（2
）要
使点位
于x轴负
半轴上
，需
m
2
3m
28
0,
∴ 3mm7或 5m，4，解得m＝4.
∴ 当m＝4时，复数z在复平面内的对应点在x轴负半轴上.
（3 ）要 使点位 于上半 平面（ 含实轴 ），需m2 +3m-28 ≥0，
解得 m≥4 或m≤-7.
∴ 当m∈（-∞，-7］∪［4，+∞）时，复数z在复平面内对
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四 复数与平面向量的关系
训练题4 题已知x是实数，y是纯虚数，且满足（2x-1）+（3-y）i＝y-i，求x和y.
解：∵ y是纯虚数，∴ 可设y＝bi（b∈R，b≠0），则（2x-1）
+（3-bi）i＝（b-1）i，整理，得（2x-1+b）+3i＝
（b-1 ）i.
由复数相等的充要条件，
得
2x 1 b b 1 3,
0,
b 4,
解得
x
3 2
,
∴
x＝- 3 ，y＝4i.
2
高中数学人教A版《复数的概念》精品 系列1
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【思路点拨】 已知复数相等求解参数时： （1）将等式两边整理为a+bi（a，b∈R）的形式. （2）由复数相等的充要条件得到由实数等式所组成的方程（组）. （3）解方程（组），求出相应的参数. （4）解关于方程有实根的问题，一般都是先把实根代入方程，再用复数 相等的充要条件求解. 复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法， 转化过程主要依据复数相等的充要条件.
第七章 复 数
7.1 复数的概念
学习目标
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部 的矛盾在数系扩充过程中的作用. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在 复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的 复数用代数形式表示 重点：复数的有关概念、复数的代数形式及其几何意义. 难点：复数相等的条件；复数的几何意义.
3，解得
1，
x源自文库
y
1, 2.
∴ 复数1+2i在复平面内所对应的点在第一象限.
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【思路点拨】 根据已知复数在复平面内所对应的位置求解参数时： （1）首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标. （2）根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系. （3）求解相应的不等式（组）或方程（组）. 【注意】 复数z＝a+bi（a，b∈R）与复平面内的点（a，b）是一一对应的.
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二. 复数相等的应用
例2（1）若（x+y）+yi＝（x+1）i，求实数x，y的 值； （2）关于x的方程3x2- a x-1＝（10-x-2x2）i有实根，
2
求实数a的值.
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三、复数的几何意义 1、用复平面内的点表示复数
若点Z的横坐标是a，纵坐标是b，则复数z＝a+bi可用点Z（a，b）表示，这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然， 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 按照这种表示方法，可知，复数集C中的数与复平面内的点 可以建立一一对应关系.如图 特别提示：复数z＝a+bi（a，b∈R）的对应点的坐标为Z（a，b）， 而不是（a,bi).
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2、用平面向量表示复数
复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量可以 建立如图所示的一一对应关系（实数0与零向量对应）
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3.复数的模
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4.共轭复数
（1）定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复
数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚z数.z
（2）记法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a+bi，那么 ＝a-bi.