2<+-y x
∴(x-1)2+y 2<4 ②,由①,②得x ≠-1,选A 5、
3
29 左准线为x=-59,M 到左准线距离为529)59(4=--=d 则M 到左焦点的距离为329
52935=?=ed
6、)2
1
(21>=y x
设弦为AB ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)AB 中点为(x ,y),则y 1=2x 12,y 2=2x 22,y 1-y 2=2(x 12-x 22) ∴
)(2212
121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ,21=x
将21=
x 代入y=2x 2得21=y ,轨迹方程是21=x (y>2
1
) 7、y 2=x+2(x>2)
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点M(x ,y),则
2)(),
(2,2,2212
12
1212
221222121=+?---=-==y y x x y y x x y y x y x y
∵20+-=
=x y k k MP AB ,∴
222
=?+y x y
,即y 2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P ,即y 2<2x ,即x+2<2x ,∴x>2 8、4
22,8,4222====c c b a ,令22=x 代入方程得8-y 2=4
∴y 2=4,y=±2,弦长为4 9、12±±
或
y=kx+1代入x 2-y 2=1得x 2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k 2)x 2①???=?≠-0
12k ②1-k 2=0得k=10、解:a 2设F 1、F 2
设θ=∠==212211,,PF F r PF r PF
则??
?=-+=+2
2122
2
1
21)
2(cos 22c r r r r r r θθ
①2-②得2r 1r 2(1+cos θ)=4b 2
∴1+cos θ=2
12
212224r r b r r b =
∵r 1+r 2212r r ≥, ∴r 1r 2的最大值为a 2 ∴1+cos θ的最小值为22
2a
b ,即1+cos θ2518≥
cos θ257-
≥, 257arccos 0-≤≤πθ则当2
π
θ=时,sin θ取值得最大值1, 即sin ∠F 1PF 2的最大值为1。
11、设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
由题意:C 、2C 、c c a +2
成等差数列, ∴222
24c a c c
a c c =++=即, ∴a 2=2(a 2-
b 2),∴a 2=2b 2
椭圆方程为1222
22=+b
y b x ,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)
则12221221=+b y b x ① 1222
2
2
22=+b y b x ② ①-②得
022
2
2
2122221=-+-b y y b x x ∴
022
2=?+k b y b x m m 即
02
2
=+-k ∴k=1 直线AB 方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x 2+2y 2-2b 2=0得x 2+2(x+3)2-2b 2=0 ∴3x 2+12x+18-2b 2=0, 342)218(12123
1
112221=--=
+-=b x x AB 解得b 2
=12, ∴椭圆方程为
112
242
2=+y x ,直线l 方程为x-y+3=0 12、证明:设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),AD 中点为M(x 0,y 0)直线l 的斜率为k ,则
④ ⑤ ???????=-=-112
2
222222
12
21b y a x b y a x ①-②得02220
20=?-
k b
y a x ③ 设),(),,(),,(002211
y x M BC y x C y x B '''''''中点为, 则???????=-=-0022
12
2
21222112211b y a x b y a x ④-⑤得02221
021
=?-'k b
y a x ⑥
由③、⑥知M 、M '均在直线022:
22=?-'k b
y
a x l 上,而M 、M '又在直线l 上 , 若l 过原点,则B 、C 重合于原点,命题成立 若l 与x 轴垂直,则由对称性知命题成立 若l 不过原点且与x 轴不垂直,则M 与M '重合 ∴CD AB =
① ②
圆锥曲线全部公式及概念
圆锥曲线 1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=? 离心率c e a == 准线到中心的距离为2a c ,焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =. 通径的一半(焦参数):2 b a . 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()a PF e x a ex c =+=+,22()a PF e x a ex c =-=-;1221tan 2 F PF F PF S b ?∠=. 3.椭圆的的内外部: (1)点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. (2)点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y b ?+>. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ,焦点到对应准线 的距离(焦准距)2p c = 通径的一半(焦参数):2 b a 焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+,2 2|()|||a PF e x a ex c =-=-, 两焦半径与焦距构成三角形的面积122 1cot 2 F PF F PF S b ?∠=. 5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 6.双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1)若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22 22b y a x (0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是b 7.抛物线px y 22 =的焦半径公式: 抛物线2 2(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122. 8.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2 (2,2)P pt pt P (,)x y ,其中 22y px =. 9.二次函数22 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线:(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-;(3)准线方程是2414ac b y a --=. 10.以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切;以抛物线焦点弦为直径的圆,必与准线相切;以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切. 11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: AB = 1212||||AB x x y y ==-=-
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,
圆锥曲线方法归纳
圆锥曲线方法归纳 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ,1342222=+y x ;两式相减得()()03422 2 12221 =-+-y y x x ?()() ()() 3421212121y y y y x x x x +--=+-?AB k =b a 43- (ⅰ)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时,常用“点差法”“设而不求”整体来求,借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.但在求得直线方程后,一定要代入原方程进行检验. (ⅱ)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤: 设点——设出弦的两端点坐标 ↓ 代入——代入圆锥曲线方程 ↓ 作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开 ↓ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解 1. 已知椭圆x 2+2y 2=4,求椭圆上以(1, 1)为中点的弦所在的直线方程?
2. 如果椭圆x 236+y 29=1的弦被点A (4, 2)平分,求这条弦所在的直线方程 3. 已知直线y =-x +1与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)相交于A , B 两点,且线段AB 的中 点在直线l :x -2y =0上,则此椭圆的离心率为 . 4. 过点M (1, 1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)相交于A , B 两点, 若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于 . 5. 已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A , B 两点,若 线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 . 6. 已知双曲线E 的中心为原点,F (3, 0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A , B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15),则E 的方程为
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<>=+b a b y a x 中心在原点,焦点在x 轴上 )0(12 2 22>>=+b a b x a y 中心在原点,焦点在y 轴上 图形 范围 x a y b ≤≤, x b y a ≤≤, 顶点 ()()()() 12120000A a A a B b B b --,、,,、, ()()()() 12120000A a A a B b B b --,、,,、, 对称轴 x 轴、y 轴; 长轴长2a ,短轴长2b ; 焦点在长轴上 x 轴、y 轴; 长轴长2a ,短轴长2b ; 焦点在长轴上 焦点 ()()1200F c F c -,、, ()()1200F c F c -,、, 焦距 )0(221>=c c F F )0(221>=c c F F 离心率 )10(<<= e a c e )10(<<= e a c e 准线 2 a x c =± 2 a y c =± 参数方程与普通方程 22 22 1x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θ θθ=?? =?为参数 22 22 1y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θ θθ =?? =?为参数
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线知识考点 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率:1 21 2180<α≤0(tan x x y y --==) α 2、直线方程: ⑴点斜式:直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k : ()00x x k y y -=- ⑵斜截式:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b :b kx y += ⑶两点式:已知两点) ,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121 y y x x ≠≠: 121 121 y y y y x x x x --=-- ⑷截距式:已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ,与y 轴的交点为B ),0(b : 1x y a b += ⑸一般式:0=++C By Ax (A 、B 不同时为0, 斜率B A k -=,y 轴截距为B C -) (6)k 不存在?a x b a x o =??=)的直线方程为过(轴垂直,90α 3、直线之间的关系: 222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ⑴ 平行:{ ? ?≠=2121212 1//b b k k k k l l 且都不存在 , 2 1 2121C C B B A A ≠= ⑵ 垂直:{ ?? ⊥-=?-==2 121211 1.0 21k k k k k k l l 不存在,02121=+B B A A ⑶平行系方程:与直线0=++C By Ax 平行的方程设为:0=++m By Ax ⑷垂直系方程:与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为: 0=++n Ay Bx ⑸定点(交点)系方程:过两条直线 :,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为: 0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ 反之直线0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ中,λ取任何一切实
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结91876
圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=-0 202y a x b ; 在双曲线22 221x y a b -=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ;在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒:因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0?>! 2.了解下列结论 (1)双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02 222=-b y a x ; (2)以x a b y ±=为渐近线(即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线)的双曲线方程为λλ(2222=-b y a x 为参数,λ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为22b a ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为2 b c ,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ,1122(,),(,)A x y B x y ,则①12||AB x x p =++;②2 21212,4 p x x y y p ==- (7)若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1)在ABC ?中,给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; (2)在ABC ?中,给出222==,等于已知O 是ABC ?的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外 心是三角形三边垂直平分线的交点); (3)在ABC ?中,给出=++,等于已知O 是ABC ?的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (4)在ABC ?中,给出?=?=?,等于已知O 是ABC ?的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); (5) 给出以下情形之一:①//;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. (6) 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角, (8 ) 给出=??+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9)在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形;
圆锥曲线知识点全归纳完整精华版
圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020
圆锥曲线知识点全归纳(精华版) 圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。 一、圆锥曲线的方程和性质: 1)椭圆 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆标准方程:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1? 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程:(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 参数方程: X=acosθY=bsinθ(θ为参数,设横坐标为acosθ,是由于圆锥曲线的考虑,椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0,圆的acosθ=r) 2)双曲线 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1? 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程:(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程: x=asecθy=btanθ(θ为参数) 3)抛物线 标准方程: 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程:y^2=2px其中p>0 2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程:y^2=-2px其中p>0 3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程:x^2=2py其中p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程:x^2=-2py其中p>0 参数方程? x=2pt^2?y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地,t 可等于0 直角坐标? y=ax^2+bx+c(开口方向为y轴,a<>0)x=ay^2+by+c(开口方向为x轴,a<>0) 圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为?
圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?????>=0e ,e d |PF ||P ,其中 F 为定点,d 为P 到定直线的距离,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当01时,点P 轨迹是双曲线;当e=1时,点P 轨迹是抛物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF 1|+|PF 2|=2a ,2a>|F 1F 2|>0,F 1、F 2为定点},双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|>2a>0,F 1,F 2为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变而改变。 定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 (4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 举焦点在x 轴上的方程如下: 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1b y a x 2 22 2=+ (a>b>0) 1b y a x 2 22 2=- (a>0,b>0) y 2=2px (p>0) 顶 点 (±a ,0) (0,±b ) (±a ,0) (0,0) 焦 点 (±c ,0) ( 2 p ,0) 准 线 X=±c a 2 x=2 p - 中 心 (0,0) 焦半径 P(x 0,y 0)为圆锥曲线上一点,F 1、F 2分别为左、右焦点 |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0 P 在右支时: |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=-a+ex 0 P 在左支时: |PF 1|=-a-ex 0 |PF 2|=a-ex 0 |PF|=x 0+ 2 p
圆锥曲线方法总结
圆锥曲线考点及方法总结(江苏)1 化斜为直:利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比,然后再将直角边之比转化为坐标之比这就将几何量转化为代数值 2相关点法求曲线轨迹如求p的轨迹方程若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系然后带入L即可 3设点、设线然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化,然后联立直线与曲线的方程,利用韦达定理,涉及最值或范围问题时注意带塔>0; 4圆锥曲线中的最值问题:通常构造函数转化为求函数最值(导数求解),也可以保留两个变量运用基本不等式求解,当然在设点时用圆锥曲线的参数方程,这样最值问题最终转化为三角函数最值问题 5几何性质:角平分线定理 6公式化法则 7焦半径公式 8极坐标方程(与焦半径有关的题目才能用) 9参数方程(涉及最值与定值问题时可尝试) 10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度注意线段的方向性即t的正负(在涉及线段长度的题目中有效) 11注意利用点在曲线上这一基本条件许多
设而不求最终都会用到这一条件 12常见椭圆结论:k1*k2为定值(与椭圆对称点)点差法的到的结论椭圆切点出的切线方程椭圆是对称图形 13弦长公式 14 SOAB= 15代换技巧:如两直线过同一点只有K不一样,则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据(不只斜率K可以代换,点也可以代换)减少计算量 16当化简到非常复杂的式子时,考虑能否整体代换,将形式复杂的部分用一个变量代替 17利用三点共线列等式 18直线过定点问题 方法一;求出AB直线方程再求定点 方法二:取两个特殊位置的直线,解出交点C,验证交点C是否在直线AB上,只需算k1=k2即可 方法三,若能观察出定点在x轴上,解出AB方程令y=0,解出x为定值即可 19对设而不求方法的具体介绍:大胆设点,利用以下结论 一:点在曲线上 二:点满足一定条件(题目所给) 三:韦达定理 运用好这三点,就可以做到舍而不求
圆锥曲线弦长公式
圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线代入曲线方程,化为关于x的一元二次方程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式求出弦长,这种整体代换,设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的,然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为,半焦距为,焦点,设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点,求弦长。解:连结,设,由椭圆定义得,由余弦定理得 ,整理可得,同理可求得,则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为(a为长半轴,b为短半轴,c为半焦距) 结论:椭圆过焦点弦长公式: 二
. 双曲线的焦点弦长 设双曲线,其中两焦点坐标为 ,过的直线的倾斜角为,交双曲线于A、B两点,求弦长|AB|。 。 解:(1)当时,(如图2)直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上,连,设,由双曲线定义可得,由余弦定理可得 整理可得,同理,则可求得弦长
(2)当或时,如图3,直线l与双曲线交点A、B在两支上,连,设,则,,由余弦定理可得, 整理可得,则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三
其中a为实半轴,b为虚半轴,c为半焦距,为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点,若的倾斜角为,求弦长|AB|(图4) 解:过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足,设,,则点A的横坐标为,点B横坐标为,由抛物线定义可得 即 则 同理的焦点弦长为
的焦点弦长为,所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长,非常简单明确,应予以掌握。 一
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝 对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|, 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1 (0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,2 2 y x +的最小值是___ ) (2)双曲线:焦点在x 轴上: 2 2 22b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 如设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴 上,离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=) (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开 口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆,则m 的取值范围是__(答:)2 3 ,1()1,( --∞) (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦 点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例): ①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长 为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2 a x c =± ; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆 越圆;e 越大,椭圆越扁。 如(1)若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ,则m 的值是__(答:3或 3 25); (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 22) (2)双曲线(以22 22 1x y a b -=(0,0a b >>)为 例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等 时,称为等轴双曲线,其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤ 离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大; ⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围: 0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几 何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线: 一条准线2 p x =-; ⑤离心率:c e a =,抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0,则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________(答:)161 , 0(a ); 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x (0a b >>)的 关系:(1)点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>;(2) 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +=1;(3)点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0?>?直线与椭圆相交; 0?>?直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0?>,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0?>是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0?>?直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0?>,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2)相切:0?=?直线与椭圆相切;0?=?直线与双曲线相切;0?=?直线与抛物线相切; (3)相离:0?中, 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒:因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0?>! 11.了解下列结论 (1)双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ; (2)以x a b y ±=为渐近线(即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线)的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数,λ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称 轴的弦)为2 2b a ,焦准距(焦点到相应准线的距离) 为2b c ,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB , 1122(,),(,)A x y B x y ,则①12||AB x x p =++; ②2 21212,4 p x x y y p ==- (7)若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题: 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)
圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线解题方法技巧归纳 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴 上). (1)若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; (2)若角A 为0 90,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程. 分析:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率,从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ,从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程; 解:(1)设B (1x ,1y ),C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心,所以由 2321=+x x ,得30=x ,由03421=++y y 得20-=y ,代入(1)得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x (2) 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入,得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+,222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入(2)式得 054163292 2=+--k b b ,解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点(0,)94-,设D (x,y ),则1494 -=-?+ x y x y ,即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法 例2、如图,已知梯形ABCD 中CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线 过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围。
解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+ 椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02 020=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 椭圆与双曲线的对偶性质总结 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点.
圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧.doc
百度文库- 让每个人平等地提升自我 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备: 1.直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k tan , [0, ) k y2 y1 x2 x1 ②点 P(x0 , y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离 Ax0 By0 C d B2 A2 l1 : y k1x b1 夹角为,k2 k1 ③夹角公式:直线则 tan l2 : y k2 x b2 1 k2 k1 ( 3)弦长公式 直线 y kx b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离 ① AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ② AB 1 k2 x x (1 k 2 )[( x x ) 2 4x x ] 1 2 1 2 1 2 ③ AB 1 1 y1 y2 k 2 ( 4)两条直线的位置关系 (Ⅰ) l1 : y k1x b1 l2 : y k2 x b2 ① l1 l2 k1k2=-1 ② l1 // l2k1 k2且 b1 b2 l1 : A1 x B1 y C1 0 (Ⅱ) l2 : A2 x B2 y C2 ① l1 l2A1 A2 B1B2 0 ② l1 / /l 2 A1B2 - A2 B1 =0且 AC1 2 - A2C1 0或 A1 B1 C1 者( A2 B2C2 0 )
两平行线距离公式 l 1 : y kx b 1 | b 1 b 2 | l 2 : y kx b 2 距离 d k 2 1 l 1 : Ax By C 1 0 |C 1 C 2 | l 2 : Ax By C 2 距离 d B 2 A 2 2、圆锥曲线方程及性质 1. 圆锥曲线的两定义 : 第一定义 中要重视“括号”内的限制条件 :椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的 和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 F 1 F 2 ,当常数等于 F 1 F 2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 , 当常数小于 F 1F 2 时,无轨迹; 双曲线中 ,与两定点 F 1 , F 2 的距离的差的绝对值等于常 数 2a ,且此常数 2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ,定义中的 “绝对值”与 2a < |F 1 F 2 | 不可忽视 。 若 2a = |F 1 F 2 | ,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2a ﹥ |F 1 F 2 | ,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x 6)2 y 2 ( x 6)2 y 2 8 表示的曲线是 _____(答:双曲线的左支) 2. 圆锥曲线的标准方程 (标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): ( 1)椭圆 :焦点在 x 轴上时 x 2 y 2 y 轴上时 y 2 x 2 2 2 1 ( a b 0 ),焦点在 2 2 = 1 a b a b ( a b 0 )。方程 2 2 表示椭圆的充要条件是什么?( ≠ ,且 A , B ,C Ax By C ABC 0 同号, A ≠B )。椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程: x 2 y 2 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程: (x c)2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a 参数方程: x a cos , y bsin 若 x, y R ,且 3x 2 2 y 2 6 ,则 x y 的最大值是 ____,x 2 y 2 的最小值是 ___(答: 5,2 ) ( )双曲线:焦点在 x 轴上: x 2 y 2 y 2 x 2 =1( a 0, b 0 )。 2 a 2 b 2 =1 ,焦点在 y 轴上: 2 b 2 方程 Ax 2 By 2 a C 表示双曲线的充要条件是什么?( ABC ≠0,且 A , B 异号)。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 1 、 F 2 在坐标轴上,离心率 e 2 的双曲线 C 过点 F