数学浙教版八年级下册第2章一元二次方程 教案

2.1 一元二次方程

教学内容

一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式及有关概念．

教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．

3．解决一些概念性的题目.

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．

重难点

重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

教学过程

一、情景导入

学生活动：列方程．

问题(1)古算趣题：“执竿进屋”

笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.

有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足.

借问竿长多少数，谁人算出我佩服.

如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，长为_______尺.

根据题意，得________．

整理、化简，得__________．

二、探索新知

学生活动：请口答下面问题．

(1)上面方程整理后含有几个未知数？

(2)按照整式中的多项式的规定，它的最高次数是几次？

(3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？

老师点评：(1)只含一个未知数x；(2)它的最高次数是2；(3)有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0

(a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax 2

+bx +c =0(a ≠0)后，其中ax 2

是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．

例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

(1)9x 2=5-4x ； (2)(2-x )(3x +4)=3.

例2 已知一元二次方程220x bx c ++=的两个根分别为x 1=5

2

和x 2=3-，求这个方程. 三、巩固练习

判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x +2=5y -3； (2) x 2=4； (3)3x 2-5

x

=0； (4) x 2-4=(x +2)2 ； (5)ax 2+bx +c =0. 四、应用拓展

求证：关于x 的方程(m 2

-8m +17)x 2

+2mx +1=0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程． 分析：要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2-8m +17≠0即可． 证明：m 2-8m +17=(m -4)2+1. ∵(m -4)2≥0,

∴(m -4)2+1>0，即(m -4)2+1≠0,

∴不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．

练习:1.方程(2a —4)x 2—2bx +a =0， 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

2.当m 为何值时，方程(m +1)x

|4m |-4

+27mx +5=0是关于x 的一元二次方程.

五、归纳小结(学生总结，教师点评) 本节课要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其运用．

2.2 一元二次方程的解法

教学目标

会利用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；能利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况．

重难点

重点：四种一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式的意义. 难点：用因式分解法和配方法解一元二次方程．

教学过程 一、探究新知

上节课我们学习了一元二次方程的有关概念，同学们还记得吗？谁能说一说？ 教师：我们知道“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）”，那么我们怎么求一元二次方程的解呢？

学生思考，教师引入新课. 二、例题导学 1.因式分解法 例1 解下列方程:

(1)x 2

-3x =0. (2)25x 2

=16.

解：（1）将原方程的左边分解因式，得x （x -3）=0，则x=0，或x -3=0，解得x 1=0，x 2=3. （2）移项，得25x 2-16=0.将方程的左边分解因式，得（5x -4）（5x +4）=0，则5x -4=0， 或5x +4=0，解得x 1=

54，x 2=5

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-. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.

例2 解下列一元二次方程： (1)(x -5)(3x -2)=10. (2)(3x -4)2=(4x -3)2.

学生独立完成，教师巡视、指导. 2.开平方法

一般地，对于形如x 2=a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1，x 2.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.

例3 用开平方法解下列方程： (1)3x 2-48=0. (2)(2x -3)2=7.

解：（1）移项，得3x 2=48.方程的两边同除以3，得x 2=16.解得x 1=4，x 2=-4. （2）由原方程，得2x -3=7，或2x -3=-7，解得x 1=273+，x 2=2

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3-. 3.配方法

将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

例4 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2+6x =1. (2)x 2+5x -6=0.

解：（1）方程的两边同加上9，得x 2+6x +9=1+9，即（x +3）2

=10.则x +3=10，或x +3=-10，