8.3.1 完全平方公式
8.3.1 完全平方公式
后算和(差)的平方； a2±b2是先算a2与b2，后算a2，
b2的和(差)．
知3－讲
例3 (1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的取值是多少？ (2)先化简，再求值：
(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3；
(3)已知x2－4x＋1＝0， 求代数式(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值． 导引： 对于(1)把左边的式子展开后对比各项，可得解；
知1－导
知识点
1 完全平方公式的特征
问 题 1
由多项式乘法可得乘法公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
①
②
上面两个公式，今后可以直接应用于运算，称为 完全平方公式(formula for the square of the sum).
知1－导
问 题 2
完全平方公式，除直接由乘法得到，你还可通过图形
第 8章
整式乘法与因式分解
8.3
完全平方公式与平方差公式
第 1 课时
完全平方公式
1
课堂讲解
完全平方公式的特征 完全平方公式
2
课时流程
逐点 导讲练
完全平方公式的应用
课堂 小结
作业 提升
靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧的人 喜欢自己动手制作靠垫.图中右下角的靠垫面子用5块布
料拼合而成，应用了哪些数学知识？
知2－练
3
(中考· 遵义)下列运算正确的是( A．4a－a＝3 B．2(2a－b)＝4a－b
)
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．(a＋2)(a－2)＝a2－4
知3－讲
知识点
1.拓展：
3 完全平方公式的应用
8.3.1_完全平方公式
解：错误．（a+b)2=a2+2ab+b2 （６） (a-1)2=a2-2a-1 解：错误．（a-1)2=a2-2a+1
课堂检测
（1）(6a+5b)2 2 （2）(4x-3y)
解：
(3)(-2m-1)2 2 (4)(2m-1)
2 (1) (6a+5b)2 (3) (-2m-1) =36a2+60ab+25b2 =4m2+4m+1 (2) (4x-3y)2 (4) (2m-1)2 2 =+9y2 =4m -4m+1
发散练习,勇于创新
1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B ) (A ) 11 (B) 9 (C) -11 (D) -9
2.已知(a+b)2=11 , ab=1 , 求(a-b)2的值.
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
2 (a+b) =
2 a 2 a
2 +2ab+b
公式特点：
2 (a-b) =
-
2 2ab+b
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
首平方，末平方， 间的符号相同。 首末两倍中间放
(3) (2s t )
2
2
4a 20a 25
(4) (3x 4 y)
2
2
2
2
4s 4st t
9 x 24 xy 16 y
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
8.3.1完全平方公式 修改版
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江苏卫视最强大脑中国雨人周玮是播出 的第三期《最强大脑》，语言功能关闭 目标引领 的周玮只能用简单的词语跟人交流，但 他拥有惊人的数学天赋，让观众将他与 达斯丁· 霍夫曼饰演的“雨人” 关联起来， 称他是“中国版雨人” 。
下面你能快速的计算出下列算式的结果吗？
2 2
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2 2
(a b) a 2ab b
2 2
两个数的和(或差)的平方,等于这两个数 的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍. 口诀：首平方,尾平方,首尾两倍中间放. 注：公式中的字母a、b可以表示单项式， 也可表示多项式.
5
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Байду номын сангаас
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(1).利用多项式与多项式的乘法法则计算：
(a b)
2
(a b)
2
(2).观察上面的结果，你能发现什么规律吗？ 3分钟后看谁的自学效果好
4
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完全平方公式： (a b) a 2ab b
9
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填空
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（1）如果x2-6xy+N是一个完全平方式,那么N
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2 9y 是____.
（ 2） x2 +kxy+9y2是某个完全平方式的展开 式,则k=___. ±6
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)
8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。
3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一： ；方法二： ；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。
沪科版七年级数学下册课件8.完全平方公式
课堂小测
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ）
A.a2-4a+4
B.a2-2a+4
C.a2-4
D.a2-4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是 ( D )
A.(a－b)2
B.(－a－b)2
C.－(a＋b)2
D.－(a－b)2
课堂小测
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_; (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2_-_2_4_x_y_+_9_y_2 _; (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-4_m__+_1_____; (4) (-2m-1)2 =__4_m_2_+_4_m__+_1_____.
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新知探究
例1 运用完全平方公式计算. (1)(4m+n)2;
解: (4m+n)2= (4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a+b)2= a2 + 2ab + b2 =16m2 +8mn +n2.
新知探究
新知探究
知识要点
添括号法则
添括号时, 如果括号前面是正号, 括到括号里的各项都 不变号; 如果括号前面是负号, 括到括号里的各项都改变 符号（简记为 “负变正不变”）.
新知探究
例4 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
《完全平方公式》人教版数学八年级上册PPT课件
多项式乘以多项式相乘知识点回顾
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一
项,再把所得的积相加。
(a+b)•(m+n)= am
an+
bm
+bn
探索完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律：
1） (x + 1)2 =(x+1)(x+1)= 2+ ++1 = 2 +2x+1
2） (m + 2)2 =(m+2)(m+2)=2+2+2+4= 2 +4m+4
3） (2x + 2)2 =(2x+2)(2x+2)=4 2+2+2+1= 4 2 +4x+1
4） (a + b)2 =(a+b)(a+b)= 2 + ab + ab+= 22 +2ab+ 2
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
∴2 + 2 + 2 − − − ,
1
= 2 (22 + 22 + 2 2 − 2 − 2 − 2),
1
= 2 (2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 )
1
各项都变号.
遇“加”不变，遇“减”都变
探索添括号法则
请同学们完成下列运算并探索添括号法则．
（1）4+5+3
（2）4-5-3
（3）a+b+c
8.3完全平方公式PPT课件
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2倍。
.
5
首(a+平b方)2=，a尾2 平+2方ab，+b2
公式特点：
乘(a-积b的)2=2倍a2放-中2a央b。+b2
1、左边是一个二项式的完全平方；
2、右边积为二次三项式；
3、积中两项为两数的平方和；
4、另一项是两数积的2倍，且与乘式 中间的符号相同；
5 、公式中的字母a，b可以表示数，单 项式和多项式。
.
6
讨论
你能根据图8.8 -1和图8.8 -2 中的面积说 明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 8.8-1
b a
b a 图8.8-2
.
11
练习：运用完全平方公式计算： 1) (a+2b)2 2) (a-2b)2 3) (m-4n)2 4) (4n-m)2
.
12
学一学
例例2 运题用解完全析平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992
变形
解: (1) 1022 = (100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4 =10404
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(ab)2 a 2+2ab+b 2
完全平方公式课件人教版数学八年级上册
完全平方公式（第一课时）
（=(a1b）)2(−m2−·(1a)b2)=·1m+21−21;
壮(a+志b)与2 =毅a力2+是2a事b+业b2的. 双翼。
(两a−数b)和2 =的a完2−全2a平b+方b2公．式：
例(m+运2)用(m完+2全) 平方公式计算：
无例钱判之断人下脚列杆运硬算，是有否钱正之确人，骨若头不酥正。确，给予改正.
例题讲解
初中数学
不要志气高大，倒要俯就卑微的人。不要自以为聪明。
壮志与毅力是事业的双翼。 鱼跳龙门往上游。 学做任何事得按部就班，急不得。
例题讲解
不怕路远，就怕志短。
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
壮志与毅力是事业的双翼。
海志纳不百 立川，有天容下乃无大可壁成立之千事仞。无欲例则刚判断下列运算是否正确，若不正确，给予改正.
ab
初中数学
(a+b)2 = a2+2ab+b2 ．
初中数学
探究新知
能类比两数和的完全平方公式的学习过程， 表示两数差的完全平方吗？即：(a−b)2=？
法一：
法二：
(a−b)2=(a−b)(a−b)
(a−b)2=[a+(−b)]2
=a2−ab−ab+b2
=a2+2·a·(−b)+(−b)2
=a2−2ab+b2．
两数和的完全平方公式： (a+b)2 = a2+2ab+b2.
初中数学
初中数学
例题讲解
×
两数差的完全平方公式： (a−b)2 = a2−2ab+b2.
8.3.1完全平方公式与平方差公式(两课时)
第一课时 完全平方公式
探究
计算下列各式,你能发现什么规律? 2+2p+1 p 2 （1）(p+1) = (p+1) (p+1) = ______ （2）(m+2)2=
2+4m+4 m _________
（3）（p-1）2= p2-2p+1 （4）（m-2）2= m2-4m+4
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式 几何意义 b
(a+b)²
a a
2
b
2 2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式 的图形理解
b a a b
( a b) a ab ab b
2
2
2
a 2ab b
2
2
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x+y)2； (2) (3a-2b)2
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形: 1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式 相同为a
2 2 (a+b)(a-b)=(a) -(b)
相反为b
例2 利用乘法公式计算:
(1) 1999×2001;
(2) (x+3) (x-2) (x2+9) .
解: (1) 1999×2001 =（2000-1）(2000+1) = 20002-12 =40 00000 – 1 =399 9999 (2)(x+3)(x-3)(x2+9) = (x2-9)(x2+9) = x4-81
沪科版8.3.1完全平方公式
b2 ④
② ab b
先算4块小矩形的面积，再求 总面积.所以扩大后正方形广 场的面积是 a2+2ab+b2 .
归纳
ab
a2
a
b2
ab
b （1）如果把它看成一个大正方形，那么它的面积可 (a+b)2 表示为_________. （2）如果把它看成四个小矩形，那么扩建后的面积 a2+2ab+b 就是它们的面积之和，可表示为__________.2 我们可以得到： (a+b)2
2 2
2
例题讲解
例1 利用乘法公式计算： (1)(2x+y)2 解：(2x + y)2= (2x)2 +2•2x •y + y2
(a + b)2= a2 + 2
ab + b2
=4x2 + 4xy +y2
例1
例题讲解
运用完全平方公式计算：
2 (2)(3a-2b)
解： (3a-2b)2 = (3a)2 -2•3a •2b +(2b)2
作业：
1、练习第2题和习题8.3：1. 2、基础训练8.3 (同步练习)
沪科版
七年级下册
８.3.1 完全平方公式
授课老师：安徽省当涂县江心初中 方其祥
2012-3-26
(a -
2= b)
2 a
- 2 ab
+
2 b
=9a2 -12ab +4b2
练一练
利用乘法公式计算：
(1)(3x 1) ; (2)(a 3b) ;
2
2
y 2 2 (3)( 2 x ) ; (4)(2 x 3 y) . 2
完全平方公式
利用完全平方公式计算：
8.9
2
199
2
通过这节课的学 习你学到了什么
小结： (a+b)2= a2 +2ab+b2 1、完全平方公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 2、注意：项数、符号、字母及
其指数；
几点注意：
1、项数：积的项数为三；
2、符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2； 3、字母：不要漏写；
4、字母指数：当公式中的a、b所代表的
单项式字母指数不是1时，乘方时要
记住字母指数需乘2。
作业 作业
1、：教材p.67习题8.3
1，5
更多内容请登录中国教育出版网 Fra 沪科教版数学七年级下学期多媒体课件 8.3.1：完全平方公式
数学沪科版七年级下 安徽省蒙城县板桥中学 王玉杰
复习提问：
1、多项式的乘法法则是什么？
用一个多项式的每一项乘以另一 个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 +ab +ab +b2 =a 2 +2ab+b2 =a =(a-b) (a-b) 2 - ab - ab +b2 =a 2 - 2ab+b2 =a
b²
ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
判断
(x+y)2=x2+y2
( a b) a +2ab +b
×
8.3.1完全平方公式与平方差公式
七年级数学问题导学单课题：8.3.1完全平方公式与平方差公式班级：姓名主设计人：上课时间：家长（小组长）签名：一、学习目标1、经历探索完全平方式与平方差公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。
2、会推导乘法公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2。
3、了解公式的几何背景，会用公式计算。
二、学习重难点1、重点：乘法公式的推导及运用。
2、难点：乘法公式的结构特征及运用。
三、学前准备问题探究：1、由多项式乘法公式(a+b)2 = (a+b)(a+b) = ___________________________(a-b)2 = (a-b)(a-b) = ___________________________ ,(a+b)(a-b) = ____________________其中前两个公式我们称之为(___________)公式,后一个称之为（_________）公式。
2、试一试：(p+1)2= (p+1)(p+1)=____________, (p-1)2=(p-1)(p-1)=_______________.(m+2)2=(m+2)(m+2)=____________, (m-2)2=(m-2)(m-2)=______________.3、交流：见课本64页。
4、下列计算对不对,不对请改过来：(1)、(a+b)2=a2+b2(2)、(a-b)2=a2-b2(3)、(a+m)(b+m)=ab+mn (4)、(-1-m)2=m2-2m+15、利用乘法公式计算：（1）(x+2y)2 （2）(3a-2b)2（3）(1-3m)(1+3m)五、自我检测：1、利用乘法公式计算：（1） (3x+2)2 （2）(a-2b)2（3） (2x+3y)2 （4） (-3x+2y)2(5) (-2x-b)2 (6) (2a-b)(2a+b)五、学习反思七年级数学问题导学单课题：8.3.2完全平方公式与平方差公式班级：姓名主设计人：上课时间：家长（小组长）签名：一、学习目标1、通过自学，会运用乘法公式进行计算。
8.3 第1课时 完全平方公式 公开课一等奖教案
8．3完全平方公式与平方差公式第1课时完全平方公式1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)一、情境导入计算：(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.由上述计算，你发现了什么结论？二、合作探究探究点：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．【类型二】构造完全平方式如果36x＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【类型三】运用完全平方公式进行简便计算利用完全平方公式计算：(1)992; (2)1022.解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值若(x ＋y )＝9，且(x －y )＝1.(1)求1x 2＋1y 2的值； (2)求(x 2＋1)(y 2＋1)的值．解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．解：(1)∵(x ＋y )2＝9，(x －y )2＝1，∴x 2＋2xy ＋y 2＝9，x 2－2xy ＋y 2＝1，4xy ＝9－1＝8，∴xy ＝2，∴1x 2＋1y 2＝x 2＋y 2x 2y 2＝（x ＋y ）2－2xy x 2y 2＝9－2×222＝54； (2)∵(x ＋y )2＝9，xy ＝2，∴(x 2＋1)(y 2＋1)＝x 2y 2＋y 2＋x 2＋1＝x 2y 2＋(x ＋y )2－2xy ＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.方法总结：所求的展开式中都含有xy 或x ＋y 时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．【类型五】 完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab .那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )A ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )B ．(a －b )(a ＋2b )＝a 2＋ab －2b 2C ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2D ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2解析：空白部分的面积为(a －b )2，还可以表示为a 2－2ab ＋b 2，所以，此等式是(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.故选C.方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a ＋b )n (n 为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a ＋b )6展开式中所缺的系数．(a ＋b )1＝a ＋b ，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，则(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋________a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.解析：由(a ＋b )1＝a ＋b ，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3可得(a ＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此(a＋b)6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，故填20.方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．三、板书设计1．完全平方公式两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.2．完全平方公式的运用本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。
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（2） （y- )2 )2+2· · +
2
1 2
- 2·
· +( )2 . (5)(-2x+3y)(2x-3y)
例 3.运用完全平方公式计算： (1) 1022 (2) 99 2
四、落实训练 （一）当堂训练 1、判断下列各等式是否成立，若不成立请改正： （1）(b-4c)2=b2-16c2 （2）(x+y)2=x2+xy+y2 （3）(3m-2n)2=3m2-6mn+2n2 2、已知 x2-2mx+1 是完全平方式，则 m 的值为（ A、1 B、-1 C、±1 (2) ( x+6y)2
(3)若 x2+mx+64 是一个完全平方式，则 m= 教学反思：
公式，用语言叙述为：两 ，等于这两数的 。
）这两数
二、公式的几何解释：
b a a b
如左图： 边长为(a+b)的大正方形的面积是 部分的面积分别是 是 、 、 、
； 分成的四 ，它们的和 。
。验证的公式是
如右图： 边长为 a 的大正方形的边长减少 b 所得的正方形的面 积是 ； 边长为 a 的大正方形的面积是 、 、 ， 另外三部分 。
孙疃中心学校师生共用讲学稿 年级 七年级 学科 年级组长签名
课题：
数学
主备教师 王景英 审核人 班级 学生姓名
讲学日期
8.3.1 完全平方公式
学习目标： 1、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算； 2、了解完全平方公式的几何解释，形成数形结合的思想。 3、培养数学语言表达能力和运算能力. 学习重点： 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。 学习难点： 理解完全平方公式的结构特征，灵活运用完全平方公式。 学习过程： 一、公式引入： 问题：(1) (p+1)2=(p+1)(p+1) = (2) (m+2)2= (3) (p-1)2= (4) (m-2)2= = = =
1 3
） D、0
3、计算(1) (2x-3)2
（３） x + 2y）2（４） x - y）2 （（4、 解不等式： （2x-3)2+(1+3x)2>13(x2-2)
（二）回顾提升 思考：通过这节课的学习你有哪些收获？ 五、检测反馈 1.运用完全平方公式计算： （1） 2a 5b2
2 （4） 1,5a b 3
2
（2） 4x 3 y 2 （5） 632
（3） 2m 12 （6） 982
2. (y+1)(y-5)-(y+2)2+2(y+3)(y-3)
3.一个正方形的边长增加 3cm,它的面积就增加 39 cm2 ,这个正方 形的边长是多少？
4.拓展练习： （1） 已知 a+b=3，ab=-12，求(a-b)2 的值 （2) 若（x+y)2=12,xy=5,则 x2+y2= ; ;
的面积分别是 三、应用提高 （一）巩固应用
， 验证的公式是
例１：判断正误：对的画“√” ，错的画“×” ，并改正过来. (1)(a+b)2=a2+b2； (2)(a-b)2=a2-b2； (3)(a+b)2=(-a-b)2； (4)(a-b)2=(b-a)2. （ （ （ （ ） ） ） ）
例 2：应用完全平方公式计算： （1）（4m+n)2 解： （1）原式=( = （2）原式= = （3） （-a-b)2 (4） （b-a)2
观察填空： ① 上面四个算式中左边是两个数的和(或差) 的 项的 .② 右边都是 项式,右边的第一项是左边第一 的 ;.右边第
;右边第二项是左边的两项的 .。
三项是左边的第二项的 探究公式：
（a+b)2= （a-b)2=
= =
= 论： 公式： （a+b)2= 两个公式叫做整式乘法的 数 （或 （或 ）的