新人教版数学九年级上册第24章第14课时《圆锥的侧面积和全面积》(教师版)

新人教版九年级数学上册《圆锥的侧面积和全面积》导学案
一、学习目标认识圆锥，了解圆锥的侧面、底面、高、母线等有关概念；
动手实践得出圆锥侧面展开图的形状；
探索圆锥侧面积、全面积计算公式；
会应用圆锥面积公式解决有关问题．
二、知识回顾
1．弧长的计算公式：2
360180
n n R
l R
π
=⋅π=．
2．扇形面积计算公式：2
360
n
S R
=⋅π或
1
2
S lR
=．
三、新知讲解1．圆锥的有关概念
如图，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段，叫做圆锥的母线，通常用字母l表示母线长．连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，通常用字母h表示．
圆锥的基本特征：
①圆锥的高通过底面的圆心，并且垂直于底面；
②圆锥的母线长都相等；
③经过圆锥的高的平面截圆锥所得的轴截面是等腰三角形；
2．圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图.
圆锥的母线长=侧面展开图扇形的半径；
圆锥底面圆的周长=侧面展开图扇形的弧长=2πr ．
3．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积可以利用展开图的扇形面积求得．
122S S l r rl ππ==⋅=侧扇形．
圆锥的全面积等于侧面积与底面积之和，即
2++S S S rl r ππ==全侧底． 四、典例探究
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1．已知圆锥底面半径和高求侧面积、全面积
【例1】已知圆锥的底面的半径为3cm ，高为4cm ，求它的侧面积和全面积．
总结：
1．圆锥底面圆周上任一点与顶点间的线段都是圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，不要将母线与高混淆. 2．若圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ，则r 2+h 2=l 2，已知任意两个量，就可以求出另外一个量. 3．圆锥的侧面积公式是S rl π=侧，圆锥的全面积=侧面积+底面积，即：2++S S S rl r ππ==全侧底． 练1．一个圆锥的底面半径为3cm ，高为33cm ，求： （1）圆锥的轴截面中，两母线所夹角（锥角）的度数； （2）圆锥的全面积.- 2．已知底面圆周长和母线长求扇形圆心角
【例2】（2011•钦州）一个圆锥的底面圆周长是2π，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角等于（ ）
A ．150°
B ．120°
C ．90°
D ．60°
总结：
1.圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长.
2.根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长π180n l 与圆锥底面圆周长相等，列等式可求得扇形圆心角. 练2．（2014•宁化县质检）已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的
圆心角为（）
A．60°B．90°C．120°D．180°
3．实际问题中的圆锥问题
【例3】某学生一家周日去旅游，准备搭建一个如图所示的帐篷，其中已知下方圆柱底部面积为16π
平方米，高为2.5米，上方圆锥高为1米，市场购买布料需每平方米10元，求搭建这样的帐篷需要
多少钱？
总结：
1. 求立体图形表面积问题，首先要分析该立体图形有几个面围成，然后将有关数据标注在示意图上，
根据不同表面的面积计算公式依次做出计算. 注意要灵活应用圆锥侧面积公式．
2. 实际问题中，求完立体图形的表面积之后，往往进行一些与实际相关联的计算，注意审题.
练3．九年级（1）班为即将到来的“五•一”国际劳动节排练节目时需要3个底面圆半径为10厘米，母
线长为20厘米的圆锥形小红帽（不计接缝损失）．
（1）试确定这种圆锥形小红帽侧面展开图（扇形）的圆心角的度数；
（2）现有宽为40厘米的矩形布料可供选用，按照题目要求在图1中画出使布料能充分利用（最省料）
的示意图，并求出矩形布料的长至少为多少厘米．
五、课后小测一、选择题
1．（2015春•无锡校级月考）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）
A．π B．3π C．4π D．7π
2．（2013•遂宁）用半径为3cm、圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径
为（）
A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm
3．（2015•宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）
A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm
4．（2015•上城区二模）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（）
A．22r B．r C．10r D．3r
5．（2013•裕安区校级模拟）如图，圆锥底面半径为8，母线长15，则这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角∠α为（）
A．120°B．150°C．192°D．210°
6．（2012•芗城区校级模拟）已知圆锥的底面周长为58cm，母线长为30cm，求得圆锥的侧面积为（）
A．870cm2B．908 cm2C．1125 cm2D．1740 cm2
7．（2012秋•洞头县期中）圆锥的底面半径与母线比是1：2，则这个圆锥侧面展开圆的圆心角的度数是（）
A．30°B．60°C．120°D．180°
8．（2011秋•武夷山市期末）如图在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成圆锥，则扇形半径R与圆的半径r的关系为（）
A．R=r B．
9
4
R r
C．R=3r D．R=4r
二、填空题
9．（2015•铜陵县模拟）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则其侧面积为（结果用含π的式子表示）．
10．（2014•仙游县二模）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是度．
11．（2014•丹东二模）已知圆锥底面圆的半径为3，高为33，则它的全面积是．12．（2014•射阳县三模）一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为．
13．（2015•鄂州）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为．14．（2015•扬州模拟）如图，一个扇形铁皮OAB．已知OA=60cm，∠AOB=120°，小华将OA、OB 合拢制成了一个圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），则烟囱帽的底面圆的半径为．
三、解答题
15．（2011秋•西湖区校级期中）
（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？
（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．
16．如图，要用芦席造一个粮仓，其上部是圆锥形，下部是圆柱形，底面也用芦席铺垫，
如果每平方米需用芦席2平方米，按图中尺寸计算一下，共需多少芦席（精确到0.1m2）．
典例探究答案：
【例1】【解析】先利用勾股定理计算出母线长PA ，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可．
解：如图，OA=3cm ，高PO=4cm ，
在Rt △PAO 中，PA=22+OA PO =223+4=5，
∴圆锥的侧面积=12
•2π•3×5=15π（cm 2）， 圆锥的底面积=π•32=9π（cm 2），
∴圆锥的全面积=15πcm 2+9πcm 2=24 cm 2．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式以及勾股定理．
练1．【解析】（1）如图，△ABC 为圆锥的轴截面AO 为圆锥的高，OB=OC=3，AO=33，先利用勾股定理计算出AC=6，则AB=6，则可判断△ABC 为等边三角形，所以∠BAC=60°；
（2）根据上题求得的圆锥的母线长后计算出侧面积和底面积即可求得圆锥的全面积； 解：（1）如图，△ABC 为圆锥的轴截面，AO 为圆锥的高，
OB=OC=3，3
在Rt △AOC 中，22
+OC AO ，
所以AB=AC=6，
而BC=6，
所以△ABC 为等边三角形，
所以∠BAC=60°，
即圆锥轴截面中两母线所夹角的度数为60°．
（2）圆锥的全面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积=π×3×6+π×32=18π+9π=27πcm2.
点评：本题考查了圆锥全面积的计算．
【例2】【解析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长得到扇形的弧长为2π，然后再根据弧长公式进行计算即可．
解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，
∴2π=
3 180
nπ⋅⋅
，
解得n=120．
故选B．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．
练2．【解析】求得圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式可求得扇形的圆心角．
解：圆锥的底面周长为：2π×3=6π，
那么
6
180
nπ⨯
=6π，
解得n=180°．
故选D．
点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．【例3】【解析】根据题意先计算出底面半径，然后利用勾股定理计算上方圆锥母线的长，计算出帐篷所须布料的面积，就可以求出搭建这个帐篷需要的钱．
解：∵底部面积为16π，
∴底部圆的半径为4，圆柱的侧面积为：8π×2.5=20π．
116
+17．
圆锥的侧面积为：1
2
1717π．
所以搭建这个帐篷需要的钱为：（17π）17π（元）．答：搭建这样的帐篷需要17π元钱．
点评：本题考查了圆锥的有关计算，根据底部圆的面积求出半径，利用勾股定理求出圆锥母线的长，计算出搭建这个帐篷需要布料的面积，然后求出需要的钱的多少．
练3．【解析】（1）利用圆锥底面圆的周长等于展开图的扇形弧长求出圆心角即可；
（2）利用扇形的圆心角为180°，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形的半径为20厘米的半圆，结合⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两外切，由两圆外切的性质得出和勾股定理求出O 3E 的长，进而得出EO 3=O 1D ，以及矩形布料的长至少应为()20203+厘米．
解：（1）设圆心角的度数为n°，则20210180
n ππ⨯=⨯． 所以n=180．所以此圆锥形小红帽侧面展开图的圆心角度数为180°．
（2）因为扇形的圆心角为180°，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形的半径为20厘米的半圆．
如图1所示，当三个半圆所在圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使布料得以充分利用．
如图2，连接O 1O 2，O 2O 3，O 3O 1．
因为⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两外切，AO 1=BO 2=CO 3=20，
所以O 1O 2=O 2O 3=O 3O 1=O 1A+CO 3=40． 过点O 3作O 3E ⊥O 1O 2，垂足为E ．
因为O 2O 3=O 1O 3，
所以12121202
O E O E O O ===． 在△O 1EO 3中，∠O 1EO 3=90°，
根据勾股定理222231314020203EO O O O E =-=
-=．
因为四边形ABCD 是矩形，
所以AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠D=90°．
因为AO 1=BO 2，AO 1∥BO 2，
所以四边形ABO 2O 1是矩形．
所以∠AO1O2=90°．
所以O1E∥DO3．
又因为O1E=DO3，
所以四边形O1EO3D是平行四边形．所以EO3=O1D．
所以
1120203
AD AO O D
=+=+．
因此矩形布料的长至少应为(20203
+厘米．
点评：此题主要考查了圆锥的有关计算以及两圆外切的性质和勾股定理等知识，利用相切两圆性质得出EO3=O1D的长是解题关键．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π．
故选B．
2．【解析】设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr=1203 180
π⨯
，
解得：r=1cm．
故选D．
3．【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，
则由题意得R=30，由1
2
Rl=300π得l=20π；
由2πr=l得r=10cm；
故选B．
4．【解析】∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．
设圆锥的母线长为R，则120
180
R
π
=2πr，
解得：R=3r．
根据勾股定理得圆锥的高为2r，故选A．
5．【解析】圆锥底面周长=2×8π=16π，
∴扇形的圆心角α的度数=圆锥底面周长×180÷15π=192°．故选C．
6．【解析】圆锥的侧面积=1
2
×58×30=870cm2，故选A．
7．【解析】∵圆锥的底面半径与母线比是1：2，∴设底面半径为x，母线长为2x，
则底面周长=2xπ，圆锥的侧面积=1
2
×2xπ×2x=2x2π，
∴S扇形=
2
360
n r
π
=2x2π，
∵母线长为2x，即是扇形半径，
∴
()2
2
360
n x
π⨯
=2x2π，
∴解得：n=180°，
故选：D．
8．【解析】因为扇形的弧长等于圆锥底面周长，
所以90
180
R
π
=2πr，
化简得R=4r．故选：D．二、填空题
9．【解析】由题意知；20π=120 180
R
π⋅
∴R=30，
∵2πr=20π，∴r=10．
S圆锥侧=1
2
lR=
1
2
×20π×30=300π．
故答案为：300π．
10．【解析】∵圆锥的底面圆的周长是4πcm，∴圆锥的侧面扇形的弧长为4πcm，
∴
6
180
nπ⨯
=4π，
解得：n=120
∴答案为120．
11．【解析】∵圆锥的底面半径是3，高是3
∴圆锥的母线长为6，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×6=18π，底面积为9π，∴全面积为18π+9π=27π，
故答案为：27π．
12．【解析】此几何体为圆锥；
∵半径为5cm，圆锥母线长为6cm，
∴侧面积=2πrR÷2=2π×5×6÷2=30πcm2；
故答案为：30πcm2．
13．【解析】∵圆锥的底面周长为6π，
∴圆锥的底面半径为6π÷2π=3，
∵圆锥的侧面积=1
2
×侧面展开图的弧长×母线长，
∴母线长=2×12π÷（6π）=4，
22
43
-7，
7．
14．【解析】扇形的弧长l=12060 180
π⋅
=40π
设底面圆的半径为r，
则40π=2πr
∴r=20cm
烟囱帽的底面圆的半径为20cm．
故答案为20cm．
三、解答题
15．【解析】（1）连接BC，则BC=20，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴2，
∴S扇形
()2 90102
π⨯
=50π．
（290102
π⨯
2π，
∴
5
2
2
r=．
（3）延长AO交⊙O于点F，交扇形于点E，EF=20﹣2，最大半径为10﹣2＜r，∴不能．
16．【解析】图知l=2.5，r=2，h=3，
∴S圆锥侧=πrl=π×2×2.5=5π，S圆拄侧=2πrh=2π×2×3=12π，
22
==2=4
S rπππ
⨯
底
，
∴S表=S圆锥侧+S圆拄侧+S底=5π+12π+4π=21π，
所需芦席的面积=2×S表=2×21π=42π≈131.9平方米．
答：共需芦席131.9m2．。