第4章 第4节 解直角三角形
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》(第1课时)教学设计
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了直角三角形的性质、勾股定理等知识。
本节课主要让学生掌握解直角三角形的应用，即如何利用直角三角形的性质解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生学会运用解直角三角形的方法解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有一定的了解。
但是，他们在解决实际问题时，往往不知道如何将数学知识运用到具体情境中。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的应用方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用解直角三角形的方法解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现问题，提出解决方案。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、直角三角板等教学工具。
2.学生准备：课本、练习本、直角三角板等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如测量旗杆高度、房屋面积等，引导学生发现这些问题都可以通过解直角三角形来解决。
从而激发学生的学习兴趣，引入新课。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察题干，分析问题。
然后，教师通过讲解，展示解直角三角形的步骤和方法。
湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》教学设计
湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》是本册教材中关于直角三角形知识的重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行学习的，主要让学生了解解直角三角形的意义和作用，学会使用解直角三角形的方法，提高解决实际问题的能力。
教材通过引入直角三角形中的边长和角度的关系，引导学生利用已学的锐角三角函数知识来解决直角三角形中的问题。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握解直角三角形的方法，同时注重培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数有一定的了解。
但是，学生对解直角三角形的理解和应用能力参差不齐，部分学生可能对解直角三角形的实际应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行有针对性的教学，引导学生理解解直角三角形的意义，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握解直角三角形的方法，能够运用解直角三角形解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索解直角三角形的规律，提高学生的空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和勇于挑战的精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握解直角三角形的方法，能够运用解直角三角形解决实际问题。
2.难点：引导学生理解解直角三角形的实际应用，提高学生解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入解直角三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生观察、分析、归纳解直角三角形的规律，培养学生的自主学习能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
4.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对解直角三角形的理解和应用。
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形教学设计
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3节主要是解直角三角形。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质的基础上进行学习的，通过解直角三角形，让学生进一步理解三角函数的定义和应用，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数的概念和性质有一定的了解。
但解直角三角形这一节内容涉及的知识点较多，运算较为复杂，对学生来说是一个较大的挑战。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解概念，突破难点，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解解直角三角形的概念和性质；2.学会用锐角三角函数解直角三角形；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的概念和性质，用锐角三角函数解直角三角形；2.难点：理解解直角三角形的性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究，合作交流；2.利用多媒体辅助教学，直观展示解直角三角形的过程；3.运用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件；2.准备一些典型的解直角三角形的题目；3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际生活中的直角三角形，如建筑工人测量高度、运动员测量跳远距离等，引导学生思考如何计算这些直角三角形的未知边长。
2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的概念和性质，引导学生理解直角三角形的三个锐角函数的定义和关系。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些典型的解直角三角形的题目，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展（10分钟）讲解一些关于解直角三角形的拓展知识，如如何利用解直角三角形求解其他三角形的边长等。
包头市2015中考复习第4章 第4节 解直角三角形
第4节 解直角三角形锐角三角函数在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则sin A ＝________，cos A ＝________，tan A ＝________.特殊角的三角函数值解直角三角形1．直角三角形各元素之间的关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c. (1)三边之间的关系：______________； (2)锐角之间的关系：______________； (3)边角之间的关系：sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______.2．解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的应用1．仰角、俯角如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．2．坡度(坡比)、坡角如图②，坡面的高度h 和______的比叫做坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝hl.坡面与水平面的夹角α叫做坡角．3．方位角如图③，指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方位角，A 点位于O 点的北偏东30°方向，B 点位于O 点的南偏东60°方向．锐角三角函数【例1】(2014·威海)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( D )A.31010B.12C.13D.1010作AC ⊥OB 于点C ，利用勾股定理求AC 和AB ，根据正弦的定义即可求出．解直角三角形 【例2】如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．解：AB ＝3＋3添加适当的辅助线，建立直角三角形模型，利用直角三角形各元素之间关系求解．解直角三角形的应用【例3】(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30°，AC 长332米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离．解：(1)延长OA 交BC 于点D.∵AO 的倾斜角是60°，∴∠ODB ＝60°，∵∠ACD ＝30°，∴∠CAD ＝180°－∠ODB －∠ACD ＝90°，在Rt △ACD 中，AD ＝AC·tan ∠ACD ＝332·33＝32(米)，∴CD ＝2AD ＝3(米)，又∵∠O ＝60°，∴△BOD 是等边三角形，∴BD＝OD ＝OA ＋AD ＝3＋32＝4.5(米)，∴BC ＝BD －CD ＝4.5－3＝1.5(米)，则浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为1.5米延长OA 交BC 于点D ，构造直角三角形，求出CD 长，再证△BOD 是等边三角形，求出BD 长，即可求出BC.真题热身1．(2014·凉山州)在△ABC 中，若|cos A －12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的度数是( C )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°2．(2014·滨州)在△ACB 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sin A ＝35，cos A ＝45，tan A ＝34，则BC 的长为( A )A ．6B ．7.5C ．8D ．12.53．(2014·巴中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( D )A.1213B.512C.1312D.1254．(2014·临沂)如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为( C )A ．20海里B ．10 3 海里C ．20 2 海里D ．30海里,第4题图) ,第5题图)5．(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为__7tan α__米．(用含α的代数式表示)6．(2014·青岛)如图，小明想测山高和索道的长度，他在B 处仰望山顶A ，测得仰角∠B ＝31°，再往山的方向(水平方向)前进80 m 至索道口C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE ＝39°.(1)求这座山的高度；(小明的身高忽略不计) (2)求索道AC 的长．(结果精确到0.1 m )(参考数据：tan 31°≈35，sin 31°≈12，tan 39°≈911，sin 39°≈711)解：(1)过A 作AD ⊥BE 于D ，设山高AD ＝x m ，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan31°＝53x ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan39°＝119x ，∵BC ＝BD －CD ，∴53x －119x ＝80，解得x ＝180，即山高为180 m (2)在Rt △ACD 中，AC ＝AD sin39°＝180711≈282.9(米)第4节 解直角三角形基础过关一、精心选一选1．(2014·天津)cos 60°的值等于( A ) A .12 B .33 C .32D . 3 2．(2014·杭州)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( D ) A ．3sin 40° B ．3sin 50° C ．3tan 40° D ．3tan 50°3．(2013·昭通)如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B ′的值为( B )A .12B .13C .14D .244．如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( C )A .12B .34C .32D .45,第4题图) ,第5题图)5．(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是( B )A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m6．(2013·衢州)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m ，则这棵树的高度为( D )(结果精确到0.1 m ，3≈1.73)A ．3.5 mB ．3.6 mC ．4.3 mD ．5.1 m 二、细心填一填7．(2014·温州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tan A 的值是__12__．,第7题图) ,第9题图)8．(2013·安顺)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为__24__．9．(2013·荆门)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，则DE ＝__154__．10．(2014·抚顺)如图，河流两岸a ，b 互相平行，点A ，B 是河岸a 上的两座建筑物，点C ，D 是河岸b 上的两点，A ，B 的距离约为200米．某人在河岸b 上的点P 处测得∠APC ＝75°，∠BPD ＝30°，则河流的宽度约为__100__米．11．(2013·东营)某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为__9__米．12．(2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)三、用心做一做13．(2014·重庆)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32.求sin B ＋cos B 的值．解：tan A ＝CD AD ＝32＝6AD ，∴AD ＝4，BD ＝8，BC ＝62＋82＝10，∴sin B ＋cos B ＝35＋45＝7514．(2014·南京)如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO ＝60°；当梯子底端向右滑动1 m (即BD ＝1 m )到达CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO ＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin 51°18′≈0.780，cos 51°18′≈0.625，tan 51°18′≈1.248)解：设梯子的长为x m ，在Rt △ABO 中，OB ＝AB·cos ∠ABO ＝0.5x ，在Rt △CDO 中，OD ＝CD·cos ∠CDO ＝0.625x ，∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －0.5x ＝1，解得x ＝8，即梯子的长是8米15．(2013·天门)某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长．解：在Rt △ADC 中，∵AD ∶DC ＝1∶2.4，AC ＝13，由AD 2＋DC 2＝AC 2，得AD 2＋(2.4AD)2＝132，∴AD ＝5(舍负)，∴DC ＝12.在Rt △ABD 中，∵AD ∶BD ＝1∶1.8，∴BD ＝5×1.8＝9，∴BC ＝DC －BD ＝12－9＝3(米)16．(2014·珠海)如图，一艘渔船位于小岛M 的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A 处，渔船从A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B 处．(1)求渔船从A 到B 的航行过程中与小岛M 之间的最小距离；(结果用根号表示) (2)若渔船以20海里/小时的速度从B 沿BM 方向行驶，求渔船从B 到达小岛M 的航行时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)过M 作MD ⊥AB 于D ，在Rt △AMD 中，MD ＝AM·cos 45°＝902，即最小距离为902海里 (2)在Rt △MOB 中，MB ＝MDcos 30°＝606，航行时间为606÷20＝36≈7.35≈7.4(小时)17．(2013·恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732 )解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，作BF ⊥DN 于点F ，∵∠D ＝90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴BE ＝DF ，BF ＝DE.在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos 30°＝110×32＝553(米)，BE ＝AB·sin 30°＝12×110＝55(米)．设BF ＝x 米，则AD ＝AE ＋ED ＝553＋x(米)，在Rt △BFN中，NF ＝BF·tan 60°＝3x(米)，∴DN ＝DF ＋NF ＝55＋3x(米)．∵∠NAD ＝45°，∴AD ＝DN ，即553＋x ＝3x ＋55，解得x ＝55，∴DN ＝55＋3x ≈150(米)挑战技能18．(2013·绵阳)如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为( A )A ．20米B ．103米C ．153米D ．56米19．(2014·杭州)如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E ，F 分别在射线AD ，射线BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则( A )A ．1＋tan ∠ADB ＝ 2 B ．2BC ＝5CFC ．∠AEB ＋22°＝∠DEFD ．4cos ∠AGB ＝ 620．(2013·青岛)如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，∠A ＝67°，∠B ＝37°.(1)求CD 与AB 之间的距离；(2)某人从车站A 出发，沿折线A →D →C →B 去超市B ，求他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走多少米？(参考数据：sin 67°≈1213，cos 67°≈513，tan 67°≈125，sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)解：(1)设CD 与AB 之间的距离为x ，则在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，BF ＝CF tan 37°＝43x ，AE ＝DE tan 67°＝512x ，又∵AB ＝62，CD ＝20，∴43x ＋512x ＋20＝62，解得x ＝24，故CD 与AB 之间的距离为24米 (2)在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝CF sin 37°＝2435＝40，AD ＝DE sin 67°＝241213＝26，∴AD ＋DC ＋CB －AB ＝40＋20＋26－62＝24(米)，则他沿折线A →D →C→B 到达超市比直接横穿马路多走24米21．(2014·南充)马航MH 370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A ，B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P 在救助船A 的北偏东53.5°方向上，在救助船B 的西北方向上，船B 在船A 正东方向140海里处．(参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，tan 36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P 到A ，B 两船所在直线的距离；(2)若救助船A ，救助船B 分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P 处．解：(1)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则PH 的长是P 到A ，B 两船所在直线的距离．根据题意得∠PAH ＝90°－53.5°＝36.5°，∠PBH ＝45°，AB ＝140海里，设PH ＝x 海里，在Rt △PHB 中，BH ＝x ，在Rt △PHA 中，AH ＝x tan 36.5°＝43x.∵AB ＝140，∴43x ＋x ＝140，解得x ＝60，即PH ＝60，因此可疑漂浮物P 到A ，B 两船所在直线的距离为60海里 (2)在Rt △PHA 中，AH ＝43×60＝80，PA ＝602＋802＝100，救助船A 到达P 处的时间t A ＝100÷40＝2.5(小时)；在Rt △PHB 中，PB ＝602＋602＝602，救助船B 到达P 处的时间t B ＝602÷30＝22(小时)，∵2.5＜22，∴救助船A 先到达P 处。
解直角三角形及其应用说课稿
解直角三角形及其应用说课稿解直角三角形及其应用说课稿1一、教材分析（一）、教材的地位与作用本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。
通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。
从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。
它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。
它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归），在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
（二）教学目标：1、知识与技能：使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（直角三角形两锐角互余），边与边（勾股定理），边与角（三角函数）的关系，完成解直角三角形。
2、过程与方法：从复习直角三角形相关性质和锐角三角函数入手，让学生对直角三角形的必备知识做一个必要的回顾，然后通过实例引出利用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形。
3、情感态度与价值观：让学生经历从实际问题中提炼出数学问题的过程，培养学生在生活中应用数学的习惯及数学的兴趣。
（三）教学重难点：1、重点：会利用已知条件解直角三角形。
2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。
二、教法设计与学法指导（一）、教法分析本节课采用的是“探究式”教法。
在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型，引出解直角三角形的定义和方法。
接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。
学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。
教法设计思路：通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题能力。
（二）、学法分析通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。
解直角三角形教案
解直角三角形教案高一数学教案解三角形篇一一、趣味数学，创设问题悬念。
谁能用牛皮筋很快的拉出一个五角星？(学生动手)你知道五角星的五个内角的和是多少度吗？不知道没有关系，只要你这一节课用心的学习，你自己就能解决这个问题。
二、口述目标，板书课题。
这一节课我们主要研究两个问题1、三角形的外角和他的'内角有什么关系？2、三角形的外角和是多少度？三、学一学。
让学生自己阅读课本第54页的内容，然后结合老师课件上的图形，把你学到的新内容和大家交流一下，其他的学生可以补充。
(三角形的外角和他相邻的内角的关系简单，让学生自己完成)四、猜一猜。
通过自己的努力，知道了三角形的外角和他相邻的内角的关系，那我们下面该研究什么问题？五、动一动。
1、提出问题：∠A+∠C与∠ABD的大小有什么关系？你用什么方法验证你的结论？(小组讨论交流)2、小组：(1)度量的方法(2)叠合法3、小结：∠A+∠C=∠ABD4、你能用语言表述这个结论吗？(让学生互相补充)5、你选谁？∠ABD( )∠A ∠ABD( )∠C (用>，<填空) 6、你能用语言表述这个结论吗？ 7、师生共同小结：三角形的外角与他不相邻的两个内角的关系。
六、小试身手七、阅读填空(多媒体) 1、介绍什么叫三角形的外角和？ 2、学生通过阅读总结结论。
3、随堂练习。
八、小结让学生说一说自己的收获。
九、解决趣味数学。
十、拓展练习(课后作业) 用牛皮筋拉出其他的形状，并求出所有内角的和。
高一数学教案解三角形篇二目标： 1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；2、了解三角形的高，并能在具体的三角形中作出它们。
重点：在具体的三角形中作出三角形的高。
教学难点：画出钝角三角形的三条高。
活动准备：学生预先剪好三种三角形，一副三角板。
教学过程：过三角形的一个顶点A，你能画出它的对边BC的垂线吗？试试看，你准行！从而引出新课：1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》(第2课时)教学设计
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）的教学内容主要包括解直角三角形的应用、锐角三角函数的概念和应用。
本节课是在学生已经掌握了直角三角形的相关知识的基础上进行教学的，目的是让学生能够运用所学的知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于直角三角形的相关知识也有了一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往会因为对概念理解不深、思路不清晰而导致解题困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解概念，培养学生的解题思路。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的应用，理解锐角三角函数的概念和应用。
2.过程与方法：培养学生运用所学的知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：解直角三角形的应用，锐角三角函数的概念和应用。
2.教学难点：如何引导学生运用所学的知识解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的解题思路；通过分析实际案例，使学生理解所学知识的应用价值；通过小组合作学习，提高学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计好教学问题和案例。
2.学生准备：掌握直角三角形的相关知识，预习本节课的内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直角三角形的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师展示案例，让学生观察和分析案例中的直角三角形，引导学生发现实际问题中的数学规律。
3.操练（20分钟）教师设置问题，引导学生运用所学的知识解决实际问题。
学生在解决问题的过程中，教师给予指导和点拨，帮助学生理清解题思路。
解直角三角形及其应用(第4课时)教学PPT
性质4
射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜 边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边 上的射影和斜边的比例中项。
03
解直角三角形方法论述
利用相似三角形法求解
01
02
03
04
寻找相似三角形
在已知直角三角形中，通过寻 找与待求三角形相似的三角形 ，建立相似关系。
设定未知数
在相似三角形中，设定待求的 边长或角度为未知数。
建立比例关系
根据相似三角形的性质，建立 已知边长与未知边长的比例关 系。
求解未知数
通过解比例关系式，求出未知 数的值。
利用三角函数法求解
确定已知量
在已知直角三角形中，确定已知的角度或边长。
建立三角函数关系式
将已知量与待求量通过三角函数关系式联系起来 。
选择三角函数
根据已知量，选择合适的三角函数（正弦、余弦 、正切等）。
分组讨论，分享解题思路和方法
学生分组讨论，分享各自的解题思路 和方法。
教师巡视各组讨论情况，给予必要的 指导和帮助。
鼓励学生互相学习、互相帮助，共同 进步。
教师点评，总结易错点和注意事项
教师对学生的练习和讨论进行点评，肯定优点和进 步。
针对学生在练习和讨论中出现的易错点和问题，进 行总结和归纳。
水坝设计
在水坝设计中，需要计算水坝的 高度和倾斜角度。通过测量水坝 顶部和底部的夹角以及水坝的长 度，可以利用解直角三角形的方
法进行计算。
其他领域应用举例
航海
物理
在航海中，需要确定船只的航向和距离。 通过测量船只与目标之间的夹角和距离， 可以利用解直角三角形的方法进行计算。
在物理学中，需要计算物体的运动轨迹和 速度。通过测量物体运动的夹角和距离， 可以利用解直角三角形的方法进行计算。
解直角三角形教学设计
《解直角三角形》教学设计一、教材分析：本节课是在学习了“勾股定理”“锐角三角函数”等内容的基础上对运用所学知识解直角三角形的进一步探究。
通过直角三角形中边角关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，并为运用解直角三角形的相关知识解决简单的实际问题奠定了基础。
二、学情分析：学生已经牢固掌握了勾股定理，也刚刚学习过锐角三角函数，但锐角三角函数的运用还不熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养。
三、学习目标：1.知道直角三角形的六个元素和解直角三角形的含义.2.会用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，并能解决简单的实际问题.四、学习重点：会通过已知条件解直角三角形五、教学过程：1.自主学习(1)直角三角形有哪些元素？分别是什么？它们之间有什么关系？ 三边之间的关系:a 2+b 2=_____；锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； 边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.(2)利用这些关系，除直角外，至少需要知道几个元素就可以求其他的元素了？2.重点研讨(1)已知两边例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，2=AC ，6=BC ，求这个直角三角形的其他元素.(2)已知一边和一锐角例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b=20，求这个直角三角形的其他元素 .AB C 26A C B c a b=20 30° BAC c a b小结：1.在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的 个元素（至少有1个是 ），就可以求出其余的3个未知元素.2.由直角三角形中 求出 的过程，叫做 .3.巩固训练(1)在△ACB 中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求∠A 的值，最适宜的做法是( )A.计算tanA 的值求出B.计算sinA 的值求出C.计算cosA 的值求出D.先根据sinB 求出∠B ，再利用90°-∠B 求出(2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，AB=3，则BC 的长为（ ）A.3sin35°B.2cos35°C.3cos35°D.3tan35° (3)在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）∠B=45°，c=14；（2）b=15，∠B=60°.4.延伸迁移 (1)如图，在△ABC 中， 求sinA 的值.(2)在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 是BC 边上的高， 求△ABC 的面积.4.达标检测(1)如果等腰三角形的底角为30°,腰长为 6 cm ，那么这个三角形的面积为（ ）A.4.5 cm 2B. 39 cm 2C. 318 cm 2D.36 cm 2(2)如图，在 △ABC 中，32=AC ,︒=∠30A ，︒=∠45B ,求AB 的长.A B 410,sin 5AB AC B ===5. 学习反思：通过本节课的学习，你有什么收获？六、作业布置：（1）《作业设计》1-5.（2）选做题：《作业设计》6.七、板书设计：八、教学反思：通过本节课的学习，学生进一步熟悉了直角三角形边角之间的关系，并为运用解直角三角形解决实际问题做了准备，在本章的教学中具有承上启下的作用。
初中数学《解直角三角形》知识全解
《解直角三角形》知识全解课标要求（1）理解直角三角形的五个元素。
（2）理解直角三角形边与角的关系，及锐角三角函数。
（3）会运用直角三角形的有关性质解决实际问题。
知识结构（1）在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．（2）解直角三角形过程中一般要用到：①三边之间的关系；②两锐角之间的关系；③边角之间的关系．（3）直角三角形中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，求出其余三个元素．（4）四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用．第一个实际问题用到正弦函数；第二个问题用到余弦函数；第三个问题用到正切函数；第四个实际问题要反复利用正弦函数．内容解析“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用．通过设计的两个实际问题抽象成数学问题，从而引出解直角三角形的内容．教科书通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用．我们采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想．重点难点本节内容的重点是理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；难点是通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受．教法导引全等三角形的有关理论对理解本节内容有积极的作用．在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素，这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来，因此就可以利用这两个元素求出其余的元素．因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容．教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．学法建议解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角之间的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．因此在本节教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解．。
《解直角三角形》教案
《解直角三角形》教案一、教学内容本节课的教学内容来自人教版数学五年级下册第117页至119页，主要讲解解直角三角形的知识和方法。
内容包括直角三角形的定义、直角三角形的性质、解直角三角形的步骤和方法等。
二、教学目标1. 让学生掌握直角三角形的定义和性质，理解解直角三角形的步骤和方法。
2. 培养学生运用直角三角形知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点：直角三角形的定义和性质，解直角三角形的步骤和方法。
难点：如何运用直角三角形知识解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、直角三角形模型、直尺、三角板。
学具：练习本、直角三角形模型、直尺、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：老师拿一个直角三角形模型，问同学们：“这个图形是什么三角形？”（直角三角形）“谁能告诉我直角三角形有什么特点？”（有一个角是直角，两条直角边）2. 讲解直角三角形的定义和性质：直角三角形是指有一个角是直角的三角形，这个直角所对的边叫做直角边，另外两个角叫做锐角。
直角三角形的性质有：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形的斜边最长。
3. 讲解解直角三角形的步骤和方法：（1）画出直角三角形，标出已知量和所求量。
（2）根据已知量和直角三角形的性质，列出方程。
（3）解方程，求出所求量。
4. 例题讲解：已知直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，求斜边的长度。
解：根据勾股定理，斜边的长度为√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5cm。
5. 随堂练习：（1）已知直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，求斜边的长度。
（2）一个直角三角形的斜边长是13cm，其中一个锐角是30°，求另一个锐角的大小。
6. 作业设计：（1）已知直角三角形的斜边长是20cm，其中一个锐角是60°，求另一个锐角的大小。
答案：另一个锐角的大小是30°。
人教初中数学九下 《解直角三角形》教案 (公开课获奖)
解直角三角形教学目标：理解解直角三角形的概念和条件重点：解直角三角形难点：解直角三角形的基本类型及解法28.2.1 解直角三角形理解解直角三角形的概念和条件(1)解直角三角形在直角三角形中,由元素求出元素的过程,就是解直角三角形.(2)解直角三角形的条件在直角三角形中除直角外的五个元素中,已知其中个元素(至少有一个是),就能求出其余的个未知元素,即“知二求三”.重点一:解直角三角形解直角三角形的基本类型及解法Rt△ABC中,∠C=90°已知条件解法(选择的边角关系)斜边和一直角边c,a 由sin A=,求∠A;∠B=90°-∠A; b=两直角边a,b 由tan A=,求∠A;∠B=90°-∠A; c=斜边和一锐角c,∠A ∠B=90°-∠A;a=c·sin A;b=c·cos A一直角边和一锐角a,∠A ∠B=90°-∠A;b=; c=1.(2013兰州)△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是( )(A)csin A=a (B)bcos B=c (C)atan A=b (D)ctan B=b2.(2013安顺)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,请分别根据下列条件解直角三角形.(1)a=6,b=2;(2)c=4,∠A=60°.重点二:利用特殊角解非直角三角形非直角三角形可通过作三角形的高,构造直角三角形求解.在选择关系式时要尽量利用原始数据,直接求解,防止累积误差.4.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,则AB的长是( )(A)3+(B)2+2(C)5 (D)5. (2013曲靖)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,则CD= .6.等腰三角形的三边长分别为1、1、,那么它的底角为.7.如图所示,在△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,AB=8,求△ABC的面积(结果可保留根号).A层(基础)1.在下面的条件中,不能解直角三角形的是( )(A)已知两锐角(B)已知两条边(C)已知一边和一锐角(D)已知三条边2. 如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是( )(A)(B)12 (C)14 (D)213. 如图所示,正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( )(A)2 (B)2 (C)(D)34.若等腰三角形ABC的底边BC上的高为4,sin B=,则△ABC的周长为( )(A)24(B)16+4 (C)8+8 (D)16+85.在△ABC中,AB=4,AC=,∠B=60°,则BC的长为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或36.如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC= .7. 如图所示,在高为2米,∠ABC为30°的楼梯上铺地毯,地毯的长度至少应有米.8. (2013陕西)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD平分AC.若BD=8,AC=6,∠BOC=120°,则四边形ABCD的面积为.(结果保留根号)9. 如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形,若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号).教学反思：15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1．计算： (1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． [师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． （投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．D CA BD CABDC A B在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？DC AB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ． 3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．DC ABEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=CE ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长． 解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标E DC A B P明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
解直角三角形的方法技巧
解直角三角形的方法技巧解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。
首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。
因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。
每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。
例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB 的长。
∠==A AE α，1图1思路1：所求AB 是的斜边，但在中只知一个锐角A 等于，暂不Rt ABC ∆Rt ABC ∆α可解。
而在中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解入手。
Rt ADE ∆Rt ADE ∆解法1：在中，因，且，AE ＝1Rt ADE ∆cos A AE AD=∠=A α故AD AE A ==cos cos 1α在中，由，得Rt ADC ∆cos A AD AC =AC AD A ===cos cos cos cos 112ααα在中，由，得Rt ABC ∆cos A AC AB =AB AC A ===cos cos cos cos 1123ααα思路2：观察图形可知，CD 、DE 分别是和斜边上的高，具备应用Rt ABC ∆Rt ACD ∆射影定理的条件，可以利用射影定理求解。
解法2：同解法1得AD =1cos α在中，由，得Rt ACD ∆AD AE AC 2=⋅AC AD AE ==221cos α在中，由，得Rt ABC ∆AC AD AB 2=⋅AB AC AD ==231cos α点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。
解直角三角形的应用 优课教案
D C
BE
2、探究新知：
（1）认识仰角与俯角：想要解决刚才的
问题，我们先来了解仰角、俯角的概念，利用
多媒体演示仰角、俯角。
（2）引导学生小组探究解决导入中提出
的问题。为了测量东方明珠塔的高度，同学们
在距离东方明珠塔 200 米处的地面上，用高
1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为
60°48 ′。根据测量的结果，小亮画了一张
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第三课时
教学目标 教学重点
1．明确方位角、坡角、坡度的概念，并能将之灵活应用于实际生活。 2．能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题。 3．会解决底部不能到达的物件高度的测量问题。
能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题。
教学难点
底部不能到达的物件高度的测量问题。
纳小结
___________________________我将_______ 帮助
___________________________________ ________________解决我的困惑。
2．解直角三角形的应用的常见类型有
_____________________________________
找生板书解答过程
三、练
1．一名滑雪运动员从坡度为 1：5 的山坡
习自测
上滑下，如果这名运动员滑行的距离为 150 米，
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那么他下降的高度是多少（精确到 0.1 米）？
i=1:2.5
Aα
B C
5.6 米 E
10 米
β
D
2．如上图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD， 根据图中数据，求：
（1）角α 和β 的大小（精确到1 ） （2）坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到 0.1 米） 3．入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断 下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某 水段自西向东沿直线航行，在 A 处测得航标 C 在北偏东 60°方向上，前进 100 米到达 B 处， 又测得航标 C 在北偏东 45°方向上，如图 9， 在以航标 C 为圆心，120 米长为半径的圆形区 域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被 浅滩阻碍的危险？
北师大版九年级数学《解直角三角形》说课稿
《解直角三角形》说课稿一教材分析《解直角三角形》是在北师大版九年级（下）第1章《解直角三角形》第四节内容。
教学内容是能利用直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）解直角三角形。
通过学习，学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。
它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。
它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归），在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
二目的分析在知识上，本节课的目标是使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形。
在培养能力上，通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过程中渗透“数学建模”思想。
三重难点分析（一）教学重点：正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形。
（二）教学难点：选择适当的关系式解直角三角形。
四、中考考点分析（一）.边角关系的求解（知二便可求一）：1.已知一边一角求其他的边角；2.已知两边求其他的边角（二）.特殊角的三角函数求值（三）.解直角三角形与实际问题,如测山高、塔高、船的航行距离、堤坝的横截面、穿越公园问题、台风侵袭问题、航行触礁（进入危险区）问题等是反复考查的重点内容.（掌握仰角和俯角、坡度和坡角、方向角）五说教法、学法（一）教法：数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，什么样的教法必带来相应的学法。
一节课不能是单一的教法，因此，在讲授本节课时，我将采用以下方法进行教学：1.视觉图象法：播放电脑制作的动画，让学生在视听结合的环境中激发学习热情，加深体验，同时也为即将提出的问题作好铺垫。
2.情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易回答的问题为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入新课的学习。
1.4 解直角三角形(教案)-北师大版数九年级下册
第4节解直角三角形1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化.2.通过利用三角函数解决实际问题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想,体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生的数学应用意识,激励学生敢于面对数学学习中的困难.2.通过获取成功的体验和克服困难的经历,增进学生学习数学的信心,养成学生良好的学习习惯.【重点】理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.【难点】从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习三角函数和勾股定理的相关知识.导入一:课件出示:在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角也可以求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?【师生活动】复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.【学生活动】通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未知元素.[设计意图]在学生分析直角三角形6个元素的过程中,学生自然而然地会想到直角三角形的相关性质,在复习旧知的同时,又为学习新知奠定了良好的基础.导入二:课件出示:如图所示,AC是电线杆AB的一根拉线,测得拉线AC=12m,AB=6m,你能求出拉线底端到电线杆底端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?学生分析:可以利用勾股定理求拉线AC的长度,易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.【引入】这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.[设计意图]通过生活中实际情境的引入,使学生对本节课的学习任务一目了然,学生在探究的过程中就可以抓住重点和难点.[过渡语]我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角,那么至少要知道几个元素,才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.【做一做】在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗?课件出示:(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素.思路一教师引导学生分析:1.直角三角形中已知两边可以利用定理求出第三条边.2.直角三角形中,已知两边可以利用求∠A(或∠B)的度数.3.再利用求∠B(或∠A)的度数.【师生活动】教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.【学生活动】得出结论:1.勾股定理2.三角函数2.两锐角互余解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=,∴c===2.在Rt△ABC中,sin B===,∴∠B=30°,∴∠A=60°.思路二分组探究,思考下面的问题:1.由两个已知条件a=,b=能不能求出其中的一个锐角?2.如何再求出另外一个锐角的度数?3.如何再求出第三条边的长【师生活动】学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤,师生共同验证.解:在Rt△ABC中,a=,b=,∴tan A===,∴∠A=60°,∴∠B=30°.在Rt△ABC中,sin B=sin30°=,即=,∴c=2.【教师小结】解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解直角三角形.[设计意图]通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动,自然而然地引出解直角三角形的概念,并让学生及时总结解题方法,加深对概念的理解.[知识拓展]已知直角三角形两条边求其他元素的方法:方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.解:在Rt△ABC中,AC=12,AB=6,由勾股定理得BC=6.在Rt△ABC中,tan∠BCA===,∴∠BCA=60°,∴∠BAC=30°.∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°.[设计意图]通过对导入题的解答,加深学生对解直角三角形概念的理解,提高解题的综合能力.三角形的其他元素(边长精确到1).〔解析〕在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B 和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,∴∠A=65°.∵sin B=,b=30,∴c==≈71.∵tan B=,b=30,∴a==≈64.【教师设疑】此题还有其他解法吗?【学生活动】学生相互交流他们的解法.[设计意图]通过对学习活动的探究,学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件,并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法,为后面的练习和应用打下了良好的基础.[知识拓展]已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.在Rt△ABC中,如果已知两个锐角,可以解直角三角形吗?【学生活动】学生先独立判断,再分组讨论.学生小结:只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.问题2只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?学生小结:只给出一条边长,不能解直角三角形.【教师点评】解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”.【师生总结】解直角三角形需要满足的条件:在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.【教师提示】第三个元素既可以是角也可以是边.[知识拓展]解直角三角形的思路和方法:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有:(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.(4)面积的不同表示法:S△ABC=ab=ch(h为斜边上的高).1.解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.解直角三角形的类型:(1)已知直角三角形两条边求其他元素.(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.3.解直角三角形需要满足的条件:除直角外,再知道一条边和第三个元素,就可以解直角三角形.1.如图所示的是教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为()A.5cmB.10cmC.20cmD.30cm解析:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知tan∠BAC=,∵AC=30cm,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan∠BAC=30×=10(cm).故选B.2.如图所示,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则()A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°·sin54°D.点A到OC的距离为cos36°·sin54°解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据锐角三角函数定义得出BO=AB sin36°,即可判断A,B错误;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐角三角函数定义得出AD=AO sin36°,AO=AB·sin54°,所以AD=sin36°·sin54°,即可判断C正确,D错误.故选C.3.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC=.解析:∵在Rt△ABC中,cos B==,∴sin B==,tan B==.∵在Rt△ABD中,AD=4,∴AB===.∵tan B==,∴AC=AB tan B=×=5.故填5.4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=.解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC==0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD==3,∴BC=2BD=6.故填6.5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A=,求BC的长和tan B的值.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A===,∴AC=4,根据勾股定理,得BC==6,∴tan B===.4解直角三角形解直角三角形:一、教材作业【必做题】教材第17页习题1.5第1,2题.【选做题】教材第18页习题1.5第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=50°,BC=5,则AC等于()A.3sin50°B.3sin40°C.3tan50°D.3tan40°2.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则AB的长是()A.2B.8C.2D.43.(2015·桂林中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是.4.要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,则梯子与地面的夹角为度.【能力提升】5.如图所示的是一张简易活动餐桌,测得OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,B点和O点是固定的.为了调节餐桌高矮,A点有3处固定点,分别使∠OAB为30°,45°,60°,则这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是(不考虑桌面厚度)()A.40cmB.40cmC.30cmD.30cm6.如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是.7.(2015·湖北中考)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=,求:(1)BC的长;(2)sin∠ADC的值.8.张大爷家有一块三角形土地如图所示,测得∠A=30°,∠B=45°,BC=20m.请你帮助张大爷计算这块土地有多少平方米.9.如图所示,沿AC方向开山修一条公路,为了加快施工速度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿BD的方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520m,并且AC,BD和DE在同一平面内.(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?(2)在(1)的条件下,若BC=80m,求公路段CE的长(结果保留整数).(参考数据:sin37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan37°≈0.75)【拓展探究】10.(2014·宁波中考)如图所示,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.(1)求改直的公路AB的长;(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)【答案与解析】1.D(解析:∵在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=50°,∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.∵tanB=,∴AC=BC·tan B=3tan40°.故选D.)2.C(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴tan A=.∵AC=4,tan A=,∴BC=AC·tan A=2,∴AB===2.故选C.)3.(解析:在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴tan∠BCD=tanA===.故填.)4.60(解析:要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,梯子、地面和墙正好构成直角三角形,∴梯子与地面的夹角的正弦值为=.∵sin60°=,∴梯子与地面的夹角为60°.故填60.)5.B(解析:过点D作DE⊥AB于点E,易知∠OAB=30°时,桌面离地面最低,∴DE的长即为最低长度.∵OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,∴AD=OA+OD=80cm.在Rt△ADE中,∵∠OAB=30°,AD=80cm,∴DE=AD=40cm.故选B.)6.(解析:过点A作AD⊥BC,∵在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,∴cos B==,∴∠B=45°.∵sinC===,∴AD=3,∴在Rt△ADC中,CD==4,∴在等腰直角三角形ADB中,BD=AD=3,则△ABC的面积是×BC×AD=×(3+4)×3=.故填.)7.解:过点A作AE⊥BC于点E,∵cos C=,∴∠C=45°.在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,∴AE=CE=1.在Rt△ABE中,tan B=,即=,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.(2)由(1)知BC=4,∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1.∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.8.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于D.易知CD=BD=BC·sin=AB·CD=×10(+)×10≈273.2(m2).答:这块土地约45°=20×=10,∴AD===10,∴AB=AD+BD=10(+),∴S△ABC有273.2m2.9.解:(1)若使A,C,E成一条直线,则需∠ABD是△BDE的外角,∴∠BED=∠ABD-∠D=127°-37°=90°,∴DE=BD·cos37°≈520×0.80=416(m),∴施工点E离D距离约为416m时,正好能使A,C,E成一条直线.(2)由(1)得在Rt△BED中,∠BED=90°,∵∠D=37°,∴BE=BD·sin37°≈520×0.60=312(m).∵BC=80m,∴CE=BE-BC≈312-80=232(m),∴公路段CE的长约为232m.10.解:(1)如图所示,过点C作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,CH=AC·sin∠CAB=AC·sin25°≈10×0.42=4.2(km),AH=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中,BH=CH÷tan ∠CBA≈4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6(km),∴AB=AH+BH≈9.1+5.6=14.7(km).故改直的公路AB的长约为14.7km.(2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin∠CBA≈4.2÷sin37°≈4.2÷0.60=7(km),则AC+BC-AB≈10+7-14.7=2.3(km).答:公路改直后比原来缩短了约2.3km.为使学生迅速掌握本节课的知识,上课开始就对解直角三角形所用到的知识点:直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系等知识点进行了复习回顾,因为合理选用这些关系是正确、迅速解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,在处理例题时,首先,应让学生独立完成,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合思想.本节课力求给学生更多自主探索的时间,让其在宽松和谐的氛围中学习,使他们学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中培养学生探索能力、创新精神、合作精神,激发学生学习数学的积极性、主动性.同时,在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中,鼓励学生通过多种解法去解答.在选用合适的三角函数解决问题时,要引导学生总结出分析问题的方法,巧妙联系已知和未知之间的函数关系,选取合适的三角函数求解.再教时,增加解实际问题中直角三角形的例题的练习,因为学生对把实际问题转化成数学问题的能力还不太强.随堂练习(教材第17页)(1)c=4,∠A≈27°,∠B≈63°.(2)a=,c=,∠A=30°.(3)a=10,b=10,∠B=30°.习题1.5(教材第17页)1.(1)b=19,∠A=45°,∠B=45°.(2)c=12,∠A=30°,∠B=60°.2.(1)a=10,b=10,∠B=45°.(2)b=12,c=24,∠A=60°.3.解:tan∠ACD==,∴∠ACD≈27.5°,∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.4.解:(1)墙高=6sin75°≈6×0.966≈5.8(m).(2)cosα=,解得α≈66°.∵50°<66°<75°,∴此时人能够安全使用这个梯子.本节课学生学习的重点是解直角三角形的方法,所以理解解直角三角形的概念是掌握解直角三角形方法的前提,而熟练运用勾股定理、两锐角互余以及锐角三角函数的定义则是解直角三角形的关键,学生要做好复习和预习工作,把握好各个元素之间的关系.此外,在没有直角三角形的图形中,通过作垂线或其他辅助线构造直角三角形也是学生要重点掌握的能力和技巧.解非直角三角形时,构造直角三角形的方法:(1)利用作高构造直角三角形,如下图所示.(2)利用勾股定理或逆定理构造直角三角形,如下图所示.(3)利用已知角构造直角三角形,如下图所示.。
九年级数学下册《解直角三角形及其应用》教案、教学设计
3.挑战题：设置一些拓展性题目，激发学生的思维，培养他们解决问题的能力。
4.练习过程中，鼓励学生相互讨论，共同解决问题，教师及时给予反馈和指导。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳阶段，我将完成以下任务：
1.让学生回顾本节课所学的知识点，总结三角函数的定义、公式及其应用。
2.强调直角三角形在实际问题中的求解方法，以及如何运用勾股定理和三角函数。
4.案例教学，突破难点：结合典型案例，引导学生分析问题、建立数学模型，运用三角函数求解，帮助学生突破难点。
5.实践操作，巩固提高：设计具有实际背景的练习题，让学生动手操作，运用所学知识解决问题，巩固所学知识，提高解题能力。
6.归纳总结，拓展延伸：对本节课的知识点进行归纳总结，强调重点，梳理难点，并进行拓展延伸，激发学生的思考。
2.提高作业：选取两道具有实际背景的题目，要求学生运用所学知识解决问题，并将解题过程和答案写在作业本上。此类题目旨在培养学生的应用能力和解题技巧。
3.拓展作业：针对学有余力的学生，布置一道拓展性题目，要求学生通过查阅资料、思考讨论等方式，探索直角三角形在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
4.小组作业：分组进行课题研究，选取一个与直角三角形相关的实际案例，共同探讨解决方案，并将研究成果以报告的形式提交。此作业旨在培养学生的团队协作能力和研究能力。
3.梳理本节课的教学重点和难点，帮助学生巩固记忆。
4.鼓励学生提出疑问，解答他们在学习过程中遇到的问题。
5.布置课后作业，要求学生在课后进行复习和巩固，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的解题能力和应用意识，特布置以下作业：
《解直角三角形》课堂教学反思
《解直角三角形》课堂教学反思1、《解直角三角形》课堂教学反思在解直角三角形中，我们习惯于利用三角函数根据题目中已知的边角元素来求另外的边角元素。
其实，有时候利用方程来解决这样的问题甚至能起到更好的效果。
在《解直角三角形》中第四节船有触礁的危险中，其情境引入是这样的：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行使20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？对于本题，要判断船是否有触礁的危险，只需要判断该船行使的路线中，其到小岛A的最近距离是否在10海里范围内，过A作AD⊥BC于D，AD即为小船行驶过程中，其到小岛A的最近距离，因此需要求出AD的长.根据题意，⊥BAD=55°,⊥CAD=25°,BC=20，那么如何求AD的长呢？教参中是这样给出思路的`，过A作BC的垂线，交直线BC于点D，得到Rt⊥ABD和Rt⊥ACD，从而BD=ADtan55°,CD=ADtan25°,ADtan55°-ADtan25°=20.这样就可以求出AD的长.这里，需要学生把握三点：第一，两个直角三角形；第二，BD-CD=20；第三，用AD正确地表示BD和CD.用这种思路，多数学生也能够理解。
但教学过程中，我发现利用方程的思路来分析这道题目，学生更容易接受。
题目中要求AD的长，我们可以设AD的长为x海里，其等量关系是：BD-CD=20，关键是如何用x来表示CD和BD的长。
这样，学生就很容易想到需要在两个直角三角形利用三角函数来表示：Rt⊥ABD中，tan⊥BAD=从而，BD=xtan55°;Rt⊥ACD中，tan⊥CAD=,从而，CD=xtan25°，这样根据题意得：xtan55°-xtan25°=20，然后利用计算器算出tan55°和tan25°值，这样就可以利用方程来很容易的解决这样一个题目，并且是大家很熟悉很拿手的一元一次方程。
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4．(2014· 临沂)如图，在某监测点 B 处望见一艘正在 作业的渔船在南偏西 15°方向的 A 处， 若渔船沿北偏西 75°方向以 40 海里/ 小时的速度航行，航行半小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60°方向上，则 B ， C 之间的距离为( C ) A．20 海里 B．10 3 海里 C．20 2 海里 D．30 海里
α
30° 45° 60° 2 2 3 2 sinα cosα tanα 3 2 3 3 1 1 2
解直角三角形
1．直角三角形各元素之间的关系： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对 边分别为a，b，c. (1)三边之间的关系：________； (2)锐角之间的关系：________； (3)边角之间的关系： sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______. 2．解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已 知元素，求出所有未知元素的过程 ，叫做解直角三 角形．
呼 和 浩 特 地 区
第四章 图形的认识与三角形 第 4节 解直角三角形
数 学
锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 则 sinA ＝ ________ ， cosA ＝ ________，tanA＝________.
特殊角的三角函数值
解直角三角形的应用
1．仰角、俯角 如图① ， 在测量时 ， 视线与水平线所成的角中 ， 视线在 水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
2．坡度(坡比)、坡角 如图② ， 坡面的高度 h 和 ______ 的比叫做坡度 ( 或坡比 ) ， 即i＝tanα＝.坡面与水平面的夹角α叫做坡角． 3．方位角 如图③ ， 指南或指北方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角叫做方位角 ，A点位于O点的北偏东30°方向 ，B点位于O点的南偏东60°方向．
延长OA交BC于点D ，构造直角三角形 ，求出CD 长 ， 再证△ BOD 是等边三角形 ， 求出 BD 长 ， 即 可求出BC.
真题热身
1 1． (2014· 凉山州)在△ ABC 中， 若 |cosA－ |＋(1－tanB)2＝0， 2 C 则∠ C 的度数是( ) A．45° B． 60° C． 75° D． 105° 2．(2014· 滨州)在△ ACB 中 ，∠ C＝ 90° ，AB＝ 10，sinA＝ 3 4 3 A ，cos A＝ ，tanA＝ ，则 BC 的长为( ) 5 5 4 A．6 B． 7.5 C． 8 D． 12.5 5 3．(2014· 巴中)在 Rt△ ABC 中 ，∠ C＝ 90°，sinA＝ ，则 13 tanB 的值为( D ) 12 5 13 12 A. B. C. D. 13 12 12 5
解：(1)延长 OA 交 BC 于点 D.∵ AO 的倾斜角是 60°，∴∠ODB＝60°，∵ ∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ ODB－∠ ACD＝90°，在 Rt△ACD 中，AD 3 3 3 3 ＝AC· tan∠ ACD＝ · ＝ (米) ，∴ CD＝2AD ＝3( 米) ，又∵∠ O＝60°， ∴△ 2 3 2 3 BOD 是等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋ AD＝3＋ ＝4.5(米)，∴BC＝BD－CD＝ 2 4.5－3＝1.5(米)，则浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离为 1.5 米
解：AB＝3＋ 3
添加适当的辅助线，建立直角三角形模型，利用直角三角 形各元素之间关系求解．
解直角三角形的应用
【例3】(2014· 烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°， AC 长米 ，钓竿 AO 的倾斜角是 60° ，其长为 3 米， 若 AO 与钓鱼线 OB 的 夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
3 1 9 7 (参考数据：tan315 2 11 11
解：(1)过 A 作 AD⊥BE 于 D，设山高 AD＝x m，在 Rt△ABD 中，BD AD 5 AD 11 ＝ ＝ x，在 Rt△ACD 中，CD＝ ＝ x，∵BC＝BD－CD， tan31° 3 tan39° 9 5 11 ∴ x－ x＝80，解得 x＝180，即山高为 180 m (2)在 Rt△ACD 中，AC＝ 3 9 AD 180 ＝ ≈282.9(米) sin39° 7 11
5．(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A处测得树顶B 的仰角为 α 度 ， AC ＝ 7 米 ， 则树高 BC 为 _________ 7tanα 米．(用含α的代数式表示)
6 ． (2014· 青岛 ) 如图， 小明想测山高和索道的长 度 ， 他在 B处仰望山顶 A ， 测得仰角∠ B＝ 31° ， 再往山的方向(水平方向)前进80 m至索道口C处， 沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°. (1)求这座山的高度；(小明的身高忽略不计) (2)求索道AC的长．(结果精确到0.1 m)
锐角三角函数
【例1】(2014·威海)如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( ) D
3 10 A. 10
1 B.2
1 C.3
10 D. 10
作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求AC和AB，根据正弦的定 义即可求出．
解直角三角形
【例2】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝ 2，求AB的长．
请完成本节对应练
习