复变函数极限

复变函数的极限于秀芝(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要：这是一篇讨论复变函数极限的论文，把我们所熟悉的数学分析中实变函数极限的定义、定理、性质，推广到复变函数中，并加以证明。

但是实变函数极限的定义、定理、性质，并不完全适用于复变函数。

例如：复变函数的极限没有保序性、正性，复变函数没有左、右极限等等。

同时，复变函数极限的定义与数学分析中的二元函数极限的定义相似，故它又具有二元函数的某些性质。

本篇论文由四个方面组成。

首先，我们讨论的是复变函数在某个定点时极限的定义，即描述性极限的定义和表达式极限的定义。

其次，我们讨论的是复变函数极限的定理，如Heine定理、Cauchy 准则、复合函数极限的定理等等，并给出了详细的证明。

再次，我们讨论的是复变函数极限的性质，即唯一性、绝对值的极限、局部有界性、四则运算法则等等，同时，我们也给了详细的证明。

最后，我们讨论的是复变函数在无穷远点的极限。

在这方面，我们将极限从有限的定点逐渐引入到无穷远点，进而给出了函数在无穷远点处极限的定义、运算法则、定理，并给予了相应的应用。

关键词：Heine 定理Cauchy 准则极限复数列Complex variable function limitYu Xiuzhi(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：This is a discussion about complex variable function limit paper. It promotes the definition, theorem, nature of the real variable function limit to the complex variable function limit and performs to prove it .But the definition, the theorem, the nature of the real variable function limit aren’t completely suitable for the complex variablefunction.For example, complex variable f unction limit doesn’t have order nature,positive nature , and complex variable function doesn’t have left limit and right limit , and so on . Simultaneously,the definition of the complex variable function limit and the definition of the dual function limit of mathematica lanalysis is similar.So it also has some natures of dual function limit.This paper has four aspects.First,We discuss the defination of the complex variable function in some apex time , namely the definition of description limit and the definition of expression limit.Next,we discuss the theorem of the complex variable function limit.For example ,Heine theorem, Cauchy criterion,the theorem of composite function limit,and so on. And it has produced the detailed proof. Once more,we discuss the nature of the complex variable function limit. Namely unique nature , absolute value limit nature ,partially having nature, mathematical operations principle nature ,and so on . At the same time, we have also gave the detailed proof. Finally ,we discuss the complex variable function limit in the infinite point. In this aspect, we gradually introduce the limit from the limited fixed point to the infinite point, and then we have produced the definition and the theorem of limit in the infinite point . And we have gave the corresponding application.Key words: Heine theorem Cauchy criterion Limit Duplicate sequence一、复变函数极限的定义1．定义定义I ：设f 在点0z 的去心邻域内有定义，当z 趋于0z 时 ，()f z 的极限为0w , 或是00lim ()z zf z w →=,指的是()w f z =可以任意接近0w ，只要我们选的点z足够地接近0z ，而不等于它。

定义Ⅱ：00lim ()z zf z w →=，表明对每一个正实数ε，都存在一个正实数δ，使得当：0<0z z |-| <δ时，有|()f z -0()f z |<ε.2．几何意义从几何意义上来说，这个定义指的是：0w 的每一个ε邻域|0|w w -<ε,有0z 的一个去心邻域0<0| z-z |<δ,使得其中的每一个z 的像w 位于0w 的ε邻域中。

注意：即使我们要考虑去心邻域0<0z z |-|<δ的所有的点，也并不要求它们的像要添满整个邻域0w w |-|<ε中。

例如：如果()f z 为常数0w ，那么z 的像，总是整个邻域的中心点，一旦δ被找到，那么它还可以由更小的正实数代替，比如说δ/2。

定义Ⅱ要求f 定义在0z 的去心邻域内，当0z 是()f z 的定义域内的一个内点时，这样的去心邻域当然总是存在的，我们可以通过如下的方式来把极限的定义拓宽到当0z 是边界点的时候，只要让不等式中的z 同时在区域内，而且在去心邻域内。

例1 我们将要证明:如果()f z =2iz 在开圆z ||<1内，那么 1lim ()2z i f z →=。

证明：点1位于f 的定义域的边界上，观察到当在区域1z ||<时，有= 22iz i|-| = 12z |-|因此，对于这样的z 和任意的正实数ε，我们可以得到，当012z <|-|<ε时 ，有因此，当δ是等于或者小于2ε的正实数时，在01z <||<中的任意点都满足定义Ⅱ中的条件，如下图所示：如果0z 是f 的定义域的内点，定义I 中的极限存在，定义Ⅱ中的第二个不等式应该对去心邻域00z z <|-|<δ内的所有的点z 都成立。

所以，符号0z z →表示z 允许以任意的方式趋近于0z ，而不是以某一特定的方向趋近于0z 。

下面的例子要强调这一点 。

例2 如果()Zf Z =⎺Z，则极限0lim ()Z f Z →不存在。

证明：<反证法> 如果极限0lim ()Z f Z →存在，则可以使点(,)Z x y =以任意的方式趋于原点，而极限值是唯一的，但是(,0)Z x =是实数轴上的非零点，则此时且当(0,)Z y =是虚轴上的非零点,则此时0()10iyf Z iy+==--。

于是，让Z 沿实数轴趋于原点时，我们发现极限值为1； 另一方向，让Z 沿虚轴趋于原点时，我们发现极限值为-1。

但是，由复变函数极限值的唯一性知，函数()f z 的极限是不存在的。

（该函数沿实数轴和虚轴趋于原点的图象，为下图所示） 二、复变函数的定理定理1 设()f z (,)(,)u x y iv x y =+，000z x iy =+，000w u iv =+，那么00lim ()z zf z w →=,当且仅当000(,)(,)lim(,)x y x y u x y u →=且000(,)(,)lim(,)x y x y v x y v →=。

证明：（充分性）假如000(,)(,)lim(,)x y x y u x y u →=且000(,)(,)lim(,)x y x y v x y v →=成立，那么()f z 的极限存在。

设极限值为000w u iv =+，即 0000lim ()z z f z w u iv →==+。

由000(,)(,)lim(,)x y x y u x y u →=知道，对任意的正实数ε，都存在正实数1δ，使得当10<<δ时，有:02u u ε|-|<（1） 对上述的ε，由000(,)(,)lim(,)x y x y v x y v →=知，存在2δ>0，使得当20<<δ时，有:02v v ε|-|<（2） 令δ取1δ和2δ中较小的数，由= 00)(u u i v v ∣(-+-)∣≤ 0u u |-|+0v v |-|和= 00()()x x i y y ∣-+-∣= ∣00()()x iy x iy +-+∣由（1）（2）所述， 有成立，只要0< 00()()x iy x iy |+-+|<δ即可.这就是说，函数()f z 的极限存在。

（必要性）假使函数()f z 的极限存在 ，即 0lim()z zf z →=0w . 由此，对于每一个正实数ε，都存在一个正实数δ，使得00()()u iv u iv |+-+|< ε （3）成立，只需 0 <00()()x iy x iy |+-+|<δ （4） 但是 0u u |-|≤00)()u u i v v |(-+-|=00()()u iv u iv |+-+| 并且因此，由不等式（3）（4）可知0u u |-|<ε，0v v |-|<ε 成立，只需0<< δ .这样就得到了00(,)(,)lim(,)x y x y u x y → = 0u ，00(,)(,)lim(,)x y x y v x y →=0v .例3 求数列 { n Z }= {1[]2ni +}的极限。