量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.10-5#5
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#7
r r0 r r0
2 1 r2 3 Ze Ze 3 , ' H eV r r 2 r 2 r 0 0 r 0,
2
r r0 r r0
将其视为微扰。类氢离子中 1s 轨道电子波函数为
2
D
l 0 , m
2
l|m c o s | 0 / E 0
l E
由于
cos Y00
1 Y10 3
根据球谐函数的正交性可知，能量二级修正中只有 l 1, m 0 有贡献。
所以
E0 D 1 0 | c o s
2
2
| 00 E 0/ E
2
1
2
/ 2I ,
l 0,1, 2...
对确定的 l ， m 0, 1, 2,..., l ，即能级的简并度为 2l 1 。 定理：某能级 En 非简并时， H 和宇称算符 具有共同本征矢 n 。 因而，
n r n n r n n r n n r n
07QMEx5.1-5.3 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 ，电荷分布的小球，计算这种效应对类
5.1
氢原子基态能量的一级修正。 解： 由电磁学知球形电荷分布的静电势为
Ze 3 1 r 2 , r0 2 2 r02 V (r ) Ze , r
Z 1s R10Y00 a0
3/ 2
2e
Zr a0
1 4
2 Zr a0
1s 能级的一级修正为
E1s 1s H 1s
'
1
量子力学教程(二版)习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。
证明：由普朗克黑体辐射公式：ννπνρννd e ch d kT h 11833-=， 及λνc =、λλνd cd 2-=得1185-=kThc ehc λλλπρ，令kT hcx λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x xe xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kThcm λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mEh p h λ #1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkTh mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k #1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμEb E a ==，相空间面积为,2,1,0,2=====⎰n nh EEab pdq νωππ所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为()ϕω+=t A q sin速度为 ()ϕωω+='t A q c o s ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 ()()nh TA dt t A dt t A pdq T T==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=nνμωnh Tnh A E ===222， ,2,1,0=n（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.10-5#10
n ,n
x
0
y
n y 1 n y sin x x sin a a a 0
其他
基态， nx ny 1非简并
0 0 11 H11 H 11
1 sin x sin a a a
1 y xy sin x sin a a a
5 ．10 一个粒子处在二维无限深势阱 V x, y
Hale Waihona Puke 0 x, y a
其他
中运动，现加上微扰
H xy 0 x, y a ，求基态能量和第一激发态的能量修正值。
解：在二维无限深势阱下，薛定谔方程和边界条件为 令 x, y x y
严格解
En
me4 2 Z 1 Z 2 2 2 2 n me4 2 2 2Z 1 2 n
5 ．12 求氢原子 n 3 ，简并度 n2 9 时的斯塔克效应。 解：
300 R30Y00 310 R31Y10 , 311 R31Y11 , 311 R31Y11 320 R32Y20 , 321 R32Y21 , 321 R32Y21 , 322 R32Y22 , 322 R32Y22
不为零
3 3e a0 H11,21 H 21,1 1 H11,21 H 21,11 3 23 e a0
久其方程
E3 3 6e a0
1
1 3 6e a0 E3 3 3e a0 1 E3 3 23 e a0 E3 3 23 e a0
5 ．11 类氢离子中，电子与原子核的库仑作用为 U r
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.16-5#7 @
批注 [JL3]: 对于固定初末态（即具有固定的 m 与 m ）的跃迁，不需要求和。
2 3
8
2 me10 3 c3 6
8
2 me10 3 c3 6
8
me10 28 me10 c3 6 37 c3 6
The transition coefficient is
...
氢原子的初态（k 态）的波函数是： 100 ，末态（ k ' 态）的波函数是 21m ： 1s 态
100
1
a3
1
e
r a
（1）
r
2s 态
200
211
r ( 2 )e 2 a 3 a 32a
r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a cos 32a 3 a
0
i
t
(ez ) k 'k (ez ) k 'k
t o
e
1 [ i ( ' k ) ]t
k
dt t
（7）
0
i
e
t [ i ( ' k ) t ]t
k
i (k ' k )
0
i [(k ' k ) ]
1 t 0
(ez ) k 'k
| r k 'k
|
2
|
x | | y | | z
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.13-5#11
0
2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2
5.14 一根长度为 d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒的质量为 M ，在棒的 两端分别有电荷＋Q 和－Q。 （i）写出体系的哈密顿量，本征函数和本征值； （ii）如果在转动平面内存在一电场强度为 的弱电场，准确到一级修正，他的本征函数和 能量如何变化？ （iii）如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值。 解： （i）该系统的哈密顿量为 H 式中 I
0
1
m1
n
n H' m Em 0 En 0
n H' m
1 2
2
dE cos e
0
i m n
d
1 1 dE 2 m n 1,0 m n 1,0 2 2 1 dE m n 1,0 m n 1,0 2
式中用了 k
0
0
0
取到 的一阶
B 0 C
0
的完备性
k
0 0
kLeabharlann k 1（ii）根据已给的条件
3 P2 1 H 0 i m 2 xi 2 , H ' x3 2 i 1 2m
可看出相应的 A
m
P3
2
, 它使 H ' i A, H 0 x3
计算 xi 在基态的平均值 xi
i 1, 2,3 至 的最低阶，并将这个结果和精确解相比较。
0
解： （i）设系统非微扰的本征态及对应的能量分别为 k 即 H0 k
0
, Ek 0
Ek 0 k
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#2
ˆ2 1 2 ˆ L D ˆ D c o H L s 2I 2I
ˆ ( 0) 1 L ˆ2 , 取H 2I ˆ D cos ，则 H
(r r0 ) (r r0 )
ˆ H ˆ ( 0) 由于 r0 很小，所以 H
一级修正为（基态
2 2 U 0 (r ) ，可视为一种微扰，由它引起的 2
Z
(0) 1
r Z3 ( 3 ) 1 / 2 e a0 ） a0
* ˆ ( 0) d E1(1) 1( 0) H 1
5.3 转动惯量为 I、 电偶极矩为 D 的片面转子处在均匀电场在 中， 如果电场较小，
电场处在转子运动的平面上，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：无外场作用时， H 0
2 2 2 E ， ，本征方程为 2 I 2 2 I 2
2
解为
2 2 m 1 im e , (m 0, 1,…) ， Em (0) 2I 2
D Y* m
D
4 1 Y10 sin d d 3 4
Y10 s i n d d
Y 3
1
* 0
D 3
2
E
( 2) 0
'
H 0
( 0) E0 E( 0)
'
D 2 2 2I 1 2 1 2 D 2 2 I 2 3( 1) 3
微扰哈密顿量为（选 x 方向为 方向） H ' cos 能量一级修正为 E 能量二级修正为 E
苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第五章5.10-5.12#5(延边大学)三年级
5.10 一个粒子处在二维无限深势阱0 ,(,) x y a V x y <⎧=⎨∞⎩（0<）（其他）中运动，现加上微扰,H (0,)xy x y a λ=≤≤，求基态能量和第一激发态的能量修正值。
解：粒子的哈密顿量是,0H H H =+222022,()(,)2 (0,)H V x y m x y H xy x y a λ∂∂=-++∂∂=≤≤ 0H 的本征值和本征函数，即能量和波函数的零级近似是：121222022(,)12122120(,)() 22sin()sin() ,0 n n n n En n n n man n x y x y a a a a πππψ=+⎧<⎪⎨⎪⎩（）（）（,=1,2,3）（0<）＝（其他）对于基态，即220012(1,1)(1,1)22,sin()sin()n n Ex y ma a a aπππψ=（）（）=1,=1,＝， 记2200000(1,1)0(1,1)22,sin()sin()EEx y ma a a aπππψψ===（）（）（）（）＝此时，非简并。
故：(1),(0),(0)00000202||2[sin()sin()]4aaE H H xy x y dxdy aaaa ψψππλλ==<>==⎰⎰即基态能量的一级修正为24a λ。
对于第一激发态，即220012(1,2)(1,2)2220012(2,1)(2,1)2522sin()sin()2522sin()sin()2n n E x y ma a a an n E x y ma a a aπππψπππψ==（）（）（）（）=1,=2，，＝或=2,=1，，＝， 此时二重简并。
为简便，记220001(1,2)(2,1)20011(1,2)0012(2,1)5222sin()sin()22sin()sin()E EEma x y a a a x y a a aπππψψππψψ=（）（）（）（）（）（）（）＝＝＝＝＝＝所以:,,0,01111,111111202||22[sin()sin()]4aaH H H xy x y dxdyaaaa ψψππλλ=≡<>==⎰⎰（）（）,,,0,01211,121111024||2222[sin()sin()][sin()sin()]25681aaH H H xy x y x y dxdy aaaaaaa ψψππππλλπ=≡<>==⎰⎰（）（）同理，2,,22114a H H λ==，2,,2112425681a H H λπ==。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.4-5#3
b2 (0) E1(0) E2
b2 a (0) E2 E1(0)
(3) '
（ii）严格求解法： 这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征 值和本征矢（用单列矩阵表示） 。 我们设算符 H（1）具有本征矢
C1 ，本征值是 ，列矩阵方程式： C2
E1(0) 解 : （i）取 H 0 0 0
'
0 E1(0) 0
0 0 (0) E2
（ 3）
0 a 0 0 b 则有： H H H 0 0 * * 0 b a
本题的微扰矩阵（3）是简并的波函数（零级）计算得来的，若像无简并微扰论那样计算二 级能量修正是可能的，但近似程度差，从（3）看出一级能量修正为零，准确到二级修正量 的能量本征值是：
1
, f n ,代入(1)式中,得
到与 En 相应的零级波函数的系数.从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正,
0 0 n a n
En En En
0 1
考虑 的系数,讨论第 n 个能级.
2
当 m n 时,得到能级的二级修正 E
(5)
C1 C2 1
2
2
(6)
（5）式有 C1C2 非平凡解的条件是：
E1( 0) a b E
( 0) 2
b a
0
(0) ( E1( 0) a )( E 2 a ) b2 0 ( 0) (0) E ( 0) E 2 ( E1( 0) E 2 ) a 1 b2 2 2 2
0 0 1 2
苏汝铿统计物理答案
苏汝铿统计物理答案【篇一：125本物理学名著精编版】>1 爱因斯坦文集2 费曼物理学讲义(原声录音) 出国留学必备书之一！3 费曼物理学讲义_卷一4 费曼物理学讲义_卷二5 费曼物理学讲义_卷三6 费曼物理学讲义习题集7 别闹了，费曼先生！8 泡利物理学讲义(共六卷) 出国留学必备书之一！9 faraday(法拉第)_lectures on the forces of matter 10faraday(法拉第)_the chemical history of a candle 11 从抛物线谈起—混沌动力学引论12 多粒子系统的量子理论13 量子力学与路径积分（费曼）出国留学必备书之一！ 14 物理力学讲义（钱学森）15 物理学家用微分几何出国留学必备书之一！16 相对论（索末菲）17 相对论的意义18 算法大全19 相对论量子场20 相对论量子力学21 引力论与宇宙论22 自然哲学之数学原理宇宙体系23 物理学进展200124 history of modern physics25 nobel lectures(1998--2001)26 numerical recipes in c27 phy question28 physics review letter(vol74-vol86)29 thermal physics30 topics appl. phys vol 80 carbon nanotubes31 trends in colloid and interface science xiv32 relativity the special and general theory33 interact（斯坦福直线加速器实验室）34 introduction to tensor calculus and continuum mechanics35 lect statistic36 mathematicalhandbook37 relativity the special and general theory -by albert einstei38 gre物理sub试题（爆全）39 北大物理类研究生入学考题40 大学物理课件41 概率统计课件42 核辐射物理电子讲义43 计算机常用算法44 计算物理讲义45 离子束分析（课件）46 数据结构算法课件(部分)47 数值计算课件48 hilbert空间问题集 halmos49 波动学《伯克利物理学教程》第三卷上、下册50 场论（朗道）51 场论与粒子物理学（上册）（李政道）出国留学必备书之一！52 场论与粒子物理学（下册）（李政道）53 非平衡态热力学和耗散结构(李如生)54 分形物理学55 辐射的量子统计性质（路易塞尔）56 高等量子力学（第二版）(杨泽森)57 高温辐射物理和量子辐射理论（李世昌）58 孤子理论59 经典力学( goldston，戈德斯坦著)出国留学必备书之一！ 60 固体的电子结构61 固体化学导论62 固体物理导论（基泰尔）出国留学必备书之一！63 固体物理习题详解（基泰尔）64 固体物理学（黄昆）65 光和物质的奇异性 66 光学(planck)67 光学原理上册、下册(m.玻恩 e.沃耳夫)68 广义相对论（刘辽）69 广义相对论dirac70 广义相对论引论（俞允强）71 规范场的量子理论导引72 规范场论（胡瑶光）73 规范场与群论、完全可积问题74 计算物理学(张开明顾昌鑫)75 结晶化学导论(第二版)76 经典电动力学(jackson_vol1) 出国留学必备书之一！ 77 经典电动力学(jackson_vol278 经典电动力学习题答案(jackson_2nd)79 经典和现代数学物理方程(陆振球) 出国留学必备书之一！ 80 空间群表81 李代数李超代数及在物理学中的应用82 理论电化学83 理论物理基础（彭恒武徐锡中）84 理论物理学基础教程丛书统计物理学(苏汝铿)85 理论物理学基础教程丛书量子力学(苏汝铿)86 理论物理学中的计算机模拟方法(w.heermann)87 量子场论上册(c.依捷克森) 出国留学必备书之一！ 88 量子场论下册(c.依捷克森)89 量子场论导引（上、下册）杨炳麟90 量子电动力学（栗弗席茨）出国留学必备书之一！91 量子混沌 92 量子力学(messiah，梅西亚著)vol193 量子力学(messiah梅西亚著，)vol294 量子力学（非相对论理论）上册(朗道) 出国留学必备书之一！95 量子力学（非相对论理论）下册(朗道)96 量子力学（fermi，费米著。
苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)--第八章8.10-8.12#5 @(延边大学)三年级
8.10 考虑一个有非弹性散射存在的量子力学散射问题。
假如我们有下面的弹性散射道弹性散射振幅的分波展开：201(,)(21)(cos )2li l l l e f k l P ikδηθθ∞=-=+∑式中(),()l l k k ηδ是实数，且01l η≤≤，波数用k 标志，θ是散射角。
对于一个给定的分波，求出用第l 个分波非弹性散射截面()l in σ表示的第l 个分波弹性散射截面的上，下限。
解：由于：222222(21)1,(21)[1],ll i l i l l e l eδδσπλησπλη=+-=+-(l)弹性(l)非弹性其中21kλ=所以：222211l l i l i l e eδδησση-=-(l)(l)弹性非弹性由于(),()l l k k ηδ为实数，且01l η≤≤，所以：()()22222222111111l l i l l l i lll e eδδηηηηηη--+≤≤---()()22221111l l llηησσσηη-+≤≤--(l)(l)(l)非弹性弹性非弹性所以σ(l)弹性的上，下限分别为：()()222211,11l l llηησσηη+---(l)(l)非弹性非弹性8.11 讨论一个假想的中子－中子低能散射，相互作用势为：()()()120 0 V r a V r r a σσ⋅≤⎧⎪=⎨>⎪⎩12,σσ是两个中子的泡利矩阵，计算总的散射截面，设入射中子及靶中子都未被极化。
解：中子－中子体系的总的波函数必须是交换反对称的。
S 波()0l =波函数是两粒子空间坐标的对称函数，所以自旋波函数必须是反对称的，即为自旋单态。
因此，体系总自旋为0，故：123σσ⋅=-亦即，对于低能s 波散射，势能等价为球方势阱：()()()03 0 V r a V r r a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在质心系中，s 态空间波函数可以写成：()()/r u r r ψ=其中r 为两中子的相对距离，即12r r r =-。
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
《量子力学教程》_课后答案
(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件
得
( x) dx 1
2
A2
a
2 sin
0
n xdx 1 a
由
a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh ， n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ，得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10
苏汝铿量子力学课后习题及答案
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.
高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法ppt课件
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
§5.2 简并定态微扰
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
§5.2 简并定态微扰
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
§5.1 非简并定态微扰论
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）源自§5.1 非简并定态微扰论
➢说明： ▪ H’<<H0是指
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
§5.1 非简并定态微扰论
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
§5.1 非简并定态微扰论
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
§5.1 非简并定态微扰论
➢说明： ▪ 电介质在x方向加均匀弱电场E后的极化率
量子力学(二)习题参考答案
ψ 1 (− a ) = ψ 2 (− a ) → −C sin ka = A1e −α a
比较以上两式可以得到
B2 = − A1
A1eα x , x < − a 于是有 ψ 0 ( x) = C sin kx, −a < x < a − A e −α x , x > a 1
——奇宇称态！
+∞
( p x x − Et )
4） 、由归一化条件 ψ * ( x)ψ p ' ( x )dx = δ ( p ' − p '' ) 可定出归一化常数 p'
−∞
∫
A= 1
2π h h2 d 2 ,U = 0 2 I dϕ 2
µ =− 4、平面转子（见教科书）—— H
其解为： E m =
m2 h2 , m = 0, ±1, ±2 …… 2I 1 imϕ e ， 2π
比较得到：
B2 ＝ A1
于是得
A1eα x , x < − a ψ e ( x) = C cos kx, − a < x < a −α x A1e , x > a
——偶宇称态！
（23）
其中的 C，A1 可由归一化条件和连续性条件定出。 7、 δ 形势—— U ( x ) = f ( x )δ ( x) U(x) E 1 0 2 x （1）
①
②
由①和②消去 B
→ 2 A = (1 +
2k1 k2 k +k )C = 1 2 C → C = A k1 k1 k1 + k 2
③
由①和②消去 C
→
A − B k2 = → A + B k1
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
解：矩阵
的本征多项式
.
即矩阵 的本征值为
.
当 时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
当
时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
当 时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
即矩阵
的本征值为
，归一化的本征矢量是
,
和
.
这些本征矢量不正交，因为只有对称矩阵的本征矢量才正交，而矩阵 只是一般矩阵，不是对称矩阵.
*限于水平，错误或不妥之处在所难免，诚恳地希望读者批评指正。E-mail：ifreestudy@
量 和 可能得到的值.
解：设体系处在 状态， 与 有共同的本征函数
，满足本征方程
，
由
，即
. ．
又 也是
的本征态，同时
在
表象中， 的本征值为
在
表象中， 的本)
,
;(2)
,
;
故测量 和 可能得到的值是
.
计算概率，以 为例
设 出现
的概率分别为
由归一化解：
.
由对称性：
12
和
.
(v)由 表象到 表象的幺正变换矩阵 满足
其中
，
，于是使 对角化的幺正变换
. ，
故
9
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
4.3 如果体系的哈密顿量不显含时间，证明下列求和规则
式中 是坐标， , 是相应于 态和 态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量 与态 字母一样，故将质量 改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
量子力学教程答案(第二版)
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有p h =λ nmm m E c hc Eh e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有九个根。 （1 ） 当 E3 0 时，
(1)
1(0)
1 A2 B 2
( B 300 A 320 )
1 ( 6 320 3 300 ), 3 (0) 2 322 ,
3(0) 32 2
（2 ） 当 E3 ＝
(1)
3 9 e B e a 时， 2 2
所以：
e A E3(1) e B
0 E3(1) e B 3 E3(1) e B 2
3 e B E3(1) 2 3 E3(1) e B 2
(1) (1) E3 0(三重根), E3 ＝
3 (1) e B （两个根均为二重根）,E3 ＝ e A2 B 2 ， 即 2
,
4 Y10 。 3
由于 H , 和 l z 对易， H , 作用于 3lm 的结果，磁量子数 m 不变，又因为：
cos Ylm almYl 1m al 1,mYl 1m alm [ (l 1) 2 m2 1 ]2 (2l 1)(2l 3)
H , 作用于 3lm 的结果，量子数 l 将改变 1 。因此，在这 9 个简并态之间，在一级微扰
3 e B 2 0 E3(1)
由于是对称矩阵，故久期方程为：
E3(1) 0 e A 0 0 0 0 0 0
将上面的行列式化为三个小的行列式相乘：
E3(1) ( E3(1) ) 2 e A 0
3 3 , e B, H 32 e B 1,311 2 2
0 E3(1) 0 0 0 3 e B 2 0 0 0 e A 0 E3(1) 0 0 0 e B 0 0 0 0 0 E3(1) 0 0 0 3 e B 2 0 0 0 0 0 E3(1) 0 0 0 0 0 3 e B 2 0 0 0 E3(1) 0 0 0 0 0 e B 0 0 0 E3(1) 0 0 0 0 0 0 0 3 e B 0 2 0 0 ＝0 0 0 0 0 E3(1) 0 (1) 0 E3 0
所以:
, , 0） , （0） H11 H11,11 （ 11 | H | 11
a
0பைடு நூலகம்
a
0
2 2 xy[ sin( x) sin( y)]2 dxdy a a a
,
a2
4 2 2 2 2 xy[ sin( x) sin( y )][ sin( x) sin( y )]dxdy a a a a a a
（0） (1,2)
此时二重简并。
（0） （0） （0） E 1 ＝E(1,2)＝E(2,1) 0） （0） 为简便，记（ 11 ＝ (1,2)＝ sin(
5 2 2 2ma 2
2 2 x) sin( y) a a a 2 2 0） （0） （ x) sin( y ) 12 ＝ (2,1)＝ sin( a a a
e2 ＋1 ） ，相互作用能增加 H ，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较。 r
,
解：微扰法： 当 Z Z ＋1 ，类氢离子的哈密顿量变为：
H H0 H , H0
(0) 第 n 能级： En Z 2
2
2m
2
Ze2 e2 ,H, r r
me4 2n 2 2
, n
所以，
, En En En ( Z 1)2
4 me4 2 me Z 2n 2 2 2n 2 2
1 me4 ( Z ) 2 2 2 n
即严格解是 En ( Z )
1 me4 。因此，Z 越大，微扰计算的结果就越接近精确解。 2 n2 2
5.12 求氢原子 n=3 时的斯塔克效应。 解：当 n ＝3 时， H 0 的本征值为：
5.10 一个粒子处在 二维无 限深势 阱 V ( x, y )
0 （0<x, y a） 中运动， 现加上 微扰 （其他）
H, xy(0 x, y a) ，求基态能量和第一激发态的能量修正值。
解：粒子的哈密顿量是
H H0 H ,
H0
2 2 ) V ( x, y ) 2m x 2 y 2
故： E
（1） 1
256 a 2 a 2 1024 (1 )， 4 4 81 4 81 4
a2
即第一激发态的能量一级修正值是
a2
4
(1
1024 )。 81 4
5.11 类氢离子中，电子和原子核的库仑作用为U (r )
Ze2 ，当核电荷增加 e（从 Z Z r
2
, 0） , （0） H H (,l ,m )(l ,m ) H (,n ,l ,m )( n ,l ,m ) （ ( n , l , m ) | H | ( n ,l , m )
e2 | Rn ,l (r ) |2 rdr
0
Z
me4 n2 2
即矩阵 H 对角线上的元素都是 Z
2 2
(1) , (0) (0) E0 H 00 0 | H , | 0
a
0
a
0
2 xy[ sin( x) sin( y)]2 dxdy a a a
a
4
2
即基态能量的一级修正为 对于第一激发态，即
a2
4
。
5 2 2 2 2 0） n1 =1,n2 =2，E ，（ x)sin( y) (1,2)＝ sin( 2 2ma a a a ， 5 2 2 2 2 （0） （0） 或n1 =2,n2 =1，E(2,1) ， (2,1)＝ sin( x)sin( y ) 2ma 2 a a a
1 2 3 R R r dr A , R32 R31r 3dr B 31 30 0 0 3 15 如令： ， 2 A (其中，A 3 6a, B 3 3a , a＝ 2 为第一波尔半径。 ) me 2
所以：
, , H 310,300 e A, H 320,310 e B , H 321,311
2
, , 0） , （0） H12 H11,12 （ 11 | H | 11
a
0
a
0
256 a 81 4
256 a 2 同理， H H ，H H 。 81 4 4
, 22 , 11 , 21 , 12
a2
a 2 （1） 256 a 2 E1 4 81 4 0 所以： 256 a 2 a 2 （1） E1 4 81 4
（0） (1,1)
(n12 n2 2 ) （n1 ,n2 =1,2,3 ） （0<x, y a） （其他）
2
2 0） ,（ x)sin( y) ， (1,1)＝ sin( ma a a a
2 2
记 E0 故：
（0）
（0） E (1,1)
2
2 0） 0） ,（ （ x)sin( y) 此时，非简并。 0 (1,1)＝ sin( ma a a a
E3(0)
2 me4 e2 , a ＝ 为第一波尔半径 18 2 18a me2
简并度为 9 ，相应的波函数是：
3lm R3l (r )Ylm ( , ),(lm 00;11,10,1 1;22, 21, 20, 2 1, 2 2)
微扰作用势为： H e r cos e r
e2 | Rnl (r ) |2 rdr ll , mm,
0
故矩阵 H 只有对角线上的元素不为 0 ，其他元素均为 0 。 根据 Rnl (r ) 的性质，
,
0
| Rnl (r ) |2 rdr 只与 n 有关，而与 l 无关。
0
Z me2 | Rnl (r ) | rdr 2 Z 2 2 na n
,
me4 2 (1) ，故此时， En 是 n 次重根： n2 2 H
,
E
(1) n
me4 Z 2 2 n
故能量的一级修正为 En Z
(1)
me4 。 n2 2
严格解：由 En Z
2
me4 ， 2n 2 2
2
me4 当 Z Z ＋1 后， E ( Z 1) ， 2n 2 2
(0) 4
5(0)
1 ( 311 321 ), 2 1 ( 311 321 ) 2
(1) 当 E3 ＝-
3 9 e B e a 时， 2 2
(0) 6 (0) 7
1 ( 311 321 ), 2 1 ( 311 321 ) 2
9(0)
1 3 2
1 2( A B )
2 2
( A 300 A2 B 2 310 B 320 )
( 6 300 3 310 3 320 )
(0) nlm Rnl (r )Ylm ( , )
由于 H ,
e2 ，只与 r 有关，根据球谐函数的正交性知： r
0） , （0） H (,lm )(l , m, ) H (,nlm )( nl ,m, ) （ ( nlm ) | H | ( nl , m, )
(1) （3 ） 当 E3 ＝e
A2 B 2 9e a 时，
8(0)
(1) 当 E3 ＝-e
1 2( A B )
2 2
( A 300 A2 B 2 310 B 320 )