第三章 非线性回归分析
《非线性回归分析》课件
封装式
• 基于模型的错误率和复 杂性进行特征选择。
• 常用的封装方法包括递 归特征消除法和遗传算 法等。
嵌入式
• 特征选择和模型训练同 时进行。
• 与算法结合在一起的特 征选择方法，例如正则 化（Lasso、Ridge）。
数据处理方法：缺失值填充、异常值 处理等
1
网格搜索
通过预定义的参数空间中的方格进行搜
随机搜索
2
索。
在预定义的参数空间中进行随机搜索。
3
贝叶斯调参
使用贝叶斯优化方法对超参数进行优化。
集成学习在非线性回归中的应用
集成学习是一种将若干个基学习器集成在一起以获得更好分类效果的方法，也可以用于非线性回归建模中。
1 堆叠
使用多层模型来组成一个 超级学习器，每个模型继 承前一模型的输出做为自 己的输入。
不可避免地存在数据缺失、异常值等问题，需要使用相应的方法对其进行处理。这是非线性回归 分析中至关重要的一环。
1 缺失值填充
常见的方法包括插值法、代入法和主成分分析等。
2 异常值处理
常见的方法包括删除、截尾、平滑等。
3 特征缩放和标准化
为了提高模型的计算速度和准确性，需要对特征进行缩放和标准化。
偏差-方差平衡与模型复杂度
一种广泛用于图像识别和计算机 视觉领域的神经网络。
循环神经网络
一种用于处理序列数据的神经网 络，如自然语言处理。
sklearn库在非线性回归中的应用
scikit-learn是Python中最受欢迎的机器学习库之一，可以用于非线性回归的建模、评估和调参。
1 模型建立
scikit-learn提供各种非线 性回归算法的实现，如 KNN回归、决策树回归和 支持向量机回归等。
非线性回归分析的入门知识
非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。
一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。
线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。
而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。
一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。
非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。
第三章非线性回归分析
图 3.5 yt = a xt be
ut
b 图 3.6 yt = a xt e
ut
⑷ 双曲线函数模型 1/yt = a + b/xt + ut 也可写成， yt = 1/ (a + b/xt + ut) yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中 ut 表示随机误差项。 (3.9) (3.10)
at ut k/yt = 1 + be at ut 移项， k/yt - 1 = be
取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut 令 yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 则 yt* = b* - a t + ut 此时可用最小二乘法估计 b*和 a。
y t 1 y t x t 1 y t Lnyt y t / y t 1 = = = = x t 1 1 x t 1 Lnxt 1 x t 1 / x t 1 y t x t 1
(3.28)
可见弹性系数是两个变量的变化率的比。 注意， 弹性系数是一个无量纲参 数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。 对于线性模型，yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ，1 和 2 称作边际系数。 以1 为例，
(3.12) (3.08) (18.75)
例 3：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（摘自《数理统计 与管理》1988.4, p.16） 某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透 明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要 金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试验的方法发现铁是 影响硫酸透明度的最主要原因。测量了 47 个样本，得硫酸透 明度（y）与铁杂质含量（x）的散点图如下
回归分析_非线性回归
x x ...... x
P( noevent )
1 1 e
0 1 x1 2 x2 ...... p x p
程序
工具
例子
Logistic Regression
The LOGISTIC procedure fits logistic models, in which the response can be either dichotomous or polychotomous. Stepwise model selection is available. You can request regression diagnostics, and predicted and residual values.
例2—程序1
proc logistic data=sasuser.hg06 descend; model y=x1 x2 x3 x4 x5; run;
例2—结果1
全回归
例2—程序2
proc logistic data=sasuser.hg06 descend; model y=x1 x2 x3 x4 x5 /selection=stepwise; run;
LOGISTIC程序
LOGISTIC工具
用Analyst 计算 Statistics → Regression → Logistic
Logistic_例1 抽查40名患者，治疗后一 定时间内观察其康复状态。
例1—程序
proc logistic data=sasuser.hg05; model y=x1 x2; run;
时间序列数据管理。
回归分析功能
REG 一般线性回归分析
RSREG
非线性回归课件
§8.1 可化为线性回归的曲线回归
C o effi ci en ts
St andardi zed
U ns tandardize Cdoef f icie C oef f icients nts
Model
B Std. ErrorBeta
t
1
(C ons t8a.n1t9) 0 .043
190. 106
《非线性回归》PPT课件
§8.2 多项式回归
称回归模型
yi=β0+β1xi1+β2xi2+β11
x
2 i1
+β22
x
2 i2
+β12xi1xi2+εi
为二元二阶多项式回归模型。
它的回归系数中分别含有两个自变量的线性项系数β1 和β2， 二次项系数β11 和β22，并含有交叉乘积项系数β12。 交叉乘积项表示 x1与 x2的交互作用。
线性回归 y=b0+b1t
Regression Residuals
Analysis of Variance:
DF Sum of Squares
1
9454779005.1
16
1588574273.6
Mean Square 9454779005.1
99285892.1
F
Signif F
95.22782 .0000
Adjus t ed Rof t he
Model R R SquareSquareEs t imD atuerbin-W at s on
1
. 996a . 992
.89.971601E-02
. 616
a.Predic t ors : (C onst ant ), T
非线性回归和主成分分析PPT课件
模型检验的比较
非线性回归模型检验
通常使用残差分析、决定系数、AIC等统计量来检验模型 的拟合效果。
主成分分析模型检验
通过解释方差比、碎石图等方法来检验主成分的个数和 解释力度。
Part
04
非线性回归和主成分分析的案 例研究
非线性回归和主成分 分析ppt课件
• 非线性回归分析 • 主成分分析 • 非线性回归与主成分分析的比较 • 非线性回归和主成分分析的案例研究
目录
Part
01
非线性回归分析
非线性回归的定义
总结词
非线性回归是用来探索自变量和因变量之间非线性关系的统计方法。
详细描述
非线性回归分析是通过建立数学模型来描述两个或多个变量之间的非线性关系。 这种关系不是简单的线性关系，而是表现为曲线、曲面或其他复杂形式。
总结词
主成分的解释和命名需要对数据进行合理的 解释和命名，以便更好地理解数据。
详细描述
在提取出主成分后，需要对这些新变量进行 解释和命名，以便更好地理解数据的结构和 意义。解释和命名需要结合实际问题和背景 知识，对主成分进行合理的解释和命名，以
便更好地应用这些变量。
主成分分析的应用场景
总结词
主成分分析在许多领域都有广泛的应用，如数据分析、机器学习、图像处理等。
计算相关系数矩阵
计算变量之间的相关系数矩阵。
结果展示
将主成分与原始变量进行对比， 并解释结果。
非线性回归与主成分分析的综合应用案例研究
建立非线性回归模型
数据处理
使用非线性回归模型预测股票价 格。
进行主成分分析
对数据进行标准化和中心化处理。
《非线性回归》课件
灵活性高
非线性回归模型形式多样，可以根据 实际数据和问题选择合适的模型，能 够更好地适应数据变化。
解释性强
非线性回归模型可以提供直观和易于 理解的解释结果，有助于更好地理解 数据和现象。
预测准确
非线性回归模型在某些情况下可以提 供更准确的预测结果，尤其是在数据 存在非线性关系的情况下。
缺点
模型选择主观性
势。
政策制定依据
政府和决策者可以利用非线性回归模型来评估不同政策方案的影响，从而制定更符合实 际情况的政策。例如，通过分析税收政策和经济增长之间的关系，可以制定更合理的税
收政策。
生物学领域
生态学研究
在生态学研究中，非线性回归模型被广 泛应用于分析物种数量变化、种群动态 和生态系统稳定性等方面。通过建立非 线性回归模型，可以揭示生态系统中物 种之间的相互作用和环境因素对种群变 化的影响。
模型诊断与检验
诊断图
通过绘制诊断图，可以直观地观察模型是否满足回归分析的假设条件，如线性关系、误差同方差性等 。
显著性检验
通过显著性检验，如F检验、t检验等，可以检验模型中各个参数的显著性水平，从而判断模型是否具 有统计意义。
04
非线性回归在实践中的应用
经济学领域
描述经济现象
非线性回归模型可以用来描述和解释经济现象，例如消费行为、投资回报、经济增长等 。通过建立非线性回归模型，可以分析影响经济指标的各种因素，并预测未来的发展趋
VS
生物医学研究
在生物医学研究中，非线性回归模型被用 于分析药物疗效、疾病传播和生理过程等 方面。例如，通过分析药物浓度与治疗效 果之间的关系，可以制定更有效的治疗方 案。
医学领域
流行病学研究
在流行病学研究中，非线性回归模型被用于 分析疾病发病率和死亡率与各种因素之间的 关系。通过建立非线性回归模型，可以揭示 环境因素、生活方式和遗传因素对健康的影 响。
第三章非线性回归分析-PPT文档资料
图 3.9
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
图 3.10
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
另一种多项式方程的表达形式是 y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + u t (3.14) 其中 b1>0, b2>0 和 b1<0, b2<0 情形的图形分别见图 3.11 和 3.12。令 xt 1 = xt， x t 2 = xt 2，上 式线性化为， y t = b 0 + b 1 x t1 + b 2 x t2 + u t (3.15) 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图 3.11 相似。
t t
k Lnb 估参数。曲线有拐点，坐标为（ a 2 ,
） ，曲线的上下两部分对称于拐点。
be
图 3 .1 3 y t = k / (1 +
at u t
)
图 3 .1 4
b >0 情 形 的 图 形 见 图 3.7 。 x t 和 y t 的 关 系 是 非 线 性 的 。 令 y t* = 1/ y t, x t* = 1/ x t， 得
图 3.7
y t = 1/ ( a + b / x t ),
( b > 0)
图 3.8
y t = a + b /x t ,
(xt b 图 3 .6
e ut
yt = a xt b
⑷ 双曲线函数模型 1/ y t = a + b / x t + u t 也可写成， y t = 1/ ( a + b / x t + u t) y t* = a + b x t* + u t 已 变 换 为 线 性 回 归 模 型 。 其 中 ut 表 示 随 机 误 差 项 。 (3.9) (3.10)
非线性回归分析
非线性回归分析随着数据科学和机器学习的发展，回归分析成为了数据分析领域中一种常用的统计分析方法。
线性回归和非线性回归是回归分析的两种主要方法，本文将重点探讨非线性回归分析的原理、应用以及实现方法。
一、非线性回归分析原理非线性回归是指因变量和自变量之间的关系不能用线性方程来描述的情况。
在非线性回归分析中，自变量可以是任意类型的变量，包括数值型变量和分类变量。
而因变量的关系通常通过非线性函数来建模，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性回归模型的一般形式如下：Y = f(X, β) + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β表示回归系数，f表示非线性函数，ε表示误差。
二、非线性回归分析的应用非线性回归分析在实际应用中非常广泛，以下是几个常见的应用领域：1. 生物科学领域：非线性回归可用于研究生物学中的生长过程、药物剂量与效应之间的关系等。
2. 经济学领域：非线性回归可用于经济学中的生产函数、消费函数等的建模与分析。
3. 医学领域：非线性回归可用于医学中的病理学研究、药物研发等方面。
4. 金融领域：非线性回归可用于金融学中的股票价格预测、风险控制等问题。
三、非线性回归分析的实现方法非线性回归分析的实现通常涉及到模型选择、参数估计和模型诊断等步骤。
1. 模型选择：在进行非线性回归分析前，首先需选择适合的非线性模型来拟合数据。
可以根据领域知识或者采用试错法进行模型选择。
2. 参数估计：参数估计是非线性回归分析的核心步骤。
常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计法等。
3. 模型诊断：模型诊断主要用于评估拟合模型的质量。
通过分析残差、偏差、方差等指标来评估模型的拟合程度，进而判断模型是否适合。
四、总结非线性回归分析是一种常用的统计分析方法，可应用于各个领域的数据分析任务中。
通过选择适合的非线性模型，进行参数估计和模型诊断，可以有效地拟合和分析非线性关系。
在实际应用中，需要根据具体领域和问题的特点来选择合适的非线性回归方法，以提高分析结果的准确性和可解释性。
非线性回归分析(常见曲线与方程)
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic)对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1b a yx2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=ab/xe其中a>0，7.S型曲线(Logistic) y1 abex8.对数曲线y=a+blogx,x>0bx9.指数曲线y=ae其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’,beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）求nlinfit或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程s?a btct2.t(s)1/302/303/304/305/306/307/30s(cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t(s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s(cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48解：b/x，建立M文件volum.m如下：e1.对将要拟合的非线性模型y=afunctionyhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.428.209.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76];beta0=[82]';3．求回归系数：[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；beta2.y11.6036ex即得回归模型为：4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数b y＝ax c＝lnavlnx＝u＝ylnu＝cbvbx y＝ae c＝alnu＝ylnu＝cbvc＝alny＝a1bvxxeu＝ylnu＝cbvy＝abxvlnxln＝＝u＝abvuy。
4非线性模型
d (ln Q) d (ln K )
Q / Q K / K
EK
d (ln Q) d (ln L)
Q / Q L / L
EL
• •
很显然， 为资本弹性系数， 为劳动力弹性系数。 1 ，表示规模报酬不变（即资本和劳动力增长
1%， 产 1出也增长1%）；
•
yˆ 0.529204K L 0.882779 0.181053
，表示规模报酬递减（即资本和劳动力增长
• 1%， 产1，出表将示低规于模1%报的酬速递度增增（长即）资；本和劳动力增长1%，
产202出0/2/1将6 超过1%的速度增长）。
12
• 二、解释变量需间接替换的非线性回归模型
• 1、指数曲线模型 Q AK L eu
• 【例】下表列出了某地区1986～2005年的产出（用国内生产总值GDP度量，单位万 元）、劳动投入（用总就业人数度量，单位为千人）以及资本投入（用资产总额度量， 单位为千元）的数据，试建立该地区的生产函数。
• 【例】美国1958-1969年小时收入指数变化百分比y与失业率x统计资料下表 所示，试建立美国1958-1969年的菲利普斯曲线。
•
• 若使用Eviews软件，在主窗口的命令栏内，直接键入ls y c
1/x回车即可得到参数估计结果。
2020/2/16
6
一、解释变量可以直接替换的非线性回归模型
• ⒈ 多项式函数模型
边际成本是递减的；当产量超过46.128时，边际成本是递增的。
2020/2/16
5
一、解释变量可以直接替换的非线性回归模型
• ⒈ 多项式函数模型
非线性回归分析江南大学张荷观.pptx
记 (1, 2 ,, p ) , 高斯–牛顿法的具体方法如下。
第9页/共47页
(1)
先取参数的一组初值 B0 (b10 , b20 ,, bp0 ) , 根据泰勒级数并 只取线性项, 得
y f (x1, x2 ,, xk ;b10 , b20 ,, bp0 )
p i 1
f
i
b B0 i0
p f
i1 i
B0 i '
第10页/共47页
(3-6)
最小二乘估计
令
MLeabharlann yf(x1 , x2 ,, xk ;b10 , b20 ,, bp0 )
p i 1
f
i
b B0 i0
Zi
f
i
B0 , i 1,2,, p
对给定的初始值 B0 , M 和 Zi 都是确定的。则得线性回归模型
停止迭代。 在实际工作中这几个标准可替换, 但无明显优劣, 一般可同时
使用。
第23页/共47页
第三节 非线性回归评价和假设捡验 与线性回归分析一样,非线性回归分析在建立回归方程后进行评 价和捡验。主要有回归方程拟合度的评价,以及回归方程和回归系数 的显著性捡验等。非线性回归的最小二乘估计不是BLUE, 但一般条 件下是一致估计。
直到满足要求, 即得参数的最小二乘估计。
直接搜索法和格点搜索法都是低效的, 在实际工作中很少采用。
第8页/共47页
三、高斯–牛顿(Gauss - Newton)法 高斯–牛顿法是一种常用的迭代法。 非线性回归模型不能通过变换转化为线性回归模型, 但可以利 用泰勒展开式转化为线性回归模型。设非线性回归模型
03第三章 回归分析预测法
ˆ ˆ x )2 ˆi ) 2 ( yi Q ei2 ( yi y 0 1 i
第三章>>第一节
二、一元线性回归模型参数的估计
根据微分学求极值的原理，对上式求偏导，并令其为 零 得方程组:
yi n 0 1 xi 2 xi yi 0 xi 1 xi
即哪个或哪些是被解释变量哪个或哪些是解释变量将影响研究对象的最主要的定量的经常发生作用的有数据支持的因素作为解释变量纳入模型之中并确定解释变量和被解释变量之间的变动方向解释变量之间相关性研究建模用于经济结构分析时选用恰当的统计指标慎重使用虚拟变量4确定模型的数学形式依据数理经济理论由散点图相关图趋势图观察样本数据变动模式
随机误差项的影响因素
人们的随机行为 回归模型中 省略的变量
2
1
随机误差项 建立的数学模型 的形式不够完善
3
的影响因素
测量误差
5 4
经济变量之间的 合并误差
第三章>>第一节
一、一元线性回归模型的建立
• （二）随机误差项的意义和标准假定
– 随机误差项u是无法直接观测的，为了进行回归分析， 通常设其满足以下标准假定： – 古典线性回归模型（classical linear regression model,CLRM）基本假定： 1. 零均值假定：u i 的期望为0，即：
• 一致性：随着样本量的增大，估计量的 • 值越来越接近被估计的总体参数
ˆ) P(
较大的样本量
B A
较小的样本量
ˆ
最小方差性证明略。
第三章>>第一节
三、一元线性回归模型的检验
• （一）经济检验
非线性回归分析
非线性回归分析随着经济和社会的发展，数据分析和统计方法越来越受到重视。
在统计学中，回归分析是一种广泛应用的方法，它可以帮助我们研究两个或多个变量之间的关系，并用数学模型描述它们之间的关系。
线性回归是最基本的回归分析方法，但在实际应用中，很多现象并不是线性的，这时候就需要用到非线性回归分析。
什么是非线性回归分析？非线性回归分析是一种研究两个或多个变量之间关系的方法，但假设它们之间的关系不是线性的。
因此，在非线性回归模型中，自变量和因变量之间的关系可以被描述为一个非线性函数，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性回归模型的公式可以表示为：y = f(x, β) + ε其中，y是因变量，x是自变量，β是待估计参数，f是非线性函数，ε是随机误差项。
非线性回归模型的目的就是估计参数β，找出最佳的拟合函数f，使预测值与实际值的误差最小。
常见的非线性回归模型包括：1. 指数模型：y = αeβx + ε2. 对数模型：y = α + βln(x) + ε3. 幂函数模型：y = αxβ + ε4. S型曲线模型：y = α / (1 + e^(βx)) + ε为何要使用非线性回归分析？非线性回归模型可以更好地描述真实世界中的现象。
例如，在生态学中，物种数量和资源的关系往往是非线性的，这时候就需要用到非线性回归分析来研究它们之间的关系。
再如，在经济学中，通货膨胀率和经济增长率之间的关系也是非线性的。
此外，非线性回归还可以应用于医学、生物学、工程学、地球科学等领域，用于研究复杂的现象和关系。
如何进行非线性回归分析？1. 数据准备首先需要收集相关数据，并进行数据清洗和处理。
确保数据的准确性和完整性。
2. 模型选择根据数据的特征和研究目的，选择适合的非线性回归模型。
如果不确定，可以尝试多种模型进行比较。
3. 参数估计使用统计方法估计模型中的参数值。
常用的方法包括最小二乘法、极大似然法等。
4. 模型诊断诊断模型的拟合程度和假设是否成立。
非线性回归分析简介
非线性回归分析简介在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的基本概念、方法和应用。
一、非线性回归分析概述1.1 非线性回归模型在回归分析中，最简单的模型是线性回归模型，即因变量和自变量之间的关系可以用一个线性方程来描述。
但是在实际问题中，很多情况下因变量和自变量之间的关系并不是线性的，而是呈现出曲线、指数、对数等非线性形式。
这时就需要使用非线性回归模型来拟合数据，通常非线性回归模型可以表示为：$$y = f(x, \beta) + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$f(x, \beta)$为非线性函数，$\beta$为参数向量，$\varepsilon$为误差项。
1.2 非线性回归分析的优势与线性回归相比，非线性回归分析具有更强的灵活性和适用性。
通过使用适当的非线性函数，可以更好地拟合实际数据，提高模型的预测能力。
非线性回归分析还可以揭示数据中潜在的复杂关系，帮助研究人员更好地理解数据背后的规律。
1.3 非线性回归分析的挑战然而，非线性回归分析也面临一些挑战。
首先，选择合适的非线性函数是一个关键问题，需要根据实际问题和数据特点进行合理选择。
其次，非线性回归模型的参数估计通常比线性回归模型更复杂，需要使用更为复杂的优化算法进行求解。
因此，在进行非线性回归分析时，需要谨慎选择模型和方法，以确保结果的准确性和可靠性。
二、非线性回归分析方法2.1 常见的非线性回归模型在实际应用中，有许多常见的非线性回归模型，常用的包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型、幂函数回归模型等。
这些模型可以根据实际问题的特点进行选择，用于描述和预测自变量和因变量之间的非线性关系。
非线性回归分析(教案)
非线性回归分析(教案)第一章：非线性回归分析简介1.1 非线性回归的定义与意义1.2 非线性回归与线性回归的比较1.3 非线性回归分析的应用领域1.4 本章概要第二章：非线性模型的选择2.1 常见非线性模型介绍2.2 模型选择的方法与原则2.3 利用软件选择非线性模型2.4 本章概要第三章：非线性回归的计算方法3.1 数值解法简介3.2 梯度下降法3.3 牛顿法3.4 拟牛顿法3.5 本章概要第四章：非线性回归的参数估计与检验4.1 参数估计的原理与方法4.2 参数估计的算法实现4.3 参数检验的方法与准则4.4 模型诊断与改进4.5 本章概要第五章：非线性回归在实际问题中的应用5.1 实例一：人口增长模型5.2 实例二：药物动力学模型5.3 实例三：经济预测模型5.4 实例四：生物医学信号处理模型5.5 本章概要第六章：非线性回归软件的使用6.1 常见非线性回归软件介绍6.2 非线性回归软件的使用方法6.3 利用软件进行非线性回归分析的步骤6.4 本章概要第七章：非线性回归在生物学中的应用7.1 生物学中常见非线性模型介绍7.2 非线性回归在生物学研究中的应用案例7.3 生物学数据处理与非线性回归分析7.4 本章概要第八章：非线性回归在经济与管理科学中的应用8.1 经济与管理科学中的非线性模型介绍8.2 非线性回归在经济预测中的应用案例8.3 非线性回归在管理决策中的应用案例8.4 本章概要第九章：非线性回归在工程与应用科学中的应用9.1 工程与应用科学中的非线性模型介绍9.2 非线性回归在工程设计中的应用案例9.3 非线性回归在应用科学研究中的应用案例9.4 本章概要第十章：非线性回归分析的扩展与前沿10.1 非线性回归分析的局限性与改进10.2 非线性回归分析的新方法与发展趋势10.3 非线性回归分析与其他统计方法的结合10.4 本章概要第十一章：非线性回归的优化策略11.1 优化算法概述11.2 常见优化算法介绍11.3 非线性回归的优化策略11.4 本章概要第十二章：非线性回归在医学中的应用12.1 医学中的非线性模型介绍12.2 非线性回归在医学诊断中的应用案例12.3 非线性回归在医学治疗方案设计中的应用案例12.4 本章概要第十三章：非线性回归在地球科学中的应用13.1 地球科学中的非线性模型介绍13.2 非线性回归在地球物理勘探中的应用案例13.3 非线性回归在气候学研究中的应用案例13.4 本章概要第十四章：非线性回归在化学与材料科学中的应用14.1 化学与材料科学中的非线性模型介绍14.2 非线性回归在化学反应动力学分析中的应用案例14.3 非线性回归在材料性能预测中的应用案例14.4 本章概要第十五章：非线性回归分析的实践与挑战15.1 非线性回归分析的实际操作技巧15.2 非线性回归分析面临的挑战与问题15.3 未来非线性回归分析的发展方向15.4 本章概要重点和难点解析第一章：非线性回归分析简介重点：非线性回归的定义与意义，非线性回归与线性回归的比较。
第三章非线性回归分析法-韩苗
2. 幂函数曲线回归模型
y = aX ε
b
对数变换
ln y = ln a + b ln x + ln ε
模型变换涉及 参数， 参数，估计参 数后要还原。 数后要还原。
令 z1 = ln y, z2 = ln x, β0 = ln a, β1 = b, ε ′ = ln ε 原模型可化为线性形式
即可利用线性回归分析的方法处理了。
新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。 新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
任何一连续函数都可用分段多项式来逼近， 任何一连续函数都可用分段多项式来逼近，所以 在实际问题中，不论变量y 在实际问题中，不论变量y与其他变量的关系如 何，在相当宽的范围内我们总可以用多项式来拟 合。
ln y = β0 + β1 ln x +ε
令 y* =ln y x* =lnx 原模型可化为线性形式
y* = β0 +β1x* +ε
4. 三角函数回归模型
y = a + b sin x + ε
y = a + b cos x + ε
令 x′ = sin x 或 x′ = cos x, y′ = y 则
⒉ 估计非线性模型 （1）命令方式 在命令窗口直接键入:NLS 非线性函数表达式 例如，对于非线性模型 Y = AK α Lβ ，其估计命令格式为 NLS y=c(1)*k^c(2)*L^c(3) 其中， c(1)、c(2)、c(3)表示待估计的三个参数 β A、 α 、 。回车后，系统会自动给出迭代估计的参 数估计值。
Y 国内生产总值（GDP）(亿元)，K资金投入 国内生产总值（ ） 亿元) 资金投入 亿元）包括固定资产投资和库存占用资金。 就 （亿元）包括固定资产投资和库存占用资金。L就 业总人数（万人）。 业总人数（万人）。
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图 3.11 yt = b0 +b1xt + b2xt2 + ut
图 3.12 yt = b0 + b1xt + b2xt2 + ut
⑹ 生长曲线 (logistic) 模型 yt =
k 1 e f (t ) ut k 1 e ( a0 at ) uu
(3.16)
k 1 be at ut
t t
b>0 情形的图形见图 3.7。xt 和 yt 的关系是非线性的。令 yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得
图 3.7
yt = 1/ (a + b/xt ),
(b > 0)
图 3.8
yt = a + b/xt ,
(b > 0)
⑸ 多项式方程模型 一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (3.12) 其中 b1>0, b2>0, b3>0 和 b1<0, b2>0, b3<0 情形的图形分别见图 3.9 和 3.10。 令 xt 1 = xt， xt 2 = xt2， xt 3 = xt3，上式变为 yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut (3.13) 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本曲线与图 3.9 相似。
图 3.3
yt = a + b Lnxt + ut , (b > 0)
图 3.4
yt = a + b Lnxt + ut , (b < 0)
⑶ 幂函数模型 yt = a xt be ut (3.6) b 取不同值的图形分别见图 3.5 和 3.6。xt 和 yt 的关系是非线性的。对上式等号两 侧同取对数，得 Lnyt = Lna + b Lnxt + ut (3.7) 令 yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为 yt* = a* + b xt* + ut (3.8) 变量 yt* 和 xt* 之间已成线性关系。其中 ut 表示随机误差项。(3.7) 式也称作全对数 模型。
图 3.9 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut
图 3.10 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut
另一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut (3.14) 其中 b1>0, b2>0 和 b1<0, b2<0 情形的图形分别见图 3.11 和 3.12。令 xt 1 = xt，x t 2 = xt 2，上 式线性化为， yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut (3.15) 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图 3.11 相似。
图 3.5 yt = a xt be
ut
b 图 3.6 yt = a xt e
ut
⑷ 双曲线函数模型 1/yt = a + b/xt + ut 也可写成， yt = 1/ (a + b/xt + ut) yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中 ut 表示随机误差项。 (3.9) (3.10)
at ut k/yt = 1 + be at ut 移项， k/yt - 1 = be
取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut 令 yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 则 yt* = b* - a t + ut 此时可用最小二乘法估计 b*和 a。
t t
k Lnb 估参数。曲线有拐点，坐标为（ a 2 ,
Hale Waihona Puke ） ，曲线的上下两部分对称于拐点。
be 图 3.13 yt = k / (1 +
at ut
)
be 图 3.14 yt = k / (1 +
at ut
)
为能运用最小二乘法估计参数 a, b，必须事先估计出生长上极限值 k。线性化过 程如下。当 k 给出时，作如下变换，
一、非线性模型的线性化
⑴ 指数函数模型 yt = aebxt ut (3.1) b>0 和 b<0 两种情形的图形分别见图 3.1 和 3.2。 显然 xt 和 yt 的关系是 非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得 Lnyt = Lna + b xt + ut 令 Lnyt = yt*, Lna = a*, 则 yt* = a* + bxt + ut (3.3) 变量 yt* 和 xt 已变换成为线性关系。其中 ut 表示随机误差项。 (3.2)
一般 f(t) = a0 + a1 t + a2 t 2 + … + an t n，常见形式为 f(t) = a0 - a t yt = = (3.17)
其中 b = e a0 。a > 0 情形的图形分别见图 3.13 和 3.14。美国人口统计学家 Pearl 和 Reed 广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型 （或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed 曲线）常用于描述有机体生长发育过程。 Limyt = k, Limyt = 0。a, b 为待 其中 k 和 0 分别为 yt 的生长上限和下限。
(3.18)
(3.19)
⑺ 龚伯斯（Gompertz）曲线 英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种 数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品的发展过程。曲 线的数学形式是，yt = Limyt = k, Limyt = 0。 曲线的上限和下限分别为 k 和 0， a, b 为待估参数。
图 3.1 yt =ae
bxt ut
, (b > 0)
图 3.2 yt ae =
bxt ut
, (b < 0)
⑵ 对数函数模型 yt = a + b Ln xt + ut (3.4)
b>0 和 b<0 两种情形的图形分别见图 3.3 和 3.4。 xt 和 yt 的关系是非线性的。 令 xt* = Lnxt, 则 yt = a + b xt* + ut 变量 yt 和 xt* 已变换成为线性关系。 (3.5)