相似三角形中动点问题

A

B

D

C

E

N

相似三角形中动点问题

例1: 如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上

滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？

变式练习：如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似。

例2：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

变式：1.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）

（1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值围

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

例3：如图，在梯形ABCD中，AD BC

∥，3

AD=，5

DC=，10

BC=，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当MN AB

∥时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，MNC

△为直角三

角形．N

C

M

B

变式练习1：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0

1）求证：△ACD∽△BAC；

2）求：DC的长；

3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；

若不能，请说明理由．

例4：如图①，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图②，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.

四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；

当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？

变式：（2008年）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值围）；

（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

结合坐标系的解析几何

例1：如图，在平面直角坐标系中，已知A （0，6），B （8，0），P 从A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向O 移，同时Q 从B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向A 移，设P ，Q 移的时间为t （s ）．当t 为何值时，△APQ 与△AOB ？并求出此时P 与Q 的坐标．

A B

C

D E

R P H Q

变式：1.如图，已知直线l 的函数表达式为4

8

3y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从

A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t

秒．

（1）求出点A

B ，的坐标； （2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？

（3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式．

例2.已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，点A 、C

的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)， 43

=

AC BC ,

（1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；

（2）在X 轴上找一点D,连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP=DQ=m ，问是否存在这样的m 使得△APQ 与△ADB 相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．

变式：1.如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，

，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且

10

OA -=．

（1）求点A ，点B 的坐标．

（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值围．

（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A

B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

例3.如图直线y=-x+10与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两，P 从A 开始在线段AO 上以每秒2个长度单位的速度向原O 运动．直线EF 从x 轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF ∥x 轴），并且分别与y 轴、线段AB 交于E 、F ．（当A 运动到O 时，直线EF 随之停止运动） 连接FP ，设P 与直线EF 同时出发，运时间为t 秒． （1）当t=1秒时，求△APF 的面积；

（2）设t 的值分别取t 1、t 2时（t 1≠t 2），所对应的三角形分别为△AF 1P 1和△AF 2P 2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断；

x