上海教育版数学九下27.1《圆的基本性质》word同步练习3

（一） 圆的确定

1．圆的概念

圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合。定点就是圆心，定长就是半径的长，通常也称为半径。以定点O 为圆心的圆称圆O ，记作O 。

2．圆把平面分成三部分 圆、圆的内部（简称圆内）、圆的外部（简称圆外）。

3．点和圆的位置关系

设圆的半径为R ，点P 到圆心的距离为d ，则 （1）点P 在圆外d R ⇔>； （2）点P 在圆上d R ⇔=； （3）点P 在圆内0d R ⇔≤<。

4．圆的确定

不在同一直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点。

5．多边形的外接圆

如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形。注意：多于三边的多边形不一定有外接圆。

典型例题

例1、如图，在ABC ∆中，90,o

ACB CD AB ∠=⊥，D 是垂足，30,3o

A AC cm ∠==，以C

为半径作圆C 。

（1）指出A 、B 、D 与C 的关系。

（2）如果要使C 经过点D ，那么这个圆的半径应为多长？

（3）设C 的半径为R ，要使点B 在C 内，点A 在C 外，请写出C 的半径R 的取值范围；

（4）要使点A 在C 外，点D 在C 内，且点B 又不在C 上，请确定C 的半径R 的取值范围。

例2、已知直线l 和两点A 、B 。求作：O ，使圆心O 在直线l 上，且O 经过A 、B 两点。

l

A

A

B

A

巩固练习

1、如图，在ABC ∆中，A ∠为锐角，,BD AC CE AB ⊥⊥，D 、E 是垂足。

（1）求证：B 、C 、D 、E 四个点在同一个圆上；

（2）如果把已知条件中的A ∠改为钝角，其他条件都不变，试问：点

B 、

C 、

D 、

E 还在同一个圆上吗？并说明你的理由。

2、已知等边ABC ∆的边长为a ，求这个三角形的外接圆半径长。

3、在直角坐标平面内有点P （4，3），试以P 为圆心、不同的长度为半径画圆，讨论P 与

坐标轴公共点个数的情况。

（二） 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1．与圆有关的一些概念 （1）圆弧（简称弧）：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧； （2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦； （3）直径：过圆心的弦是直径；

（4）圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；

（5）半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。 （6）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 （7）等弧：能够重合的两条弧叫做等弧；

（8）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。 （9）同心圆：圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。

2．圆绕圆心旋转的不变性

在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度(0360)o o αα<<，都能与原来的图形重合。圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，旋转角可为大于0o 且小于360o 的任何一个角。

3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等；

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对的其余三组量也分别相等。

典型例题

例1、O 和P ∠的两边分别相交于点A 、B 和点C 、D 。

（1）如果AB=CD ，求证：点O 在P ∠的平分线上； （2）如果PA=PC ，求证：AB=CD 。

P

例2、如图，在O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，,OM CD ON AB ⊥⊥，M 、N 是垂足，联结MN 。如果AD BC =，求证：PMN ∆是等腰三角形。

巩固练习

1、如图，O 是ABC ∆的外接圆，OE 、OF 分别是AB 、AC 的弦心距，OE=OF 且AB BC =，请判断ABC ∆的形状，并说明理由。

2、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 分别是AO 、BO 的中点，又EC AB ⊥于点C ，FD AB ⊥于点D ，点E 、F 在半圆

O 上。

（1）求证：AE EF FB ==；（2）如果AB=a ，求CE 和DF 的长。

3、如图，在O中，弦AB的长是半径OA

C是AB的中点。求证：四边形OACB

是菱形。

（三）垂径定理

1．圆的轴对称性

圆是轴对称图形，任意一条直径所对的直线都是它的对称轴。

2．垂径定理

如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。3．垂径定理的推论

（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；

（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；

（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。

4．基本作图用直尺和圆规平分已知弧。

典型例题

例1、如图，M是弦CD的中点，EM过圆心O，已知CD=4cm，EM=6cm，求CED所在圆的半径。