猴子分桃子的数学问题

《数学文化》（公选课）论文考察
学院：材料与化学化工学院
专业：化工与制药
姓名：王林
学号：201202020402
选课班号：RX041-2
日期：2013/11/14
数学文化（关于化归与映像反演法）
题目是这样的：5只猴子一起摘了一堆桃子，因为太累了，他们商量先睡一觉再分。

过了不知多久，来了1只猴子，他见别的猴子没来，便将这一堆桃子平均分成了5份，结果多了一个，就将多的这一个吃了，并拿走其中的一堆。

又过了不知多久，第二只猴子来了，他不知道有一个同伴已经来过了，还以为自己是第一个到呢，于是将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了一个，同样吃了这一个，也拿走了其中的一堆。

第三只、第四只、第五只猴子都是这样……
问题：这五只猴子至少摘了多少个桃子？第五只猴子走后还剩多少个桃子？
题目起源：此题据说是有物理学家狄拉克提出，许多人尝试着去做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的方法。

著名物理学家李政道教授访问中国科技大学时，曾用此题考过中国科技大学少年班的学生，无人能答。

下面就是一个十分有趣的解答。

其中数学文化思想：化归法与映射---反演原则。

题目难点：难在每次分都多了一个桃子。

思路和解法：第一个猴子来时先借给他四个再分，分完之后再还回去，这样第二只猴子来的时候，此问题自由变成第一个猴子来时的分法即照样先借个他四个桃子再分，分完之后再还回去，依此法一直到第五只猴子。

因此，我们可以设这堆桃子至少有x 个，借给他们4个，成为x+4个，并设5只猴子分别拿了a 、b 、c 、d 、e 、个桃子
a=（x+4）/5，
b=4（x+4）/25. C=16（x+4）/125
d=64（x+4）/625e=256（x+4）整数个，所以e=256（x+4）/3125中x+4=3125才能使e 为整数。

方可解得x=3121。

所以最终答案为这堆桃子至少3121个，最后还剩1021个桃子。

方法总结：先借给他们四个桃子再分。

其中有趣的是：桃子尽管多了4个，但每个猴子分得的桃子并不会增多也不会减少。

这样，每次都刚好均分成5堆，这样就容易算了。

总结:在经过计算可得：
a b c d e 625 500 400 320 256 125 100 80 64
25 20 24
5 4
所谓化归就是将一个未知问题通过一种关系转化为已经解决了的问题。

所谓映射反演原则则可用一个例子来加以说明：比如说，一个人对着镜子剃胡须，镜子里照出他脸颊上胡须的映像，从胡子到映像的关系就叫映射。

所以映射就是联系着映像与原像的一种对应关系。

然而，他用剃刀修剪胡子时，作为原象的胡子和剃刀两者的关系可以叫做原像关系，这种原像关系在镜子里表现为映像关系。

他从镜子里看到这种映像关系后便能调整提到的映像与胡子映像的关系，于是他也就真正的修剪了胡子。

这里显然用到了反演原则，因为他已经根据镜子里的映像能对应的反演为原像的这一原理，是剃刀准确地修剪了真实的胡子（原像）。