圆柱圆锥圆台
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2
答：至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r， 高为 2r，所以VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的
表面积吗？
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).
圆柱、圆锥、圆台和球
似三角形的性质得
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
例2. 我国首都北京靠近北纬40度。
求北纬40度纬线的长度约为多少千米 （地球半径约为6370千米）?
解：如图，设A是北纬40°圈上一点，AK 是它的半径，所以 OK⊥AK，
设c是北纬40°的纬线长， 因为∠OAK= ∠AOB = 40°，
3．表示方法：用表示它的轴的字母表示， 如圆柱OO’ .
4．有关性质： （1）用平行于底面的平面去截，截面都 是圆。 （2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的 等腰梯形；
5.侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是矩形。 （2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环.
所以 c=2π·AK=2π·OA·cos∠OAK =2π·OA·cos40° ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km)，
即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
练习： 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面
h
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
(h=3， c=2πr=3π)
即O到截面圆心O1的距离；
（4）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆， 被不经过球心的平面截得的圆叫做球 的
小圆；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过这两点的大
A
圆在这两点间的一段劣
弧的长度。这个弧长叫 B
做两点的球面距离。
O
三．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的 曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、 圆锥、圆台和球.
高中数学必修二 19-20 第8章 8 3 2 第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积学习目标核心素养1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′、r 分别是上、下底面半径，h 是高)．1．判断正误(1)圆柱的表面积就是侧面积．( )(2)在一个圆锥中，母线长度不一定相同．( ) (3)圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3D ．192π cm 3C [圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π cm 3，当圆柱的高为12 cm时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π cm 3.]3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( ) A ．72 B ．42π C ．67πD ．72πC [表面积S ＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]圆柱、圆锥、圆台的表面积【例面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和． ①求圆台的母线长． ②求圆台的表面积．(1)A [设圆柱底面半径为r ，则高为2πr ， 表面积∶侧面积＝[(2πr )2＋2πr 2]∶(2πr )2＝1＋2π2π.](2)[解] ①设圆台的母线长为l ，则由题意得 π(2＋6)l ＝π×22＋π×62， ∴8πl ＝40π，∴l ＝5， ∴该圆台的母线长为5. ②由①可得圆台的表面积为 S ＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62 ＝40π＋4π＋36π ＝80π.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加．1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍C .2倍D ．2倍D [由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.]圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】 圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )A ．1∶1B ．1∶6C ．1∶7D ．1∶8C [如图，设圆锥底半径OB ＝R ，高PO ＝h ， ∵O ′为PO 中点，∴PO ′＝h2， ∵O ′A OB ＝PO ′PO ＝12，∴O ′A ＝R 2， ∴V 圆锥PO ′＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22·h2＝124πR 2h .V 圆台O ′O ＝π3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋R 2＋R 2·R ·h 2＝724πR 2h . ∴V 圆锥PO ′V 圆台O ′O＝17，故选C.]求几何体体积的常用方法2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.233π B．2 3 C.736π D.733πD[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝ 3.∴V＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.故选D.]组合体的表面积与体积【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[解]如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos 60°＝2a，AB＝CD sin 60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13S′h＝13·π·a2·3a＝33πa3，∴V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.如果将例题的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？[解]如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝3a，DC＝2a，所以该旋转体的表面积为：S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·(3a)2＋2π3a·a＋π·3a·2a＝3πa2＋23πa2＋23πa2＝(3＋43)πa2，该旋转体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱＝12·a＋π(3a)2a3π(3a)＝4πa3.求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2B．1∶ 3C ．1∶ 5 D.3∶2C [设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.]2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3A [设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.]3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为 ． 7π [由已知圆台上、下底面积分别为 S 上＝π，S 下＝4π.则V 圆台＝13·(π＋π·4π＋4π)·3＝7π.]4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 6π [由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.]5．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积． [解] 由题意V 锥体＝13Sh ＝13πr 2·h ＝20π3.。
圆柱圆锥圆台PPT课件
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。
2．圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法。
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积。
(二)能力训练点
1．理解圆柱、圆锥、圆台的概念，掌握它们的性质，能利用它们之间的内在联 系进行转化，不断提高学生分析问题的能力。
2．通过它们直观图画法的教学，使学生掌握正等测法的作图，进一步提高学生 作图及识图能力。
3．掌握它们侧面积的计算公式，能综合应用这些公式计算有关图形的面积， 提高学生综合应用知识的能力。
完整版课件
1
(三)德育渗透点
1．圆柱、圆锥、圆台的形成是通过平面图形的旋转而得到，即通过运动的 形式来给出定义．教学过程要结合实际注意培养学生掌握运用运动变化的观 点来分析问题．
2．圆柱、圆锥及圆台的共同属性是，都由平面多边形旋转而得到，因此平 面图形之间的关系决定了它们之间的关系．教学过程要注意培养学生抓住它 们的内在联系来把握它们的变化，帮助学生树立联系变化的辩证唯物主义观 点．
生：有，应该加上全等两个字．
(教师肯定学生的答案后，板书出两条性质．)
师：性质2．给出了圆柱、圆锥、圆台的本质特征．今后有关三个几何 体的计算问题只要在它们轴截面上作文章，甚至今后分析有关问题可直 接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形．另外有了性质1．我们 可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分，所以有关圆台 的问题就可以转化为圆锥的问题来解决．
性质2给出了圆柱圆锥圆台的本质特征今后有关三个几何体的计算问题只要在它们轴截面上作文章甚至今后分析有关问题可直接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形另外有了性质1我们可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分所以有关圆台的问题就可以转化为圆锥的问题来解决例1把一个圆锥截成圆台已知圆台的上下底面半径是14母线长是10cm求圆锥的母线长分析
人教版数学必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表
面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
跟踪训练
1. (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的
364
体积和为________；
3
设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得
− =1
R＝4
42 − 4 2 = 28
r＝3
∵棱长为a，∴BE＝
3
2
3
a× ＝ a.
2
3
3
∴在Rt△ABE中，AE＝
2
−
2
3
＝
6
a.
3
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝
6
6 2
3
a，∴S球＝4π×( a) ＝ πa2.
4
4
2
2. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为( B )
∴R＝2.
4
3
∴V＝ πR3＝
32
.
3
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个
半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这
时容器中水的深度．
由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC
3
2
12
总结提升
1.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的
2
半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图．
总结提升
2．长方体的外接球
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 课件
【解析】 (1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转如 下图(a)180°得到几何体①.
(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且 圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．
可旋转如下图(b)360°得到几何体②.
(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥 的底面与四棱柱底面相同．
该截面所成的角是 60°，则该截面的面积是( )
A．π
B．2π
C．3π D．2 3π
解析：因为 OA 与该截面所成的角是 60°，所以截面圆半径 r
＝12OA＝1，故截面的面积 S＝π. 答案：A
3．正方形 ABCD 绕对角线 AC 所在直线旋转一周所得组合体 的结构特征是________．
解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体
类型三 旋转体的侧面展开图 [例 3]
如图，底面半径为 1，高为 2 的圆柱，在 A 点有一只蚂蚁，现 在这只蚂蚁要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是 多少？
【解析】
把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形， 如图所示，连接 AB′，则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
到什么位置，不垂直于 轴的边都叫作圆柱侧
面的母线
图中圆柱表示为圆柱 O′O
圆锥
轴：旋转轴叫作圆锥的
轴；底面：垂直于轴的
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋 转轴，其余两边旋转形 成的面所围成的旋转
体叫作圆锥
边旋转而成的圆面叫 作圆锥的底面；侧面： 直角三角形的斜边旋 转而成的曲面叫作圆 锥的侧面；母线：无论 旋转到什么位置，不垂
【解析】 (1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转 得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；
圆柱圆锥圆台球的结构特征 课件
图形
用表示它的轴的字母，即表示两底面__圆__心____的字母表示，上图 表示法 中的圆柱可记作圆柱___O_′_O_____ 规定 __圆__柱____和__棱__柱____统称为柱体
[归纳总结] 圆柱的简单性质： (1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示．
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段； ⑦球面上任意三点可能在一条直线上； ⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． [思路分析] 准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才 能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断． [解析] ①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以 直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面； ④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面 上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线， 故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确．
在 Rt△SOA 中，∠ASO＝45°，所以 SO＝AO＝3x cm， 又 SO′＝A′O′＝x cm，所以 OO′＝2x cm. 又 S 轴截面＝12×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以 x＝7. 综上可知，圆台的高 OO′＝14 cm，母线长 AA′＝ 2OO′＝14 2(cm)， 上、下底面半径分别为 7 cm 和 21 cm.
综上可知，圆台的高 OO′＝14 cm，母线长 AA′＝ 2OO′＝14 2(cm)， 上、下底面的半径分别为 7 cm 和 21 cm.
方法二 圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别 为 x cm 和 3x cm，延长 AA′，BB′交 OO′的延长线于点 S(O′，O 分别为上、 下底面圆心)．
9.13 圆柱圆锥与圆台
二、圆柱、圆锥与圆台的性质 名称
平行于底面的截面
圆 全等的矩形 等腰三角形 等腰梯形
轴截面
侧面积
S圆柱侧＝cl 2rl
1 S 侧 cl r l 2
1 1 V圆锥＝ Sh r 2 h 3 3
1 S 侧 (c c' )l (r r ' ) l 2
全面积
体积
画法：第一步：以点o作为原点，按正等轴侧画法画出ｘ轴、ｙ轴、 ｚ轴． z
o ｘ ｙ
第二步：画底面．以原点o作为圆心，在原来的圆上画上一些与直径 平行的弦，相应地画一些与ｙ轴平行的线段，其长度等于对应的弦长，而 且使ｘ轴平分这些弦．然后把这些弦的端点用一条光滑曲线联结起来，便 得到圆锥的底面的直观图．
9.13 圆柱、圆锥与圆台
一、概念：
1.圆柱的概念
• 圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴，其余三边绕 这根轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.
2.圆锥的概念
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其 余两边绕这根轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥．
3.圆台的概念
圆台：直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴，其余三 边绕这根轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆台．
第三步：在ｚ轴上取一点S使 so 2.5cm
第四步：从点S作圆锥侧面的左右现两条对称的母线，如图．
z
s
s
o
o
x y
第五步：把看得见的线用实线，被遮档的线挡的线改为虚线，把x轴、y 轴、z轴在圆锥外面的部分擦掉．
课堂练习：
课堂小结：
P178 1、2
1. 旋转体的概念 2. 旋转体的主要性质 3. 用正等轴测画法画旋转体的 直观图．
圆柱圆锥圆台面积公式
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开2r ' 2r
l
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r2 r2 rl rl)
总结提升
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r O
r 'O′
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱 2r(r l) S台 (r2 r2 rl rl)
S锥 r(r l)
圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图试想象圆台的侧面展开图是什么
圆柱的表面积
r O
l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r2 2rl 2r(r l)
圆锥的表面积
S
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S圆锥表面积 r2 rl r(r l)
第一课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
19
课堂精炼
【训练 3】
π
如图所示，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝ ，AD∥BC，BC＝2AD
2
＝2AB＝2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的
几何体的体积为(
5
A. π
3
4
B. π
3
2
C. π
3
)
D.2π
解析
由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆
锥(如图)，
又 BD＝A1D·tan 60°＝3 3，∴R＋r＝3 3，
∴R＝2 3，r＝ 3，又 h＝3，
1
1
2
2
∴V 圆台＝ πh(R ＋Rr＋r )＝ π×3×[(2 3)2＋
3
3
2 3× 3＋( 3)2]＝21π.
∴圆台的体积为 21π.
答案
10
21π
关于旋转体面积、体积等计
算问题，一般重点考察几何
体的轴截面，将立体问题平
面积与两底面积之和
题型二
求圆柱、圆锥、圆台的体积
数 学
7
知识梳理
2.柱体、锥体、台体的体积公式
V 柱体＝ sh (S 为底面面积，h 为柱体高)；
V 锥体＝
sh
(S 为底面面积，h 为锥体高)；
1
V 台体＝ (S′＋ S′S＋S)h(S′，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高).
3
8
课堂精讲
8.3.2 第一课时 圆柱、圆
锥、圆台的表面积和体积
数 学
1
题型一
求圆柱、圆锥、圆台的表面积
数 学
2
知识梳理
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
圆柱、圆锥、圆台的几何特征课件
底面
圆锥的底部是一个圆面， 称为底面。
圆锥的定义与基本元素
01
02
03
04
侧面
连接底面和顶点的曲面，称为 侧面。
母线
连接底面和顶点的线段，称为 母线。
轴
通过底面的圆心与顶点连接的 直线，称为轴。
顶点
圆锥顶部的点，称为顶点。
圆锥的侧面展开图
侧面展开图是一个扇形，扇形的半径 等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于 圆锥底面的周长。
认为圆柱、圆锥、圆台的定义只是简 单地描述了它们的形状，而忽略了它 们是由平面曲线（圆）绕固定直线 （轴）旋转而成的立体几何图形。
误区二
对于圆柱、圆锥、圆台的定义中涉及 的术语理解不准确，如“母线”、“ 轴”、“底面”等。
关于公式应用的误区
误区一
在应用圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式时3
圆台的几何特征
圆台的定义与基本元素
定义
圆台是由一个大的圆平面（下底）和一个小的 圆平面（上底）以及连接两圆的侧面所围成的
几何体。
01
下底
较大的圆形平面。
03
高
上底和下底之间的垂直距离。
05
02
上底
较小的圆形平面。
04
侧面
连接上底和下底的曲面。
06
母线
连接上底和下底边缘的线段。
圆台的侧面展开图
圆柱的体积公式
V = πr^2h，其中r为底面半径，h为高。 体积等于底面积乘以高。
典型例题解析
例题1
已知圆柱的底面半径为3，高为4，求圆柱的表面积和体积。
解析
根据公式S = 2πr^2 + 2πrh和V = πr^2h，代入r = 3，h = 4，即可求出表面积和体积。
圆柱、圆锥、圆台
垂直于侧棱并与每条 侧棱都相交的截面 经过旋转轴的截面 过高的中点平行于 底面的截面
轴截面
中截面
棱柱、棱锥、棱台 圆柱、圆锥、圆台
七、小结
一、常见旋转体—圆柱、圆锥、圆台由来及相关概念
用表示轴的字母来表示 二、圆柱、圆锥、圆台的表示法：
三、圆柱、圆锥、圆台的性质： 性质1：平行于底面的截面都是圆 性质2：圆柱的轴截面是全等的矩形 圆锥的轴截面是全等的等腰三角形 圆锥的轴截面是全等的等腰梯形
说明：在解题过程中，如果问题都集中在某个截 面上，为了直观起见，不妨将该截面移出来单独研究， 这种将立体问题转化为平面问题的方法在今后应用极为 广泛，必须牢牢掌握并能熟练运用。
回顾小结
•
•
（1）圆柱、圆锥、圆台和球的概念
（2）运动变化、类比联想的观点
•
（3）分解复杂的组合体
课外作业
1.请同学们课后找一找生活中具有圆柱、圆锥、 圆台和球几何结构特征的实物.
O S
O’
O
O
O
记作：
记作：
记作：
圆柱O’O
圆锥SO
圆台O’O
四、圆柱、圆锥、圆台的性质
性质1： 平行于底面的截面都是圆,
过旋转轴的截面 称为旋转体的轴截面 定 义：
性质2：圆柱的轴截面是 全等的 矩形 圆锥的轴截面是 全等的 等腰三角形 圆台的轴截面是 全等的 等腰梯形 S
O’
O’
O
O
O
建构数学
∵⊙Ｏ’ ∥ ⊙O ∴O’A’ ∥OA
＝ ∴⊿ O’SA’O’ A’ ︰OA SA’ ︰SA （∴ ∽⊿ SAO ）
即： x ：4x ＝ (y－10)︰ y 4 (y－10) ＝ y y ＝
圆柱、圆锥、圆台的体积和面积公式。
圆柱、圆锥、圆台的体积和面积公式。
圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
圆柱的体积：V= πr 2h 或 V=
Sh
（r 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高，S 为圆柱的底面积）
圆锥的体积：V=31πr 2h 或 V=3
1Sh
（r 为圆锥的底面半径，h 为圆锥的高，S 为圆锥的底面积）
圆台的体积：V=31πh （R 2+r 2+Rr)
（R 为圆台的底面半径，r 为圆台的顶面半径，h 为圆台的高） 圆柱、圆锥、圆台的面积公式：
圆柱的表面积公式： S=2πr 2+2πrh
圆柱的侧面积公式： S=2πrh
（r 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高）
圆锥的表面积公式： S=πr 2+πr l
圆锥的侧面积公式： S=πr l
（r 为圆锥的底面半径，h 为圆锥的高，l 圆锥的母线）
圆台的表面积公式： S=πr2+πR2 +πR l+πr l
=π(r2+R2 +R l+r l）
圆台的侧面积公式： S=πR l+πr l
（R为圆台的底面半径，r为圆台的顶面半径，h为圆台的高，l圆台的母线）。
《圆柱、圆锥、圆台》课件1 (北师大版必修2)
(l 32 (5 1) 2 5)
h
l
圆柱、圆锥、圆台的平行于底的截面是什么图形？ 它的面积的大小与底面面积有什么关系？
求证：平行于圆锥底面的截面 与底面的面积比，等于顶点到 截面的距离与圆锥高的平方比 证明：由相似三角形的性质得
s
r
o1
r so1 R so r 2 so12 2 2 R so S截 r 2 so12 2 2 S底 R so
o R
例： 把一个圆锥截成圆台，已知 圆台上、下底面半径分别是1：4， 母线长是10cm,求圆锥的母线长。
x 4x
解：设圆锥的母线长为y，圆台的 上、下底面半径分别是x、4x，
由相似三角形的性质得，
y 10 x y 4x
10
即 4( y 10) y
3y=40
40 y (cm ) 3 40 即圆锥母线长为 cm . 3
3、圆柱、圆锥、圆台的母线、底面半径与高的关系？ 作业：P209 习题2 1，5
圆柱、圆锥、圆台
名 称 侧 面 展 开 图 圆柱 圆锥 圆台
c l l
c/
l
c
c
侧 面 积
ห้องสมุดไป่ตู้
S侧=cl=2πrl
S侧=
1 cl 2
=πrl
S侧=
1 (c c / )l 2
=π(r+r/)l
设圆台的母线长为l，上、下底面的周长
为c/、c，半径分别是r/、r,求圆台的侧面积 解：S圆台侧 1 c(l x) 1 c / x
r
/
x c/ c
l
2 2 1 [cl (c c / ) x]. 2
⑴
r
【课件】圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例析
例2 如右图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆
柱的体积之比.
解:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径
为R，高为2R.
4 3
因为 V球
R ,V 圆柱
R2 2R 2 R3
3
所以 V球 : V圆柱
2
3
问题：球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？
R O
练习
题型一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1 ，2 ，过直线1 2 的平面截该圆
）
2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形. （
答案：√，×.
辨析2：若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为(
A.2
答案：D.
B.3
C.
D.4
).
）
新知探索
割 圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推
导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.
他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的
∴ = 5，∴ = × (2 + 6) × 5 + × 22 + × 62 = 40 + 4 + 36 = 80.
练习
题型二：圆柱、圆锥、圆台的体积
例2.(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积
之比是(
).
A.1
B.1：2
C. 3：2
D.3：4
的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体
积为_____.
解：设上、下底面半径，母线长分别为，，.
作1 ⊥ 于点，则1 = 3，∠1 = 60°.
又∠1 = 90°，∴∠1 = 60°，∴ =
新人教A版高中数学必修2课件：8.1 第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
矩形的一边 所在直线
以直角三角形 的一条直角边 所在直线
以直角梯形的直角 腰所在直线
以半圆的直 径所在直线
[典例 1] 下列说法正确的是
()
A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面
B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥
C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱
D．球面上四个不同的点一定不在同一平面内
解：因为△ABC 为等边三角形， 所以 BC＝6，所以 l＝2π×3＝6π. 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：6α＝6π. 故 α＝π，则 ∠B′AC＝π2， 所以 B′P＝ 36＋9＝3 5(m)， 所以小猫所经过的最短路程是 3 5 m.
∴dd11＋ －dd22＝ ＝13， 此方程组无解．
分析以上解题过程是否正确，若不正确，你能找出错因吗？
提示：平行截面有两种情况：在球心的两侧或同侧，以上解答漏掉一种情况． 正解如下： (1)平行截面在球心的同侧时，如图． 由(d1－d2)(d1＋d2)＝3.又 d1－d2＝1， ∴d1＋d2＝3.∴dd11＋ －dd22＝ ＝31， ， 解得dd12＝ ＝21， . ∴R＝ r21＋d21＝ 5＋4＝3，即球的半径等于 3. (2)同错解．故所求球的半径等于 3.
【对点练清】 1．若将本例选项 B 中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．
解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转 后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的 几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一 个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．
2．描述下列几何体的结构特征．
2.如图所示，有一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱体，在 A 点 处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 解：把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图 形——矩形，如图所示，连接 AB′，则 AB′即为 蚂蚁爬行的最短距离． ∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π. 又 AB＝A′B′＝2， ∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2， 即蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2.
2-1.1.2圆柱、圆锥、圆台的结构特征
B
思考：用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截
一个球，截面是
圆面。
O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆。
ห้องสมุดไป่ตู้
想一想： 球、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别 是什么图形?
五、多面体
凸多面体和凹多面体
三、圆台的结构特征:
1、定义：用一个平行于圆 锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分， 这样的几何体叫做圆台。
O'
O
O' 轴 O
上底面 母线 侧面 下底面
2、圆台的表示法：用表示它的轴的字母 ′ 表示，如圆台OO 。
四、球的结构特征:
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的几何体，叫做球体。 A O 半径
V
C
D A B
E 把多面体的任何一个面伸展为平面，如果 所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多 面体叫做凸多面体。
正多面体
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
多面体
六、简单组合体的结构特征：
日常生活中常用到的日用品，比如：消毒液、 暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？
圆柱 圆台
圆柱
1、定义：由柱、锥、台、球等简单几何 体组合而成的几何体叫简单组合体。
2、简单几何体的构成有两种形式： (1)由简单几何体拼接而成的;
(2)简单几何体截去或挖 去一部分而成的.
(3)平行于轴的边旋转而成的 曲面叫做圆柱的侧面。 (4)无论旋转到什么位置,不垂直 于轴的边都叫做圆柱的母线。
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Байду номын сангаас
圆台的性质: ①圆台的轴通过两底面圆的圆心,并 且与底面垂直. ②圆台的母线长都相等. ③平行于底面的截面都是圆. ④轴截面(经过圆台轴的平面截圆台所得的 截面)是全等的等腰梯形,腰长就是母线长.
（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连
线是圆柱的母线．
（
）
）
（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（ （3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．（
）
例2
图中几何体由哪些几何体构成？
这个叫棱台吗？
练习1、圆0绕直线 l 旋转一周,是什么几 何体？
由 什 么 几 何 体 构 成
练习2、
能 构 成 什 么 几 何 体
能 构 成 什 么 几 何 体
1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球
复习:棱柱、棱锥和棱台
A` B`
F`
C`
E` D`
A`
B` C`
F A C A S B B C
E D
A′
D
C′ B′
A
A B C
C
B
天坛
下面几何体与多面体不同,仔细观察下列 几何体,它们有什么共同点或生成规律?
这类几何体都可以看做是由一个
平面图形绕某一直线旋转而成的！
结论：用一个平面去截球体得到的截面是一个 圆。
定义:一般地,一条平面曲线绕它所在平面内 的一条定直线旋转所成的曲面叫做旋转面, 封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.
问题：曲线ABCD绕直线 l 旋转一周,是什 么几何体？
你知道什么叫旋转体了吧！
例１ 么几何体？
ABCD绕AB旋转一周,是什
判断题：
上图中的几何体分别是什么平面图 形通过旋转而成 ? 在生产和生活中 ,还 有哪些几何体具有类似的生成规律?
O1
B
将矩形、直角三角形、直角梯形分别 绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的 腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分 别叫做圆柱、圆锥、圆台。 这条直线叫做轴。
轴
轴 圆锥 圆锥 圆台
圆台
轴
圆柱
④平行于底面的截面是与底面相等的圆 ⑤轴截面(经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面)是 全等的矩形,其一组对边是母线,另一组对边是底面 圆的直径. ⑥圆柱的侧面展开图是矩形，底面圆周长 与圆柱母线长分别对应矩形的长和宽.
圆锥的性质:
①圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且 与底面垂直. ②圆锥的母线长都相等.
圆柱
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面。 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面 ，无论旋转到什么位置,这条边都是母线.
o
s
o
O'
o'
o'
o'
分别表示为：圆柱oo'、圆锥so'、圆台oo'
圆柱的性质:
①圆柱的轴通过上下底面的圆心, 并且与底面垂直 ②圆柱的底面互相平行且面积相等
③圆柱有无数条相等的母线,且等于圆柱的高
球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称 球。 （1）半圆的半径叫做球的半径。 （2）半圆的圆心叫做球心。 A （3）半圆的直径叫做球的直径。
半径
O
球的表示：用表 示球心的字母表 球心 示，如球O
B
想 一 想 ？
用一个平面去截球体得到 的截面是什么图形？