第2章非线性数据结构树和图
数据结构中的树与图算法教程
数据结构中的树与图算法教程第一章树的基本概念与遍历算法树是一种非线性数据结构，它由若干个节点组成，这些节点以层级的方式连接，形成分支的结构。
树中的一个节点被称为根节点，它没有父节点；其他节点可以有一个或多个父节点，这些节点被称为子节点。
树具有分支，但没有循环。
1.1 具体树的概念在树的结构中，每个节点可以有零个或者多个子节点，但是只能有一个父节点。
树具有层级关系，通过连接节点的边表示。
1.2 树的分类常见的树包括二叉树、二叉搜索树、红黑树等。
其中，二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多可以有两个子节点。
1.3 树的遍历算法树的遍历算法主要有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是以根节点、左子树、右子树的顺序进行遍历；中序遍历是以左子树、根节点、右子树的顺序进行遍历；后序遍历是以左子树、右子树、根节点的顺序进行遍历。
第二章树的存储结构与常见应用2.1 树的存储结构树的存储结构有两种常见的实现方式，分别是链表实现和数组实现。
链表实现利用指针进行节点的连接，数组实现则使用数组的索引来表示节点之间的关系。
2.2 平衡二叉树平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作都可以通过旋转操作进行平衡。
2.3 哈夫曼树哈夫曼树是一种特殊的二叉树，用于编码和解码数据。
哈夫曼树中出现频率高的字符距离根节点较近，而出现频率低的字符距离根节点较远，以实现编码的高效率。
第三章图的基本概念与遍历算法3.1 图的基本概念图是由节点和边组成的非线性数据结构。
节点表示实体，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边是有方向的，无向图的边没有方向。
3.2 图的存储结构图的存储结构有邻接矩阵和邻接表两种常见的方式。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系；邻接表是由链表或者数组实现的，用于表示每个节点相邻节点的信息。
3.3 图的遍历算法图的遍历算法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
数据结构各章概要
数据结构各章概要数据结构是计算机科学中非常重要的一个学科，其主要研究各种数据的组织方式和操作方法。
善于运用合适的数据结构可以提高算法的效率，并优化程序的性能。
本文将对数据结构的各个章节进行概要介绍，帮助读者了解不同章节的主要内容和应用。
第一章：引论在引论章节，我们将引入数据结构的基本概念和术语，例如什么是数据、数据项、数据对象等等。
同时，还将介绍数据结构的分类和基本操作，如搜索、遍历、插入、删除和排序。
这些基础知识是后续章节的基础。
第二章：线性表线性表是数据结构中最简单、最基本的一种结构。
其特点是数据元素之间的前驱和后继关系非常明确。
线性表可以用数组和链表两种方式实现。
在本章节中，我们将分别介绍顺序表和链表的实现原理、插入、删除、合并以及应用场景。
第三章：栈和队列栈和队列是两种特殊的线性表结构，它们对数据的访问具有限制性。
栈具有“先进后出”的特点，而队列则具有“先进先出”的特点。
在本章节中，我们将介绍栈和队列的实现方式以及常见的应用场景，如递归、表达式求值、广度优先搜索等。
第四章：串串是由零个或多个字符组成的有限序列，其长度可以为零。
在本章节中，我们将介绍串的定义和操作，包括字符串的模式匹配、模式识别和编辑操作。
串的相关算法在文本处理、计算机网络等领域具有广泛的应用。
第五章：数组和广义表数组是一种在内存中以连续方式存储的数据结构，它具有高效的随机访问特性。
广义表是线性表的一种扩展，可以包含表结构、原子结构以及其他广义表。
本章节将介绍数组和广义表的定义、操作和应用。
第六章：树树是一种非线性的数据结构，具有分层次、递归和层次遍历等特点。
在本章节中，我们将介绍树的基本概念、二叉树、树的遍历算法、平衡树以及树的应用，如编译器中的语法树、文件系统的目录结构等。
第七章：图图是一种复杂的非线性数据结构，由顶点集合和边集合组成。
在本章节中，我们将介绍图的各种表示方式，图的遍历算法、最短路径算法以及常用的图算法，如最小生成树算法和拓扑排序。
《数据结构》课后习题答案(第2版)
《数据结构》课后习题答案(第2版)数据结构课后习题答案（第2版）第一章：基本概念1. 什么是数据结构？数据结构是指数据元素之间的关系，以及相应的操作。
它研究如何组织、存储和管理数据，以及如何进行高效的数据操作。
2. 数据结构的分类有哪些？数据结构可以分为线性结构和非线性结构。
线性结构包括数组、链表、栈和队列；非线性结构包括树和图。
3. 什么是算法？算法是解决特定问题的一系列有序步骤。
它描述了如何输入数据、处理数据，并产生期望的输出结果。
4. 算法的特性有哪些？算法具有确定性、有限性、输入、输出和可行性这五个特性。
5. 数据结构和算法之间的关系是什么？数据结构是算法的基础，算法操作的对象是数据结构。
第二章：线性表1. 顺序表的两种实现方式是什么？顺序表可以通过静态分配或动态分配的方式实现。
静态分配使用数组，动态分配使用指针和动态内存分配。
2. 单链表的特点是什么？单链表由节点组成，每个节点包含数据和一个指向下一个节点的指针。
它的插入和删除操作效率高，但是查找效率较低。
3. 循环链表和双向链表分别是什么？循环链表是一种特殊的单链表，在尾节点的指针指向头节点。
双向链表每个节点都有一个指向前一个节点和后一个节点的指针。
4. 链表和顺序表的区别是什么？链表的插入和删除操作效率更高，但是查找操作效率较低；顺序表的插入和删除操作效率较低，但是查找操作效率较高。
第三章：栈和队列1. 栈是什么？栈是一种特殊的线性表，只能在表的一端进行插入和删除操作。
后进先出（LIFO）是栈的特点。
2. 队列是什么？队列是一种特殊的线性表，只能在表的一端进行插入操作，在另一端进行删除操作。
先进先出（FIFO）是队列的特点。
3. 栈和队列的应用有哪些？栈和队列在计算机科学中有广泛的应用，例如浏览器的前进后退功能使用了栈，操作系统的进程调度使用了队列。
4. 栈和队列有哪些实现方式？栈和队列可以使用数组或链表来实现，还有更为复杂的如双端队列和优先队列。
数据结构之线性结构和非线性结构
数据结构之线性结构和⾮线性结构线性结构：⼀、概念1. 线性结构作为最常⽤的数据结构，其特点是数据元素之间存在⼀对⼀的线性关系。
2. 线性结构拥有两种不同的存储结构，即顺序存储结构和链式存储结构。
顺序存储的线性表称为顺序表，顺序表中的存储元素是连续的，链式存储的线性表称为链表，链表中的存储元素不⼀定是连续的，元素节点中存放数据元素以及相邻元素的地址信息。
3. 线性结构中存在两种操作受限的使⽤场景，即队列和栈。
栈的操作只能在线性表的⼀端进⾏，就是我们常说的先进后出（FILO），队列的插⼊操作在线性表的⼀端进⾏⽽其他操作在线性表的另⼀端进⾏，先进先出（FIFO），由于线性结构存在两种存储结构，因此队列和栈各存在两个实现⽅式。
⼆、部分实现1. 顺序表（顺序存储） 按照我们的习惯，存放东西时，⼀般是找⼀块空间，然后将需要存放的东西依次摆放，这就是顺序存储。
计算机中的顺序存储是指在内存中⽤⼀块地址连续的空间依次存放数据元素，⽤这种⽅式存储的线性表叫顺序表其特点是表中相邻的数据元素在内存中存储位置也相邻，如下图：1 // 倒置线性表2 public void Reverse()3 {4 T tmp = default(T);56 int len = GetLength() - 1;7 for (int i = 0; i <= len / 2; i++)8 {9 if (i.Equals(len - i))10 {11 break;12 }1314 tmp = data[i];15 data[i] = data[len - i];16 data[len - i] = tmp;17 }18 }2. 链表（链式存储） 假如我们现在要存放⼀些物品，但是没有⾜够⼤的空间将所有的物品⼀次性放下（电脑中使⽤链式存储不是因为内存不够先事先说明⼀下...，具体原因后续会说到），同时设定我们因为脑容量很⼩，为了节省空间，只能记住⼀件物品位置。
《数据结构》第二版严蔚敏课后习题作业参考答案(1-7章)
《数据结构》第二版严蔚敏课后习题作业参考答案(1-7章)【第一章绪论】1. 数据结构是计算机科学中的重要基础知识，它研究的是如何组织和存储数据，以及如何通过高效的算法进行数据的操作和处理。
本章主要介绍了数据结构的基本概念和发展历程。
【第二章线性表】1. 线性表是由一组数据元素组成的数据结构，它的特点是元素之间存在着一对一的线性关系。
本章主要介绍了线性表的顺序存储结构和链式存储结构，以及它们的操作和应用。
【第三章栈与队列】1. 栈是一种特殊的线性表，它的特点是只能在表的一端进行插入和删除操作。
本章主要介绍了栈的顺序存储结构和链式存储结构，以及栈的应用场景。
2. 队列也是一种特殊的线性表，它的特点是只能在表的一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作。
本章主要介绍了队列的顺序存储结构和链式存储结构，以及队列的应用场景。
【第四章串】1. 串是由零个或多个字符组成的有限序列，它是一种线性表的特例。
本章主要介绍了串的存储结构和基本操作，以及串的模式匹配算法。
【第五章数组与广义表】1. 数组是一种线性表的顺序存储结构，它的特点是所有元素都具有相同数据类型。
本章主要介绍了一维数组和多维数组的存储结构和基本操作，以及广义表的概念和表示方法。
【第六章树与二叉树】1. 树是一种非线性的数据结构，它的特点是一个节点可以有多个子节点。
本章主要介绍了树的基本概念和属性，以及树的存储结构和遍历算法。
2. 二叉树是一种特殊的树，它的每个节点最多只有两个子节点。
本章主要介绍了二叉树的存储结构和遍历算法，以及一些特殊的二叉树。
【第七章图】1. 图是一种非线性的数据结构，它由顶点集合和边集合组成。
本章主要介绍了图的基本概念和属性，以及图的存储结构和遍历算法。
【总结】1. 数据结构是计算机科学中非常重要的一门基础课程，它关注的是如何高效地组织和存储数据，以及如何通过算法进行数据的操作和处理。
本文对《数据结构》第二版严蔚敏的课后习题作业提供了参考答案，涵盖了第1-7章的内容。
数据结构PPT树和二叉树
(c)
L
R
R
(d)
(e)
(a) 空树
(b) 只含根结点
(d) 左右子树均不为空树
(c) 右子树为空树 (e) 左子树为空树
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质1 在二叉树的第 i 层上至多有 2i - 1个结点。(i ≥ 1)
[证明用归纳法]
证明：当i=1时，只有根结点，2 i-1=2 0=1。
一般树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍树的应用实
例。
安
徽 理
6.1 树的定义和基本术语
工
大 学
❖ 什么是树？树是由 n (n ≥ 0) 个结点的有限集合。如果 n
= 0，称为空树；如果 n > 0，则
▪ 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直
接后继，但没有直接前驱；
▪ 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不
树构成(即不存在度大于2的结点)，并且左、右子树本身也
是二叉树。 说明： 1. 二叉树中每个结点最多有两棵子 树，二叉树每个结点度小于等于2；
A
B
D
E
C F
2. 左、右子树不能颠倒——有序树；
G
3. 二叉树是递归结构，在二叉树的定
义中又用到了二叉树的概念。
安
徽 理
二叉树的形态
工
大
学
φ
L
(a)
(b)
例1. 家族族谱
设某家庭有13个成员A、B、C、D、E、F、G、H、I、J
、K、L、M，他们之间的关系可如图所示的树表示。
例2. 单位行政机构的组织关系
《数据结构》填空作业题(答案)
《数据结构》填空作业题答案第1章绪论（已校对无误）1．数据结构包括数据的逻辑结构、数据的存储结构和数据的运算三方面的内容。
2．程序包括两个内容：数据结构和算法。
3. 数据结构的形式定义为：数据结构是一个二元组： Data Structure =（D，S）。
4. 数据的逻辑结构在计算机存储器内的表示，称为数据的存储结构。
5. 数据的逻辑结构可以分类为线性结构和非线性结构两大类。
6. 在图状结构中，每个结点的前驱结点数和后继结点数可以有多个。
7. 在树形结构中，数据元素之间存在一对多的关系。
8. 数据的物理结构，指数据元素在计算机中的标识（映象），也即存储结构。
9. 数据的逻辑结构包括线性结构、树形结构和图形结构 3种类型，树型结构和有向图结构合称为非线性结构。
10. 顺序存储结构是把逻辑上相邻的结点存储在物理上连续的存储单元里，结点之间的逻辑关系由存储单元位置的邻接关系来体现。
11. 链式存储结构是把逻辑上相邻的结点存储在物理上任意的存储单元里，节点之间的逻辑关系由附加的指针域来体现。
12. 数据的存储结构可用4种基本的存储方法表示，它们分别是顺序存储、链式存储、索引存储和散列存储。
13. 线性结构反映结点间的逻辑关系是一对一的，非线性结构反映结点间的逻辑关系是一对多或多对多。
14. 数据结构在物理上可分为顺序存储结构和链式存储结构。
15. 我们把每种数据结构均视为抽象类型，它不但定义了数据的表示方式，还给出了处理数据的实现方法。
16. 数据元素可由若干个数据项组成。
17. 算法分析的两个主要方面是时间复杂度和空间复杂度。
18. 一个算法的时间复杂度是用该算法所消耗的时间的多少来度量的，一个算法的空间复杂度是用该算法在运行过程中所占用的存储空间的大小来度量的。
19. 算法具有如下特点：有穷性、确定性、可行性、输入、输出。
20. 对于某一类特定的问题，算法给出了解决问题的一系列操作，每一操作都有它的确切的定义，并在有穷时间内计算出结果。
《数据结构》课件
第二章 线性表
1
线性表的顺序存储结构
2
线性表的顺序存储结构使用数组来存储元素，
可以快速随机访问元素。
3
线性表的常见操作
4
线性表支持常见的操作，包括插入、删除、 查找等，可以灵活地操作其中的元素。
线性表的定义和实现
线性表是一种数据结构，它包含一组有序的 元素，可以通过数组和链表来实现。
线性表的链式存储结构
线性表的链式存储结构使用链表来存储元素， 支持动态扩展和插入删除操作。
第三章 栈与队列
栈的定义和实现
栈是一种特殊的线性表，只能在一 端进行插入和删除操作，遵循后进 先出的原则。
队列的定义和实现
队列是一种特殊的线性表，只能在 一端进行插入操作，在另一端进行 删除操作，遵循先进先出的原则。
栈和队列的应用场景和操作
哈希表是一种高效的查找数据结构， 通过哈希函数将关键字映射到数组 中，实现快速查找。
排序算法包括冒泡排序、插入排序 和快速排序等，可以根据数据规模 和性能要求选择合适的算法。
结语
数据结构的学习心得 总结
学习数据结构需要掌握基本概念 和常见操作，通过实践和练习加 深理解和熟练度。
下一步学习计划的安 排
在掌握基本数据结构的基础上， 可以进一步学习高级数据结构和 算法，提升编程技能。
相关学习资源推荐
推荐一些经典的数据结构教材和 在线学习资源，如《算法导论》 和LeetCode等。
栈和队列在计算机科学中有许多应 用，如函数调用、表达式求值和作 业调度等。
第四章 树与二叉树
树的定义和性质
树是由节点和边组成的一种非线性数据结构，每个 节点可以有多个子节点。
二叉树的遍历方式
二叉树的遍历方式包括前序遍历、中序遍历和后序 遍历，可以按不同顺序输出节点的值。
第二章基本数据结构及其运算
用这种方法查找，每次比较都可抛弃子表一半的 元素，查找效率较高 从该例可看出，数据元素在表中的排列顺序对查 找效率有很大的影响
例2、学生情况登记表信息查询 成绩在90分及以上的学生情况登记表
学 号 970156 970157 970158 970159 970160 970161 970162 970163 970164 … 姓 名 性 别 年龄 20 张小明 男 19 李小青 女 19 赵 凯 男 21 李启明 男 18 刘 华 女 19 曾小波 女 18 张 军 男 20 王 伟 男 19 胡 涛 男 … … … 成绩 86 83 70 91 78 90 80 65 95 … 学 号 姓 名 性别 男 女 男 女 年龄 21 19 19 17 成绩 91 90 95 93 970159 李启明 970161 曾小波 970164 胡 970168 梅 涛 玲
数据结构主要研究和讨论三方面问题：
1、数据元素之间的固有逻辑关系，称为数据的逻辑结构 2、数据元素及其关系在计算机中的存储方式，称为数据的 物理结构或存储结构
3、施加在数据结构上的操作，称为数据结构的运算。数据处 理的本质就是对数据结构施加各种运算，常见的运算有：查找、 排序、插入、删除等。
主要目的是提高数据处理的效率：
§2.1.3 数据结构的图形表示
D中的数据元素用中间标有元素值的方框表示， 称为数据结点（结点）；R中的关系用一条有向线段 从前件结点指向后件结点。
例：设数据元素的集合为D = {di |1≤ i≤ 7的整数}，画 出对应于下列关系所构成的数据结构的图形
①、R1={(d1,d3),(d1,d7),(d4,d5),(d3,d6),(d2,d4)} ②、R2={(di,dj)|i+j=5} ③、R3={(d2,d3)(d3,d1),(d1,d4),(d4,d6),d6,d5),(d5,d7)}
大学《数据结构教程》(第5版) 李春葆 清华大学出版社课件第1章 绪论
edcabfg
存储结构
1）顺序存储结构 2）链式存储结构
地址 内容
地址 内容
0400 5.0
2字节 0400 5.0
2字节
0402 - 5.3
0402 0515
0515 - 5.3
例如，若T(n)=n(n+1)/2,则有 T(n)/n2=1/2+1/n， 当n∞时，T(n)/n2=1/2故它的时间复杂度为Ｏ (n2), 即Ｔ(n)与n2 数量级相同。
显然,被称做问题的基本操作的原操作应是其 重复执行次数与算法的执行时间成正比的原 操作;
多数情况下，它就是最深层循环内的语句中 的原操作，它的执行次数和包含它的语句频 度相同。
同样的数据对象，用不同的数据结构来表示， 运算效率可能有明显的差异。
程序设计的实质是对实际问题选择一个好的数 据结构，加之设计一个好的算法。而好的算法 在很大程度上取决于描述实际问题的数据结构。
1.1.2 基本概念和术语(学籍信息表)
• 数据（Data）：是信息的载体，能够被计算机识别、 存储和加工处理。
++x;s+=x; } 时间复杂度为O(n)。
一重循环，其基本运算次数与问题规模 n成线性增长关系，称为线性阶，记为 O(n)
【例1-9】
for(j =1;j<=n;++j) for(k=1;k<=n;++k) {++x; s+=x;}
时间复杂度为O(n2)。 二重循环，其基本运算次数于问题规模n 成平方级增长关系，称为平方阶，记为 O(n2)。
非线性数据结构
01
算法3-1 先序遍历根结点指针为bt的二叉树。
02
void preorder(TNODE *bt)
03
{
04
if (bt != NULL)
05
{
06
printf(''%d \n'', bt->data);
07
preorder(bt->lchild);
08
preorder(bt->rchild);
单击此处添加小标题
树的深度：一棵树中，结点的最大层次值就是树的深度。图3-1中树的深度为4。
单击此处添加小标题
森林：森林是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。
单击此处添加小标题
孩子(child)：某结点子树的根称为该结点的孩子结点。
双亲(parent)：一个结点是它的那些子树的根的双亲结点。 兄弟(sibling)：同一个双亲的孩子之间互为兄弟。如A是B、C、D的双亲；B、C、D是A的孩子；B、C、D互为兄弟。 堂兄弟(cousins)：其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。如G与E、F、H、I互为堂兄弟。
另外，还有两种特殊的二叉树，平衡二叉树和二叉排序树。二叉排序树将在第4章中介绍，这里只介绍平衡二叉树的概念。 二叉树上任一结点的左子树深度减去右子树深度的差值，称为此结点的平衡因子。 若一棵二叉树中，每个结点的平衡因子之绝对值都不大于1，则称这棵二叉树为平衡二叉树。
例3-2 图3-9中有两棵二叉树，试判定其是否是平衡二叉树？ 解：二叉树 (a) 是平衡二叉树。二叉树(b)中结点C的平衡因子为2，大于1，故不是平衡二叉树。
对于完全二叉树，按图3-8中的编号顺序，就能得到一个足以反映整个二叉树结构的线性序列。因此，可将完全二叉树中所有结点按编号顺序依次存储到一组连续的存储单元(即向量)中，这样既不浪费内存，又可以利用地址公式确定其结点的位置。但对于一般的二叉树，顺序分配常会造成内存的浪费，因为一般的二叉树也必须按完全二叉树的形式来存储。图3-8所示的完全二叉树，其顺序存储结构如图3-10(a)所示。
2013年-数据结构-复习题
第一部分：数据结构——线性结构(顺序表、链表、栈、队列、数组、串)考点：1、时间复杂度2、数据的逻辑结构与存储结构相关知识——分类、与存储结构之间的关系3、顺序表的知识——特点4、链表的知识——编程求单链表中结点的个数、插入、删除。
5、栈与队列知识——特点、循环队列、基本术语、链队列6、数组与矩阵——求元素的地址、稀疏矩阵行优先存储:下标从1开始:Loc(A i,j) = Loc(A1,1)+[(i-1)*n+j-1]*b下标从0开始:Loc(A i,j) = Loc(A0,0)+(i*n+j)*b 列优先存储:下标从1开始:Loc(A i,j) = Loc(A1,1)+[(j-1)*m+i-1]*b下标从0开始:Loc(A i,j) = Loc(A0,0)+(j*m+i)*b1. 设顺序线性表中有n个数据元素，则第i个位置上插入一个数据元素需要移动表中___________个数据元素；删除第i个位置上的数据元素需要移动表中___________个元素。
2.数据的逻辑结构通常有集合、线性结构、_________ 和 _________ 四类结构。
3.若进栈序列为a、b、c ，且进栈和出栈可以穿插进行，则可能出现_________个不同的出栈序列。
4.在栈结构中，允许插入的一端称为 _________；在队列结构中，允许删除的一端称为 _________。
5. 下列程序段的时间复杂度为_____________s=0;for(i=1;i<n;i++)for(j=1;j<n;j++)s+=i*j;6. 假设某个带头结点的单链表的头指针为head，则判定该表为空表的条件（）A、head= =NULLB、head->next= =NULLC、head!=NULLD、head->next= =head7. 栈是一种操作受限的线性结构，其操作的主要特点是（）A、先进先出B、后进先出C、进优于出D、出优于进8. 假设以数组A[n]存放循环队列的元素，其头、尾指针分别为front和rear。
自考软件基础(数据结构--树与二叉树)
B
C
D
E
F
G
H
I
J
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第二节 二叉树
一、定义
南昌大学
二叉树是一种重要的树形结构，它的特点是：二叉树可以为空（节点个
数为0），任何一个节点的度都小于或等于2，并且，子树有左、右之分，
其次序不能任意颠倒。 二叉树有5种基本形态，如图10-2所示。
第 6 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
struct node
{ datatype data； struct node *Lchild,*rchild：
}；
第 15 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
例10-5 写出图10-8a所示二叉树的链式存储结构。其链式结构如图10-8b 所示。可以看出：具有n个节点的二叉树链式存储共有2n个链，其中只 有n-1个用来存放该节点的左、右孩子，其余的n +1个指针域为空。
解：第一步：由后序遍历结果确定整个二叉树根为A，由中序结果确定
A的左、右子树。 后序遍历结果： 中序遍历结果：
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第三节 二叉树的遍历
第二步：确定A的左子树。 1)后序遍历结果：
南昌大学
中序遍历结果：
2）确定B的右子树： ①后序遍历结果：
第 25 /209页
第三节 二叉树的遍历
②中序遍历结果：
南昌大学
第 9 /209页
第二节 二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树。
南昌大学
(1) 满二叉树指深度为k，且有2k-1个节点的二叉树。或者说除叶子节点外，
其它节点的度都为2的二叉树。
(2) 完全二叉树一个满二叉树的最下层从右向左连续缺少n (n>=0)个节点 的二叉树。 图10-3为满二叉树和完全二叉树示例。
非线性数据结构——树
⾮线性数据结构——树树⾮线性数据结构定义：也就是每个元素可以有多个前驱和后继。
树是⼀种⾮线性结构。
它可以有两种定义。
第⼀种：树是n（n>=0，n为0时，称为空树）个元素的集合，它只有⼀个特殊的没有前驱的元素，这个元素成为树的根（root），⽽且树中除了根节点外，其余的元素都只能有⼀个前驱，可以有0个或者多个后继。
第⼆种递归定义：树T是n（n>=0，n为0时，称为空树）个元素的集合，它有且只有⼀个特殊元素根，剩余元素都可以被划分为M个互不相交的集合T1,T2,T3……、Tm,⽽每⼀个集合都是树，称为T的⼦树subtree,同时，⼦树也有⾃⼰的根。
维基百科是这样定义的：树中的概念结点：树中的数据元素，也就是上图中的,A,B,C,D,E,F,G……结点的度degree：节点拥有的⼦树的数⽬称为度，记作d(v)。
叶⼦结结：节点的度为0，称为叶⼦节点leaf，终端节点，末端节点。
分⽀结点：节点的度不为0，称为⾮终端节点或分⽀节点。
分⽀：节点之间的关系。
内部节点：除根节点外的分⽀节点，当然也不包括叶⼦节点。
树的度：树内各节点的度的最⼤值，⽐如下⾯这个图D节点的度最⼤为3，所以树的度数就是3.孩⼦（⼉⼦child）节点：节点的⼦树的根节点成为该节点的孩⼦。
双亲（⽗parent）节点：⼀个节点是他各⼦树的根节点的双亲。
兄弟（sibling）节点：具有相同双亲节点的节点。
祖先节点：从根节点到该节点所经分⽀上所有的节点，上图中A,B,D就都是G的祖先节点。
⼦孙节点：节点的所有⼦树上的节点都成为该节点的⼦孙，⽐如上图中，B节点的⼦孙有D,G,H,I。
节点的层次(level)：根节点为第⼀层，根的孩⼦为第⼆层，以此类推，记作l(v).树的深度（⾼度depth）：树的层次的最⼤值，上图中的树深度为4.堂兄弟：双亲在同⼀层的节点，堂兄弟的双亲不⼀定是兄弟。
有序树：节点的⼦树是有顺序的（兄弟有⼤⼩，有先后次序，不能交换），⽆序树：节点的⼦树是⽆序的，可以交换。
数据结构C语言版(第2版)严蔚敏人民邮电出版社课后习题答案
数据结构（ C语言版）（第 2版）课后习题答案李冬梅2015.3目录第 1 章绪论 (1)第 2 章线性表 (5)第 3 章栈和队列 (13)第 4 章串、数组和广义表 (26)第 5 章树和二叉树 (33)第 6 章图 (43)第 7 章查找 (54)第 8 章排序 (65)第1章绪论1．简述下列概念：数据、数据元素、数据项、数据对象、数据结构、逻辑结构、存储结构、抽象数据类型。
答案：数据：是客观事物的符号表示，指所有能输入到计算机中并被计算机程序处理的符号的总称。
如数学计算中用到的整数和实数，文本编辑所用到的字符串，多媒体程序处理的图形、图像、声音、动画等通过特殊编码定义后的数据。
数据元素：是数据的基本单位，在计算机中通常作为一个整体进行考虑和处理。
在有些情况下，数据元素也称为元素、结点、记录等。
数据元素用于完整地描述一个对象，如一个学生记录，树中棋盘的一个格局（状态）、图中的一个顶点等。
数据项：是组成数据元素的、有独立含义的、不可分割的最小单位。
例如，学生基本信息表中的学号、姓名、性别等都是数据项。
数据对象：是性质相同的数据元素的集合，是数据的一个子集。
例如：整数数据对象是集合N={0 ，± 1，± 2，, } ，字母字符数据对象是集合C={‘A’，‘B’， , ，‘Z’，‘ a’，‘ b’， , ，‘z ’} ，学生基本信息表也可是一个数据对象。
数据结构：是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
换句话说，数据结构是带“结构”的数据元素的集合，“结构”就是指数据元素之间存在的关系。
逻辑结构：从逻辑关系上描述数据，它与数据的存储无关，是独立于计算机的。
因此，数据的逻辑结构可以看作是从具体问题抽象出来的数学模型。
存储结构：数据对象在计算机中的存储表示，也称为物理结构。
抽象数据类型：由用户定义的，表示应用问题的数学模型，以及定义在这个模型上的一组操作的总称。
具体包括三部分：数据对象、数据对象上关系的集合和对数据对象的基本操作的集合。
第2章 CAD常用数据结构
C
（a） 申请一个新结点 Rear B C D 0 E
（b）将 B、D 结点地址分别赋给 C 结点 Head A 0 B C D 0 E Rear
（c）插入后 图 2.9 双向链表的插入操作
循环链表
单向链表只给出结点的直接后继，无法求得某结点的前 趋。单向链表最后一个结点的指针域是空的，如果将其 存放第一个结点的地址就形成了循环链表，如图2.10 （a）所示。在循环链表中，从任一结点出发可以达到 表中所有的结点，从而克服了单向链表不能访问其前趋 结点的缺点。
一个数据元素可以由若干个数据项（Item）组成， 此时，常把数据元素称为记录（ Record ），含有大 量记录的线性表又称为文件（File）。
姓 名 王晓林 程 红 刘建平 学号 02001 02002 02006 性别 男 女 男 年龄 18 20 21 班 级 健康状况 机械02 健康 机械02 一般 机械02 神经衰弱
Head A 0 B C D 0 E Rear
（a）删除前 Head A 0 B C D 0 E Rear
（b）删除后 图 2.8 双向链表的删除操作
5、插入
若在第 i 个数据元素前插入一个新的 数据元素，首先为该元素申请存储 空 间 ， 得 到 一 个 新 结 点 ， 如 图 2.9 （a）所示。这个新结点的数据域存 放该元素的值。再找到第i-1个和第i 个结点；新结点的指针域nextPtr， 存放第 i-1个结点的指针域nextPtr的 内容，指针域prePtr存放第 i 个结点 指针域prePtr的内容；结点 i-1的指 针域和结点 i指针域存放新结点的地 址。如图2.9所示。
TOP=4 E D C B A
TOP=-1
TOP=0 A
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树形结构
树形结构是以分支关系来定义的层次结构。 在客观世界中树形结构广泛存在，并应用 于：
–人类社会的族谱、家谱、行政区域划分管理； –各种社会组织机构； –在计算机领域中，用树表示源程序的语法结 构； –在 OS 中，文件系统、目录等组织结构也是用 树来表示的。
（a） O
O
O
（b）
O O O
有两种不同形式
二叉树
（a） O
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（b） O O O
（c） O O O
（d） O O O
O
O
（e） O O O
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有五种不同形式
二叉树与树的区别（二）
• 观念 –二叉树的子树有顺序关系，分左 子树和右子树，而树则无此区分； –二叉树的分支度一定为0、1或2， 而树的度可大于2。
A
B
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树结构举例
书目录 目录树 树结构
C1（章） BOOK 1.1(节) 1.2 C1 C2 C3 C2 2.1 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.11 2.12 2.2 2.1.1 2.1.2 2.3 C3
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二叉树的定义
二叉树是另一种树形结构： Binary_Tree =( D,R) 其中: D 是具有相同性质的数据元素的集合; R 是在D上某个两元关系的集合,且满足:
–D中存在唯一称为根的数据元素,没有前趋; –D中其余元素都有且仅有一个前趋; –每个结点至多只有两个子树; –D中元素,或有两个互不相交后继,或无后继; –左、右子树分别又是一棵二叉树。
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特殊二叉树
满二叉树 完全二叉树 平衡二叉树 二叉排序树
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满二叉树
当二叉树每个分支结点的度都是 2，且所有叶子 结点都在同一层上，则称其为满二叉树。 k 若 k 为二叉树 T 的深度，且 T 中共有 2 -1 个结点 （k 1），则称T为满二叉树。 （a） 满二叉树
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与树相关的术语
• 结点：在树结构中一般把数据元素及其若干指
• • • • •
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向子树的分支称为结点。 结点的度：结点拥有的非空子树的个数。 树的度：树中所有结点的度的最大值。 叶子结点：度为0的结点。 分支结点：至少有一个非空子树的结点。 孩子结点和父结点：某结点所有子树的根结点 都称为该结点的孩子结点，同时该结点也称为 其孩子结点的父结点。
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则称Tree为树。
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树的递归定义:
树是由n个具有相同特性的数据元素组成的集合。 若n=0，则称其为空树。一棵非空树T必须满足： 1）其中有一个特定的元素称为T的根root。 2）除根以外的集合可被划分为m个不相交的子集 T1，T2，…，Tm，其中每个子集都是树。它们称 为根root的子树。
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二叉树的性质二
深度为h的二叉树上至多含2h-1个结点(h≥1)。
二叉排序树
或者是空二叉树； 或者是：
左子树上所有结点的值均小于根结点的值； 右子树上所有结点的值均大于等于根结点的值；
左、右子树本身又是一棵二叉排序树。 （a）二叉排序树
10 5
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（b）非二叉排序树
15 14 5 7 13 18
14 7
11 18 15
10
12
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平衡二叉树
二叉树上任一结点的左子树深度减去右子树 深度的差值，称为该结点的平衡因子。 任意结点左、右子树的深度之差的绝对值1 ， 这样的树称为平衡二叉树。 （a）平衡二叉树
O
O
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（b）非平衡二叉树
O
O O O O
O O
O
O O
O
O
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二叉排序树定义
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树的逻辑结构
树是一种数据结构，可用二元组表示为：
Tree=（D，R） 其中： D 是具有相同特性的数据元素的集合； R 是数据元素间逻辑关系的集合，且满足： –在 D 中存在唯一的称为根的数据元素，没有前 趋； –D中其余数据元素都有且只有一个前趋； –D 中所有元素，或有若干个互不相同的后继 （子树），或无后继（叶结点）；
O O
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（b）非满二叉树
O
O
O
O
O O O O
O O O
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完全二叉树
从满二叉树叶子所在的层次中，自右向 左连续删除若干叶子所得到的二叉树被 称为完全二叉树。
（a）完全二叉树 （b） 非完全二叉树
O O O O O
O
O
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O
O O
O
叶结点只可能出现在层次最大的两层上。
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二叉树的五种基本形态
（a） O 空结点 （d） O
左子树为空 O 的二叉树
O
（b）
O 单个结点 O
（ e） O
（ c）
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O
右子树为空 的二叉树
左、右子 O 树非空的 二叉树
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二叉树与树的区别
• 表达形式（对3个结点） 普通树
二叉树的性质一
• 二叉树的第i层上至多有2 个结点（ i 1）。
i-1
利用归纳法证明：
–i=1时，只有一个结点，对的； –假设对所有的j，1 j i，命题成立， 即在第j层上，至多有2j-1 个结点。 –由归纳假设，第 i-1 层上至多有 2i-2 个结点。 由于二叉树的每个结点的度至多为2，故第i 层上的最大结点数为第 i-1 层上的最大结点 i-2 i-1 数的2倍，即 2×2 = 2 。
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• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互为兄弟结 点。 • 结点的层次：根结点的层次为1,其子结点的层 次为 2 。依次类推，子结点的层次总比父结点 多一层。 • 树的深度：树中结点所在的最大层次。 • 有序树和无序树：将树中各结点的子树看成自 左向右有序的，则称该树为有序树。否则称为 无序树。 • 森林：由零棵或有限棵互不相交的树组成的集 合。