图(Graph)是一种较线性表和树更为复杂的非线性结构在线共30页

最短路径算法及其应用

湖北大学本科毕业论文（设计）题目最短路径算法及其应用姓名学号专业年级指导教师职称2011年 4月 20 日目录绪论 (1)1 图的基本概念 (1)1.1 图的相关定义 (1)1.2 图的存储结构 (2)1.2.1 邻接矩阵的表示 (2)1.2.2 邻接矩阵的相关结论 (3)2 最短路径问题 (3)2.1 最短路径 (4)2.2 最短路径算法 (4)2.2.1Dijkstra算法 (4)2.2.2Floyd算法 (5)3 应用举例 (5)3.1 Dijkstra算法在公交网络中的应用 (5)3.1.1 实际问题描述 (5)3.1.2 数学模型建立 (5)3.1.3 实际问题抽象化 (6)3.1.4 算法应用 (6)3.2 Floyd算法在物流中心选址的应用 (7)3.2.1 问题描述与数学建模 (7)3.2.2 实际问题抽象化 (7)3.2.3 算法应用 (8)参考文献 (10)附录 (11)最短路径算法及其应用摘要最短路径算法的研究是计算机科学研究的热门话题，它不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实用价值。

最短路径问题有广泛的应用，比如在交通运输系统、应急救助系统、电子导航系统等研究领域。

最短路径问题又可以引申为最快路径问题、最低费用问题等，但它们的核心算法都是最短路径算法。

经典的最短路径算法——Dijkstra和Floyd算法是目前最短路径问题采用的理论基础。

本文主要对Dijkstra和Floyd算法进行阐述和分析，然后运用这两个算法解决两个简单的实际问题。

【关键字】最短路径 Dijkstra算法 Floyd算法图论Shortest path algorithms and their applicationsAbstractThe research about the shortest path is a hot issue in computer science. It has both important theoretical significance and important utility value. The shortest path problem has broad application area, such as transport system, rescue system, electronic navigation system and so on. The shortest path problem can be extended to the problem of the fastest path problem and the minimum cost problem. But their core algorithms are all both the shortest path algorithms. The classical algorithms for the shortest path——Dijkstra and Floyd are the theoretical basis for solving the problems of the shortest path. The article mainly through the demonstration and analysis of the Dijkstra and Floyd algorithms, then use the algorithms to solve the two simple practical problems.【keywords】shortest path Dijkstra algorithm Floyd algorithm graph绪论随着知识经济的到来，信息将成为人类社会财富的源泉，网络技术的飞速发展与广泛应用带动了全社会对信息技术的需求，最短路径问题作为许多领域中选择最优问题的基础，在电子导航，交通旅游，城市规划以及电力，通讯等各种管网，管线的布局设计中占有重要的地位。

图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构在图形....ppt

网的邻接矩阵：
A[i][
j]
w i,j
若 vi ,v j 或(vi ,v j ) VR 反之
第七章
25
构造无向网的算法：
Status CreateUDN (MGraph &G){ //采用数组表示法(邻接矩阵) ，构造无向网G。
sacnf(&G,vexnum, &G.arcnum, &IncInfo); //IncInfo为0则各弧不含其它信息
例如:G1 = (V1, {R1})
其中：
A
V1={A, B, C, D, E}
R1={<A,B>, <A,E>,
B
E <B,C>, <C,D>, <D, A>,
<D, B >, <E,C> }
C
D
第七章
9
无向图
若<v, w>VR 必有<w, v>VR, 则称顶点 v 和顶点 w 之间存在一条边(v,w) 。
生成树生成树第七章2072图的存储结构72图的存储结构一数组表示法邻接矩阵二邻接表存储表示三有向图的十字链表存储表示四无向图的邻接多重表存储表示第七章21用两个数组分别存储数据元素顶点的信息和数据元素之间的关系边或弧的信息
第七章图
图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。在人工智能、工程、数学、物理、化学、生物和计算机科学等领域中，图结构有着广泛的应用。
//若弧含有相关信息，则输入 iGf .(aIrnccsI[i{nnj]ft[oiL)]=oIGncifapn.otaurtertVic(;(ise=*[xiG0(];M[.ija<]Gr；Gcrs.av[ipe]x[hjn]G.uinm,cfh;oia)+；r+u) )

图(Graph)是一种较线性表和树更为复杂的非线性结构在线

• CREATGRAPH(ga) ／* 建立无向网络 * ／ • Graph * ga；
•{ • int i，j，k； • float w； • for(i＝0；i＜n；i++) • ga ->vexs[i]＝getchar()；／* 读入顶点信息，建立顶点表 *／ • for(i＝0；i＜n；i++) • for(j＝0；j＜n；j++) • ga ->arcs[i][j]＝0；／* 邻接矩阵初始化*／ • for(k＝0；k＜e；k++) ／* 读入e条边 *／ • (scanf(”％d％d％f”，&I,&j，&w)；／*读入边(vi，vj)上的权w *／ • ga ->arcs[i][j]＝w； • ga - >arcs[j][i]＝w；
图的遍历
和树的遍历类似，图的遍历也是从某个顶点出发，沿着某条搜索路径对图中所有顶点各作一次访问。若给定的图是连通图，则从图中任一顶点出发顺着边可以访问到该图的所有顶点。然而，图的遍历比树的遍历复杂得多，这是因为图中的任一顶点都可能和其余顶点相邻接，故在访问了某个顶点之后，可能顺着某条回路又回到了该顶点。为了避免重复访问同一个顶点，必须记住每个顶点是否被访问过。为此，可设置一个布尔向量visited[n]，它的初值为false，一旦访问了顶点vi，便将visited[i-1]置为TRUE。
• Байду номын сангаасdjtype arcs[n][n]；
• }graph；
• 若图中顶点信息是0至n-1的编号，则仅需令权值为1，存储一个邻接矩阵就可以表示图。若是网络，则adjtype为权的类型。由于无向图或无向网络的邻接矩阵是对称的，故可采用压缩存储的方法，仅存储下三角阵(不包括对角线上的元素)中的元素即可。显然，邻接矩阵表示法的空间复杂度S(n)＝O(n2)。

线性结构在非线性结构中的应用

线性结构在非线性结构中的应用摘要：数据结构课程中数据的逻辑结构分为线性结构和非线性结构。

数据结构中线性结构指的是数据元素之间存在着“一对一”的线性关系的数据结构。

相对应于线性结构，非线性结构的逻辑特征是一个结点元素可能对应多个直接前驱和多个后驱。

关键字：线性表，树，图1.引言数据元素相互之间的关系称为结构。

有四类基本结构：集合、线性结构、树形结构、图状结构（网状结构）。

树形结构和图形结构全称为非线性结构。

集合结构中的数据元素除了同属于一种类型外，别无其它关系。

线性结构中元素之间存在一对一关系，树形结构中元素之间存在一对多关系，图形结构中元素之间存在多对多关系。

在图形结构中每个结点的前驱结点数和后续结点数可以任意多个。

2.数据结构分类数据结构中，逻辑上（逻辑结构：数据元素之间的逻辑关系）可以把数据结构分成线性结构和非线性结构。

线性结构的顺序存储结构是一种随机存取的存储结构，线性表的链式存储结构是一种顺序存取的存储结构。

线性表若采用链式存储表示时所有结点之间的存储单元地址可连续可不连续。

逻辑结构与数据元素本身的形式、内容、相对位置、所含结点个数都无关。

数据结构的形式定义为：数据结构是一个二元组：Data-Structure=(D，S) 其中：D是数据元素的有限集，S是D上关系的有限集。

数据结构不同于数据类型，也不同于数据对象，它不仅要描述数据类型的数据对象，而且要描述数据对象各元素之间的相互关系。

数据类型是一个值的集合和定义在这个值集上的一组操作的总称。

不同的数据结构其操作集不同，但下列操作必不可缺：1,结构的生成；2.结构的销毁；3,在结构中查找满足规定条件的数据元素；4,在结构中插入新的数据元素；5,删除结构中已经存在的数据元素；6,遍历。

线性结构是一种最简单而且最常用的数据结构，线性结构的实例，在我们的现实生活中经常遇见，例如排队买票的队列、图书卡片目录的编排等，而线性表则是一种点型的线性结构。

数据结构图

2）依次访问 vi 的所有未被访问的邻接点； 3）从这些邻接点出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有的顶点的邻接点都被访问。例求图G 的以V0起点的的广度优先序列 V0,V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7 V V
0 0
由于没有规定访问邻接点的顺序，广度优先序列不唯一。
则图的所有顶点的度数之和 = 2*e
V2
V3
（每条边对图的所有顶点的度数之和 “贡献” 2度）
3 路径、回路(环)
无向图G1=（V1，E1）中的顶点序列v1,v2,… ,vk,若 (vi,vi+1)E1 ( i=1,2,…k-1), v =v1, u =vk, 则称该序列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序列为回路；在G1中，v0,v1,v2,v3 是v0到v3的路径； v0,v1,v2,v3 , v0是回路；有向图G2=（V2，E2）中的顶点序列v1,v2,… ,vk, <vi,vi+1>E2 (i=1,2,…k-1),若v =v1, u =vk,则称该序列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序 V0 V1 V1 列为回路；在G2中， V0 V2 v0, v2, v3是v0到v3的路径 v0,v2,v3,v0是回路； V3 V4 V2 V3 无向图G1 有向图G2
V2
V3
非强连通图
5 子图
设有两个图G=（V，E）、G1= （V1，E1），若V1 V，E1 E，E1关联的顶点都在V1中，则称 G1是G的子图；
例
V0 V2 V3 (a) V4 V3 (b) V1
下列 (b)、(c) 是 (a) 的子图
V0 V2 V4 V3 (c) V1

数据结构第七章1

} ADT Graph
详见p156~157。
7.2 图的存储结构
图的存储结构比较复杂，其复杂性主要表现在：
◆ 任意顶点之间可能存在联系，无法以数据元素在存储区中的物理位置来表示元素之间的关系。
◆ 图中顶点的度不一样，有的可能相差很大，若按度数最大的顶点设计结构，则会浪费很多存储单元，反之按每个顶点自己的度设计不同的结构，又会影响操作。图的常用的存储结构有：邻接矩阵、邻接链表、十字链表、邻接多重表。
图7-8 带权有向图的数组存储
⑶ 有向图邻接矩阵的特性
有向完全图：对于有向图，若图中顶点数为n ，
用e表示弧的数目，则e[0，n(n-1)] 。具有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图。
完全有向图另外的定义是：
对于有向图G=(V，E)，若vi，vjV ，当vi ≠vj时，有<vi ,vj>E∧<vj , vi >E ，即图中任意两个不同的顶点间都有一条弧，这样的有向图称为有向完全图。有很少边或弧的图（e<n㏒n）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
wij 若<vi,vj>E，即vi , vj邻接，权值为wij
∞ 若<vi,vj>E，即vi , vj不邻接时
a
2
6 3 1
b 3
4 5
e
c
d
vexs a b c d e
(b) 顶点矩阵
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
6 2 ∞∞ 3 ∞ 4 ∞ ∞∞
∞ ∞ 1 ∞ ∞
∞ 3 ∞ 5 (v,v’)E，则称顶点v和v’ 互为邻接点，即v和w相邻接。边(v,v’)依附(incident)与顶点v和v’ 。
对于有向图G=(V ，E)，若有向弧<v,w>E，则称顶点v “邻接到”顶点w，顶点w “邻接自”顶点v ，弧 <v,w> 与顶点v和w “相关联” 。

图1

v1
v2
v3 o
o v4
v3
v4
子图
有两个图 G 和 H ，若 V(H)V(G) ， E(H)
E(G)，则称H是G的子图，G是H的母图。
如果H是G的子图，并且V(H)＝V(G)，则称
H是G的支撑子图。
V1
V1 V1 V3 V2 V3 V5 V1 V3 V4 V5 V2
V2
V4
V2
V5
mark ivex ilink jvex jlink
顶点结点： data; 存与顶点有关的信息 firstedge; 指向第一条依附于该顶点的边
data firstedge
例
a c d
b
e
1 2 3 4 5
a b
c d e
1 3 5
2 2 2 ^
1 ^ 3
3 ^
4 ^ 4
5 ^
第七章图
图（Graph）是一种较线性表和树更为复杂的非线性结构。在图结构中，对结点（图中常称为顶点）的前趋和后继个数都是不加限制的，
即结点之间的关系是任意的。图中任意两个结
点之间都可能相关。图状结构可以描述各种复
杂的数据对象。
图的应用极为广泛，特别是近年来的迅速发展，
已渗透到诸如语言学、逻辑学、物理、化学、
V1 V3 V4
V2
V5
Graph2
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
邻接表
定义:邻接表是图的一种链式存储结构。对图的每个顶点建立一个单链表（n个顶点建立n个单链表），第i 个单链表中的结点包含顶点Vi的所有邻接顶点。由顺序存储的顶点表和链接存储的边链表构成的图的存储结构被称为邻接表。权图中边结点结构为（VerAdj, cost, link）. 非权图中边结点结构为（VerAdj, link）

C语言- 图

7.1 图的定义
7．稀疏图和稠密图
具有e<nlogn条弧或边的图，称为稀疏图。反之，称为稠密图。
8．生成树
一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图的全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。。如果在该生成树中添加一条边，则一定会在图中出现一个环。一棵具有n个顶点的生成树仅有n-1条边，如果少于n-1条边，则该图是非连通的。多于n-1条边，则一定有环的出现。反过来，具有n-1条边的图不一定能构成生成树。一个图的生成树不一定是唯一的。图是无向图G5中最大连通分量的一棵生成树。
在图所示的有向图G1中，顶点序列a→d→c→a构成了一个简单回路。在无向图G2中，从顶点a到顶点c所经过的路径为a，d和c （或a、b、c）。
7.1 图的定义
4．子图假设存在两个图G={V,E}和G’={V’,E’}，若G’的顶点和关系都是 V的子集，即有V’V，E’E，则G’为G的子图。如图所示。
广度遍历。
7.2 图的存储结构
7.2.1 邻接矩阵（数组表示法）
1．什么是图的邻接矩阵图的邻接矩阵可利用两个数组实现：一个一维数组用来存储图中的顶点信息；另一个二维数组用来存储图中的顶点之间的关系，该二维数组被称为邻接矩阵。如果图是一个无权图，则邻接矩阵表示为：
A[i][j]=
1 当<vi,vj>∈E或(vi,vj)∈E 0 反之
7.1 图的定义
2．顶点的度
对于无向图，顶点v的度是指与v相关联的边的数目，记作TD(v)。对于有向图，以顶点v为弧头的数目称为顶点v的入度(indegree)，记作ID(v)。以顶点v为弧尾的数目称为v的出度(outdegree)，记作 OD(v)。顶点v的度(degree)为TD(v)=ID(v)+OD(v)。

06图

-1 –1 30 10 0 15 50 –1
35 –1 35 –1 15 0 –1 20 -1 35 –1 55 50 –1 0 15 20 –1 25 –1 –1 20 15 0
9

3．邻接表
邻接表这种存储结构也称为“顺序–索引–链接”存储结构。

假设图中共有n个结点，其结点值分别为d1，d2，…，dn，

关联矩阵也称为邻接矩阵。 0100 1111 0000 0000
7

2．求值矩阵
关联矩阵只表示了图的结构，即图中各结点的后件关系。但在许多实际问题中，还需要对两个关联结点之间的值进行运算。

这就是说，除了要存储图中各结点值以及各结点之间的关系外，还必须存储图中每两个结点之间的求值函数。
并用自然数将它们依次编号为1，2，…，n。

首先，用一个顺序存储空间来存储图中各结点的信息。
其次，对图中每一个结点dk(k = 1，2，…，n)构造一个单链表。
10

对于图2.59所示的有值图，其邻接表如图2.60所示。

邻接表特别适合于表示结点数
多但边数较少的图。
11

4．邻接多重表
static dfs(head，k，mark) /*递归函数*/ struct gpnode *head； int k，*mark； { struct node *p； printf("%c"，(head＋k－1)－>data)；/*输出当前结点值*/ mark[k－1]＝1；/*记录当前结点的查访标志*/ p＝(head＋k－1)－>link； /*当前结点的第一个后件结点*/ while (p!＝NULL) /*还存在后件结点*/ { if (mark[(p－>num)－1]＝＝0) /*该后件结点未被查访过*/ dfs(head，p－>num，mark)；/*递归调用*/ p＝p－>next；/*下一个后件结点*/ } return； }

第八章图(Graph)PPT课件

Graph->Arcs[v][w] = 0; }
15
2、邻接表 (Adjacency List)表示法
实际上是一种顺序存储与链式存储相结合的方法。顺序存储部分用来存储图中顶点的信息，链式部分用来保存图中边（弧）的信息。
一个一维数组，每个数据元素包含以下信息：
Vertex FirstArc
邻接单链表的每个结点（边结点）的结构如下 AdjVertex Weight NextArc
16
＃ define MAXNODE <图中结点的最大个数>
typedef struct arc {
int AdjVertex; int Weight; struct arc * NextArc; }arctype; // 邻接链表结点结构
typedef struct {
elemtype Vertext; arctype * FirstArc; }vertextype; // 顺序表结构
在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得顶点i 的度。
12
网络的邻接矩阵 W (i,j), 如i果 !j且 <i,jE或 (i,j)E
A.Ed[i]gj[]e= , 否但则i是 !,=j 0, 对角 i=线 j=
13
用邻接矩阵表示的图的类型的定义
#define MAXNODE 100
✓权某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这种带权图叫做网络。
8
7
10 2
5 9
1
12
63
8
15
76
6
3
4
16
7
施工进度图
60
A
B 40 80 C
30

图是一种比线性表和树更为复杂的数据结构解读.pptx

储方式和有关操作的算法。
2019-9-18
感谢你的欣赏
1
图的基本内容
7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历 7.4 图的连通性问题 7.5 有向无环图及其应用 7.6 最短路径
2019-9-18
感谢你的欣赏
2
7.1 图的定义和术语
抽象数据类型图的定义： ADT Graph { 数据对象 V: V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。数据关系 R: R={VR} VR={<v,w>|v,wV且P(v,w), <v,w>表示从v到w的弧，谓词 P(v,w)定义了弧<v,w>的意义或信息 } 基本操作 P: CreateGraph,DestroyGraph,LocateVex,GetVex, PutVex,FirstAdjVex,NextAdjVex,InsertVex,DeleteVex, InsertArc,DeleteArc,DFSTraverse,BFSTraverse }ADT Graph
25
思考题
1.已知如下图所示的有向图，请给出该图的
（1）每个顶点的入/出度；
（2）邻接矩阵；
（3）邻接表。
1
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2
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3
2019-9-18
感谢你的欣赏
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7.3 图的遍历
从图中某一顶点出发访遍图中其余结点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程称为图的遍历(Traversing Graph).
struct edgenode
{ int adjvex ;
/*邻接点域*/
struct edgenode *next ; /*链域*/

数据结构高分笔记之图

图是一种较线性表和树更为复杂的数据结构。

在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。

在图中的数据元素通常称作顶点，V是顶点的有穷非空集合；VR是两个顶点之间的关系的集合。

若<v,w>∈VR，则<v,w>表示从v到w的一条弧，且称v为弧尾或初始点，称w 为弧头或终端点，此时的图称为有向图。

若<v,w>∈VR必由<w,v>∈VR，即VR是对称的，则以无序对(v,w)代替这两个有序对，表示v和w之间的一条边，此时的图称为无向图。

我们用n表示图中顶点数目，用e表示边或弧的数目。

对于无向图，e的取值范围是0到n(n-1)/2。

有n(n-1)/2条边的无向图称为完全图。

对于有向图，e 的取值范围是0到n(n-1)。

具有n(n-1)条弧的有向图称为有向完全图。

有很少条边或弧（如e<nlogn）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

有向图的边或弧具有与它相关的数，这种与图的边或弧相关的数叫做权。

这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离耗费。

这种带权的图通常称为网。

图的存储结构：数组表示法，邻接表，十字链表，邻接多重表数组表示法：邻接矩阵注：无向图的邻接矩阵是对称的，可采用压缩存储的方式只存入矩阵的下三角（或上三角）元素。

借助于邻接矩阵容易判定任意两个顶点之间是否有边（或弧）相连，并容易求得各个顶点的度。

对于无向图，顶点v i的度是邻接矩阵中第i行或第i列的元素之和。

对于有向图，第i行的元素之和为顶点v i的出度，第j列的元素之和为顶点v j的入度。

邻接表邻接表是图的一种链式存储结构。

在邻接表中，对图中每个顶点建立一个单链表，第i 个单链表中的结点表示依附于顶点v i的边（对有向图是以顶点v i为尾的弧）。

每个结点由3个域组成，其中邻接点域指示与顶点v i邻接的点在图中的位置，链域指示下一条边或弧的结点；数据域存储和边或弧相关的信息，如权值等。

C算法精解---图（Graph）

轻飘飞扬认真关注一件事很难~所以你不成功！C算法精解---图（Graph）分类：【C语言学习】 2013-02-23 22:36 459人阅读评论(0) 收藏举报数据结构图算法在计算机科学领域，图是最为灵活的数据结构之一。

事实上，大多数的数据结构都能用图的形式表示，尽管按照这种方法表示它们通常会变得更加复杂。

图是一种灵活的数据结构，描述一种模型用来定义对象之间的关联和联系。

对象有顶点表示，对象之间的关系或关联则通过顶点的边来表示。

图的遍历方法：深度优先搜索：（DFS：Depth First Search)深度优先搜索在搜索过程中每当访问到某个顶点后，需要递归地访问此顶点的所有未访问过得相邻的顶点。

算法描述过程看下图广度优先搜索：（BFS：Breadth first Search)广度优先搜索采用队列的方式。

图的存储结构由于图的顶点间的关系无规律，因此图的存储比链表及树的存储相对复杂些，需要根据图的具体应用来选择合适的存储结构，下面来介绍2中常用的存储结构：邻接矩阵和临界表。

图的数组表示法，又称临界矩阵。

邻接矩阵是用于描述图中顶点之间关系(即弧或边的权)的矩阵。

假设图中顶点数为n，则邻接矩阵An×n：1 若Vi和Vj之间有弧或边A[i][j]=0 反之注意：1) 图中无邻接到自身的弧，因此邻接矩阵主对角线为全零。

2) 无向图的邻接矩阵必然是对称矩阵。

3) 无向图中，顶点的度是邻接矩阵对应行（或列）的非零元素之和；有向图中，对应行的非零元素之和是该顶点的出度；对应列的非零元素之和是该顶点的入度；则该顶点的度是对应行和对应列的非零元素之和。

下面是邻接矩阵代码：#include <stdio.h>#include "sequeue.h"#ifndef N#define N 5#endifvoid DFS(int matrix[N][N],int s[],int v);void BFS(int matrix[N][N],int s[],int v);int firstadj(int matrix[N][N],int v){int i;for(i=0;i<N;i++)if(matrix[v][i]==1)return i;return -1;}int nextadj(int matrix[N][N],int v,int u){int i;for(i=u+1;i<N;i++)if(matrix[v][i]==1)return i;return -1;}//1、访问v，s【v】置位；2、取v的第一临界点u//3、若u>=0,转4，否则退出；4、若u未访问则DFS（matrix，s，u）//再访问下一个节点，u = vnextadj(matrix,s,u);再转3.void DFS(int matrix[N][N],int s[],int v)//深度优化搜索。

图(Graph)是一种复杂的非线性结构在人工智能.ppt

例
❖ 例】下图中无向图G5和有向图G6的邻接矩阵分别为Al和A2。
A C D B
无向图的邻接矩阵
❖ 是对称矩阵 ❖ 每条边在矩阵中出现2次 ❖ 每和之和和每列之和相等，和代表顶点的度 ❖ 把矩阵的各元素求和/2，边数 ❖ 一个优点. A[2][3]==0 ❖ 缺点：插入一个顶点，删除一个顶点，比较麻烦
有向图中，以顶点v为始点的边的数目，称为v的出度(Outdegree)，记为OD(v) 【例】上图G1中顶点v2的出度为2
注意：
❖ ①有向图中，顶点v的度定义为该顶点的入度和出度之和，即D(v)=ID(v)+OD(v)。
e与n之间的关系
❖ ②无论有向图还是无向图，顶点数n、边数e和度数之间有如下关系：
6．有根图和图的根
❖ 在一个有向图中，若存在一个顶点v，从该顶点有路径可以到达图中其它所有顶点，则称此有向图为有根图，v称作图的根。
连通图和连通分量
1．顶点间的连通性
❖ 在无向图G中，若从顶点vi到顶点vj有路径(当然从 vj到vi也一定有路径)，则称vi和vj是连通的。
2．连通图
❖ 若V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj都连通(即有路径)，则称G为连通图(Con-nected Graph)。【例】图G2，和G3是连通图。
注意：
❖ 在以下讨论中，不考虑顶点到或则其<要v自求l，身vv12≠的>v是2边。E。此(G即外)中若，的(不v一1，允条v许2边) ，一条边在图中重复出现，即只讨论简单的图。
完全图
❖ 无向图的完全图：每二个顶点之间都有边相连：边数=n(n-1)/2，n为顶点个数
❖ 有向图的完全图：边数=n(n-1)，n是顶点个数。

八、基本数据结构（图形结构）

⼋、基本数据结构（图形结构）⼀、理解 “图”图（Graph）。

和树⽐起来，这是⼀种更加复杂的⾮线性表结构。

树中的元素称为节点，图中的元素叫作顶点（vertex）。

如下图所⽰，图中的⼀个顶点可以与任意其他顶点建⽴连接关系。

这种建⽴的关系叫作边（edge）。

举个例⼦微信：⽐如在微信中可以把每个⽤户看作⼀个顶点。

如果两个⽤户之间互加好友，那就在两者之间建⽴⼀条边。

所以，整个微信的好友关系就可以⽤⼀张图来表⽰。

其中，每个⽤户有多少个好友，对应到图中，就叫作顶点的度（degree），就是跟顶点相连接的边的条数。

微博：微博的社交关系跟微信有点不⼀样，或者说更加复杂⼀点。

微博允许单向关注，也就是说，⽤户 A 关注了⽤户 B，但⽤户 B 可以不关注⽤户 A。

可以把图结构稍微改造⼀下，引⼊边的“⽅向”的概念。

如果⽤户 A 关注了⽤户 B，就在图中画⼀条从 A 到 B 的带箭头的边，来表⽰边的⽅向。

如果⽤户 A 和⽤户 B 互相关注了，那就画⼀条从 A 指向 B 的边，再画⼀条从 B 指向 A 的边。

把这种边有⽅向的图叫作“有向图”。

以此类推，把边没有⽅向的图叫作“⽆向图”。

⽆向图中有“度”这个概念，表⽰⼀个顶点有多少条边。

在有向图中，把度分为⼊度（In-degree）和出度（Out-degree）。

顶点的⼊度，表⽰有多少条边指向这个顶点；顶点的出度，表⽰有多少条边是以这个顶点为起点指向其他顶点。

对应到微博的例⼦，⼊度就表⽰有多少粉丝，出度就表⽰关注了多少⼈。

QQ：QQ 中的社交关系要更复杂的⼀点。

QQ 不仅记录了⽤户之间的好友关系，还记录了两个⽤户之间的亲密度。

如果两个⽤户经常往来，那亲密度就⽐较⾼；如果不经常往来，亲密度就⽐较低。

要⽤到另⼀种图，带权图（weighted graph）。

在带权图中，每条边都有⼀个权重（weight），可以通过这个权重来表⽰ QQ 好友间的亲密度。

⼆、邻接矩阵存储⽅法图最直观的⼀种存储⽅法就是，邻接矩阵（Adjacency Matrix）。

图

简单路径和回路
路（径）：从一个结点出发，沿着某些边连续地移动而到达另一个指定的结点，这种依次由结点和边组成的序列，叫“路”或者“路径”。路径长度：路径上边的数目。起点Vp和终点Vq相同的路径称为环或回路若一条路径上除了起点Vp和终点Vq可以相同外，其余顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径。起点Vp和终点Vq相同的简单路径称为简单回路或简单环。
图的存储表示
图的数组(邻接矩阵)存储表示图的邻接表存储表示
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示
定义:矩阵的元素为
Aij=
B A F E C D
0 1 0 0 1 0
{ 1 (i,j)VR
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 (i,j)VR
w3 的路径长度为1; V->w7, V->w3, V->w5 的路径长度为2;
w1
V
w7
w6
w8 w5
w4
V->w6, V->w4 的路径长度为3。
从图中的某个顶点V0出发，并在访问此顶点之后依次访问V0的所有未被访问过的邻接点，之后按这些顶点被访问的先后次序依次访问它们的邻接点，直至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访问到。
b
a c d e
g
f
h
k
假设找到的第一个邻接点是a,且得到的结点访问序列为: b a d h c e k f g
图的生成树
生成树的定义若从图的某顶点出发，可以系统地访问到图中所有顶点，则遍历时经过的边和图的所有顶点所构成的子图，称作该图的生成树。（此定义不仅仅适用于无向图，对有向图同样适用。）（1）若G是强连通的有向图，则从其中任一顶点v出发，都可以访问遍G 中的所有顶点，从而得到以v为根的生成树。（2）若G是有根的有向图，设根为v，则从根v出发可以完成对G的遍历，得到G的以v为根的生成树。

项-6-2018-2_6非线性数据结构(2h)

V1
深度优先遍历

V3
V4 V2
V5
深度优先遍历G6所走过的序列： V1 V4 V6 V3 V5 V2
G6
V6
假设图有 n 个结点，采用数组a[][]存放图的邻接矩阵各元素值，图的深度优先搜索遍历算法如下：
dfs(int a[][],int i,int n) { /*以i为出发点，按深度优先搜索遍历图*/ int j; printf("V=%4d",i); visited[i]=1; /*标识顶点vi被访问*/ for( j=0;j<n;j++ ) if(a[i][j]!=0 && visited[j]==0) dfs( a,j,n );/*递归调用函数dfs()*/ }

V1
广度优先遍历

V3
V4 V2
V5
深度优先遍历G6所走过的序列： V1 V4 V3 V2 V6 V5
G6
V6
bfs(int a[][],int i,int n) { int j,k,b1=-1, b2=0,b[n]; b[b2]=i; while(b1<b2) /*队列不空则循环*/ { b1=b1+1; k=b[b1]; /*队首顶点出队*/ visited[k]=1; /*置已被访问标识*/ printf("V=%4d",k++); for(j=0;j<n;j++) if (a[k][j]!=0 && visited[j]==0) { b2=b2+1;b[b2]=j; } 第 6章图第 29 页 2007-7-29 */ /*没有被访问的顶点进队 } }

数据结构题库多选题

数据结构题库多选题1 . 以下说法正确的是（) A . 二叉树的特点是每个结点至多只有两棵子树。

B . 二叉树的子树无左右之分。

C . 二叉树只能进行链式存储。

D . 树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。

答案：A，D解析：2 . 算法设计的要求包括____。

A . 正确性 B . 可读性 C . 健壮性 D . 确定性答案：A，B，C解析：“确定性”属于算法特性而非要求。

3 . 下列属于算法的重要特征的是： A . 有穷性 B . 确定性 C . 可行性 D . 输入和输出答案：A，B，C，D解析： ABCD4 . 图的四中存储结构 A . 邻接矩阵 B . 邻接表 C . 邻接多重表 D . 十字链表答案：A，B，C，D解析：5 . 依据所有数据成员之间的逻辑关系的不同，数据结构分为（）A . 非线性结构B . 逻辑结构C . 物理结构D . 线性结构答案：A，D解析：6 . 图的应用算法有（） A . 克鲁斯卡尔算法 B . 哈弗曼算法C . 迪杰斯特拉算法D . 拓扑排序算法答案：A，C，D解析：7 . 计算机算法必须具备________________等特性。

A . 可行性、确定性 B . 可行性、可移植性 C . 输入、输出 D . 有穷性 E . 易读性 F . 稳定性答案：A，C，D解析：8 . 下列数据结构中，属于线性数据结构的是____ A . 栈 B . 队列 C . 树 D . 图答案：A，B解析：9 . 下列说法正确的有： A . 算法和程序原则上没有区别，在讨论数据结构时二者通用 B . 从逻辑关系上讲，数据结构分为两大类：线性结构和非线性结构 C . 所谓数据的逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系 D . 同一数据逻辑结构中的所有数据元素都具有相同的特性是指数据元素所包含的数据项的个数相等 E . 数据的逻辑结构与数据元素本身的内容和形式无关 F . 数据结构是指相互之间存在一种或多种关系的数据元素的全体答案：B，C，E解析：10 . 线性表的特点正确的（） A . 存在唯一的一个被称作”第一个“的数据元素。