三角形的中位线及定理
三角形中位线定理
三角形中位线定理
三角形中位线定理是平面三角形几何学中的重要定理，它可以帮助我们解决三角形的几何推理问题。
本文将介绍三角形中位线定理的证明过程及其应用情况。
首先，让我们来看一下三角形中位线定理的证明。
三角形中位线定理主要讲的是，如果有一个三角形ABD，则其中的位线AC分别与
端点BD，AD的延长线相交于点C，则一定有|AB|/|BC|=|AB|/|AC|=1/2。
证明这一结论的具体看法是，如果延长线ACD的斜角的度数为120度，则ABD和ACD就会相交，因此，ABD和ACD就构成了一个等腰三角形，即|AB|/|BC|=|AB|/|AC|=1/2。
接下来，让我们来看一下三角形中位线定理的应用。
相信大家对三角函数都有所耳闻，三角函数都是利用三角形中位线定理而引起的。
我们可以利用中位线定理推出三角函数的关系式，比如y = sin x + cos x、y = tan x等，这些关系式可以帮助我们解决不等式，做函
数曲线投影，以及解决一些复杂的数学问题。
此外，三角形中位线定理还有一些实际应用，比如在机械等领域，我们可以利用中位线定理来确定轴承支撑的位置，以确保轴承正常工作。
此外，我们还可以利用中位线定理来设计复杂的制图模式，使图形具有良好的外观和稳定性。
综上所述，三角形中位线定理在几何学和实际应用中都有着重要的作用，利用它可以帮助我们更加精准的解决一些复杂的数学问题，也有助于我们设计出美观又稳定的图形。
当然，关于三角形中位线定
理的应用还有很多，这里只是简单提到两个典型的应用场景，以说明其重要性。
中位线定理
中位线定理中位线定理是指一个三角形的三条中线交于一点且这个点离三角形三个顶点的距离相等，这个点就是三角形的重心。
这个定理是三角形的基本定理之一，能够应用到许多数学问题中。
中位线的定义是连接三角形一边的中点和对面顶点的线段，一个三角形有三条中线。
所有三角形的中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
三角形的重心在中位线上的比例是2:1，即重心距离每条中位线的距离为中点距离这条中线的距离的两倍。
中位线定理的证明可以通过相似三角形和平行四边形的性质来得到。
设ABC是一个三角形，D、E和F分别是AB、BC和AC上的中点，G是三条中线的交点。
我们需要证明GD和EF平行且相等。
首先，我们知道DG和GE分别是DC和EB的一半，因为D和E是AB的中点，也就是说DE是AB的一半。
同样地，CG和GF分别是BE和AF的一半，因为F和B是AC的中点，所以FB的长度等于AC的一半，也就是GF和CG的长度。
因为DG和CG交于点G，所以DGCG是一个平行四边形。
同样地，GE和GF交于点G，所以GEFG也是一个平行四边形。
DG和GE的长度相等，CG和GF的长度也相等。
由平行四边形的性质可以得到，GD和EF平行且相等。
三角形的重心还有一些特殊的性质，比如它是三角形内心、外心和垂心的平均点，也是三条中线所构成的小三角形的面积最小的点。
这些性质可以通过三角形的其他定理和性质来证明。
在实际应用中，中位线定理可以用于计算三角形的重心的位置。
如果已知三角形的三个顶点的坐标，可以用中点公式计算中点的坐标，然后用重心的性质计算重心的坐标。
这对于计算三角形的重量、质心、离心率等问题非常有用。
此外，中位线定理还有一些扩展，比如垂径定理、角平分线定理、内心坐标公式等。
这些扩展定理都与三角形相关，可以用于解决各种数学问题。
三角形中位线的性质和判定定理
三角形中位线的性质和判定定理如下：
1、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、判定定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
性质：若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。
3、三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的四分之一，三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的二分之一。
注意：三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段。
初中数学 什么是三角形的中位线定理
初中数学什么是三角形的中位线定理三角形的中位线定理是指在一个三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段被称为中位线。
中位线将三角形分割为两个等面积的小三角形，并且中位线的长度等于对边的一半。
设三角形ABC的顶点为A，对边BC的中点为D，连接AD。
根据中位线定理，有以下结论：1. 中位线AD平分对边BC，并且AD = 1/2 * BC。
2. 中位线AD将三角形ABC分割为两个等面积的小三角形，即△ABD和△ACD的面积相等。
证明中位线定理的方法有多种，下面介绍一种简单的方法：首先，连接两个中位线BD和CE。
根据中位线的定义，BD和CE分别是AC和AB的中点。
由于BD平行于AC，根据平行线性质，△ABC和△BDC是相似的。
同样地，△ABC和△CEA也是相似的。
根据相似三角形的性质，相似三角形的边长成比例。
因此，我们可以得到以下比例关系：AB/BD = AC/CDAC/CE = AB/BE由于BD和CE都是对边的中点，所以BD = CE。
将这个等式代入上述比例关系中，得到：AB/BD = AC/CD --> AB/CE = AC/CD根据等式的传递性，我们可以得到：AB/CE = AC/CD这意味着△ABE和△ACD的边长成比例，根据边比例定理，它们是相似的。
接下来，我们证明△ABD和△ACD的面积相等。
由于BD和CE是对边的中点，所以它们的长度相等，即BD = CE。
这意味着△ABD和△ACD的底边相等。
同时，根据中位线定理，AD = 1/2 * BC，所以△ABD和△ACD的高度也相等。
因此，△ABD和△ACD的底边和高度都相等，根据三角形的面积公式S = 1/2 * 底边* 高度，它们的面积相等。
综上所述，中位线定理成立：连接一个顶点和对边中点的线段是对边的一半，并且将三角形分割为两个等面积的小三角形。
三角形的中位线定理
DE是△ABC的中位线
D 思考： B F
E C
1、一个三角形有几条中位线？ 2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？
三角形的中位线与三角形的中线有 什么区别？ A A
D E
B F C 中位线是两个中点的连线，而中线是一个 顶点和对边中点的连线。
B
C
如图在等边△ABC中，AD=BD，AE=EC，
△ADE是什么三角形？
(三角形中位线定理)
1 ∴EF∥AC，EF= 2 AC 1 同理： HG∥AC，HG= AC 2
∴EF ∥HG，且EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
思考：
变式练习
平行四边形
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 _________？
（2）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是_______？
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是________？
矩形
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边 形 是 ___________ ？ （5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ______________？ （6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是__________？
正方形
练一练
1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=______.
2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
A D E (1) C
B D A
E C
B
(2)
问题：A、B两点被池塘隔开,如何 测量A、B两点距离呢？为什么?
等边三角形
DE是△ABC的什么线？ 中位线
DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？
三角形中位线定理
因此DE∥BC。
如图，过D作DFAC，交BC于F，则 D BF=FC。
E （E′ ）
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC。 ∵FC=1 BC，
B
F
C
∴DE=2 BC。因此得：三角形中位线定理：
三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边，并 且 等于它的 一半。
4.10 三角形中位线定理
D
E
B
C
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
D 3、如果再取线段BC的中点F，
E
则ABC还能画出 两 条中位
线，它们分别是 .10 三 角 形 中 位 线
初二几何
4.10 三角形的中位线
编辑: 邓 登 制作: 邓 登
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
3、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，则ABC的中位线
是 线段 DE、线段DF 。
C
4、图中CF是△ABC的中位线吗？
它是△ABC的中线。
D
F
A
E
B
4.10 三角形中位线定理
如图，DE是△ABC的一条中位线。如果过D作
6.4 三角形中位线定理
作业
P33习题 第2题.
挑战自我
如图 6-40，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 为
AB 的中点，E 为 AC 的中点，延长 BC 至 F，使 CF
=
1 2
BC，连接
EF，∠B
=∠F
吗？试至少用两种方法
证明你的结论.
课本 P32 练习 1题
1. 已知三角形的各边长分别为 8 cm，10 cm 和 12 cm，求连接三角形各边中点所得到的三角形的周 长.
.
三角形中位线定理的应用
已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， D，E，F分别是AB，AC，BC的中点. 求证：EF=CD.
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三 边的位置关系，而且给出了他们的数量关系，在 三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.
12 cm
8 cm
10 cm
课本 P33 练习 2题
2. 顺次连接矩形各边的中点，得到一个怎样的图 形？顺次连接菱形各边的中点呢？证明你的结论 .
课本 习题6.4 1题
1. 顺次连接下列四边形各边的中点，得到一个怎样 的图形？证明你的结论. （1）对角线互相垂直的四边形； （2）平行四边形； （3）正方形.
6.4 三角形中位线定理
已知： 如图所示，在△ABC中，D是AC的
中点，E是AB的中点.
求证： DE∥BC, DE= 1 BC.
A
2
D
E
F
B
C
已知： 如图所示，在△ABC中，D是AC的
中点，E是AB的中点.
求证: DE∥BC,
DE=
1 2
三角形的中位线与垂心定理
三角形的中位线与垂心定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它有着许多有趣的性质和定理。
其中，中位线和垂心定理是关于三角形的两个重要概念。
在本文中，我们将探讨三角形的中位线和垂心定理，探寻它们背后的数学原理和几何性质。
一、中位线中位线是连接三角形两个顶点和对应中点的线段。
对于任意三角形ABC来说，连接顶点A和对边BC中点M的线段AM就是三角形ABC的中位线。
中位线具有许多独特的性质。
首先，三角形的三条中位线交于一个点，这个点被称为三角形的质心。
质心被定义为中位线交点的坐标平均值，也就是说，质心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
其次，通过质心，中位线将三角形分成了六个小三角形，这些小三角形的面积相等。
这个性质被称为中位线定理，它显示了中位线在三角形内部平分面积的效果。
除此之外，中位线还满足相似三角形的性质。
具体来说，如果我们把中位线视为三角形的底边，那么顶点到中位线的距离与中位线的比值固定为2:1。
这个性质在构造相似三角形时非常有用。
通过对中位线的研究，我们能更深入地了解三角形的特性和性质，而且中位线与垂心定理之间也存在一定的联系。
二、垂心定理垂心定理是描述三角形三条高线的性质与关系的定理。
垂心是指三角形的三条高线交于一点，这个点被称为垂心。
具体来说，对于任意三角形ABC，三条高线分别是从顶点A、B、C到对边BC、AC、AB的垂线，分别交于点H。
我们称点H为三角形ABC的垂心。
垂心定理的核心内容是：垂心到三角形三个顶点的距离相等，垂心到对边的距离最短。
这意味着，垂心是到三角形三个顶点距离之和最小的点。
垂心定理的证明涉及到较为复杂的几何推理和分析，在此不再详述。
然而，我们可以通过实际的三角形构造来观察和验证垂心定理的性质，这有助于加深我们对垂心定理的理解。
三、中位线与垂心定理的关系中位线与垂心定理之间存在一定的联系。
具体来说，中位线的交点称为质心点，而垂心的位置离质心最近。
通过对中位线和垂心定理的研究，我们可以发现一些有趣的现象。
三角形中位线定理
三角形中位线定理三角形中位线定理是欧几里得几何学中一个重要的定理，它描述了三角形中位线的性质。
中位线是指连接三角形两边中点的线段。
在三角形中，每条边都有一个对应的中位线，因此一个三角形总共有三条中位线。
定理内容：在任意三角形中，三条中位线相交于一点，这个点被称为三角形的质心（Centroid）。
质心具有以下性质：1. 它将每条中位线分为两段，其中一段是另一段的两倍长。
2. 质心将三角形的每条中线平分，即从质心到三角形顶点的线段是从中点到顶点线段的两倍。
证明：我们可以通过构造辅助线和使用相似三角形的性质来证明这个定理。
1. 考虑任意三角形ABC，设D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。
2. 连接D和E，它们交于点G，这个点就是质心。
3. 连接AG并延长，交BC于点H。
4. 由于D和E是中点，DE是三角形ABC的中位线，所以根据中位线定理，AG是DH的两倍长。
5. 同理，连接BG和CG，它们也会在三角形的边AB和AC上分别找到中点，并且这些线段也会将中位线平分。
6. 由于AG、BG、CG都平分中位线，因此它们必然相交于同一点G。
应用：三角形中位线定理在解决几何问题时非常有用，尤其是在需要找到三角形内某一点到各边距离相等的点时，这个点就是质心。
它也可以用来计算三角形的面积，因为质心到三角形各顶点的距离相等，可以构成三个小三角形，这些小三角形的面积之和等于原三角形的面积。
结论：三角形中位线定理不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也非常重要。
它帮助我们更好地理解三角形的结构和性质，是几何学中不可或缺的一部分。
通过这个定理，我们可以解决许多与三角形相关的几何问题，从而在数学和工程学等领域中发挥重要作用。
三角形中位线、多边形内角和定理
三角形的中位线与多边形的内角和定理【知识梳理】1、三角形中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．注意三角形中位线与三角形中线的区别．2、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，则，且DE∥BC．3、定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边．4、多边形有关概念在一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.这里所指的多边形是指凸多边形．即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁．如图（1）是凸多边形，图（2）是凹多边形.组成多边形的各条线段叫做多边形的边，多边形有几条边就叫几边形，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．5、正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那就称它为正多边形.研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题.6、多边形内角和定理n边形的内角和等于(n－2)·180°（n≥3的正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.7、多边形外角和定理多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.8、注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.二、重难点知识归纳1、三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线．除课本上的证明方法外，还有如下几种方法参考：（1）如图，延长中位线DE到点F，取EF＝DE，连接DC、FC、AF．根据对角线互相平分判定四边形ADCF是平行四边形，得到AD CF．以下步骤同教材．（2）如图，作CF∥AB，与DE的延长线交于点F，通过证明△ADE≌△CFE，得 AD FC，以下步骤同教材．2、三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理．在同一题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系，即平行关系，另一个结论是表明数量关系，即中位线等于第三边的一半，应用时按需选用．3、经过探索式推理得到的定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，可以作为中位线的判定方法．4、利用三角形中位线定理，可判定顺次联结各种不同类型的四边形各边中点所得四边形的形状，它取决于原四边形的两条对角线的位置与长短，一般可归结为：原四边形两条对角线中点四边形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四边形5、由三角形中位线定理可以推得的结论（1）三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半．（2)三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．(3)三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形．6、多边形内角和定理的几种证法（1）在n边形内任取一点，并把这点与各顶点连结起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为(n－2)·180°.（2）过n边形一个顶点连对角线，可以得(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，等于(n－2)·180°.（3）在n边形一边上取一点与各顶点相连，得(n－1)个三角形，n边形内角和等于这(n－1)个三角形内角和减去所取点处的一个平角，即(n－1)·180°－180°=(n－2)·180°.注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想.7、多边形外角和定理的证明多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°.8、多边形边数与内角和、外角和的关系（1）内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角和就增加180°.（反过来也成立）（2）多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.9、多边形对角线的条数设n边形为A1A2A3…A n则以A1为端点的对角线有A1A3，A1A4，…，A1A n－1共(n－3)条.同理以A2，A3，…，A n为端点的对角线都有(n－3)条.但每条对角线都重复计数了一次，故n边形对角线的总数为．【典型例题】知识点一：三角形的中位线例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：EG、FH互相平分．例2、如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．例3、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=，则当△ABC+△DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．知识点二：多边形的内角和与外角和例1、已知两个多边形的内角和的和为1980°，且这两个多边形的边数之比为2︰3，求这两个多边形的边数.例2、一个多边形除了一个内角外，其余各角的和为2750°．则这一内角是（）A．130°B．140°C．150°D．120°1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10C．12D．142．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分△BAC3.如图，△ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm4.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．115．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）A．12B．14C．16D．186．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．20cm B．20cm C．20cm D．25cm7.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（）A．6B．8C．18D．278.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对9.如图，点A，B为定点，定直线l△AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：△线段MN的长；△△PAB的周长；△△PMN的面积；△直线MN，AB之间的距离；△△APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．△△B．△△C．△△△D．△△10.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG△CD，交AC 边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．11.己知正多边形的每个外角都是45°，则从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作条对角线．12.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是，内角和是．13.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为．14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．15.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；中线AF与DE的关系．16.已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为cm．17.如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为18cm，则△DEF的周长为．18.如图，已知直线l1：y=k1x+4与直线l2：y=k2x﹣5交于点A，它们与y轴的交点分别为点B，C，点E，F 分别为线段AB、AC的中点，则线段EF的长度为．19.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．20.已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，△ACD是△ABC的外角，延长EF交△ACD的平分线于G 点，求证：AG△CG．21.探索与证明如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO 的中点，顺次连接E、M、N、D四点．（1）求证：EMND是平行四边形；22.如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DE△FC，EF△DC （1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD；（2）连接AE，若BF=CD，求证：△AED是等边三角形．23.如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．（1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是菱形；（2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，△APC=△BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如图3，若点P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且△APC=△BPD=90°，请你先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．【巩固练习】1.如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）A．6B．8C．10D．122.如图，点D、E、F分别是△ABC中AB、BC、AC边上的中点，点M、N、P分别是DE、EF、DF的中点．若△ABC的周长为24，则△PMN的周长为（）A．6B．8C．10D．123.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）A．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分D．垂直平分且相等4.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．95.一个多边形的外角和与它的内角和的比为1：3，这个多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．66.如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．9B．10C．11D．127.如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（）A．B．C．D．8.如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC 上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长先增大后变小9.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分△ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A．3B．2C．D．410.如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD=．11.如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分△BAC，点D是AC上一点，且AG△BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为．12.如图，在△ABC中，AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点．已知B（﹣1，0），C（9，0），则点F的坐标为．13.如图，在△ABC中，△ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且△AFC=90°，则△FAE的度数为°．14．（1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形．（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形．（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形．（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形．15．由n边形的一个顶点可以引条对角线，它们将n边形分为不重叠的个三角形，n边形共有条对角线，12边形共有条对角线．16．已知一个多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条，可以将此多边形分成个三角形．17.如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分△BAC，AE△CE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为．18.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC=．19.如图，矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，已知AB=6，AF=4，则AC=．20.已知，D是△ABC内一点，BD△CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．21.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：△DHF=△DEF．22.如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．。
三角形中位线定理图解说明
∵AD=BD边形
∴BC∥DF BC=DF
∴DE∥BC 且 DE=1/2BC
中位线特点
三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
三角形三条中位线所构成的三角形是原三角形的相似形。
若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于这条边的一半（这条 线段的端点必须是交 另外两条边上），这条线段就是这个三角形的中位线。
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段角三角形的中位线。如图中线段 DE。
中位线定理 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 证明 1：如图，延 长 DE 到 F，使 EF=DE ，连 接 CF. ∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC ∴△ADE ≌ △CFE
∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC
误区
要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它 对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底 边的 1/2 的线段。
三角形的中线定义：
连接三角形顶点与对边中点的连线段。如图： BE 都是三角形的中线。
AE、CF、
三角形中位线
又 AD=DB ∴BD∥CF, BD=CF
所以 ，四边形 BCFD 是平行四边形
∴DE∥BC 且 DE=1/2BC
证明 2：
如图，延 长 DE 到 F，使 EF=DE ，连 接 CF、DC、AF
∵AE=CE DE=EF
∴四边形 ADCF 为平行四边形
∴AD∥CF AD=CF
三角形中位线
三角形中位线的三种证明方法
三角形中位线的三种证明方法一、定理：在三角形中，任意一个顶点都可以得到一条位线。
证明：（1）几何证明设三角形ABC的三条边分别是a,b,c以A点为例，在AB边上任取点D，令AD=x，DB=y∵AD/DB=AB/BC∴x/y=a/c设AD延伸出点P，令AP=z则△APD与△ABC具有相同的底边和高，即c=z∴△APD∽△ABC∴BD/DC=z/x∴y/x=z/a故x/y=a/c且y/x=z/a故x/y=(a/c)*(z/a)故x/y=(az)/(ca)故az=cy令F为BC边上任一点，令AF=u，CF=v则△AFD与△ABC具有相同的底边和高，即a=u ∴△AFD∽△ABC∴DF/FC=u/v故y/v=u/c故y/v=(u/c)*(z/a)故y/v=(uz)/(ca)故uz=cy联立az=cy 且 uz=cy，得a/u=z/c联立x/y=a/c且y/v=u/c，得x/v=(a/u)*(z/c)故x/v=(az)/(uc)令Q为AC边上任一点，令AQ=s，CQ=t则△AQD与△ABC具有相同的底边和高，即b=s ∴△AQD∽△ABC∴DQ/QC=s/t故y/t=s/c故y/t=(s/c)*(z/a)故y/t=(sz)/(ca)故sz=cy联立uz=cy 且 sz=cy，得u/s=z/c联立x/v=a/u且y/t=s/c，得x/t=(a/s)*(z/c)故x/t=(az)/(sc)∴∵az=cy、uz=cy、sz=cy，得az=uz=sz∴BC边上任取一点，连接这一点与A点构成一条位线。
即在三角形ABC中，A点得到一条位线。
由以上所述，当任取一个顶点时，可以得到一条位线。
三角形中位线定理：
三角形中位线定理：
三角形中位线定理是指一个三角形的三条中位线交于一点，且该点距离三个顶点的距离相等。
具体来说，若在三角形ABC中，D、E和F分别是AB、BC和CA 的中点，则它们交于一点G，且AG=BG=CG。
中位线定理是三角形中的基本定理之一，它可以用于解决许多与三角形有关的问题。
例如，可以利用中位线定理证明三角形内任意一条线段的中点与三角形的三个顶点连线的交点共线；也可以利用中位线定理证明三角形的面积公式S=（1/2）×底边×高。
中位线定理还有一些其他有趣的应用，例如可以用它来构造一个等面积的平行四边形，或者用它来解决一些几何推理问题。
总之，中位线定理是三角形中的一个重要工具，它能够帮助我们更好地理解和解决与三角形有关的各种问题。
- 1 -。
三角形中线的全部定理
三角形中线的全部定理
1.三角形中线定义：连结三角形一个顶点和对边中点的线段。
2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分。
3.三角形的三条中线必交于一点,该交点为三角形重心。
4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。
5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分。
6.解决三角形中线问题,常作的辅助线是倍长中线,塑造全等三角形,或平行四边形。
7.遇到三角形两条中线同时出现时,常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半。
8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
9.如果三角形一边中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
10.等边三角形顶角平分线,底边上的高,底边上的中线,互相重合。
11.若AD是△ABC的中线,则向量AB+向量AC=2*向量AD。
16.5.1三角形中位线定理
应用举例： 1、顺次联结矩形各边中点构成的四边形是( C ) A、矩形 B、平行四边形 C、菱形 D、正方形
2、如果四边形的对角线相等，那么顺次联结这个四边形 各边中点所得到的四边形必是( C ) A、梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
3、顺次联结四边形的四边中点所得的四边形是矩形， 则原四边形是( D ) A、矩形 B、菱形 C、等腰梯形 D、对角线互相垂直的四边形
回顾
• 1什么叫三角形的中位线？一个三角形有几条 中位线？它和三角形的中线有何区别？ • 定义：联结三角形两边中点的线段，叫做三角 形的中位线 • 2、三角形中位线定理的内容？ • 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第 三边，并且等于第三边的一半.
Hale Waihona Puke 考考你： 4 个小三角形， 三角形的三条中位线把原三角形分成___ 全等 这几个小三角形_____.
小结：
• 知识总结
• 将未知问题转化为已知问题来解决，用 已知结论，来探求未知问题，把三角形 问题转化为平行四边形问题，把平行四 边形问题转化为三角形问题来解决.
议一议：如图，如果点D是△ABC的边AB的中点， 作DE∥BC交AC于点E， 你认为E一定是AC的中点吗？为什么？
在同一平面上，由于从直线外一点能作且只能作一条直线和 已知直线平行，所以直线DE一定和△ABC的两边中点连线重合， 由此可知，E是线段AC的中点.
例：如图，在
ABCD中，对角线AC和BD相交于点O ，过O作OE∥BC交DC与点E，若OE=6cm， 12cm 则BC的长为______.
16.5.1三角形中位线定理
已知：如图，在△ABC中，点D是AB中点， DF∥ BC， CF∥ AB ， 求证： △ADE ≌ △CFE
初中数学三角形中位线定理
三角形中位线定理
内容-----
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成了一个新的三角形．
（2）三角形中位线定理的作用有二：位置关系：可以证明两条线段平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系．
由三角形中位线定理还可以推出：
①三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；
②三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；
③三角形三条中位线可从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形；
④三角形任两中位线的夹角与这个夹角所对的三角形的顶角相等．
应用-----
【例题】如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q．
求证：AP=AQ．
【分析】欲证AP=AQ，可考虑证明．根据题设条件，可取BC的中点F，连结FM，FN，（如图2）则MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线．利用BD=CE 易证FM=FN，从而，由平行线的性质可知，于是成立，进而结论成立．
【证明】取BC的中点F，连结FM，FN，
由条件知：MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线,
所以FM∥AC，FN∥BD，．
所以．
又因为BD=CE，所以FM=FN．
所以，，所以，所以AP=AQ．
【评注】若已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等．。
三角形的中位线
【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。
【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。
（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。
A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。
答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。
例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。
若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。
A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
3角形中位线定理
3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。
本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。
一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。
则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。
证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。
$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。
由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。
因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。
二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。
1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。
设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。
在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。
首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。
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《§18.1.2 平行四边形的判定(3)----三角形的中位线及定理》
教学设计
新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜州阿合奇县同心中学
王全才
课题：§18.1.2 平行四边形的判定----三角形的中位线及定理
一、教材版本：义务教育教科书人民教育出版社出版八年级（下册）第18章p47—49页，§18.1 平行四边形中§18.1.2 平行四边形的
判定中的第3课时的内容。
二、教材分析：
三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四条
重要线段，是三角形、平行四边形知识的进一步应用和深化.采用由
特殊的点——“中点”入手来研究，显示了其独到之处. 三角形中位
线定理的证明更是与三角形的全等紧密相连，作为一种暗线贯穿于整
个的平行四边形的知识中。
三角形中位线定理为解决直线平行和线段
的倍分关系，提供了新的依据，拓宽了学生的证题思路.三角形中位
线定理的证明和应用，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力
以及探索、体验数学思维规律和用数学知识解决实际问题的能力方面
起着重要的作用，因此地位非常重要.
三、教学目标：
1、理解三角形中位线的概念和三角形中位线定理，掌握它的性质，几何语言的表述，会用三角形中位线定理进行有关的论证和计算。
2、经历三角形中位线的概念和定理的探索、得出过程，培养学生
观察、分析、探索知识的能力及归纳总结能力。
3、通过学生亲自参与定理的发现和证明，培养学生的参与、探索的意识，激发学生的学习兴趣，获得成功的体验。
四、教学重点：
（1）三角形中位线的性质的探究与证明方法；
（2）三角形中位线的性质的应用．
五、教学难点：
（1）猜想结论，实践探究，动手操作的效果与意义；
（2）证明三角形中位线的性质的思维拓展与前后知识的贯穿联系，几何辅助线的添加画法。
六、难点的突破：
（1）实践性的用动手剪，拼，度量以达验证；
（2）证明思维中的拓展以联系平行四边形性的探讨方法，一题多解。
七、教学用具：多媒体、三角尺、学生作的三角形、学生用剪刀、彩
色粉笔。
八、教学方法：猜想法、动手演示实验法、类比法、归纳法、应用举
例法、自主探究有机结合。
教学过程：
（一）引入：
[问题1]1、什么是三角形的中线？一个三角形有几条中线？
动手画一画（让学生边画边回忆，同时为引入新知铺垫，通过
回顾三角形的中线，联想到如果连接两边的中点又会怎样？很自然地建立了新旧知识的联系.）
2、如果任意连接三角形的两个中点，……（顺利过渡到中位线）
（二）新课讲授：
三角形中位线的定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
几何语言：∵AD=BD，AE=CE∴DE为ABC的中位线
[问题2]一个三角形有几条中位线？（3条）
[问题3]三角形中位线与三角形中线有什么区别？（端点不同）[探究：]1、给你一个三角形，你会剪成四个全等的三角形吗？剪一剪，拼一下看看！为什么？
2、在1、的基础上，你会把一个三角形剪一个角，拼成
吗？怎么剪？动手试试！
（提示：通过探究1、2你发现中位线与第三边有什么特殊性了吗？）
3、如图，DE是△ABC的中位线DE与BC有怎样的关系？
一、观察、分析：
（师：你能用语言概括三角形中位线定理吗？培养学生的概括能力，体会几何语言的简洁美）
二、猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于
第三边的一半．
三、度量：度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的
结论？并用文字表述这一结论．
四、证明：（师：你是如何验证你的猜想的呢？）（师：你能证明这些结论吗？）（设计这四步主要是培养学生探究问题的一般规律）已知：如上图，D、E分别是△ABC的边AB、 AC的中点.
求证：DE∥BC，
证法1：将△转化为（老师展示过程）
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的
第三边且等于第三边的一半．
几何语言：∵ DE是△ABC 中位线，∴ DE∥BC，DE= 1/2BC．
证法2：借助△≌△
证明：如图所示延长DE到F，使EF=DE．连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE=∠F，AD CF．
又∵ D 、E分别为AB、AC的中点
∴BD CF．
∴四边形BCFD是平行四边形．
(下面证明同证法1)
证法3：数学变换（旋转、平移），证明过程为今天作业
（设计意图：指向三角形全等暗线，培养学生一题多解，
思维发散展示学生不同的证明方法，给予积极地肯定，）
[引导反思]三角形中位线定理的用途？
生1：证明平行问题
生2：证明角相等
生3 ：证明两条线段之间的2倍或一半关系……
[例]书上 p49 练习 3
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC 和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？
（提示：你想到了几种方法？哪种最简单？1、三角形全等；2、直角三角形；3、平行四边形；4、中位线……）
（设计意图：指向三角形全等暗线，培养学生一题多解，思维发散，学以致用，同时结合实际从学生的身边实例出发，激发学生强烈的求知欲望，体会数学与实际生活的联系，面对实际问题，能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，从而进一步体会数学的应用价值）
[练习]1. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1）若DE=5，则BC= ．
（2）若∠B=65°，则∠ADE= °．
（3）若DE+BC=12，则BC= ．
2. 若三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三
角形的周长是 ( )cm．
3. 已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且D为AC的中点，DE∥BC交AB于点E，若EB=4，则线段BC的长为_____．（通过几个小练习巩固所学知识，提高教学效果.）
[思考]如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
归纳：连接任意的四边形的各边中点的图形为平行四边形
[小结]（理清本节课的知识要点，体会转化的数学思想，为三角形中位线到梯形中位线的过渡做准备）.
知识方面：三角形中位线概念；三角形中位线定理。
思想方法方面：转化思想
1、动手实验（观察、分析、度量）；
2、数学变换（旋转、平移等）；
3、添加辅助线（借助△≌△）。
探究与命题的关系：
一、观察、分析；二、猜想；三、度量；四、证明
[课后作业]（通过分层作业，再次巩固新知.）
1、教材 P49 复习巩固 5．
2、大练习册P32
3、
4、7题
3、再顺次连接思考题中所得到的四边形EFGH各边中点，
又得到一个新的四边形，并判断这个新四边形是否是平行四边形？说明理由。
证法3：数学变换（旋转、平移），证明过程为今天作业。