第4章 目标规划
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该厂目标：
第1级：装配线每周尽量开动40小时。
第2级：允许装配线加班，但每周尽量不超过10小时。
第3级：产量尽量满足市场需求。因彩电利润高，取其 权系数为2。
试建立该问题的GP,并求解黑白和彩色电视机的产量.
1、设定约束条件。(目标约束、绝对约束)
2、规定目标约束优先级。
3 、建立模型。
三、GP建模一般步 骤
1
0 0
0
1 0
0
-1 0
0
0 1
0
0 -1
0
0 0
0
0 0
d3 -
P1 P2 P3
56
8
0 -1 -8
10
0 -2 -10
0
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0
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0
1 0 0
0
0 0 0
0
0 2 0
1
0 0 0
-1
0 0 1
cj
－zj
cj
XB d3 + b X1 X2 X3 d1 -
P1
d1 +
P2
d2 -
P2
第4章 目标规划
Goal Programming
绪 论
目标规划(Goal Programming,简称GP)
-------一类特殊的多目标规划.
1952年,美国学者Charnes等提出GP。GP在 实践中的应用十分广泛，它的重要特点是对各 个目标分级加权与逐级优化，这符合人们处理 问题要分轻重缓急、保证重点的思考方式。 预讲主要内容: GP模型、图解法、单纯形法
无公共满意域。
(3)、取E
X1+X2=50
X1=24
E(24,26)
获利2960
(4)、Zmin =d4- =30 - X2 + d4+=30-26=4>0
§4.3 解GP的单纯形法
目标规划的数学模型与线性规划模型没有 本质的区别，只是它的目标不止是一个, 但可 用单纯形法进行适当改进后求解。在组织、构 造算法时，我们要考虑目标规划的数学模型一 些特点，作以下规定：
解GP问题的单纯形法的计算步骤 (1)建立初始单纯形表．将表中检验数行按优 先因子个数分别列成K行，置k ＝ 1。初始的检 验数计算方法同基本单纯形法。 注意：当不含绝对约束时，di- （i=1,2,… ,K） 构成了一组基本可行解，这时只需利用相应单 位向量把各级目标行中对应di- （i=1,2,… ,K） 的量消成0即可得到初始单纯形表。
③ 用 8X1+10X2=56
X1+ 2X2=10
X1 -X2=0 X1+2X2=10 解为X= X1 X2 = 2 4 α+
求得 G=(2,4)
求得 D=(10/3,10/3) 10/3 10/3
(1-α) (0
α
1)
④ Zmin =0
例3 Min Z=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-)
P2 P3
-3
0
0
0
0
5
-5
0
1
cj
XB X3 b 3 x1 0 x2 0 x3 1 d-1 0
P1
d+1 0
P2
d-2 2
P2
d+2 -2
P3
d-3 -1/2 d+3 1/2
d1 X2 X1
2 4 2 P1
P
2
0 0 1
0 1 0
0 0 0
1 0 0
-1 0 0
3 4/3 -5/3
-3 -1/2 1/2 -4/3 -1/6 1/6 5/3 1/3 -1/3
(1) 因为目标规划问题的目标函数都是求 最小化，所以检验数的最优准则与线性规划是 cj z j 0 相同的，即
(2) 因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先 因子， Pi >> Pi+1，i = 1,2, ,L-1. 于是从每个检 验数的整体来看： Pi+1（i = 1,2, ,L-1）优先级 第k个检验数的正、负首先决定于P1 ，P2 ，… ， Pi 优先级第k个检验数的正、负。 若P1 级第k个检验数为0，则此检验数的正、 负取决于P2级第k个检验数；若P2 级第k个检验 数仍为0，则此检验数的正、负取决于P3级第k 个检验数，依次类推。 （3）根据（LGP）模型特征，当不含绝对约束时， di- （i=1,2,… ,K）构成了一组基本可行解。
一般模型
K min Z P w d w 1 1k k 1k d k k 1
K PL wLk d k wLk d k k 1
n aij x j , bi , i 1 m j 1 n c x d d g , k 1 K k k k k j j j 1 x j 0， j 1 n d k , d k 0，k 1 K
(2) 检查当前第k行中是否存在负数，且对应的前k-1 行的同列检验数为零的检验数。若有取其中最小者 对应的变量为换入变量，转(3)。若无这样的检验数， 则转(5)；
(3) 按单纯形法中的最小比值规则确定换出变量，当 存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有 较高优先级别的变量为换出变量，转（4）；
§4.1 目标规划的数学模型
一、问题的提出
LP：单一目标函数
追求目标的极端值 GP：多个目标函数
尽可能达到（有弹性）
例1 某工厂生产两种产品，具体数据如下表。 Ⅰ 原材料(公斤) 2 Ⅱ 1 资源拥有量 11
设备(小时)
利润(千元/件)
1
8
2
10
10
试求获利最大的生产方案。
LP： Max Z=8X1 + 10X2
d1- : X1产量不足X2 部分
d1+ : X1产量超过X2 部分
d2- : 设备使用不足10 部分 d3- : 利润不足56 部分 d3+ :利润超过56 部分
8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 d2+ :设备使用超过10 部分
例3 电视机厂装配黑白和彩色两种电视机， 每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计 划开动40小时，预计每周彩电销售24台，每 台可获利80元，每周黑白电视机销售30台， 每台可获利40元。
X1+X2 +d1- -d1+=40 X1 +X2+d2- -d2+=50 X1 +d3- -d3+=24 ① ② ③
X2+d4- -d4+=30
来自百度文库
④
解：
X2
X1 =24 d3+
50 C 40 D 30 E d4+ X2 =30
F
B O 30 A
X1+X2 =50 d1d2 X1+X2 =40
X1
(1)、满足目标①、②的满意域为ABCD (2)、先考虑③的满意域为ABEF,再考虑④，
(4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新单纯形表；
(5) 当k ＝ K 时，计算结束。表中的解即为满意解。 否则置k = k+1，返回（2）。
例2 设X1 ，X2分别为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。 Min Z =P1d1++P2(d2-+d2+)+P3d32X1+X2 11
X1 -X2 +d1- -d1+=0
cj
－zj
1 1 1 1
P3
表中所得解x*=(2 , 4)T相当G 点，利润为56
说明：
1，还可以再做一步，d3+↗ d1-↘,可得
X=(10/3，10/3)T，对应于D点.
2，初始表中检验数行：要注意化为非基变
量表示式再填入.
四、GP的特点
目标规划：求一组决策变量的满意值，使 决策结果与给定目标总偏差最小。 ① 目标函数中仅有偏差变量。
② 目标函数总是求偏差变量最小。
③ Z=0：各级目标均已达到； Z>0：部分目标未达到。
练习
某公司生产并销售三种产品Ａ、B、C，在组装时要 经过同一条组装线，三种产品装配时间分别为30小 时、40小时和50小时。组装线每月工作600小时。这 三种产品的销售利润分别为：A每台25000元、B每台 32500元、C每台40000元，每月销售计划分别：A 为 8台、B为6台、C为4台，该公司决策者有如下考虑： 首先，争取利润达到每月490000元； 第二，要充分发挥生产能力，不使组装线空闲； 第三，如果加班，加班时间不得超过30小时； 第四，努力按销售计划来完成生产数量。
d2 +
P3
d3 -
X3
d1 X2 d3 -
6
5 5 6
3/2
3/2 1/2 (3) 0 0
0
0 1 0 0 0
1
0 0 0 0 0
0
1 0 0 1 0
0
-1 0 0 0 0
-1/2
1/2 1/2 -5 0 1
1/2
-1/2 -1/2 5 0 1
0
0 0 1 0 0 0 0
0
0 0 -1
P1 cj
－zj
X1 +2X2 +d2- -d2+=10
8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 , X2 , di- , di+ di- . di+ =0 0
cj
XB d3 + b X1 X2 X3 d1 -
P1
d1 +
P2
d2 -
P2
d2 +
P3
d3 -
X3
d1 d2 -
11
0 10
2
1 1
1
-1 (2)
例2 GP：设X1 ，X2为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。
Min Z =P1d1++P2(d2-+d2+)+P3d32X1+X2 11
X1 -X2 +d1- -d1+=0
X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 , X2 , di- , di+ di- . di+ =0 0
要实现上述多个目标,决策者如何建模分析?
二、建立目标规划数学模型有关概念： 1、决策变量与偏差变量：
偏差变量d-, d+，满足d-×d+＝0 2、约束条件：
硬约束(绝对约束)
软约束 (目标约束)，引入d-, d+
3、目标优先级：
P1 P2 … PL； 同一级中可以有若干个目标： P21 , P22 ,P23 …。 其重要程度用权重系数 W21 ,W22 ,W23 …表示。 4、目标函数：按照各目标约束的正，负偏差 变量和赋予相应的优先因子及权系数构造
试建立该问题的GP模型。
§4.2 LGP的图解法
图解法的基本步骤
（1）在第一象限内作出绝对约束条件的图形； （2）令各个偏差变量为0，作出所有目标约束； （3）作图表示出各个偏差变量对约束直线影响； （4）考虑第一优先级的最优解集合，依次考虑 后一级别的解集合；
（5）求所有解集合的公共部分(可能无,可能无穷)。
(1)、恰好达到目标：
(2)、超过目标：
min Z= f (d -+d+)
min Z= f (d -)
(3)、不超过目标：
min Z= f (d+)
例2 GP：设X1 ，X2为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。
Min Z =P1d1++P2(d2-+d2+)+P3d32X1+X2 11 X1 -X2 +d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10 X1 , X2 , di- , di+ di- . di+ =0 0
2X1+X2 X1+2X2 X1 , X2 0 11 10
X* =(4,3)T
Z* =62
市场实际情况
(1) 依据市场情况，产品Ⅰ销售量要下降， 希望产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ的产量。
(2) 原材料价格上涨，超计划要高价购买。
(3) 充分利用设备，不希望加班。 (4) 尽可能达到并超过利润计划指标56元。
第1级：装配线每周尽量开动40小时。
第2级：允许装配线加班，但每周尽量不超过10小时。
第3级：产量尽量满足市场需求。因彩电利润高，取其 权系数为2。
试建立该问题的GP,并求解黑白和彩色电视机的产量.
1、设定约束条件。(目标约束、绝对约束)
2、规定目标约束优先级。
3 、建立模型。
三、GP建模一般步 骤
1
0 0
0
1 0
0
-1 0
0
0 1
0
0 -1
0
0 0
0
0 0
d3 -
P1 P2 P3
56
8
0 -1 -8
10
0 -2 -10
0
0 0 0
0
0 0 0
0
1 0 0
0
0 0 0
0
0 2 0
1
0 0 0
-1
0 0 1
cj
－zj
cj
XB d3 + b X1 X2 X3 d1 -
P1
d1 +
P2
d2 -
P2
第4章 目标规划
Goal Programming
绪 论
目标规划(Goal Programming,简称GP)
-------一类特殊的多目标规划.
1952年,美国学者Charnes等提出GP。GP在 实践中的应用十分广泛，它的重要特点是对各 个目标分级加权与逐级优化，这符合人们处理 问题要分轻重缓急、保证重点的思考方式。 预讲主要内容: GP模型、图解法、单纯形法
无公共满意域。
(3)、取E
X1+X2=50
X1=24
E(24,26)
获利2960
(4)、Zmin =d4- =30 - X2 + d4+=30-26=4>0
§4.3 解GP的单纯形法
目标规划的数学模型与线性规划模型没有 本质的区别，只是它的目标不止是一个, 但可 用单纯形法进行适当改进后求解。在组织、构 造算法时，我们要考虑目标规划的数学模型一 些特点，作以下规定：
解GP问题的单纯形法的计算步骤 (1)建立初始单纯形表．将表中检验数行按优 先因子个数分别列成K行，置k ＝ 1。初始的检 验数计算方法同基本单纯形法。 注意：当不含绝对约束时，di- （i=1,2,… ,K） 构成了一组基本可行解，这时只需利用相应单 位向量把各级目标行中对应di- （i=1,2,… ,K） 的量消成0即可得到初始单纯形表。
③ 用 8X1+10X2=56
X1+ 2X2=10
X1 -X2=0 X1+2X2=10 解为X= X1 X2 = 2 4 α+
求得 G=(2,4)
求得 D=(10/3,10/3) 10/3 10/3
(1-α) (0
α
1)
④ Zmin =0
例3 Min Z=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-)
P2 P3
-3
0
0
0
0
5
-5
0
1
cj
XB X3 b 3 x1 0 x2 0 x3 1 d-1 0
P1
d+1 0
P2
d-2 2
P2
d+2 -2
P3
d-3 -1/2 d+3 1/2
d1 X2 X1
2 4 2 P1
P
2
0 0 1
0 1 0
0 0 0
1 0 0
-1 0 0
3 4/3 -5/3
-3 -1/2 1/2 -4/3 -1/6 1/6 5/3 1/3 -1/3
(1) 因为目标规划问题的目标函数都是求 最小化，所以检验数的最优准则与线性规划是 cj z j 0 相同的，即
(2) 因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先 因子， Pi >> Pi+1，i = 1,2, ,L-1. 于是从每个检 验数的整体来看： Pi+1（i = 1,2, ,L-1）优先级 第k个检验数的正、负首先决定于P1 ，P2 ，… ， Pi 优先级第k个检验数的正、负。 若P1 级第k个检验数为0，则此检验数的正、 负取决于P2级第k个检验数；若P2 级第k个检验 数仍为0，则此检验数的正、负取决于P3级第k 个检验数，依次类推。 （3）根据（LGP）模型特征，当不含绝对约束时， di- （i=1,2,… ,K）构成了一组基本可行解。
一般模型
K min Z P w d w 1 1k k 1k d k k 1
K PL wLk d k wLk d k k 1
n aij x j , bi , i 1 m j 1 n c x d d g , k 1 K k k k k j j j 1 x j 0， j 1 n d k , d k 0，k 1 K
(2) 检查当前第k行中是否存在负数，且对应的前k-1 行的同列检验数为零的检验数。若有取其中最小者 对应的变量为换入变量，转(3)。若无这样的检验数， 则转(5)；
(3) 按单纯形法中的最小比值规则确定换出变量，当 存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有 较高优先级别的变量为换出变量，转（4）；
§4.1 目标规划的数学模型
一、问题的提出
LP：单一目标函数
追求目标的极端值 GP：多个目标函数
尽可能达到（有弹性）
例1 某工厂生产两种产品，具体数据如下表。 Ⅰ 原材料(公斤) 2 Ⅱ 1 资源拥有量 11
设备(小时)
利润(千元/件)
1
8
2
10
10
试求获利最大的生产方案。
LP： Max Z=8X1 + 10X2
d1- : X1产量不足X2 部分
d1+ : X1产量超过X2 部分
d2- : 设备使用不足10 部分 d3- : 利润不足56 部分 d3+ :利润超过56 部分
8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 d2+ :设备使用超过10 部分
例3 电视机厂装配黑白和彩色两种电视机， 每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计 划开动40小时，预计每周彩电销售24台，每 台可获利80元，每周黑白电视机销售30台， 每台可获利40元。
X1+X2 +d1- -d1+=40 X1 +X2+d2- -d2+=50 X1 +d3- -d3+=24 ① ② ③
X2+d4- -d4+=30
来自百度文库
④
解：
X2
X1 =24 d3+
50 C 40 D 30 E d4+ X2 =30
F
B O 30 A
X1+X2 =50 d1d2 X1+X2 =40
X1
(1)、满足目标①、②的满意域为ABCD (2)、先考虑③的满意域为ABEF,再考虑④，
(4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新单纯形表；
(5) 当k ＝ K 时，计算结束。表中的解即为满意解。 否则置k = k+1，返回（2）。
例2 设X1 ，X2分别为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。 Min Z =P1d1++P2(d2-+d2+)+P3d32X1+X2 11
X1 -X2 +d1- -d1+=0
cj
－zj
1 1 1 1
P3
表中所得解x*=(2 , 4)T相当G 点，利润为56
说明：
1，还可以再做一步，d3+↗ d1-↘,可得
X=(10/3，10/3)T，对应于D点.
2，初始表中检验数行：要注意化为非基变
量表示式再填入.
四、GP的特点
目标规划：求一组决策变量的满意值，使 决策结果与给定目标总偏差最小。 ① 目标函数中仅有偏差变量。
② 目标函数总是求偏差变量最小。
③ Z=0：各级目标均已达到； Z>0：部分目标未达到。
练习
某公司生产并销售三种产品Ａ、B、C，在组装时要 经过同一条组装线，三种产品装配时间分别为30小 时、40小时和50小时。组装线每月工作600小时。这 三种产品的销售利润分别为：A每台25000元、B每台 32500元、C每台40000元，每月销售计划分别：A 为 8台、B为6台、C为4台，该公司决策者有如下考虑： 首先，争取利润达到每月490000元； 第二，要充分发挥生产能力，不使组装线空闲； 第三，如果加班，加班时间不得超过30小时； 第四，努力按销售计划来完成生产数量。
d2 +
P3
d3 -
X3
d1 X2 d3 -
6
5 5 6
3/2
3/2 1/2 (3) 0 0
0
0 1 0 0 0
1
0 0 0 0 0
0
1 0 0 1 0
0
-1 0 0 0 0
-1/2
1/2 1/2 -5 0 1
1/2
-1/2 -1/2 5 0 1
0
0 0 1 0 0 0 0
0
0 0 -1
P1 cj
－zj
X1 +2X2 +d2- -d2+=10
8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 , X2 , di- , di+ di- . di+ =0 0
cj
XB d3 + b X1 X2 X3 d1 -
P1
d1 +
P2
d2 -
P2
d2 +
P3
d3 -
X3
d1 d2 -
11
0 10
2
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例2 GP：设X1 ，X2为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。
Min Z =P1d1++P2(d2-+d2+)+P3d32X1+X2 11
X1 -X2 +d1- -d1+=0
X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 , X2 , di- , di+ di- . di+ =0 0
要实现上述多个目标,决策者如何建模分析?
二、建立目标规划数学模型有关概念： 1、决策变量与偏差变量：
偏差变量d-, d+，满足d-×d+＝0 2、约束条件：
硬约束(绝对约束)
软约束 (目标约束)，引入d-, d+
3、目标优先级：
P1 P2 … PL； 同一级中可以有若干个目标： P21 , P22 ,P23 …。 其重要程度用权重系数 W21 ,W22 ,W23 …表示。 4、目标函数：按照各目标约束的正，负偏差 变量和赋予相应的优先因子及权系数构造
试建立该问题的GP模型。
§4.2 LGP的图解法
图解法的基本步骤
（1）在第一象限内作出绝对约束条件的图形； （2）令各个偏差变量为0，作出所有目标约束； （3）作图表示出各个偏差变量对约束直线影响； （4）考虑第一优先级的最优解集合，依次考虑 后一级别的解集合；
（5）求所有解集合的公共部分(可能无,可能无穷)。
(1)、恰好达到目标：
(2)、超过目标：
min Z= f (d -+d+)
min Z= f (d -)
(3)、不超过目标：
min Z= f (d+)
例2 GP：设X1 ，X2为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。
Min Z =P1d1++P2(d2-+d2+)+P3d32X1+X2 11 X1 -X2 +d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10 X1 , X2 , di- , di+ di- . di+ =0 0
2X1+X2 X1+2X2 X1 , X2 0 11 10
X* =(4,3)T
Z* =62
市场实际情况
(1) 依据市场情况，产品Ⅰ销售量要下降， 希望产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ的产量。
(2) 原材料价格上涨，超计划要高价购买。
(3) 充分利用设备，不希望加班。 (4) 尽可能达到并超过利润计划指标56元。