第四章目标规划.
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(2)应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (3)应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目标规 划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入与目标规 划模型有关的概念。 1.设x1，x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+，d−。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分； 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒 有 d+×d− = 0。
用图解法求解，见图4.2。
从图4.2可看出： 在考虑具有优先因子P1、P2 的目标实现后，x1、x2的取值 范围为ABCD。 当考虑P3级目标时，因d3−的 权系数大于d4 − ，故先考虑 min d3 − 。这时x1、x2的取值 范围缩小为区域ABEF。然后 考虑d4 − 。在区域ABEF中无 法满足d4 − =0，因此只能在 ABEF中取一点，使d4 − 尽可 能小，这就是E点。故E点为 满意解，其坐标为(24，26)。 即该厂每周应装配彩色电视 机24台，黑白电视机26台。
x2 + d2- -d2+ = 8
Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) s.t . x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ =252 x1 , x2 , di- ,di+ 0 , i = 1,2,3,4.
第4章
目标规划
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 目标
规划在实践中的应用十分广泛，它的重要特点是对各个目标分 级加权与逐级优化，这符合人们处理问题要分别轻重缓急保证 重点的思考方式。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约 束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可 求得更切合实际的解。 2、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。
3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束； 而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。 4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花 去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中， 只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。
目前，已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场 分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。
4、优先因子（优先等级）与优先权系数
优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表 示出来。P1>>P2>>…>>Pl>>Pl+1>>…>>PL ，l=1.2…L。 后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。 权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的重 要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）
•注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最高优先级考 虑。在本例中，能依先后次序都满足d1+=0，d2++d2−=0，d3−=0， 因而z*=0。但在大多数问题中并非如此，会出现某些约束得 不到满足，故将目标规划问题的最优解称为满意解。
例3 用图解法求解
目标函数：min z P1d1 P2d 2 P3 (2d 3 d4 )
第2节 解目标规划的图解法
• 对只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解法来求 解，以例2说明之（图4-1）。
min z P1d1 P2 (d 2 d2 ) P3 d 3
2 x1 x2 11 x1 x2 d1 d1 0 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x 10 x d d 56 1 2 3 3 x , x , d , d 0, i 1, 2, 3 1 2 i i
2.绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，如线 性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称 为非可行解，所以它们是硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的 目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差。因此在这 些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。 线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差 变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束 变换为目标约束，如可将例1的 目标函数 z=8x1+10x 变换为目标约束 8x1+10x2+d1−−d1+=56 约束条件 2x1+x2≤11 变换为目标约束 2x1+x2+d2−−d2+=11
第1节 目标规划模型
为了便于理解目标规划数学模型的特征及建模思路 , 我们首 先举一个简单的例子来说明. 例1 某工厂生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。
原材料(kg) 设备(hr) 利润(元/件) Ⅰ 2 1 8 Ⅱ 1 2 10 拥有量 11 10
工厂在作决策时，希望能达到下述3项目标：
(1)根据市场信息，希望产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ。
3.目标规划的目标函数 目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负 偏差变量和赋予的优先因子及权系数而构造的。当每一目 标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小和目标值的偏差。 因此目标规划的目标函数的形式通常是 min z=f(d+,d−) 其具体形式大致有三种： (1) 若要求恰好达到目标值，则应要求正、负偏差变量均 尽可能地小，这时，目标函数的形式为 min z=f(d++d−) (2) 若要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但正偏 差变量要尽可能地小，这时目标函数的形式为 min z=f(d+) (3) 若要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差变量要 尽可能地小，这时目标函数的形式为 min z=f(d−)
lk , lk 为权系数。
（二）、建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定 目标值，列出目标约束与绝对约束； 2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束 转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差 变量和减去正偏差变量即可。 3、给各目标赋予相应的优先因子 Pl（l=1.2…L）。 4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其 重要程度的不同，赋予相应的权系数 lk 和lk 。
5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由
⑴.恰好达到目标值，取 d l d l。 ⑵.允许超过目标值，取 d 。 ⑶.不允许超过目标值，取
l
d
l 。
优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数，即达成函数。
（三）、小结
线性规划LP min , max
系数可正负 xi, xs xa 系统约束 （绝对约束） 最优
把题中4个目标表示为不等式.仍设决策变量 x1，x2 分别为 产品A，B的产量. 那么, 第一个目标为: x1 9 ，x2 8 ； 第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ； 第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成不等式需要找 到一个目标上界，这里可以估计为 252（=129 + 188）， 于是有：12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8；
我们有如下目标约束 x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1+18x2+ d4- -d4+ =252
x1 + d1- -d1+ = 9
首先,产量不能超过市场预测的销售量； 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 其次,工人加班时间最少； 12x1+18x2+ d4- -d4+ =252 第三,希望总利润最大； 最后,要尽可能满足市场需求, 当不能满足时, 市场认为 B产品的重要性是A产品的2倍． 第一优先级要求 min（d1+ + d2+ )； 第二优先级要求 min（d3+ )； 第三优先级要求 min（d4- )； 第四优先级要求 min（d1- + 2d2- )，这里, 当不能满足市场 需求时, 市场认为B产品的重要性是A产品的2倍．即减少B产 品的影响是A产品的2倍，因此我们引入了2:1的权系数。
x1 x2 d1 d1 40 x x d d 1 2 2 2 50 满足约束条件： x1 d 3 d3 24 x d d 4 4 30 2 x , x , d , d 0, i 1, 2, 3, 4 1 2 i i
目标函数： min z P1d1 P2 (d 2 d2 ) P3 d 3
2 x1 x2 11 x x d d 1 2 1 1 0 满足约束条件： x1 2 x2 d 2 d2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1, 2, 3 1 2 i i
目标函数
变量 约束条件
解
目标规划GP min , 偏差变量 系数≥0 x i xs xa d 目标约束 系统约束 最满意
练习：某公司分厂用一条生产线生产两种产品A和B ，每 周生产线运行时间为60小时，生产一台A产品需要4小时， 生产一台B产品需要6小时．根据市场预测，A、B产品平 均销售量分别为每周9、8台，它们销售利润分别为12、18 万元。在制定生产计划时，经理考虑下述4项目标： 首先，产量不能超过市场预测的销售量； 其次，工人加班时间最少； 第三，希望总利润最大； 最后，要尽可能满足市场需求, 当不能满足时, 市场认 为B产品的重要性是A产品的2倍．
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑： 首先是产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；其次是充分利 用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求 最佳决策方案 。 解：按决策者的要求，分别赋予这三个目标优先因子 P1来自百度文库P2，P3，得到本问题的数学模型为：
解：设x1，x2分别表示彩色和黑白电视机的产量，本问题的目 标规划模型为：
目标函数：min z P1d1 P2d 2 P3 (2d 3 d4 )
x1 x2 d1 d1 40 x x d d 1 2 2 2 50 满足约束条件： x1 d 3 d3 24 x d d 4 4 30 2 x , x , d , d 0, i 1, 2, 3, 4 1 2 i i
目标规划的一般数学模型为
目标函数： min z Pl ( lk d k lk dk ) l 1 k 1 L K
(4 1) ,K (4 2) (4 3) (4 4) (4 5)
n c x d d k 1, k k gk , kj j j 1 n a x ( , )b , i 1, , m 满足约束条件： ij j i j 1 x j 0, j 1, , n d k , d k 0, k 1, 2, 3
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目标规 划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入与目标规 划模型有关的概念。 1.设x1，x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+，d−。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分； 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒 有 d+×d− = 0。
用图解法求解，见图4.2。
从图4.2可看出： 在考虑具有优先因子P1、P2 的目标实现后，x1、x2的取值 范围为ABCD。 当考虑P3级目标时，因d3−的 权系数大于d4 − ，故先考虑 min d3 − 。这时x1、x2的取值 范围缩小为区域ABEF。然后 考虑d4 − 。在区域ABEF中无 法满足d4 − =0，因此只能在 ABEF中取一点，使d4 − 尽可 能小，这就是E点。故E点为 满意解，其坐标为(24，26)。 即该厂每周应装配彩色电视 机24台，黑白电视机26台。
x2 + d2- -d2+ = 8
Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) s.t . x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ =252 x1 , x2 , di- ,di+ 0 , i = 1,2,3,4.
第4章
目标规划
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 目标
规划在实践中的应用十分广泛，它的重要特点是对各个目标分 级加权与逐级优化，这符合人们处理问题要分别轻重缓急保证 重点的思考方式。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约 束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可 求得更切合实际的解。 2、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。
3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束； 而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。 4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花 去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中， 只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。
目前，已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场 分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。
4、优先因子（优先等级）与优先权系数
优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表 示出来。P1>>P2>>…>>Pl>>Pl+1>>…>>PL ，l=1.2…L。 后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。 权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的重 要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）
•注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最高优先级考 虑。在本例中，能依先后次序都满足d1+=0，d2++d2−=0，d3−=0， 因而z*=0。但在大多数问题中并非如此，会出现某些约束得 不到满足，故将目标规划问题的最优解称为满意解。
例3 用图解法求解
目标函数：min z P1d1 P2d 2 P3 (2d 3 d4 )
第2节 解目标规划的图解法
• 对只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解法来求 解，以例2说明之（图4-1）。
min z P1d1 P2 (d 2 d2 ) P3 d 3
2 x1 x2 11 x1 x2 d1 d1 0 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x 10 x d d 56 1 2 3 3 x , x , d , d 0, i 1, 2, 3 1 2 i i
2.绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，如线 性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称 为非可行解，所以它们是硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的 目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差。因此在这 些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。 线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差 变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束 变换为目标约束，如可将例1的 目标函数 z=8x1+10x 变换为目标约束 8x1+10x2+d1−−d1+=56 约束条件 2x1+x2≤11 变换为目标约束 2x1+x2+d2−−d2+=11
第1节 目标规划模型
为了便于理解目标规划数学模型的特征及建模思路 , 我们首 先举一个简单的例子来说明. 例1 某工厂生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。
原材料(kg) 设备(hr) 利润(元/件) Ⅰ 2 1 8 Ⅱ 1 2 10 拥有量 11 10
工厂在作决策时，希望能达到下述3项目标：
(1)根据市场信息，希望产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ。
3.目标规划的目标函数 目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负 偏差变量和赋予的优先因子及权系数而构造的。当每一目 标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小和目标值的偏差。 因此目标规划的目标函数的形式通常是 min z=f(d+,d−) 其具体形式大致有三种： (1) 若要求恰好达到目标值，则应要求正、负偏差变量均 尽可能地小，这时，目标函数的形式为 min z=f(d++d−) (2) 若要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但正偏 差变量要尽可能地小，这时目标函数的形式为 min z=f(d+) (3) 若要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差变量要 尽可能地小，这时目标函数的形式为 min z=f(d−)
lk , lk 为权系数。
（二）、建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定 目标值，列出目标约束与绝对约束； 2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束 转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差 变量和减去正偏差变量即可。 3、给各目标赋予相应的优先因子 Pl（l=1.2…L）。 4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其 重要程度的不同，赋予相应的权系数 lk 和lk 。
5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由
⑴.恰好达到目标值，取 d l d l。 ⑵.允许超过目标值，取 d 。 ⑶.不允许超过目标值，取
l
d
l 。
优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数，即达成函数。
（三）、小结
线性规划LP min , max
系数可正负 xi, xs xa 系统约束 （绝对约束） 最优
把题中4个目标表示为不等式.仍设决策变量 x1，x2 分别为 产品A，B的产量. 那么, 第一个目标为: x1 9 ，x2 8 ； 第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ； 第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成不等式需要找 到一个目标上界，这里可以估计为 252（=129 + 188）， 于是有：12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8；
我们有如下目标约束 x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1+18x2+ d4- -d4+ =252
x1 + d1- -d1+ = 9
首先,产量不能超过市场预测的销售量； 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 其次,工人加班时间最少； 12x1+18x2+ d4- -d4+ =252 第三,希望总利润最大； 最后,要尽可能满足市场需求, 当不能满足时, 市场认为 B产品的重要性是A产品的2倍． 第一优先级要求 min（d1+ + d2+ )； 第二优先级要求 min（d3+ )； 第三优先级要求 min（d4- )； 第四优先级要求 min（d1- + 2d2- )，这里, 当不能满足市场 需求时, 市场认为B产品的重要性是A产品的2倍．即减少B产 品的影响是A产品的2倍，因此我们引入了2:1的权系数。
x1 x2 d1 d1 40 x x d d 1 2 2 2 50 满足约束条件： x1 d 3 d3 24 x d d 4 4 30 2 x , x , d , d 0, i 1, 2, 3, 4 1 2 i i
目标函数： min z P1d1 P2 (d 2 d2 ) P3 d 3
2 x1 x2 11 x x d d 1 2 1 1 0 满足约束条件： x1 2 x2 d 2 d2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1, 2, 3 1 2 i i
目标函数
变量 约束条件
解
目标规划GP min , 偏差变量 系数≥0 x i xs xa d 目标约束 系统约束 最满意
练习：某公司分厂用一条生产线生产两种产品A和B ，每 周生产线运行时间为60小时，生产一台A产品需要4小时， 生产一台B产品需要6小时．根据市场预测，A、B产品平 均销售量分别为每周9、8台，它们销售利润分别为12、18 万元。在制定生产计划时，经理考虑下述4项目标： 首先，产量不能超过市场预测的销售量； 其次，工人加班时间最少； 第三，希望总利润最大； 最后，要尽可能满足市场需求, 当不能满足时, 市场认 为B产品的重要性是A产品的2倍．
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑： 首先是产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；其次是充分利 用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求 最佳决策方案 。 解：按决策者的要求，分别赋予这三个目标优先因子 P1来自百度文库P2，P3，得到本问题的数学模型为：
解：设x1，x2分别表示彩色和黑白电视机的产量，本问题的目 标规划模型为：
目标函数：min z P1d1 P2d 2 P3 (2d 3 d4 )
x1 x2 d1 d1 40 x x d d 1 2 2 2 50 满足约束条件： x1 d 3 d3 24 x d d 4 4 30 2 x , x , d , d 0, i 1, 2, 3, 4 1 2 i i
目标规划的一般数学模型为
目标函数： min z Pl ( lk d k lk dk ) l 1 k 1 L K
(4 1) ,K (4 2) (4 3) (4 4) (4 5)
n c x d d k 1, k k gk , kj j j 1 n a x ( , )b , i 1, , m 满足约束条件： ij j i j 1 x j 0, j 1, , n d k , d k 0, k 1, 2, 3