07(研)数值分析
数值分析简介
理论是基础
上机实践：算法实现项 ：
实践课时远远不够，希望大家充分利用自由 上机时间加强实践，完成实验和习题
在加强实践的同时，请同学们务必重视理论 课程的学习，二者不要偏废。 希望同学们在学习理论的同时，及时复习数 学分析和高等代数知识。只有不断地学习，才 能加深对以前所学知识的理解。
二、计算科学简介
简单地说，使用计算手段研究自然现象和 社会现象的学科均称为计算科学。例如：计 算物理、计算化学、计算生物学、计算经济 学等，学科领域非常宽广，数值分析是基础。 现在，人们把计算称为科学研究的三大方 法之一。 There are three great branches of science: theory, experiment and computation.
――L.N. Trefethen
计算科学发展趋势
计算科学发展趋势与计算机的发展密切相 关。 计算机的发展趋势：多核化，多CPU化， 集群化，高性能化。 计算科学发展趋势：算法并行化。 如何因应？
我们学院已经成立了高性能计算实验室，购买了 浪潮并行计算机，这学期开设一个并行计算讨论班。 希望我们班有同学参加。
[1] 白峰杉，《数值计算引论》，北京：高等教育出版社， 2004.7 [2] 封建湖，聂玉峰，王振海，《数值分析（第四版）导 教· 导学· 导考》，西安：西北工业大学出版社，2003.6 [3] Michael T.Heath ，张威等译，《科学计算导论（第二 版）》，北京：清华大学出版社，2005.10 [4] 薛毅，《数值分析与实验》，北京：北京工业大学出版 社，2005.3 [5] Curtis F.Gerald, Applied Numerical Analysis (Seventh Edition),北京：高等教育出版社，2006.1 [6] 张韵华，符号计算系统 Mathematica 教程，北京：科学 出版社，2001.11 [7] 徐安农， Mathematica 与数学实验，北京：电子工业出 版社，2004.7
2007-研-数值分析试题解答
中国矿业大学06级硕士研究生课程考试试卷考试科目数值分析考试时间2007年01月研究生姓名所在院系学号任课教师班级序号中国矿业大学研究生培养管理科印制一、填空题（每个空2分，共30分）1． 计算方程011015.02=--x x 的两个根，为使计算结果更精确，写出计算表达式： =1x 101 ，=2x2． 设13)(2+=x x f ，则其二阶差商=]3,2,1[f 3 ，三阶差商=]4,3,2,1[f 0 。
3． 当=b -1 ，=c -3 ，=d 1 时，函数32312, [0,1]()2(1)(1)(1), [1,2]x x x s x b x c x d x x ⎧+-∈=⎨+-+-+-∈⎩ 是一个自然边界（即0)0()2(=''=''+-s s ）三次样条函数。
4． 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1511A ，则=1A 6 ，=FA =5.29）， =2A ，=∞)cond(A 6 。
5． 已知函数)(x f y =的数据表为用复化梯形公式计算≈⎰31)(dx x f _ 2.9 ，用Simpson 公式计算≈⎰31)(dx x f _2.93 。
6．`设Givens 矩阵P 满足⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00201ρP ， 则=P ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3303601036033，=ρ注：此题P 不唯一。
二（10分）把Newton 迭代法用于01)(=-=a xx f )0(>a 求根。
（1） 写出计算a1的不含除法运算的迭代公式； （2） 求该迭代公式的局部收敛速度；（3） 证明该算法收敛的充要条件是初值ax 200<<。
【解】(1) 迭代公式：)2(1k k k ax x x -=+ (2) 22)(ax x x -=ϕ，0|22)1(1=-='=ax ax aϕ，02)1(≠-=''a a ϕ 局部收敛速度为2阶。
《数值分析》课程教学大纲
《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054111课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：公共基础课程要求：必修学时/学分：32/2（讲课学时：32 实验学时：0 上机学时：0）适用专业：材料成型及控制工程一、课程性质与任务数值分析是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
随着计算机以及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法也越来越多地应用于科学技术的各个领域，数值分析也因此成为高等学校理工科专业的一门重要课程。
与其他数学课程一样，数值分析也是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程，既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性等特点，是一门与计算机密切结合，实用性很强的数学课程。
通过本课程的教学，使学生掌握在计算机上解决常见数学问题的常用的数值算法，熟悉各种算法的基本原理和适用范围，了解误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。
培养学生运用计算机解决实际问题的基本技能和基本素质，为学生学习后续专业课程和将来运用数值分析的知识与技能解决本专业实际问题打下坚实的基础。
二、 课程与其他课程的联系学生在学习本课程之前，应学习过高等数学、线性代数等课程，并了解一门编程语言或一种科学计算软件。
高等数学和线性代数课程的学习，为本课程提供必需的数学基础知识；具备编程能力则可以使学生在计算机上编制程序，通过典型算例验证所学算法的有效性并应用到实际问题中。
本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，为学习后续课程如计算流体力学、有限元分析等奠定知识基础。
三、课程教学目标1.通过本课程的学习，使学生掌握现代科学计算中所常用的一些数值计算方法，熟悉这些算法的思想与基本原理，了解其适用范围。
（支撑毕业能力要求1.1，1.3，2.1）2.通过本课程的学习，使学生了解误差分析，收敛性及稳定性等基本理论。
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
[考研类试卷]2007年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷.doc
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[考研类试卷]2007年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷
1 给定非线性方程e-x-2x=0． 1)判断该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出上述方程的根，精确至3位有效数字； 3)验证所用迭代法满足的收敛性条件，说明所用迭代格式是收敛的．
2 用列主元Gauss 消去法解线性方程组
3 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式；2)分析此迭代格式的收敛性
4 设f(x)=x4—3x3+x2-10，x0=1，x1=3，x2=-2，x3=0． 1)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Lagrange插值多项式L3(x)； 2)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Newton插值多项式N3(x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式．
5 求方程组的最小二乘解．
6 考虑积分I(f)= 1)写出计算I(f)的Simpson公式S(f)； 2)用多项式插值的思想推导出S(f). 3)写出复化梯形公式和复化Simpson公式之间的关系式．
7 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b—a)／
n，x i=a+ih，f i=f(x i，y i)，0≤i≤n．证明求解公式y i+1=y i +(55f i-59f i-1+37f i-2-9f i-3)是一个4阶公式，并给出局部截断误差的表达式．
答案见麦多课文库。
研究生数值分析课件ch
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值方法求解数学问题和近似计算 实际问题的数值解。它为科学研究、工程技术和实际应用等领域提供了重要的数学工具。 数值分析的重要性在于它能够将许多抽象的数学概念和理论转化为具体的数值计算方法，
使得我们能够更加方便地解决各种复杂的实际问题。
数值分析的应用领域
在金融领域，数值分析也被 广泛应用于风险评估、投资 组合优化、期权定价等方面 。通过数值分析的方法，我 们可以更加准确地评估投资 风险和收益，从而做出更加 明智的决策。
数值分析的发展历程
总结词
数值分析的发展历程可以追溯到上世纪初，随着计算 机技术的不断发展，数值分析的理论和方法也在不断 更新和完善。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式与复化求积法
牛顿-莱布尼兹公式
该公式是微积分中的一个基本定理，用于计算定积分。 通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上应 用微积分基本定理，再利用定积分的线性性质进行求和 ，最后取极限得到定积分的值。
复化求积法
当被积函数是复杂函数或者积分区间是复杂形状时，直 接应用牛顿-莱布尼兹公式可能会遇到困难。此时，可以 采用复化求积法，即将积分区间分成若干个小区间，然 后在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式，最后将所有 的结果相加得到定积分的近似值。
改进欧拉法
为了提高欧拉方法的精度，可以对欧拉方法进行改进。一种常见的改进方法是使用二阶 欧拉方法，它考虑了更多的函数值，从而提高了逼近的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高阶数值方法，用于求解常微分方程。它基于泰勒级数的思想，通过迭代的方式逐步逼近方程的精确解 。与欧拉方法相比，龙格-库塔方法具有更高的精度和更好的稳定性。
武汉大学07数值分析研究生试卷(A)
武 汉 大 学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（15分）给定方程 01)1()(=--=x e x x f(1) 分析该方程存在几个根；(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；(3) 说明所用的迭代格式是收敛的.二、（15分）设线性方程组为0,,221122221211212111≠⎩⎨⎧=+=+a a b x a x a b x a x a(1)证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.(2) 当同时收敛时比较其收敛速度.三、（10分）设A 为非奇异矩阵，方程组b Ax =的系数矩阵A 有扰动A ∆，受扰动后的方程组为b x x A A =∆+∆+))((，若1||||||||1<∆⋅-A A ，试证：||||||||1||||||||||||||||11A A A A x x ∆⋅-∆⋅≤∆--四、（15求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）已知数据设2)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得 ∑==-302min ])([i i i y x f六、（15分）定义内积 ⎰-=11)()(),(dx x g x f g f 在},,1{2x x Span H =中求||)(x x f =的最佳平方逼近元素. 七、（10分）给定求积公式⎰-++-≈hh h Cf Bf h Af dx x f 22)()0()()(试确定C B A ,,,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss 型公式.八、（10分）给定微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2)0(102y x y dxdy用一个二阶方法计算)(x y 在0.1 , 0.2 处的近似值. 取 1.0=h 计算结果保留5位有效数字。
《数值分析教程》课件
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
研究生数值分析(1)48页
x * 有 2 位有效数字，绝对误差限为
(x*)1102 0.005
2
相对误差限为 r(x*)(xx**)409 .0100250.0102
y * 有 3 位有效数字，绝对误差限为0.00005，
相对误差限为0.00102。
（4）舍入误差：由于计算机字长有限，只 能对有限位进行运算，因而往往进行四舍五入， 这样产生的误差称为舍入误差。
误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝 对准确，是办不到的。因此，在计算方法里讨论 的问题就是怎样尽量设法减少误差，提高精度。
在四中误差中，模型误差和观测误差是客 观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和 计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解 法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍 入误差。
函数近似值 y * 的相对误差
e r *(y)e* y (* y) ( x f1)*x y 1 * *e r *(x 1 ) ( x f2)*x y 2 * *e r * (x2) （2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数 和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播 的估计式.
e* ( x1 x2 ) e* ( x1) e* ( x2 )
一个近似值的准确程度的。
(1)绝对误差与绝对误差限：
若 x * 为准确值x的一个近似值，则称 x x *
为近似值 x * 的绝对误差，用 e * ( x ) 表示，
即 e*(x)xx*
实际问题中，由于无法知道准确值 x 因 而无法计算绝对误差的大小，只能根据具体 情况估计绝对误差的上限使
e*(x)xx* *
如果
e*(x) 110mn 2
数值分析第七版课程设计
数值分析第七版课程设计一、实验背景数值分析是计算数学的重要分支，是研究利用计算机求解数值问题的方法和理论的一门学科。
本课程设计旨在通过实验，加深对数值分析相关算法的理解，提高数学建模和计算机编程的能力。
二、实验内容本次课程设计包括以下两个实验：实验一：插值与逼近1.将函数$f(x)=\\dfrac{1}{x}$在区间[1,2]上进行等距节点插值，节点数分别为5、10、15和20，误差使用最大误差和平均误差来比较。
2.使用Newton插值法和Lagrange插值法对于函数$f(x)=\\sin x$进行插值，比较两种方法的误差。
3.对于函数f(x)，给定节点x0,x1,x2,x3，计算出f(x)在x=1.5处的三次Hermite插值。
4.对于函数$f(x)=\\dfrac{1}{1+x^2}$，使用最小二乘法对其进行多项式逼近，比较多项式次数为1、2、3和4时的逼近结果。
实验二：数值微积分1.使用五点中心公式，计算f″(x)的近似值，并比较二、四、六、八次公式的精度。
2.使用梯形公式和Simpson公式分别求解函数$f(x)=\\cos(x^2)$在区间[0,1]上的定积分，比较两种方法的精度。
3.使用数值微积分方法计算曲线y=x3+2x+1在区间[0,1]上的弧长，步长分别为0.2、0.1、0.05和0.025，并比较不同步长对计算结果的影响。
三、实验要求1.使用MATLAB或Python等编程语言完成实验，并提交完整的程序代码以及实验报告。
2.实验报告应包括实验的目的、原理、过程、结果及其分析等内容。
3.程序代码应具有较好的结构性、可读性和可复用性，其中涉及到的算法应有详细的注释。
四、实验评分1.实验报告50分，其中内容占30分，格式和排版占20分。
2.程序代码50分，其中正确性占30分，可读性和可复用性占20分。
3.本次课程设计总成绩为实验报告分数和程序代码分数的加权平均分。
数值分析2篇
数值分析2篇【数值分析1】数值分析，是指用数学方法研究数值计算的一门学科，是现代科学技术领域不可或缺的重要支撑。
数值分析技术已广泛应用于数学、物理、化学、地球物理学、生物医学及工程学等各个领域。
在现代工程实践中，数值计算已成为设计和制造过程中必不可少的一环。
以下简要论述在工程设计中，数值计算的应用。
其一，数值计算在产品设计和制造中，可用来优化结构设计以实现性能的最佳化，缩短产品的开发时间，而且不仅能够预测时间，成本和性能等方面，还能够在产品制造中实现跨学科的工作，达到强大的系统级工程设计。
其二，数值计算技术在各种不同的工程领域中均得到了广泛的应用，如机械制造、航空航天、自动控制、电子、电气工程等。
例如，在计算流体力学领域中，可以处理与气体或液体流动有关的问题。
工程师可以使用数值计算来确定气体或液体流动的行为，以帮助他们设计高效的燃料喷射器、制造车辆和船只的外形和结构，以及预测海洋环境的变化。
其三，数值计算成为建筑结构设计中重要的工具，其模拟性能能够帮助实现更好的设计和耐久性。
它在研究结构或建筑物在不同的地震，风力或与环境相关的任务中，也发挥出了巨大的作用。
数值计算技术通过不同数值模型的建立和结构参数的分析，可帮助工程师精确地评估建筑结构的设计方案和内部力学性能，从而在众多同类项目中脱颖而出。
综上所述，数值计算已经成为现代工程实践中的核心技术之一。
它可以精确地预测产品、结构、建筑物在各种条件下的复杂性能，使设计工作更高效和准确，从而在新产品、新结构或新材料的设计和开发中实现有效地创新。
【数值分析2】随着科技的发展，人类对数值计算的需求越来越高，也因此推动了数值计算的发展和应用。
在传统的数学学科中，计算主要是为了验证或求解一些数学公式和积分。
然而在现代世界中，数值计算已经被广泛应用于各个领域，如机器学习、人工智能、生物学和化学等。
机器学习是一门基于数据的学科，旨在设计和开发能够自动适应数据的算法和模型。
2000-2009哈工大研究生《数值分析》历年试卷
2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xyy x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈112)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ).八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .2008年春季学期数值数学试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。
研究生考试数值分析试题
研究生2002级数值分析一（12分）、对于积分⎰=+1,2,1,0,999n dx x x n。
（1）试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上面算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。
二（12分）、解方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00001.8800001.626221x x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00002.8800001.626221x x ，就所观察到的现象进行分析。
三（12分）、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ；（1）适当调整方程的排列顺序，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛？说明收敛原因。
（2）取初始向量()()Tx0,0,00=，用Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x ，并求其()()k k x x -+1误差。
四（12分）、（1）已知函数()4xe xf =，在[0,1]内三点0，1/2，1的函数值，求其二次插值的余项；（2）三个节点如何安排能使其余项达最小，此时人余项为多少？五（12分）、对于方程()02ln =+-x x ，若求［-1.9，-1］内的根，分别选取迭代方程()2ln +=x x 和2-=x e x ，它们的收敛性如何？再写出牛顿迭代公式。
六（10分）、设()⎩⎨⎧=>+-='100,5y x x y y ，解析解x e x y -+-=25262515，分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ，利用Euler 方法计算得y(10)的近似值分别为1.96，1.96，5.2851，142.8863，对此现象进行分析。
七（10分）、设()xe xf =，分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ，用中心差商公式计算()0f '的近似值并求出误差，对结果作分析比较。
研究生《数值分析》试题
数值分析试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算； ⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。
二．（10分）试确定参数,,a b c ，使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。
332,01()1(1)(1)(1),132x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数？三．（10分）利用Dollite 三角分解方法求解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四．（10分）给定3阶线性方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性五．（10分）推导出中矩形求积公式()()()2baa b f x dx b a f +≈-⎰ ，并求出其截断误差。
六．（10分用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。
七．（10分）根据已知函数表：建立不超过三次的Newton 插值项式。
八．（10分）试确定常数01,A A ,使求积公式1011()(f x dx A f A f -≈+⎰有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此公式计算积分311I dx x=⎰（结果保留5位小数）。
九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题：20,01(0)1y y x y '=-≤≤⎧⎨=⎩在0.2x =处的数值解（取步长0.1h =）。
10．（10分）讨论两步方法 11112(4)33n n n ny y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中10111[()()],2,3,!p prr r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭∑∑ ）。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
数值分析的名词解释
数值分析的名词解释数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。
它通过将数学问题转化为数值计算的形式，利用计算机进行求解。
数值分析常被应用于物理学、工程学、经济学等领域，它在实际问题的建模与求解中发挥着重要的作用。
一、插值与外推在数值分析中，插值与外推是重要的概念。
插值是指通过已知数据点来估计未知数据点之间的值。
对于一些实际问题，我们无法直接得到连续函数的所有取值，而只能通过有限个数据点进行估计。
通过插值方法，我们可以根据已知数据点推算出两个数据点之间的值。
外推则是将已知数据点的估计结果延伸到未知数据点的估计。
插值和外推可以帮助我们在有限数据条件下获得更完整的信息，进而做出准确的预测。
二、数值积分数值积分是数值分析中常见的任务之一。
积分是数学中一个重要的概念，用于描述曲线和曲面的面积、曲线的长度等。
在实际问题中，我们往往需要对复杂的函数进行积分，而解析求解往往困难重重。
此时，数值积分的方法就可以派上用场了。
数值积分使用离散的点来近似曲线下的面积，从而获得积分的近似值。
不同的数值积分方法在精度和计算复杂度上有所不同，根据不同的问题需求选择合适的数值积分方法非常重要。
三、线性代数方程组求解线性代数方程组是数值分析中的重要问题之一。
在许多科学和工程领域中，我们常常需要解决大规模的线性方程组。
然而，直接求解线性方程组往往需要巨大的计算量和内存空间，因此，数值分析中研究如何高效地求解线性方程组就显得尤为重要。
常用的方法包括直接法和迭代法。
直接法包括高斯消元法、LU分解等，而迭代法可以通过迭代逼近的方式不断优化解的精度，例如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
在实际求解中，我们常常需要根据问题的特点选择最适合的方法。
四、数值微分方程微分方程是描述自然现象变化规律的重要数学工具。
数值分析中的数值微分方程求解问题是研究如何使用计算机近似求解微分方程。
这在许多科学和工程领域中具有重要应用。
常见的数值微分方程求解方法包括欧拉方法、龙格-库塔方法等。
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数值分析试题 2007.12一、简答下列各题：（每题4分，共20分）1．为了提高计算精度，求方程x 2－72x+1=0的根，应采用何种公式，为什么？2．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112A ，求)(A ρ和2)(A Cond 。
3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131122321A ，求A 的LU 分解式。
4．问23221)2(x x x x ++=是不是3R 上的向量范数,为什么？ 5．求数值积分公式⎰-≈ba ab a f dx x f ))(()(的截断误差R[ƒ]。
二、解答下列各题：（每题8分，共56分）1．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+3532314321321321x x x x x x x x x ，问能用哪些方法求解？为什么？2.解线性方程组b Ax =的Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？其中：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211111112A3.设]2,0[)(4C x f y ∈=，且0)0(,0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f ，试求)(x f 的三次插值多项式)(3x H ，并写出余项)()()(33x H x f x R -=。
4．给定离散数据试求形如3bx a y +=的拟合曲线。
5．求区间[0，1]上权函数为x x =)(ρ的正交多项式)(0x p ，)(1x p 和)(2x p 。
6．证明求积公式：⎰+++-≈31)532(5)2(8)532(5[91)(f f f dx x f是Gauss 型求积公式。
7. 利用2=n 的复化Simpson 公式计算计算定积分 ，并估计误差][f R 。
三、（12分）已知方程0cos 2=-x x ， 1.证明此方程有唯一正根α；2.建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值]1,0[0∈x 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。
3.若取初值00=x ，用此迭代法求精度为510-=ε的近似根，需要迭代多少步？ 四、（12分）已知求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧∈=='],[,)(),(b a x a y y x f y α的差分公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==++=+α0121211)32,32(),()3(4y hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n 1．证明：此差分公式是二阶方法；2．用此差分公式求解初值问题1)0(,10=-='y y y 时，取步长h=0.25,所得数值解是否稳定,为什么？⎰10sin xdx数值分析试题（参考答案）一、1．应采用公式:1211221)13636(,13636---+==-+=x x x ，避免相近数相减。
2．A 的特征值为3,121==λλ，所以)(A ρ＝3；2)(A Cond ＝3⨯1＝1。
3．由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131122321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2/92/11522321，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/95232112/11121A 。
4．不是，不满足非负性（如0)2,1,0(≠-=T x ,但0=x ）。
5．⎰--=ba ab a f dx x f f R ))(()()(),(,2)()())((2b a a b f dx a x f bax ∈-'=-'=⎰ξξξ.二、1．由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用顺序Gauss 消元法； 由于系数矩阵行列式不为零，也可以用列主元(全主元)Gauss 消元法； 由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用直接三角分解法（LU ）. 由于系数矩阵是严格对角占优矩阵，可用J-法，G-S 法和SOR(10≤<ω)法。
2.令021112=--λλλλλλ得：0)12(2=+λλ，所以G-S 迭代矩阵G 的特征值为:2/1,0321-===λλλ,于是12/1)(<=G ρ，所以G-S 迭代法收敛。
3.设002211003)()()()()(y x y x y x y x x H '+++=ψϕϕϕ)(2)(10x x ϕϕ+= 其中，)2)(1)(()(0--+=x x b ax x ϕ)2)(1)(23(4/1--+=x x x)2()(21-=x Cx x ϕ)2(2--=x x所以，)2(2)2)(1)(23(4/1)(23----+=x x x x x x H )2)(25(4/12-++-=x x x 〔或令)2)(()(23-++=x c bx ax x H ，用待定系数法求出。
〕余项为：)2,0(,)2)(1(!4)()()()(2)4(33∈--=-=x x x x x f x H x f x R ξξ 4.取310)(,1)(x x x ==ϕϕ，则有T T T f x )2,0,1,1(,)8,1,0,1()(,)1,1,1,1(10-=-==ϕϕ,正则方程组为⎩⎨⎧=+=+15668284b a b a ，拟合曲线：3322.006.05011503x x y -=+=。
5．区间[0，1]上x x =)(ρ的正交多项式：1)(0=x p ，32),(),()(1010200001-=-=-=⎰⎰x xdxdx x x p p p p x x x p ，)32()3/2()3/2()(12103110322-----=⎰⎰⎰⎰x dxx x dxx x xdx dxx x x p 103562+-=x x 。
6．f(x)=1时，左＝2，右＝18/9＝2，公式精确成立，f(x)=x 时，左＝4，右＝36/9＝4，公式精确成立，f(x)=x 2时，左＝26/3，右＝78/9＝26/3，公式精确成立， f(x)=x 3时，左＝20，右＝180/9＝20，公式精确成立，f(x)=x 4时，左＝242/5，右＝2178/5/9＝242/5，公式精确成立， f(x)=x 5时，左＝364/3，右＝1092/9＝364/3，公式精确成立， 所以，公式的代数精度为5，是3点Gauss 公式。
或者先验证：)5/32)(5/32)(2()(3--+--=x x x x p )5/174)(2(2+--=x x x 是区间[0,1]上权函数1)(=x ρ的正交多项式，再验证积分系数。
7．=++++=≈⎰]1sin 43sin 441sin 421sin 20[sin 121sin 210S xdx 0.459707744 000018261.01628801sin 22880)01(|)(|445≈⨯=⨯-≤M f R 三、1.记x x x f cos 2)(-=，由于0sin 2)(>+='x x f ，所以)(x f 是严格单调增函数，又由于01)0(<-=f ，01cos 2)1(>-=f ，所以方程0)(=x f 有唯一正根α，且在区间(0，1)内。
2.将方程改写为：2/cos x x =可建立迭代格式：,...2,1,0,cos 2/11==+k x x k k ，且迭代函数为：x x cos 2/1)(=ϕ。
由于]1,0[,12/1)(1cos 2/10∈<≤≤<x x ϕ ，且]1,0[,121sin sin 21)(∈<≤='x x x ϕ，所以，对任意]1,0[0∈x 此迭代法收敛，又由于)1,0(,0sin 21)(∈≠='αααϕ此迭代法是线性收敛的，即收敛阶为1。
3.128.13)1sin 2/1ln(/2/1)1sin 2/11(10ln ln /||)1(ln 501≈-=--≥-L x x L k ε，k ＝14。
若取L=1/2，可得k ≥16.6096，则取k ＝17。
四、1.由于+∂∂+∂∂+=++=)(32)32,32(12n nn n n n f yf x f h f hk y h x f k)()9494294(23222222222h O f h yf f h y x f h x f h n n n n n +∂∂+∂∂∂+∂∂+ 所以有：+∂∂+∂∂++=+)(221n n n n n n f y f x f h hf y y )()2(642222223h O f yf f y x f x f h n n n n n +∂∂+∂∂∂+∂∂+ 又由于：)()(!31)(21)()()()(4321h O h x y h x y h x y x y h x y x y n n n n n n +'''+''+'+=+=+ +∂∂+∂∂++=)(22n nn n n f yf x f h hf y )()(!643h O x y h n +''' 所以有：)()(311h O y x y n n =-++,此差分公式是二阶方法。
2.对1)0(,10=-='y y y ，由于)320(10,1021n n n hy y k y k --=-=，差分公式为： n n n y h h k k hy y )50101()3(42211+-=++=+ 当h ＝0.25时，由于|1-10h+50h 2|＝1.625>1，所以，所得数值解不稳定。