数值分析(研)试题答案

沈阳航空航天大学研究生试卷（A）

2011-2012 学年第一学期课程名称：数值分析出题人: 王吉波审核人: 一、填空题（本题40 分每空 4 分）

1．设l j (x) ( j 0 ,1, ,n) 为节点x0 , 1 , , x 的n 次基函数，则 l j ( x i )

x

n

1,

0,

i

i

j

j

。

2．已知函数(x) x 1

f 2 x ，则三阶差商 f [1, 2, 3, 4] = 0 。

3．当n=3 时，牛顿- 柯特斯系数

1 (3) 3

(3) (3)

C0 , C C ，则

1 2

8 8

(3)

C

3

1

8

。

( ) Bx( k) f k

k 1 收敛的 4．用迭代法解线性方程组Ax=b时，迭代格式, 0,1,2 ,

x

充分必要条件是(B) 1或B 的谱半径小于 1 。

5．设矩阵

1 2

A ，则A 的条件数 Cond (A)2 = 3 。

2 1

6.正方形的边长约为100cm，则正方形的边长误差限不超过0.005 cm 才能使

其面积误差不超过1

2

cm 。

1

1

7.要使求积公式(0) ( )

8. f (x)dx f A1 f x1 具有 2 次代数精确度，则

4

x 2/3 ，A1 3/4 。

1

9 18 9 - 27

18 45 0 - 45 其

中，

A 8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解 A LU ，

9 0 126 9

27 -45 9 135

则

1

1

1

2

3

1

2

L ，

1 -

2 1 0

3

U

9

18

9

9

-18

81

- 27

9

54

9

二、（10 分）已知由数据（0,0 ），（0.5 ，y），（1,3 ）和（2，2）构造出的三次插值多项式( )

P3 x

的

3

x 的系数是6，试确定数据y。

答案：利用Lagrange 插值多项式，

P3 (x) L (x) f (x )l (x) f (x )l (x) f (x )l (x) f (x )l ( x)

3 0 0 1 1 2 2 3 3

及基函数的表达式可知

3

x 的系数为

(x

0 x )

(

1

f

x

(x )

x

2

)( x

x )

3

+

( x

1

x

)(

f

x

1

(x)

1

x )

(

2

x

1

x

3

)

+

( x

2 x )

(

f

x

2

(x

)

2

x

1

)( x x

2

3

)

+

( x

3

x

)(

f

x

3

(x

)

3

x )

(

1

x

3

x

2

)

（5 分）

代入有关数据得

6 0

9.(

y

0.5) ( 1.5) 1

3

0.5( 1) 2

2

1.5

1

解得y=4.25.

（5 分）

1 三、（15 分）试导出计算

( 0)

a

a

除法运算，并讨论其收敛性。的 Newton 迭代格式，使公式中（对x）既无开方，又

无

n

1

答案：将计算

( 0)

a

a

1

等价化为求a 0的正根。

2

x

而此时有

1 2

'

f (x) a , f ( x) ，（5 分）

2 3

x x

1

故计算

( 0)

a

a 的 Newton 迭代格式为

1

a

2

x 3 a 3 a

n 3 2

x n 1 x x x ( x )x（5 分）

n n n n n

2

2 2 2 2 3

x

n

3 a 1 3 3

2 x ax2 x

迭代函数| '(*) | 0 1

( x) ( x )x, x* , '() ，故迭代法局部收

2 2 2 2

a

敛。（5 分）

1 1 3

四、（15 分）已知x0 , x , x 。

1 2

4 2 4

（1）推导出以这 3 个点作为求积节点在[0 ，1] 上的插值型求积公式；

（2）指明求积公式所具有的代数精确度；