均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析

一．均值不等式

1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab

2. 若a,b?R*，则

a?b2

?

*

?

a?b2

22

a?b时取“=”）

ab 若a,b?R，则a?b?2

2

ab

a?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?

2

a?b2

注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”

均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域

y＝3x解：y＝3x＋

11

y＝x＋xx

1

3x ＝∴值域为[，+∞）

2x

1

x· ＝2； x

1

x· =－2

x

1

≥22x1

当x＞0时，y＝x＋≥x

11

当x＜0时， y＝x＋= －≤－2

xx

∴值域为

解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?

54

，求函数y

?4x?2?

14x?5

的最大值。

1

解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?

54

,?5?4x?0，?y?4x?2?

1

4x?5

不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，

2?3?1 ??3?

1?

5?4x?

4x?55?4x?

当且仅当5?4x?

15?4x

，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

例1. 当时，求y?x的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。

当

，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。

32

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0?x?

，求函数y?4x的最大值。

3

2

2x?3?2x?9

解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2

222??

当且仅当2x?3?2x,即x?

3

?3?

??0,?时等号成立。?2?

技巧三：分离

例3. 求y?

的值域。

x?1

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。

x?7x?10

2

当

,即

时

,y?5?9。

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 y?

?7?g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 ?B，

g

当,即t=时

,y?技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x?

2

ax

的单调性。

例：求函数y?的值域。

解：令

?t，则y?

1t

2

??t?

1t

因t?0,t??1，但t?因为y?t?

1t

1t

解得t??1不在区间?2,，故等号不成立，考虑单调性。

52

在区间?1,单调递增，所以在其子区间?2,为单调递增函数，故y?

?5

??

。

所以，所求函数的值域为?,。

?2

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的

值. y?

x?3x?1

x

2

, y?2x?

1x?3

,x? y?2sinx?

23

1sinx

,x?

2．已知0?x?

1，求函数y?条件求最值

的最大值.；3．0?x?

，求函数y?.

1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：a和3b都是正数，3a?3b≥23?3?23

a

b

a?b

?6

当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6．

变式：若log4x?log4y?

2，求

1x

?

1y

的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。：已知x?0,y?0，且

1x?

1x

9y

9y

?1，求x?y的最小值。

?1?x

9?

??

x?y??y?

错解：?x?0,y?0，且．．

?