基本不等式均值定理练习题
均值不等式
1 1． 2006 江西文、理）若不等式 x + ax +1≥0 对一切 x ∈ 0， 成立，则a 的最小值 江西文、 （ 2 5 0 − 为（ ） Ａ． Ｂ．−2 Ｃ． Ｄ．−3 2
2
2.（2000 全国，7）若 a＞b＞1，P＝ lg a ⋅ lg b ， （ 全国， ） ＞ ＞ ， ＝ Q＝ （lga＋lgb） ＝ lg（ ＝ ，R＝ （ ＋ ） ， A.R＜P＜Q ＜ ＜
1 2
D． D． 1
2
4.（ 4. （ 08 辽宁卷 4 ） 已知 0 < a <1 ， x = loga 2 + loga 3 ， y = loga 5 ，
z = loga 21 − loga 3 ，则（
） C． y > x > z D． z > x > y
A． x > y > z
B． z > y > x
10 n 10 + n + 0.1n 2 = + +1 ≥ 3 = n n 10
当
10 n ,即n = 10时, y有最小值 有最小值3. 即 时 有最小值 = n 10
因此,使用 年报废最合算 年平均费为3万元 因此 使用10年报废最合算 年平均费为 万元 使用 年报废最合算,年平均费为 万元.
如图,为处理含某种杂质的污水 要制造一底宽为2 的无盖长 为处理含某种杂质的污水,要制造一底宽为 练习 如图 为处理含某种杂质的污水 要制造一底宽为 m的无盖长 方体沉淀箱污水从A孔流入 经沉淀后从B孔流出 设箱体的长度为a 孔流入,经沉淀后从 孔流出,设箱体的长度为 方体沉淀箱污水从 孔流入 经沉淀后从 孔流出 设箱体的长度为 m,高度为 m,已知流出的水中 设杂质的质量分数与 的乘积 成 高度为b 已知流出的水中 设杂质的质量分数与a,b的乘积 已知流出的水中,设杂质的质量分数与 的乘积ab成 高度为 反比,现有制箱材料 现有制箱材料60m2,问a,b各为多少时 经沉淀后流出的水中 该 各为多少时,经沉淀后流出的水中 反比 现有制箱材料 问 各为多少时 经沉淀后流出的水中,该 杂质的质量分数最小. 杂质的质量分数最小
高三数学均值定理试题
高三数学均值定理试题1.函数的最大值为．【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以，因为，所以。
还可用导数求单调性再求最值。
【考点】基本不等式。
2.已知直线（）经过圆的圆心，则的最小值是( )A．9B．8C．4D．2【答案】A【解析】由圆的一般方程,知,所以,圆心的坐标为又因为直线（）经过该圆心.所以,即所以,因为,所以,所以,当且仅当,即时,取“=”号.故选A【考点】1、基本不等式；2、圆的方程.3.已知是函数图象上的任意一点，是该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：①; ②；③；④.则在区间上具有“性质”的函数为 .【答案】①②③④【解析】①;显然；②；直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.所以具有T性质；③，直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则；④.直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.【考点】1、新定义；2、函数及重要不等式.4.已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为当时，恒成立，即小于的最小值即可，而，即，解得．【考点】基本不等式．5.若正数满足，则的最大值为____.【答案】【解析】，所以，，又单调性可知，时取得最大值，最大值为．【考点】基本不等式．6.函数的最小值是．【答案】【解析】，当且仅当，即时等号成立.【考点】基本不等式7.设，则的最小值为．【答案】8【解析】时等号成立）；所以；即；又解得，则的最小值为8.8.若实数满足,则的最大值是_________．【答案】【解析】略9.已知x＞0，y＞0，且x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A． 3B．4C．D．【答案】B【解析】略10.下列结论正确的是（）A．当B．C．的最小值为2D．当时，的最小值是4【答案】B【解析】略11.已知都是正数，则三数（）A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】略12.已知的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是【答案】C【解析】略13.函数的最小值为_____________.【答案】15【解析】略14.已知，且，则的最大值为【答案】【解析】，当且仅当x=4y=时取等号.15.已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .【答案】【解析】由题意，设圆心坐标为，则由直线l：被该圆所截得的弦长为得，，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C过点（1,0），所以所求圆的半径为2，故圆C的标准方程为。
3..基本不等式-均值不等式
1 5、求函数 y = x + 的值域. x 解: 1 1 (1)当x > 0时, x + ≥ 2 x ⋅ = 2 x x 1 + (2)当x < 0时,− x,− ∈ R , x 1 1 − x − ≥ 2 (− x) ⋅ (− ) = 2 x x 1 ∴ x + ≤ −2 ∴ y ∈ (−∞,−2] ∪ [2,+∞). x
3 ( x > 2) ， ２．已知函数 f ( x) = x + x−2 求函数的最小值． 求函数的最小值．
解：
用均值不等式求最值，必须满足“定值” 用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件． 个条件．
4 π 3 求 数 =sin α + 函 y 其 α∈ 0 ] 中 （， sin α 2 的 小 。 最 值 4 4 解 y =sin α + ： ≥ 2 sin α • sin α sin α = 4,∴ 数 最 值 4 函 的 小 为。
a + b ≥ 2
概念
• 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称 如果ａ、ｂ都是正数， ａ、ｂ都是正数
a+b 2
为ａ、ｂ
• 的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。 称为ａ、ｂ 几何平均数。 ａ、ｂ的 算术平均数，
均值定理可以描述为： 均值定理可以描述为： 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 算术平均数不小于 它们的几何平均数 它们的几何平均数
a+b ≥ ab 2
重要不等式
a, b ∈ R ，那么 2 2 a + b ≥ 2ab 时取“ （当且仅当 a = b 时取“=”
定理１ 定理１：如果 号）．
高二数学均值定理的应用试题答案及解析
高二数学均值定理的应用试题答案及解析1.已知a>0,b>0,a+b=2,则的最小值是（）A．B．4C．D．5【答案】Ｃ【解析】因为a>0,b>0,a+b=2，所以，当且仅当时＂＝＂成立，故选Ｃ．【考点】基本不等式．2.下列各式中，最小值等于2的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】A不正确，例如：，的符号相反时，式子的最小值不可能等于2；B不正确，由于，但等号不可能成立，故最小值不是2；C不正确，当时，它的最小值显然不是2；D正确，因为，当且仅当时，等号成立．故选D．【考点】基本不等式．3.已知圆的切线l与两坐标轴分别交于点A，B两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为．【答案】【解析】因为切线l与两坐标轴分别交于点A，B两点,所以切线有斜率,并且不等于0,所以设其为,所以,所以的面积等于.因为直线为切线,所以,即,所以,代入面积公式,可得,根据均值不等式,可知当且仅当时,取得最小值.【考点】直线与圆相切,均值不等式.4.某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为的三段式污水处理池，池高为1，如果池的四周墙壁的建造费单价为元，池中的每道隔墙厚度不计，面积只计一面，隔墙的建造费单价为元，池底的建造费单价为元，则水池的长、宽分别为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？【答案】污水池的长宽分别为, 时造价最低，为元．【解析】设污水池的宽为，则长为，水池的造价为元，则由题意知：定义域为，,利用基本不等式即可求得其最值．试题解析：设污水池的宽为，则长为，水池的造价为元，则由题意知：定义域为，当且仅当，取“=”，此时长为，即污水池的长宽分别为, 时造价最低，为元．【考点】本题考查了基本不等式的应用．5.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?【答案】故当长宽都为9m时,面积最大为81.【解析】本题考查周长为定值的矩形面积最大的问题.应用基本不等式求得最大值.试题解析：解:设矩形的长宽分别为,则有,,面积,当且仅当时取“＝”,故当长宽都为9m时,面积最大为81.【考点】基本不等式的应用.6.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数()．A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，从而推出a，b，c的范围．因为x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，那么可知a+b+c=∴a，b，c至少有一个不小于2．故选C．【考点】基本不等式点评：基本不等式是高考重点考查的知识点之一，应用基本不等式时，要熟练掌握不等式成立的条件与重要不等式的变形．7.函数，当时，函数有最大值为_________.【答案】-3,-8.【解析】因为,当x=-3时，f(x)取得最大值，最大值为-8.8.当时，下列函数中最小值为2的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为当时，故，而，选项D中，不能取得最小值为2，选C9.当＞0时，函数的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】当＞0时，函数,选B10.若，则当且仅当= 时，函数的最大值为；【答案】0，【解析】解：因为x=0时，则，故填写11.（本题满分10分）已知，对，恒成立，求的取值范围。
均值不等式练习题目总结
均值不等式练习题目总结
本文总结了一些常见的均值不等式练题目。
均值不等式是数学中常用的工具，用于比较一组数的大小关系。
在解题过程中，我们可以使用不等式的性质和特点来帮助求解。
一、算术平均值和几何平均值
1. 题目：已知两个正数a和b，证明：(a + b) / 2 ≥ √(ab)
解析：这是算术平均值和几何平均值不等式的基本形式，根据不等式的性质，我们可以将等式两边平方，然后进行变形和推导，最终得到证明结果。
2. 题目：已知n个正数a1, a2, ..., an，证明：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)
解析：这是n个正数的算术平均值和几何平均值不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。
先证明n=2的情况，然后假设n=k成立，再推导n=k+1的情况，最终得到证明结果。
二、均值不等式的应用
1. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)² / 4 ≥ ab
解析：这是均值不等式的应用题，我们可以使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
2. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)³ / 8 ≥ a²b
解析：这是均值不等式的应用题，同样使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
以上题目只是一部分均值不等式的练题目，通过练以上题目，可以加深对均值不等式的理解和运用能力，为解决更复杂的数学问题奠定基础。
均值不等式专题20道-带答案
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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。
15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。
20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
高二数学均值定理的应用试题答案及解析
高二数学均值定理的应用试题答案及解析1.若，，且，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A当时，就不成立；对于B当时，就不成立；对于C当时，就不成立，只有D正确，它满足均值不等式，故选择D.【考点】均值不等式及应用.2.已知正数满足，则的最小值为 _____________.【答案】18【解析】由于正数满足，则当且仅当时，上式等号成立；故应填入：18．【考点】基本不等式.3.下列各式中，最小值等于2的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】A不正确，例如：，的符号相反时，式子的最小值不可能等于2；B不正确，由于，但等号不可能成立，故最小值不是2；C不正确，当时，它的最小值显然不是2；D正确，因为，当且仅当时，等号成立．故选D.【考点】基本不等式．4.设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是()A．a2＋b2＋2≥2a＋2b B．C．＋≥2D．a3＋b3≥2ab2【答案】D【解析】A可变为，一定成立；B 由已知，结合对数函数的性质一定成立；C由已知，结合基本不等式，知一定成立；故选D.考点:对数函数，基本不等式.5.已知正数满足，则的最小值为 .【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为．【考点】本题主要考查了对于基本不等式的掌握．6.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?【答案】故当长宽都为9m时,面积最大为81.【解析】本题考查周长为定值的矩形面积最大的问题.应用基本不等式求得最大值.试题解析：解:设矩形的长宽分别为,则有,,面积,当且仅当时取“＝”,故当长宽都为9m时,面积最大为81.【考点】基本不等式的应用.7.设，且，则有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为.设，且，排除A,C,同时，故选B8.当时，下列函数中最小值为2的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为当时，故，而，选项D中，不能取得最小值为2，选C9.．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b=2，∴2≥2∴ab≤（当且仅当a=时取等号）∴ab的最大值为故选D．10.已知，则的最小值是（）A．2B．C．4D．【答案】C【解析】解：因为，则，故最小值是4，选C11.求使≤(x＞0，y＞0)恒成立的的最小值【答案】【解析】本题主要考查了基本不等式的综合．（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．先将题设的不等式平方后，同时利用基本不等式综合可求得a的最小值满足的等式求得a．解法一由于的值为正数，将已知不等式两边平方，得x+y+2≤2(x+y)，即2≤(2－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y≥2，②当且仅当x=y时，②中有等号成立比较①、②得的最小值满足2－1=1，∴2=2，= (因＞0)，∴的最小值是解法二设∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，12.下列各式中，最小值等于的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为选项A中没有说明x,y是同号，因此不成立选项B中，由于，使用均值不等式时，等号不成立，因此错误。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
高三数学均值定理试题答案及解析
高三数学均值定理试题答案及解析1.下列命题正确的是( )A．若,则B．若则C．若,则D．若,则【答案】D【解析】应用基本不等式所具备的条件是：一正、二定、三相等.由，当取等号时.所以不成立，所以选项A不正确. 若则.所以B选项不正确. ，但是可以小于零，所以C选项不正确.由，所以都大于零，所以D正确.故选D.【考点】1.基本不等式的应用.2.三角函数的知识.3.对数的知识.4.不等式的性质.2.若x>－3，则x＋的最小值为________．【答案】2－3【解析】∵x＋3>0，∴x＋＝(x＋3)＋－3≥2－3＝2－33.已知直线（）经过圆的圆心，则的最小值是( )A．9B．8C．4D．2【答案】A【解析】由圆的一般方程,知,所以,圆心的坐标为又因为直线（）经过该圆心.所以,即所以,因为,所以,所以,当且仅当,即时,取“=”号.故选A【考点】1、基本不等式；2、圆的方程.4.设实数x,y满足条件：；；，目标函数的最大值为12，则的最小值是【答案】【解析】约束条件的可行域如图所示，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=，（）（2a+3b）,4+9+，（当时，等号成立），所以，即的最小值是.【考点】1.线性规划；2.基本不等式的性质.5.设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为_________.【答案】.【解析】当，时，由基本不等式得，当且仅当，即当时，函数取最小值，即.【考点】基本不等式6.已知正数满足，则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，又都是正数，解得.【考点】基本不等式及其应用7.已知正数满足，则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，又都是正数，解得.【考点】基本不等式及其应用8.函数的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据均值不等式：，，则，故选B.【考点】1.均值不等式.9.设，，则当______时，取得最小值.【答案】.【解析】且，，当时，则有，，另一方面，，，当且仅当，即且时，即当时，取得最小值，此时；当，则有，，另一方面，当且仅当时，由于，，即当时，由于，解得，，上式取等号，所以，即取得最小值，由于，故当时，取得最小值.【考点】基本不等式10.函数的最小值是．【答案】【解析】，当且仅当，即时等号成立.【考点】基本不等式11.(本题满分10分)选修4 - 5 ：不等式选讲设函数，.(I)求证；(II)若成立，求x的取值范围.【答案】(I)；(II)。
基本不等式均值定理练习题(可编辑修改word版)
b 3 3 3 3 3 基本不等式（均值定理）练习题 一、选择题 1. 若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的个数为( ) ①ab≤1;② + ≤ 2; ③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤ 1 + 1 ≥ 2. a b(A)1 (B)2(C)3 (D)4 2. 已知m = a + 1 （a > 2）, n = 2b 2 a - 2 b ≠ 0）, 则 m 、n 之间的大小关系是( )(A)m>n(B)m<n (C)m=n (D)不确定 3. 设m = 1 log x, n = log 1+ x , p = log 2x , 其中 0＜a ＜1,x ＞0 且 x≠1,则下列结论正确的是( ) 2 a a 2 a 1+ x （A ）m ＜n ＜p (B)m ＜p ＜n (C)n ＜m ＜p (D)n ＜p ＜m 4. 已知不等式（x + y)( 1 + a ) ≥ 9 对任意正实数 x,y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( ) x y (A)8 (B)6 (C)4(D)2 5. 设 a>0,b>0,若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 1 + 1 的最小值为()a b (A)8(B)4 (C)1 (D)146. 若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc= 4 - 2 3，则 2a+b+c 的最小值为() (A ) -1(B ) +1(C ) 2 + 2 (D ) 2 - 2 7. 设 x>y>z,n∈N *,且1 + 1 ≥ n 恒成立，则 n 的最大值是( ) x - y y - z x - z(A)2(B)3 (C)4 (D)5 二、填空题1. 在 4×+9×=60 的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和. 2. 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 .3. 若对任意 x>0, a ≥ x x 2 + 3x +1恒成立，则 a 的取值范围是 . 4. 函数 y=log a (x+3)-1(a ＞0 且 a≠1)的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 mn ＞0，则 1 + 2 的最小值为.m n 5. 若实数满足a + b = 2 ，则3a + 3b 的最小值是 .a2 三、解答题 1. 若log 4 x + log 4 y = 2 ，求 1 + 1 的最小值.并求 x,y 的值 x y2. 若 x , y ∈ R + 且2x + y = 1，求 1 + 1 的最小值x yy 2 3. 已知 x ，y 为正实数，且 x 2＋＝1，求 x 2 1＋y 2的最大值.4. 已知 a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求 a ＋b 的最小值。
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 222. 若a,b?R，则时取“=”）*a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?*a?ba2?b2?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。
平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。
x?5 x2?7x?10的值域。
例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。
xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34ab11?的最小值为ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是abaa?b123411.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y 的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??）?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2；x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时，y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
高二数学均值定理试题答案及解析
高二数学均值定理试题答案及解析1.当时，的最小值为（）A．10B．12C．14D．16【答案】A【解析】因为所以＝16.【考点】基本不等式的应用.2.设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为________________.【答案】【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线，过直线与直线的交点时，目标函数取得最大6，即，即，而＝．【考点】简单线性规划的应用；基本不等式的应用．3.若正数，满足，则的最小值为．【答案】9【解析】=(当且仅当,即时,“＝”成立)【考点】基本不等式4.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项A中当时,有,故A错;选项B中当,时,有,故B错;选项C中当,时,有,故C错;选项D中,因为,有,,所以,当且仅当时等号成立,故正确答案为D.【考点】基本不等式.5.若正实数满足，则+的最小值是( )A．4B．6C．8D．9【答案】D【解析】由，得，当且公当，即，时，取等号.所以正确答案是D.【考点】基本不等式6.已知正实数满足，则的最大值是．【答案】【解析】利用基本不等式解决，但是注意基本不等式的条件是一正二定三相等.而所以我们要将平方，用重要不等式解决可以避开范围的问题.由已知条件我们可得即.所以最大值为【考点】基本不等式重要不等式7.下列函数中，最小值为4的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，,当且仅当时取等号. ，当且仅当时取等号.【考点】基本不等式及其取等条件.8.设，，则三数（）A．至少有一个不小于2B．都大于2C．至少有一个不大于2D．都小于2【答案】A【解析】，，至少有一个不小于29.设，则下列不等式中成立的是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】即故选B10.在中，,的面积，则与夹角的取值范围为的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】故选A.11.下列各函数中，最小值为的是 ( )A．B．，C．D．【答案】D【解析】时，，所以函数最小值不是2；当且仅当时，等号成立；但所以函数的最小值不是2；当且仅当时，等号成立；但所以函数的最小值不是2；当且仅当时等号成立；故选D12.设为正实数，求证：【答案】证明：因为为正实数,由平均不等式可得,即．所以而所以【解析】略13.的最小值为【答案】3【解析】略14.．已知a,b为正实数，且的最小值为（）A．B．6C．3+D．3－【答案】C【解析】略15.设的最小值（）A．B．C．－3D．【答案】C【解析】略16.若，则的最小值是___________．【答案】3【解析】略17.(本题满分10分)若都是正实数，且，求证：，中至少有一个成立.【答案】【解析】略18.设．【答案】【解析】略19.（本小题考查基本不等式的应用）已知，则的最小值是A．2B．C．4D．5【答案】C【解析】略20.若，且则的最大值为。
均值不等式练习题
均值不等式练习题1. 练习题一已知非零实数a、b满足ab<0，证明(a+b)/2 > √ab.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意两个正数x和y，有(x + y)/2 ≥ √xy.因此，我们可以推导出(a + b)/2 > √ab.首先，根据已知条件ab < 0，我们可以得出a和b有不同的符号。
假设a>0，b<0，那么我们可以得到√ab = √(a*(-b)) = √(a * -1 * (-b)) = √(a * 1 * b) = √(ab) < 0.另一方面，由于a>0，b<0，所以(a + b)/2 = (a + b)/2 > a/2 + b/2 > √ab + √ab = 2√ab > √ab.综上所述，我们证明了(a + b)/2 > √ab.2. 练习题二已知非零实数a、b、c满足abc = 1，证明a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意三个正数x、y、z，有(x/y + y/z + z/x)/3 ≥ (x + y + z)/(x + y + z)，即(x/y + y/z + z/x) ≥ (x + y + z).因此，我们可以推导出(a/b + b/c + c/a)/3 ≥ (a + b + c)/(a + b + c)，即(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).首先，根据已知条件abc = 1，我们可以得到a、b、c有不同的符号。
假设a>0，b<0，c>0，那么我们可以得到b/c < 0，c/a > 0，那么a/b +b/c + c/a = a/b + (b/c) + (c/a) > a/√(bc) + (-1) + √(bc)/a = (a^2 - bc)/a√(bc) = (a^2 - 1)/a√(bc) = (a - 1/a)/√(bc).另一方面，由于abc = 1，我们知道√(bc) = 1/√a，所以(a - 1/a)/√(bc)= (a - 1/a)√a = (a^2 - 1)/a ≥ a + b + c.综上所述，我们证明了(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).3. 练习题三已知非零实数a、b满足a+b = 2，证明a^2b^2(a^2+b^2) ≤ 2.解：我们将通过变量替换的方法来证明这个不等式。
高一数学均值定理的应用试题答案及解析
高一数学均值定理的应用试题答案及解析1.设若是与的等比中项，则的最小值为 .【答案】9【解析】由于，，所以最小值为9.【考点】基本不等式求最值.2.若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C.【解析】∵，∴，∴，当且仅当，时等号成立，∴的最小值是.【考点】基本不等式求最值.3.若则函数的最大值为【答案】【解析】由得；【考点】基本不等式；4.已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为．【答案】【解析】∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴当且仅当x=−1时取等号．∴x+y的最小值为2−3．故答案为：2−3．【考点】基本不等式的性质.5.如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4，故选C．【考点】基本不等式在实际中的应用．6.如图所示：用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，假设墙有足够长．(Ⅰ) 若篱笆的总长为，则这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大？(Ⅱ) 若菜园的面积为，则这个矩形的长，宽各为多少时，篱笆的总长最短？【答案】(Ⅰ) 矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大 (Ⅱ) 矩形的长为、宽为时，可使篱笆的总长最短【解析】设这个矩形的长为，宽为，篱笆的长为，面积为．(Ⅰ) 由题知，由于，∴，，即，当且仅当时等号成立．由故这个矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大．(Ⅱ) 条件知，.,当且仅当时等号成立．由故这个矩形的长为、宽为时，可使篱笆的总长最短．【考点】均值不等式求最值点评：利用均值不等式求最值时要注意其满足的三个条件：一，都是正数，二，积为定值时和取得最值，和为定值时积为定值，三，等号成立的条件看是否满足7.已知a，b∈R，下列不等式不成立的是（）A．a＋b≥2B．a2＋b2≥2abC．ab≤()2D．|a|＋|b|≥2【答案】A【解析】当a>0,b<0时，a＋b≥2不成立．8.下列各式中最小值等于2的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为选项A中，不一定满足一正的前提，因此不成立。
不等式均值定理
不等式均值定理1.不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是（ ） A.B.（1，+∞）C.（﹣∞，1）∪（2，+∞）D.∪（1，+∞）2．不等式的解集是( ) A.B.C.D.3．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z ＝4x ＋y 的最大值为( )A 、10B 、8C 、2D 、0 4．设函数则不等式的解集是（ ）A.B.C.D.5．不等式|8x ＋9|< 7和不等式ax 2＋bx>2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为( ) A. a ＝－8，b ＝－10 B. a ＝－4，b ＝－9 C. a ＝－1，b ＝9 D. a ＝－1，b ＝2 6．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 7．若，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 8．当191,0,0=+>>yx y x 时，y x +的最小值为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 9．若实数满足，则的值域是( )A.B.C.D.10．若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 111．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值为( ) A. 2 B. 1 C.D.12．已知关于x 的不等式在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为 ( ) A. 1 B.C. 2D.13．不等式恒成立,则实数a 的取范围是( ) A.B.C.D.14．当1x >时，函数11y x x =+-的最小值是_______________.15．已知关于x 的不等式222(1)(3)0x a x a --++>的解集为R ，则实数a 的取值范围 ．16．已知关于x 的不等式2320ax ax a ++-<的解集为R ，则实数a 的取值范围 ．17．若不等式2222x x a ++>-对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是______． 18．已知向量，若⊥，则16x +4y 的最小值为 ．19．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.20．已知实数,x y 满足约束条件2094x y y x y x ⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪≥-+⎩,则2x y +的最小值为 ．21．若实数x ，y 满足线性约束条件3122x y x y x +≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，则z =2x y +的最大值为________．22．已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集为｛x ∣x<1或x>b ｝（1）求b a ，的值； （2）解关于x 的不等式0)(2>++-b x b a ax参考答案1．D 【解析】试题分析：将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．解：原不等式同解于 （2x+1）（x ﹣1）＞0 ∴x ＞1或x ＜故选：D点评：本题考查二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根；据二次不等式解集的形式写出解集． 2．B 【解析】，数轴标根得：，选B.3．B【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8考点：线性规划. 4．A【解析】由已知,∴当时， 由得,,解得或.当，由得,,解得.综上所述：不等式的解集是.选A. 5．B【解析】根据题意可得|8x ＋9|<7⇒－2<x<，xA y 22故由{x|－2<x<}是不等式ax 2＋bx>2的解集可知x 1＝－2，x 2＝是一元二次方程ax 2＋bx －2＝0的两根，根据根与系数的关系可知x 1x 2＝＝⇒a ＝－4，x 1＋x 2＝＝⇒b ＝－9，故选B.6．B 【解析】试题分析. A 若20c =，则不成立；C 对a b <两边都除以0ab >，可得11b a<，C 不成立；D 令2,1,a b =-=-则有212,,12a b b a b a a b-===<-所以D 不成立，故选B. 考点：不等式的基本性质.7．D 【解析】，当且仅当，即，即时取等号，所以最小值为4，选D.8．D 【解析】试题分析：因为191,0,0=+>>yx y x 所以19()()x y x y x y +=++＝910y xx y++1029≥+=16. 考点：基本不等式的应用. 9．B 【解析】令，则，做出可行域，平移直线，由图象知当直线经过点是，最小，当经过点时，最大，所以，所以，即的值域是，选B.10．D【解析】做出不等式对应的区域如图：要使平面区域被直线分成面积相等的两部分，则必有直线过线段BC 的中点M,由题意可知,由解得，即,所以中点,带入直线，解得。
均值定理练习
第一部分 集合与逻辑---—--—均值定理1．如果a ＞0，则aa 25+≥ 。
102．如果3,0,0=+>>y x y x ，则xy 的最大值是 .943．如果0≠x ，则2262xx +的最小值是 。
4．如果x >0，则y ＝2－x －错误!的最大值为 。
-6解析 ∵x >0，∴y ＝2－（x ＋错误!)≤2－2错误!＝－6,当且仅当x ＝4时成立． 答案 －65．已知250<<x ,函数)25(x x y -=的最大值是 。
2586．设0〈a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是（ B ）．A.错误! B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 21. 解析 a 2＋b 2>2ab ,且 a 2＋b 2〉错误!＝错误!∴b －（a 2＋b 2）＝b －b 2－a 2＝b (1－b ）－a 2＝ab －a 2＝a (b －a ） 0〈a <b ,∴a (b －a )〉0即b >a 2＋b 2答案 B7．下列各式中最小值是2的是（ D ）．A 。
xy＋错误! B.错误! C ．1x x+D ．2x ＋2－x 解析 A 中当x ，y 同号且非零时，最小值为2，x ,y 异号时，错误!＋错误!〈0,B 中错误!＝错误!＋错误!，但错误!＝错误!无解，故取不到最小值2.C 中当tan x <0时不成立．答案 D8.在下列各函数中,最小值等于2的函数是（ )A ．y ＝x ＋错误!B ．y ＝cos x ＋错误!错误!C ．y ＝错误!D ．y ＝e x＋错误!－2［答案］ D［解析] x 〈0时,y ＝x ＋错误!≤－2,故A 错；∵0〈x 〈错误!,∴0〈cos x 〈1，∴y ＝cos x ＋错误!≥2中等号不成立，故B 错;∵错误!≥错误!,∴y ＝错误!＋错误!≥2中等号也取不到，故C 错,∴选D 。
若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 。
高二数学均值定理试题答案及解析
高二数学均值定理试题答案及解析1.设，且，若，则必有A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，利用基本不等式代换，所以．【考点】基本不等式．2.已知，，则的最小值为 .【答案】3【解析】法一：由可得，所以（当且仅当即时等号成立）；法二：（当且仅当即时等号成立）.【考点】基本不等式及其应用.3.设椭圆＋＝1和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为 ()A．ab B．ab C．ab D．2ab【答案】B【解析】设，则有，即；又因为，即，所以。
=，所以，即，故B正确。
【考点】椭圆基本性质，基本不等式，分割法求面积4.已知正数满足，则的最小值为 .【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为．【考点】本题主要考查了对于基本不等式的掌握．5.已知，则的最小值为．【答案】【解析】因为，，且，所以.【考点】1.基本不等式；2.指数幂的运算.6.下列函数中，当取正数时，最小值为的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A中，最小值不是；B中当时，最小值也不是2；C中，当且仅当，即时取等号，而，故取不到最小值；D中，当时有最小值，正确.故选D.【考点】基本不等式的应用7.已知，且.则的最小值为_____________.【答案】【解析】，当且仅当时等号成立.【考点】均值不等式的应用8.下列结论正确的是（）A．当且时，；B．当时，；C．当时，的最小值为2；D．当时，无最大值；【答案】B【解析】基本不等式的应用要把握：一正二定三相等.A选项中0<x<1时lg x<0.所以A选项不成立.C选项中当取到最小值时x=1.所以不包含在中.所以排除C. D选项中是关于x递增的代数式，当x=2时取到最大值.所以排除D.B选项符合了一正二定三相等的条件.故选B.【考点】1.基本不等式的应用.2.对数知识，函数的单调性知识.9.【答案】【解析】略10.设x,y∈R，a＞1，b＞1，若ax="by=3," a+b=2，则的最大值A．2B．C．1D．【答案】C【解析】略11.（12分）某车间共有12名工人，需配备两种型号的机器，每台A型机器需2人操作，每天耗电30千瓦时，能生产出价值4万元的产品；每台B型机器需3人操作，每天耗电20千瓦时，能生产出价值3万元的产品，现每天供应车间的电量不多于130千瓦时，问这个车间如何配备这两种型号的机器，使每天的产值最大？最大产值是多少万元？【答案】这个车间应配备A型机器3台，B型机器2台，能使每天的产值最大，最大产值为18万元【解析】解：设这个车间需配备A型机器台，B型机器台，每天的产值为万元，则即且，作可行域如图，由图得当直线经过点A（3，2）时，z取最大值，且=18.所以这个车间应配备A型机器3台，B型机器2台，能使每天的产值最大，最大产值为18万元12.若实数满足，则的最小值为【答案】【解析】略13.的最小值为【答案】3【解析】略14.设都大于0，则，，的值A．都大于2B．至少有一个不大于2C．都小于2D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】略15.已知x＞0，y＞0,且_____________。
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4.函数 y=loga(x+3)-1(a＞0 且 a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 mn＞0， 则
1 2 的最小值为_______. m n
5.若实数满足 a b 2 ，则 3 a 3b 的最小值是
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.
三、解答题 1.若 log4 x log4 y 2 ，求
(A)8
(B)4
(C)1
(D)14 )
6.若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc= 4 2 3， 则 2a+b+c 的最小值为(
A
3 1
B
3 1
C 2
32
D 2
32
)
7.设 x>y>z,n∈N*,且 (A)2 二、填空题 1.在 4× +9× (B)3
1 1 n 恒成立，则 n 的最大值是( xy yz xz
（A）m＜n＜p
(B)m＜p＜n
(C)n＜m＜p
(D)n＜p＜m )
1 a （x y)( ) 9 对任意正实数 x,y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( 4.已知不等式 x y
(A)8
(B)6
(C)4
(D)2 )
1 1 5.设 a>0,b>0,若 3 是 3a 与 3b 的等比中项，则 的最小值为( a b
1 1 的最小值.并求 x,y 的值 x y
x y
2.若 x, y R 且 2 x y 1 ，求 1 1 的最小值 3.已知 x，y 为正实数，且 x ＋
2
y2
2
＝1，求 x 1＋y
2
的最大值.
4.已知 a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求 a＋b 的最小值。
x 2 7x 10 5.求函数 y x 1 的最小值. x 1
基本不等式（均值定理）练习题
一、选择题 1.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的个数为(
1 1 ①ab≤1;② a b 2; ③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤ 2. a b
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4 )
2.已知 m a (A)m>n
1 b2 （a 2） , n 22（ b 0） , 则 m、n 之间的大小关系是( a2
(B)m<n
(C)m=n
(D)不确定 )
1 1 x 2x , p log a , 其中 0＜a＜1,x＞0 且 x≠1,则下列结论正确的是( 3.设 m log a x, n log a 2 2 1 x
9.解不等式： （1） 2 x3 x 2 15x 0 ； （2） ( x 4)(x 5)2 (2 x)3 0 ．
3 2 1 （3） ； x2 x2
x2 4x 1 x2 6x 5 x 2 2x 2 0 x． 1 （5） （4） 2 ． （ 6 ） 12 4 x x 2 3x 7 x 2 3 2x x 2
10. 解绝对值不等式 （1） x 2 4 x 2 （2） 4 x 2 10 x 3 3 ． （3） ； （4）
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6.已知正常数 a,b 和正变数 x,y，满足 a+b=10, 7.已知：a>0,b>0,c>0,求证： 8.若 0<x<1,a>0,b>0.求证：
a b 1, x+y 的最小值是 18，求 a,b 的值. x y
bc ac ab a b c. a b c
a2 b2 2 a b . x 1 x
(C)4
(D)5
=60 的两个
____
和________. 2.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是__________. 3.若对任意 x>0, a
x 恒成立，则 a 的取值范围是__________. x 3x 1