高中物理竞赛_话题1：重心与质心的确定

话题1：重心与质心的确定一、平行力的合成与分解物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。

在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。

两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。

其作用线在两个分力作用点的连线上。

合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。

例如：两个同向平行力A F 和B F ，其合力的大小A B F F F =+，合力作用点O 满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。

两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。

其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。

合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。

例如：两个反向平行力A F 和B F 的合成其合力的大小B A F F F =-(假如B A F F >，则F 和B F 同向)其合力的作用点满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。

一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。

二、重心和质心重心是重力的作用点。

质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。

物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。

对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。

但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。

在重力加速度g v为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），BF AF FO BA BF AF F OBA重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。

求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。

相距L ，质量分别为12,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与12,m m 相距分别为1L ,2L ：1122m L m L = 12L L L +=2112m LL m m =+1212m LL m m =+均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。

三、物体重心（或质心）位置的求法1、定义法（坐标法）质心位置的定义表达式是一个矢量表达式，将质点组各质点参量记为i m 、i r r，质点组的质心记为C ，则 1NC i i m m ==∑C 的位置定义在坐标(,,)C C C x y z1Ni ii C Cm xx m ==∑ 1Ni ii C Cm yy m ==∑ 1Ni ii C Cm zz m ==∑其意义可以这样理解：假定由多质点组成的物体被分成许多小块，每块都有相同的质量m ，物体总质量等于块数(设为N 块)乘以每块质量m ，第一式可以改写成：1111NNC ii i i x mx x mN N ====∑∑即等于各小块的位置i x 之和除以块数N 。

因此，在假定每块质量相等时，C x 就是所有i x 的平均值。

如果其中有一块(设第i 块)的质量是其它小块质量的两倍，则在求和时，相应的ix应出现两次。

这可以设想把此两倍的质量的小块分成相等的两块即可看出。

因此，C x 是所有质量在x 方向上的平均位置，其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身。

这就是人们常说的，质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。

根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。

首先建立直角坐标，再利用直角坐标下定义式给出质心的位置。

对质量连续分布的物体，计算中通常要用到积分，对于中学生来说暂时还无力求解。

因此，此法通常用于质量离散分布或系统可以等效成离散质点情况的处理。

物体重心（或质心）位置的求法例1、 如图所示，一根竖直悬挂着的无限长细线上等距离地固定着n 个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的距离为a 。

已知最上端小球与悬点之间距离也为a ，它的质量为m ，其余各球的质量依次为2m 、3m 、……，一直到nm 。

求整个体系的质心位置到天花板的距离。

解、首先建立一维坐标系，以悬点为坐标原点，竖直向下为x 轴的正方向。

1(1)232NC ii m m n n m m m nm m ==+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∑12222233(1)2123(1)2(1)(21)(21)6(1)32Ni ii C Cm xx m m a m a m a nm nan n m n an n n n n n a an n ==⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++++==+∑例2、如图，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至右其密度分别为ρ、1.1ρ、1.2ρ、1.3ρ、1.4ρ，设每根棒长均为l ，求其质心位置，若为n 段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？ρ解：设整个棒重心离最左端距离为x ，则由求质心公式有11225512535791.1 1.2 1.3 1.4222221.1 1.2 1.3 1.42.67i iim x x mm x m x m x m m m l v v l v l v l v l v v v v blρρρρρυρρρρ=+++=+++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=++++=∑∑L L若为n 段，按上式递推得：11 1.13 1.25 1.37(1)(21)10121 1.1 1.2 1.3(1)10n n l x n -+⨯+⨯+⨯+++-=⋅-++++++L L 将坐标原点移到第一段棒的重心上，则上式化为：11211.1 1.22 1.33(1)(1)(1)(1)2(1)(1)10101010111 1.1 1.2(1)1 1.1 1.2(1)1010n n n n x l n n --+⨯+⨯+++-+++⨯+++-==--++++++++++L L L L []222112(1)12(1)(1)(229)1013(19)1 1.1 1.2(1)10n n n n l l n n ⎡⎤+++-++++-⎣⎦-+==-++++++L L L2、力矩法利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。

如图由重量分别为1G ,2G 的两均匀圆球和重量为3G 的均匀杆连成的系统，建立如图坐标系，原点取在A 球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为123,,x x x ，系统重心在P 点，我们现在求其坐标x 。

设想在P 处给一支持力R ， 令123R G G G =++达到平衡时有：1122330M G x G xG x Rx =++-=∑xO112233112233123G x G x G x G x G x G x x R G G G ++++==++这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。

若有多个物体组成的系统，我们不难证明其重心位置为： i ii ii iiiiG x G y G z x y z GGG===∑∑∑∑∑∑一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：i ii ii iiiim x m y m z x y z mmm===∑∑∑∑∑∑例3、如图所示，A ，B 原为两个相同的均质实心球，半径为R ，重量为G ，A ，B 球分别挖去半径为2R 和34R 的小球，均质杆重量为3564G ，长度4l R =，试求系统的重心位置。

解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图所示平行力系；其中27,864a b G G G G ''==。

设重心位置为O ，则合力279386464G W G G G G =+--= 且()0Oi MG =∑2735(3)(3)(3(3)6448264R G R G R OC G OC R R OC G OC G R OC -+++=--+⋅++ ∴ 0.53OC R =3、实验室质量作平面分布的物体用实验法求质心位置较为简便。

在此平面物体上，选两点A 和B (设A 、B 和质心不在同一直线上)，分别作为悬挂点，悬挂在垂直于平面的光滑转轴上，过悬挂点的两个铅垂线的交点即为质心位置。

4、对称法如果一个物体质量分布具有轴对称性，例如质量平面均匀分布的菱形物体，其质心必处在对角线上，两对角线的交点即为此菱形的质心位置。

这是因为垂直于对称轴方向上，轴两旁的正负坐标的质量对应相等。

5、分割法这种方法把整个物体分割成质心易求的若干部分，再把各部分看成位置在各自质心处、并具有该部分质量的质点，再依质心定义表达式求出整个物体的质心位置。

如下左图的棒锤，假设匀质球A 质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l ，求它的重心。

第一种方法是将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心C 。

C 在AB 连线上，且AC M BC m ⋅=⋅(如图)。

6、负质量法容易看出，负质量法本质上是分割法的一种推论，仍然是把整个物体分割成质心易求的几个部分。

不同的是，每一部分既可以是正质量，也可以是负质量。

同样，将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为M -的球A '的合成(如图)，用反向平行力合成的方法找出其重心C ，C 在AB 连线上，且(2)BC M m A C M '⋅+=⋅．不难看出两种方法的结果都是：()2M lBC R m M =++证明方法与分割法相同。

有时，根据质心的定义，我们还可用坐标法求物体系的质心。

通常把物体分割成n 个部分，求得这n 个部分的质量分别为123,,,,n m m m m ⋅⋅⋅。

所受的重力相应为123,,,,n m g m g m g m g ⋅⋅⋅。

又求得它们的重心(质心)的坐标分别为111(,,)x y z ,222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，⋅⋅⋅,(,,)n n n x y z 。

由于这n 个部分所受的重力i i G m g =(1,2,,)i n =⋅⋅⋅可看作是平行力，故可用类似于求同向平行力合力的方法，求得这n 个平行力合力的作用点位置(,,)C C C x y z ，得出整个物体质心(重心)的位置坐标为lR +i iiCi im x x m=∑∑;i iiCi im y y m=∑∑;i iiCi im z z m=∑∑上例中，以B 点为原点，水平向右为。

轴正方向，则,A B 的合质心的位置为：()02C lM R m x M m⋅--+⋅=+ 00C M m y M m ⋅+⋅=+ 即：()2C lM R x M m⋅+=-+ 0Cy = 负号表示质心的位置在B 点左侧（如上右图）。