高中物理竞赛_话题1：重心与质心的确定

话题1：重心与质心的确定

一、平行力的合成与分解

物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。 在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。

两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。其作用线在两个分力作用点的连线上。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如：两个同向平行力A F 和B F ，其合力的大小A B F F F =+，合力作用点O 满足

A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。

两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如：两个反向平行力A F 和B F 的合成其合力的大小

B A F F F =-(假如B A F F >，则F 和B F 同向)其合力的作用点满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关

系。

一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。

二、重心和质心

重心是重力的作用点。质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。

在重力加速度g v

为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），

B

F A

F F

O B

A B

F A

F F O

B

A

重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。

求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距L ，质量分别为12,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与12,m m 相距分别为1L ,2L ：

1122m L m L = 12L L L +=

2112m L

L m m =

+

1212

m L

L m m =

+

均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。

三、物体重心（或质心）位置的求法

1、定义法（坐标法）

质心位置的定义表达式是一个矢量表达式，将质点组各质点参量记为i m 、i r r

，质点组的质心记为C ，则 1

N

C i i m m ==

∑

C 的位置定义在坐标(,,)C C C x y z

1

N

i i

i C C

m x

x m ==

∑ 1

N

i i

i C C

m y

y m ==

∑ 1

N

i i

i C C

m z

z m ==

∑

其意义可以这样理解：假定由多质点组成的物体被分成许多小块，每块都有相同的质量m ，物体总质量等于块数(设为N 块)乘以每块质量m ，第一式可以改写成：

1

1

11N

N

C i

i i i x mx x mN N ===

=∑∑

即等于各小块的位置i x 之和除以块数N 。因此，在假定每块质量相等时，C x 就是所有i x 的平均值。如果其中有一块(设第i 块)的质量是其它小块质量的两倍，则在求和时，相应的i

x

应出现两次。这可以设想把此两倍的质量的小块分成相等的两块即可看出。因此，C x 是所有质量在x 方向上的平均位置，其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身。这就是人们常说的，质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。

根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐标，再利用直角坐标下定义式给出质心的位置。对质量连续分布的物体，计算中通常要用到积分，对于中学生来说暂时还无力求解。因此，此法通常用于质量离散分布或系统可以等效成离散质点情况的处理。物体重心（或质心）位置的求法

例1、 如图所示，一根竖直悬挂着的无限长细线上等距离地固定着n 个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的距离为a 。已知最上端小球与悬点之间距离也为a ，它的质量为m ，其余各球的质量依次为2m 、3m 、……，一直到nm 。求整个体系的质心位置到天花板的距离。

解、首先建立一维坐标系，以悬点为坐标原点，竖直向下为x 轴的正方向。

1

(1)

232

N

C i

i m m n n m m m nm m ==+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=

∑

1

2222233(1)

2

123(1)2

(1)(21)

(21)6(1)32

N

i i

i C C

m x

x m m a m a m a nm na

n n m n a

n n n n n n a a

n n ==⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=

++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++++==+∑

例2、如图，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至右其密度分别为ρ、1.1ρ、1.2ρ、1.3ρ、

1.4ρ，设每根棒长均为l ，求其质心位置，若为n 段，密度仍如上递增，质心位置又在什

么地方？

ρ