第三章 数系的扩充与复数的引入教材分析

《第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析

数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充．

《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

本章内容分为2节，教学时间约4课时．

第一节数系的扩充和复数的概念

本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．

●教学目标

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．

（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．

●教学重点

（1）数系的扩充过程．

（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．

（3）复数的几何意义．

●教学难点

（1）虚数单位i的引进．

（2）复数的几何意义．

●教学时数

本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩充和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义．

●课标对本节内容的处理特点

数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：

（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．

（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．

（3）在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》

一一对应

要求“掌握”．从这上点上看，《课标》要求降低了．

●教学建议

1．关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议

（1）课题的引入．教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：

① 在自然数集N 中，方程10x +=有解吗？

② 在整数集Z 中，方程21x =有解吗？

③ 在有理数集Q 中，方程2x ＝2有解吗？

④ 在实数集R 中，方程．有解吗？

（2）回顾从自然数集N 扩充到实数集R 的过程．帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．可让学生思考如下问题：

① 从自然数集N 扩充到实数集R 经历了几次扩充？

② 每一次扩充的主要原因是什么？

③ 每一次扩充的共同特征是什么？

然后师生共同归纳总结：

扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要．

扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展．

（3）提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程210x +=在新的数集中的解？

（4）引入虚数单位i ．

（5）学习复数的概念．

（6）规定复数相等的意义．

（7）研究复数的分类．

（8）告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由：

① ,a bi c di a c b d +=+⇔==；在,a c b d ==两式中，只要有一个不成立，则a bi c di +≠+．

② 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小．

③ “不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：

对于任意实数a ，b 来说，a b <，a b =，b a <这种情况有且只有一种成立；

如果,a b b c <<，那么a c <；

如果a b <，那么a c b c +<+；

如果,0a b c <<，那么ac bc <．

2．关于“复数的几何意义”的教学建议

（1）帮助学生认识复数的几何表示．复数的几何表示就是指用复平面内的点Z （,a b ）来表示复数z a bi =+．

① 明确“复平面”的概念．

② 建立复数集C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系，即

复数z a bi =+ 复平面内的点Z （,a b ）．

一一对应 （2）帮助学生认识复数的向量表示．复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z a bi =+．

① 认识复平面内的点Z （,a b ）与向量OZ 的一一对应关系．

② 在相互联系中把握复数的向量表示：

复数z a bi =+

一一对应 一一对应

点Z （,a b ） 向量OZ

（3）用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识．

在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点（原点除外）一一对应，非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应．可通过一组练习题来强化这一认识．

第二节 复数代数形式的四则运算

本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算．

●教学目标

（1）掌握复数代数形式的加减运算法则．

（2）了解复数代数形式的加减运算的几何意义．

（3）理解复数代数形式的乘除运算法则．

（4）体验复数问题实数化的思想方法．

●教学重点

（1）复数代数形式的加减运算及其几何意义．

（2）复数代数形式的乘除运算．

（3）复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用．

●教学难点

（1）复数代数形式的加减运算的规定．

（2）复数代数形式的加减运算的几何意义的理解．

（3）复数代数形式的乘除运算法则的运用．

●教学时数

本节教学，建议用2课时．第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第2课时研究复数代数形式的乘除运算．

●课标对本节内容的处理特点

复数代数形式的四则运算，《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：

（1）《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了数形结合思想方法；

（2）《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法．

●教学建议

1．复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性．这种合理性应从数系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立．

2．复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自