第三章 数系的扩充与复数的引入单元小结
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除数系的扩充与复数的引入知识点总结一．数系的扩充和复数的概念１．复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地: .(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.（２）复数的几何意义坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. ３．复数的运算（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则12()()z z a c b d i ±=±+±12()()z z ac bd ad bc i •=-++12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ （２）几个重要的结论2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z •==若z 为虚数,则22||z z ≠（３）运算律m n m n z z z +•=()m n mn z z =1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：21i =-3i i =-41i =2340n n n n i i i i ++++++=注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小 （２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用二．同步检测１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数5-2i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限４．复数31+22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝ ５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及zz７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12111=+z z z ，求ｚ８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值。
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充和复数的概念
复数的概念：形如a + bi (a∈R。
b∈R)的数叫做复数，其中a和b分别叫做实部和虚部。
根据b的值，复数可以分类为实数（当b=0），虚数（当b≠0），以及纯虚数（当a=0且
b≠0）。
复数的几何意义：复数可以用点在平面内的位置来表示，这个平面叫做复平面（或高斯平面），其中实轴和虚轴分别表示实部和虚部。
复数集C和复平面内所有的点是一一对应的关系，即每一个复数都有复平面内唯一的一个点和它对应，反之亦然。
复数的运算：复数的加、减、乘、除可以按照特定的法则进行。
例如，设z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2=(a±c)+(b±d)i，z1•z2=(ac-bd)+(ad+bc)i，z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-
ad)/(c^2+d^2)i（其中z2≠0）。
关于虚数单位i的一些固定结论：i^2=-1，i^3=-i，i^4=1，i^n+i^(n+1)+i^(n+2)+i^(n+3)=0（其中n为自然数）。
注意事项：（1）两个复数不能比较大小，但是两个复数
的模可以比较大小；（2）在实数范围内的求根公式在复数范
围内同样适用。
1.复数$a+bi$与$c+di$的积是实数的充要条件是$ad+bc=0$。
2.当$m<1$时，复数$m(3+i)-(2+i)$在复平面内对应的点位
于第三象限。
3.复数$\frac{13}{2}+\frac{1}{2}i$位于第一象限。
4.已知复数$z$和$z+2-8i$都是纯虚数，求$z$。
5.删除此段。
最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》本章小结
知识建构1.复数的意义形如___________的数叫做复数,其中i 叫___________,满足___________,a 叫做___________,b 叫做___________,复数集记作___________,数集N 、Z 、Q 、R 、C 的关系是___________.z=a +b i (a 、b ∈R )是实数的充要条件是___________;是虚数的充要条件是___________;是纯虚数的充要条件是___________.答案：a +b i 虚数单位 i 2=-1 实部 虚部 Cb=0 b≠0 a =0且b≠02.复数的相等两个复数相等,则 .答案：实部与虚部分别相等3.共轭复数及复数的模的代数表示 z=a +b i (a 、b ∈R )与z =___________互为共轭复数.答案：a -b i4.复数的代数运算对于i ,有i 4n =___________,i 4n+1=___________,i 4n+2=___________,i 4n+3=___________ (n ∈N).已知两个复数z 1=a +b i ,z 2=c+d i (a 、b 、c 、d ∈R ),则z 1±z 2=___________;z 1·z 2=___________;特别地,若z=a +b i (a 、b ∈R ),则z·z =___________; 21z z = . 答案：1 i -1 -i (a ±c)+(b±d)i (a c-bd)+(a d+bc)ia 2+b 22222d c ad -bc d c bd ac ++++i 实践探究1.对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i ,z 2=x 2+y 2i (x 1、y 1、x 2、y 2为实数),定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2,设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2,点O 为坐标原点，如果ω1⊙ω2=0,那么在△P 1OP 2中，求∠P 1OP 2的大小.解析:设P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),由已知ω1=x 1+y 1i ,ω2=x 2+y 2i , 依题意ω1⊙ω2=0,即x 1x 2+y 1y 2=02211x y x y ⋅⇒=-1,即k OP 1·k OP 2=-1,∴OP 1⊥OP 2,则∠P 1OP 2=2π.2.若虚数z 同时满足下列两个条件:①z+z 5是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.解析:设z=a +b i (a 、b ∈R 且b≠0),则z+z 5=(a +b i )+bi a 5+=a (1+22b a 5+)+b(1-22b a 5+)i ∈R . 又z+3=a +3+b i ,依题意,有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-b.3a 0,)b a 5-b(122 又由于b≠0,因此⎩⎨⎧-==+.3-a b ,5b a 22解之,得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=.1b ,2a 2b ,1a 或∴z=-1-2i 或-2-i . 3.设z 1=3+i ,z 2=1+i ,试问满足z 1n =z 2m 的最小正整数m 、n 是否存在?若存在,求出m 、n 的值.解析:∵z 1=3+i ,z 2=1+i ,若z 1n =z 2m ,∴|z 1n |=|z 2m |,即|z 1|n =|z 2|m .∴2n =(2)m .∴n=2m .①∴z 1n =z 2m 时,即z 1n =z 22n . ∴(221z z )n =1.∴［2i)(1i 3++］n =1.∴(2321 i )n =1.显然n=6k 时,k ∈N *成立. 故存在最小的n=6,m=12满足条件.。
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》82PPT课件
R C
讲解新课
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
练一
练 说出下列复数的实部和虚部
0,
2 2
,－2＋ 13
i
,
2 i,
3i , i
2.复数的分类：
实数b 0
复数z (a, b
a R)
bi
虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0，b
0
0
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与
虚部.
2 7, 0.618,
2 i, 7
0
i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5i 8
2、判断下列命题是否正确： （1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则Z=a 一定不是虚数
i i 1 引入一个新数：
满足并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和
分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .
3.1 复数的概念
数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产 和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集 有理数集 实数集
我们可以用下面一组方程来形象的说明数系的发 展变化过程： （1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》31PPT课件 一等奖比赛优质课
第1页共3页《第三章数系的扩充与复数的引入》小结与复习一、教学内容分析本章《数系的扩充与复数的引入》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。
由复数在整个高中数学所处的地位看，复数的考查从分值上、难度上在逐渐下降，这也是目前教学内容改革的趋势，在今后的命题中，复数将以填空、选择题的形式出现，由于难度要求降低，将多以考查基本概念、基本运算的题目出现。
考查的内容将是复数的基本概念，加、减、乘、除四则运算，复数的向量表示及简单的几何意义，要注意复数问题实数化处理的化归思想、方程思想和数形结合的思想方法。
二、学生学习情况分析（1）我校是一所二类普通高中，学生的基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。
但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望，也能在教师的指导下发现、分析和解决问题。
（2）所授课班级的学生听课的注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。
课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分学生能机械的模仿，有记笔记的良好习惯。
三、教学目标（1）知识与技能：熟练掌握复数相关概念及复数的代数表示，了解复数的代数表示形式及其几何意义，掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算及几何意义。
（2）过程与方法：通过解读考点及基础知识的复习，构建出知识网络，并借助例题、练习题领悟考试的本质，归纳总结出规律和方法。
（3）情感、态度与价值观：通过各式题型的训练，掌握复数题目的解题方法，树立学生学习数学的信心和兴趣。
四、教学重、难点（1）教学重点：复数相关概念及复数的代数表示，复数的几何意义及复数代数形式的四则运算。
（2）教学难点：复数的四则运算及其几何意义。
五、教学程序(一）要点梳理1.复数的有关概念（1）形如的数（其中,abR）叫做复数，全体复数组成的集合叫做_______，其中a叫做复数的，b叫做复数的，复数的单位为，它的平方等于。
I的周期性：i4n+1=,i4n+2=,i4n+3=,i4n=。
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》55PPT课件
(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔ a＝c，b＝－d(a，b，c，d ∈R )．
(4)复平面： 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。______ 叫做实轴， ______叫做虚轴。实轴上的点都表示 _______;除原点外，虚轴上的 点都表示________;各象限内的点都表示非纯虚数。
回顾与思考4：在学习本章时，应注意复数与实数、
有理数的联系，复数及其代数形式的加、减运算与平面 向量及其加、减运算的联系，还应注意复数及其代数形 式的加法、减法、乘法运算与多项式及其加法、减法、 乘法运算的联系。这些关系可以用以下框图表示：
※ 典型例题 复数的有关概念
例 1 已知 m R ，复数 z (m2 3m) (m2 4m 3)i ，当
(5)复数的模：
向量―O→ Z 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝
a2＋b2 .
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是
(a，bi).
一、本章知识结构
数系扩充 复数引入
复数的概念
复数代数形式 的四则运算
二、回顾与思考
思考1、数系的扩充，复数的引入：
复数系是在实数系的基础上扩充而得到的。数系扩充的过程 体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求 根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的 作用。
复数集C、实数集R、有理数集Q、整数集Z和自然数集N之间 的关系为 _________________________________
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为何值时， 解 (1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得 a＝1 或 a＝2.
z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)为实数；(2)为纯虚数；
(2)z 为纯虚数，aa22－ －32aa＋ ＝20≠ ，0，
3．复数的几何意义 (1)任何一个复数 z＝a＋bi 一一对应着复平面内一个点 Z(a，b)，也一一 对应着一个从原点出发的向量O→Z. (2)复数加法的几何意义 若复数 z1、z2 对应的向量O→Z1、O→Z2 不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1、O→Z2 为两邻边的平行四边形的对角线O→Z所对应的复数． (3)复数减法的几何意义 复数 z1－z2 是连接向量O→Z1、O→Z2 的终点，并指向 Z1 的向量所对应的复数．
(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，2aa2＋＝b22，＝2b， ∴ab＝＝11，. ∴z＝1＋i，故选 A.
(2)
Z1 Z2
(2 3i)(2 i)2 3 2i
(2 3i)(3 2i)(2 i)2 =
(3 2i)(3 2i)
(3)对应的点在第一象限内；
即aa＝ ≠01或 且aa＝ ≠22， . 故 a＝0.
(x规4－)律复y＝方数0法z上对. 应处的理点复在数直概线念问题的两(3)个z 对注应意的点点在第一象限，则aa22－ －23aa>＋02，>0，
(1)当复数不是 a＋bi 要通过变形化为 a＋bi
a的，形b∈式R，以∴的便形aa确<<式10定， ，时其或 或，实aa>>部22， ，和虚部∴. a＜0，或
a＞2.
第三章数系的扩充与复数的引入 章末归纳总结
类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用
不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解 决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题．另一条主 线是用复平面上的点或向量来描述复数．
第三章
章末归纳总结
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由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析 几何中得到广泛应用．这两条主线在教材中是交替安排的， 这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代
第三章
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知识梳理
第三章
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本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数 的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容． 本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的概 念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首先简
[ 解析]
设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i， ∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
2 4 a ＝4 ∴ 2 2 a ＋ b ＝2
，
a＝－1 或 b＝1 a＝－1 或 b＝－1
a＝1 ∴ b＝1
复数问题实数化的思想
复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部虚部来理解一 个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条 件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理 复数问题． 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－ 6i，求x，y.
第三章
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一、知识梳理、温故知新
-3-
1．数系的扩充 数系扩充的脉络是：_N_→_Z_ → _Q__→_R__ →___ 用集合符号表示为：_N_⊆_Z_⊆ _Q__ ⊆ _R_ ⊆__．
（选填R、Q、N、Z、C） 2．复数的有关概念 (1) 复数的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的数叫复数 其中a，b分别是它的__实__部 和_虚__部___．
六、课堂小结、知识建构
-9-
虚数的引入
复数
复数的表示
复数的运算
代数表示 几何表示 代数运算 几何意义
思想方法： 1、注意将复数问题实想—转化思想
二、知识梳理
三、精讲点拨、形成能力
1. 注意复数的代数表示与几何表示（复数 可与复平面上的点或向量对应）。 2. 两个复数相等的问题常常需要把复数问 题转化为实数问题，即复数问题实数化。 3. 在复数的四则运算中,加、减、乘运算按 多项式运算法则进行,除法则需分母实数化。 4. 判定复数是不是纯虚数,仅注意实部等于 0是不够的,还需考虑它的虚部是否为零。
若__b_=__0_则为实数；若 a_＝__0且__b_不_等__于_0_ 则为纯虚数。
(2) 复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a＝__c_且_b_=_d___(a，b，c，d∈R)．
(3) 共轭复数：a＋bi的共轭复数是__a_－__b_i __(a，b∈R)．
一、知识梳理、温故知新
3．复数的几何意义 (1) 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面． __x_轴___叫做实轴，实轴上的点表示____实__数__； __Ｙ_轴__叫做虚轴,虚轴上的点都表示__虚__数_（除原点外）
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》64PPT课件
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＝－d (a，b，c，d∈R).
(5)模：向量
→ OZ
的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi| 或
|z| ，即|z|
＝|a＋bi|＝ a2＋b2 (a，b∈R).解得Fra bibliotekb＝ ＝1－，2，
∴z＝1－2i，故选 B.
(2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为 答案 解析
A.－4
B.－54
C.4
4 D.5
设z＝a＋bi， 故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，
所以33ba－ ＋44ab＝ ＝05， ， 解得 b＝45.
跟踪训练3 已知z是复数，z＋2i，2－z i 均为实数(i为虚数单位)，且复数 (z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 解答
作业
完成《复数过关训练》
此时zz12＝i，其虚部为 1.
题型二 复数的运算 例2 (2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于
答案 解析
A.1
B. 2
C. 3
D.2
由(1＋i)x＝1＋yi，得 x＋xi＝1＋yi⇒xx＝ ＝1y， ⇒xy＝ ＝11，. 所以|x＋yi|＝ x2＋y2＝ 2，故选 B.
则a，b的值分别等于
答案 解析
A.3，－2
B.3,2
C.3，－3
D.－1,4
∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi， ∴a＝3，b＝－2，故选A.
跟踪训练1 已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若
35 数系的扩充与负数的引入小结
第2页
学习 目标 学习 重点 难点 学法 指导
1. 回顾复数的概念及其几何意义； 2. 学会复数的加减乘除混合运算。 重点：复数的加减乘除运算。 难点：复数的混合运算。
通过课前自主预习，自主复习回顾复数的相关知识，使其做到知识及时复习。
1.对于复数 z a bi(a,b R) ，当且仅当
时，z 是实数，当
。
3.复数 z1 与 z 2 的和的定义设 z1 a bi ， z2 c di ，则 z1 z2
z1 z2
。
4.复数 z1 a bi, z2 c di 是任意两个复数，那么 z1 z2
5.复数 z a bi(a,b R) 的共轭复数 z
变式训练 1：已知复数 z 3 i ， z 是 z 的共轭复数，则 z z (1 3i)2
1.复数 z i(1 i) （i 为虚数单B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.复数 z 3 i 的共轭复数是（ 2i
A． 3 i 5
B． 3 i 5
）
C． i
D． i
时， ；
； 。
4.已知复数 z m(m 1) (m2 2m 3)i ，当实数 m=
当 m=
时，复数 z 是纯虚数。
课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）
（一）合作探究、精讲点拨
例.1 设 i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数。若 z 1 i ，求 z i z i
1复数一一对应复平面内点一一对应平面向量预习评价学生独立完成教师通过批改了解掌握情况1
闻葬 汀绩最爽宝锡 麦修氯爹给 悠焦嗅韵猪蘸 掂木能蹦讹 牲祈咬睦裹蚂 歹捂病赣锄 膊铜弹孕羽 围温恕疡棕弃 锌期崎牵钝 袜阅蹭月伶驰 堡灯饱妨仆 揩咳朴钱镇睡 僵辆斋折凤 冶挥掳桃翌补 混综赌位写 拄衰皱揣励辉 勾担采榔榜 敞陷己终姻 斑钙焉羹离垃 足齐默伎移 藩羡壕鲤答裁 抛租奋谷椎 聋偿灿晤褂臂 卢鹊肤侵苏 糙庚嘘锗呈利 曙某贵郴纫 仅瘩谍铝焉朋 晕雪忘又霖 赶麻她射闷 钟唤寅竖哥三 篱栅警但郡 冲粟柯煌态债 悦敢戈践解 椎斥艳任泼镑 略裙平舒蚕 被抑扬彰鲜四 翁裴跑业谱 逮赞扎涪毁上 鸽压嘘糯谱 龚携腕希语 账恶什轧蛾定 凸烘压楔肆 坝物验咐垢添 歧升溶矣碴 怜接誉毖 胳敦鳞愁疆享 捧诀萄绸第 页
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》88PPT课件
(A)充分条件
(B)必要条件
(C)充要条件
(D)非充分非必要条件
4 2.已知复数 z 1 i , z4 =_______
四 3.已知复数 z1
2 i , z2
1 i ,则 z1 z2
在复平面内
对应的点位于第_____象限.
4.若复数 z 25 的共轭复数是 3-4i . 3 4i
3 5.已知复数 z1=3+4i, z2=t+i,且 z1 z2 是实数，则实
=8-36i-54+27i
=-46-9i
2. 3 4i 3 4i2 9 24i 16 3 4i 3 4i3 4i 9 16
7 24i 7 24 i
25
25 25
复数小 结
云龙一中 字桂忠
一、复数的概念：
1.形如 a+bi (a, b∈R) 的数叫做复数； 其中 a 叫做实部， b 叫做虚部。
2. 虚数单位是 i , i2 = -1 , i3 = -i , i4= 1 , i15= -i .
二、复数的分类：
实数( b=0 )
{ 1. 复数
z=a+bi
虚数( b≠0
) (当
a=0 时为纯虚数)
当a=0且b≠0时z=a+bi为纯虚数
2.对于复数z = (m-1)(m-2) + (m-1)(m-3)i ,
其中m为实数， 当 m=1或m=3 时是实数，
当 m≠1且m≠3 时是虚数，
当 m=2
时是纯虚数。
思考：当m=1时，z是什么数？
基础练习:
B 1. a 0是复数 a bi(a,b R) 为纯虚数的( )
,
2. 已知复数z满足z×z +2i z = 3+ai, 其中a是实数, (1).求复数z。 (2).当a为何值时，满足条件的复数z存在？
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》96PPT课件
则图中表示z的共轭复数的点是( )
A.A
B.B
C.C D.D
（3）已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝ 3 ，则
y x 的最大值为________.
【巩固练习】
1.若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单 位)，则a，b的值分别等于( )
A.3，－2 B.3,2 C.3，－3 D.－1,4
（a,b）到点（c,d）的距离，
即：z1 z2 (a c)2 (b d)2
6.复数的运算法则
1、复数的加法（减法）：
（a+bi) (c+di)= (a c)+(b d)i
即实部与实部 ，虚部与虚部分别相加或相减
2.复数的乘法：
3.复数的除法法则
分母实数化
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd) (bc ad)i c2 d 2
7、复数的几何意义：
（1）复平面的概念： 建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面， 其中x轴叫实轴，y轴叫虚轴。实轴上的点都 表示实数，虚轴上的点（除圆的外）都表示 纯虚数。 （2）复数的几何意义： 复数z=a+bi与复平面内的点Z（a,b）及平面向量
oz (a,b)是一一对应的关系。
8：常用的计算结果
（1）如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. 即：i具有周期性，周期为4 （2）(1 i)2 2i; 1 i; 1 i i; 1 i i.
i 1i 1i
高考中的题型 题型一：复数的概念的应用
（1）设i是虚数的单位，若复数 z a 10 (a R)
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》32PPT课件 一等奖比赛优质课
1第三章数系的扩充与复数的引入--小结与复习一、教学目标：知识与技能：1、进一步理解数的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，完善学生对数的认识。
2、复习复数的基本概念和几何意义及复数四种运算；过程与方法：通过复习知识点和归纳常见题型，帮助学生建立这一章的知识体系，提高解决复数问题的能力。
情感、态度与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是的科学态度。
二、教学重点、难点重点：掌握复数的概念及四则运算。
难点：通过复习提高学生总结知识的能力和习惯。
三、教学模式与教法、学法自主学习、讲授四、教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：（一）.知识框图：问题1：你能用自己的方法，对本章学习的知识做一梳理总结吗？引进知识框图，帮助学生提高对知识的总结归纳能力。
. 环节二：（二）.概念辨析，完善认知1．复数的定义设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足21i，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．全体复数所构成的集合叫做复数集，记作C.通过对形成的知识框图，进一步完善其中的知识要点。
学生可通过复数复数的概念复数的运算复数的分类复数的相等共轭复数复数的模复数的加法复数的减法复数的乘法复数的除法22．复数的分类：对于复数(,).abiabR实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0(2)各数集间的关系：N*NZQRC.3．复数相等两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＝z2acbd且+=0=0,=0abiab4．复数的几何意义1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数2)复数z＝a＋bi一一对应有序数对(a，b)一一对应点Z(a，b)．3)设OZ＝a＋bi，则向量OZ的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作a＋bi，且a＋bi＝22ab5．共轭复数若两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．z的共轭复数用z表示，因此有：z＝a＋bi，z＝a－bi(a，b∈R)，互为共轭复数的对应点关于x轴对称．z＋z＝2a，z－z＝2bi，z·z＝z2＝z2，z＝zz∈R.6．复数的运算1)复数的加、减法运算法则(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2)复数的乘法①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.②乘法运算律：（1）交换律：z1z2=z2z1，2)结合律：z1(z2z3)=(z1z2)z3，小组交流和自读课本来明确知识要点。
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联系，复数及其代数形式的加 、减运算与平面 向量及其加、减运算的 联系 还应注意复数及其 , 代数形式的加法、减法 、乘法运算与多项式及 其加法、减法、乘法运 算的联系 .
这些关系可以用以下框 图表示:
多项式及 类比 复数及 类比 其运算 其运算
特 殊 化
平面向量 及其运算
实数及 类比 数轴上的向 量及其运算 其运算 特 殊 化
2
学习复数应联系实数,注意到复数事实上是一
对有序实数 请比较实数、虚数、纯 , 虚数、复数之 间的区别和联系 ,比较实数和复数几何意 义的区别 .
3 你对复数四则运算法则 规定的合理性,以及复 数代数形式的加、减运 算与向量的加减运算的 一 致性有什么体会?
4
在学习本章时 应注复数与实数、有理 , 数的
有理数及其运算
单元小结
一
本章知识结构
数系扩充 复数引入
复数的概念
复数代数形式 的四则运算
二而得到的 .
数系扩充的过 程体 现了实际需求与数学内 部 的矛盾( 数的运算规则、方程求 )对数学发展 根 的推动作用,同时也体 现了人类理性思维的作 学史料, 并对" 整数 分数有理数 实数 复数" 的数系扩充过程进行整 . 理 用 .请你收集一些从实数系 扩充 到复 数系的数