第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

数系的扩充和复数的概念

3．1.1数系的扩充和复数的概念

预习课本P102～103，思考并完成下列问题

(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？

(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？

[新知初探]

1．复数的有关概念

(1)复数

①定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，实部是a，虚部是b.

②表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋b i(a，b∈R)．

(2)复数集

①定义：全体复数所成的集合．

②表示：通常用大写字母C表示．

[点睛]复数概念的三点说明

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b而非b i.

(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．

2．复数相等

在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .

3．复数的分类

对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：

复数z ⎩

⎪⎨⎪⎧

实数(b ＝0)，

虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).

[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )

(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√

2．在2＋7，2

7i,8＋5i ，(1－3)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案：C

3．若a －2i ＝b i ＋1，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝________. 答案：5

4．设m ∈R ，复数z ＝－1－m ＋(2m －3)i. (1)若z 为实数，则m ＝________； (2)若z 为纯虚数，则m ＝________. 答案：(1)3

2

(2)－1

[典例] (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(2)当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6

m ＋3＋(m 2－2m －15)i.①是虚数；②是纯虚数．

[解析] (1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部是2，不是2i ，②为假命题；对于③，2i ＝0＋2i ，其实部是0，③为真命题．故选B.

[答案] B

(2)①当⎩

⎪⎨⎪⎧

m ＋3≠0，

m 2－2m －15≠0，

即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数． ②当⎩⎪⎨⎪⎧

m 2

－m －6m ＋3＝0，

m 2－2m －15≠0，

即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数． [一题多变]

1．[变设问]本例(2)中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？

解：当⎩⎪⎨⎪⎧

m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，

即m ＝5时，z 是实数．

2．[变设问]本例(2)中条件不变，当m 为何值时，z >0. 解：因为z >0，所以z 为实数，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧

m 2

－m －6m ＋3>0，m 2－2m －15＝0，

解得m ＝5. 3．[变条件]已知z ＝log 2(1＋m )＋ilog 1

2(3－m )(m ∈R)，若z 是虚数，求m 的取值范围．

解：∵z 是虚数，∴log 1

2(3－m )≠0，且1＋m >0，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

3－m >0，3－m ≠1，1＋m >0，

∴－1

∴m 的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．

复数分类的关键

(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．

(2)注意分清复数分类中的条件

设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.

[典例] (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；

(2)关于x 的方程3x 2－a

2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．

[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－y 2＝0，2xy ＝2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1，y ＝－1.

(2)设方程的实数根为x ＝m ， 则3m 2－a

2m －1＝(10－m －2m 2)i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

3m 2－a 2m －1＝0，

10－m －2m 2＝0，

解得a ＝11或a ＝－

71

5

.

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． [活学活用]

已知关于实数x ，y 的方程组

⎩

⎪⎨⎪⎧

(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，①

(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，②有实数解，则实数a ，b 的值分别为________．