导数压轴题型第5讲 构造函数(mathtype WORD精编版)

目录

构造函数 (2)

一、求导法则构造型 (2)

二、f’(x)+nf(x)型 (6)

三、xf’(x)+nf(x)型 (9)

四、f’(x)-nf(x)型 (13)

五、xf’(x)-nf(x)型 (18)

六、三角函数型 (22)

七、复合函数型 (26)

八、转化型 (26)

构造函数

解题中我们经常会遇见这样一类函数综合问题：给定式)(x f 与)(x f '所满足的一个不等式或者等式，大多数同学都这一类问题比较迷惑，进而造成解题受阻. 解决这一类问题往往是需构造一个新的函数，使这个新函数的单调性，可以直接由给定的条件判断，进而利用新函数的性质去解题. 所以本专题就针对)(x f 与)(x f '出现的不同类型进行归纳总结.

一、 求导法则构造型

此类题目在构造上相对较为简单，只需根据常见的求导公式及其求导法则就可以构造出原函数

已知函数()(),f x g x 在区间[],a b 上均有()()''f x g x <，则下列关系式中正确的是( )

A ．()()()()f x f b g x g b +≥+

B ．()()()()f x f b g x g b -≥-

C ．()()f x g x ≥

D ．()()()()f a f b g b g a -≥- 【答案】B

定义域为R 的函数()f x 满足(3)6f -=，且2()1f x x '>+对x R ∈恒成立，则3

1()15

3

f x x >+的解集为( )

A ．(3,)-+∞

B ．(,3)-∞-

C ．(,3)-∞

D ．(3,)+∞ 【答案】A

【解析】构造函数3

1()()3

F x f x x =-，

则有3

1(3)(3)(3)153

F f -=---=，且2()()F x f x x ''=-．

由2()1f x x '>+，可知，则()F x 为增函数， 故3

1()15()15(3)33

f x x F x F x >+⇔>=-⇔>-．

故选：A ．

已知函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =-，对任意的x R ∈满足()2f x x '>． 当[]0,απ∈时，不等式(sin cos )sin 20f ααα+->的解集为( )

A ．(,)42ππ

B ．30,4π⎡⎫

⎪⎢⎣

⎭ C ．(,)4ππ D ．3(,)24ππ 【答案】B

【解析】函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =-，对任意的x R ∈满足()2f x x '>，

设2()()2g x f x x =-+，()()20g x f x x ''=->，故()g x 在R 上单调递增， (0)(0)21g f =+=，

2(sin cos )(sin cos )(sin cos )2(sin cos )sin 21g f f ααααααααα+=+-++=+-+， 不等式(sin cos )sin 20f ααα+->等价于(sin cos )1(0)g g αα+>=， 所以sin cos 0αα+>，

)04πα+>，即(2,2)4k k παπππ+∈+，即3(2,2)44

k k ππ

αππ∈-+，

结合[0α∈，]π， 所以[0α∈，3)4

π， 故选：B ．

(2019秋 抚州期末)已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的x R ∈都有()4f x x '>，且11

()22

f =．当[0α∈，2]π时，不等式(sin )cos210f αα+->的解集为( ) A ．711(

,)66ππ B ．45(,)33

ππ C ．2(,)33ππ D ．5(,)66ππ

【答案】D

【解析】令2()()2g x f x x =-，()4f x x '>，则()()40g x f x x ''=->， 即()g x 单调递增，11()22

f =，1

()02g =，

当[0α∈，2]π时，由(sin )cos210f αα+->可得2(sin )cos212sin f ααα>-+=， 即(sin )0g α>，故1sin 2

α>

， [0α∈，2]π，故

56

6

π

π

α<<

，故选：D ．

定义在R 上的可导函数()f x 满足(2)()22f x f x x -=-+，记()f x 的导函数为()f x '，当1x ≤时恒有()1f x '<．若()(12)31f m f m m --≥-，则m 的取值范围是( )

A ．(],1-∞-

B ．1(,1]3

- C ．[)1,-+∞ D ．1[1,]3-

【答案】D

【解析】由条件得：函数()(12)31()(12)(12)f m f m m f m m f m m ---⇔----， 所以构造函数()()F x f x x =-，()(12)31()(12)f m f m m F m F m ---⇔- 由于(2)()22f x f x x -=-+； 所以(2)(2)()f x x f x x ---=-，

即(2)()F x F x -=， 所以()F x 的对称轴为1x =； 又()()1F x f x ''=-， 当1x 时恒有()1f x '<．

所以，[1x ∈，)+∞，()0F x '>，()F x 是增函数； (x ∈-∞，1]，()0F x '<，()F x 是减函数． |1|

|121|m m ∴---，解得：23210m m +-，

[1m ∴∈-，1]3

．

故选：D ．

设函数()f x 在R 上可导，x R ∀∈，有2()()f x f x x +-=且()22f =；对(0,)x ∀∈+∞，有()f x x '>恒成立，则

2()1

2

f x x >的解集为( ) A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞

C ．()()2,02,

-+∞ D ．()(),20,2-∞-

【答案】C

【解析】令2

1()()2g x f x x =-，

2211

()()()()022

g x g x f x x f x x -+=--+-=，

∴函数()g x 为奇函数．

(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='->，

∴函数()g x 在(0,)+∞上是增函数， ∴函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数，

()g x ∴在(,0)-∞和(0,)+∞上是增函数，

由

2()12

f x x >，得

2

1()02f x x ->，即()0g x >， f (2)2=，∴2

1(2)(2)202

g f =-

=，(2)0g -=， (2,)x ∴∈+∞或(2,0)x ∈-时，()0g x >，

故(2x ∈-，0)(2⋃，)+∞时，2()1

2

f x x >． 故选：C ．