关于实数理论的几点思考

关于实数理论的几点思考
数学与应用数学专业04级 郑维坚





















请证明
两者的
等价性






这对实数系
来说，当然
是这样。但
前三条都与
实数系的"序"有关，而柯西列却与"序"无关，所以完备性不叫连续性












一、 实数理论的引入
实数理论的引入是具有其历史必然性的。尽管牛顿、莱布尼兹早在十七世纪时便建立了微积分的演算体系，但这套微积分的概念与演算，是以直观的基础的，概念并不准确，推导公式有明显的逻辑矛盾。直至19世纪，矛盾已积累到非解决不可的程度，于是在这种形势下，实数理论作为极限理论的坚实基础被引入了，并使微积分的演算体系严格化。
（以上内容参考了《数学分析简明教程》）

二、 实数系各种性质的等价表述概论
经过这几个月来的学习，我对实数理论有了一些自己的体会。我认为，对实数系中与实数有关的各种性质（如实数连续性、完备性、实数闭区间的紧致性，连通性等）的描述，无外乎有两种方式：一种是用集合的观点来阐述，如戴德金分划，非空有上界的实数子集有上确界、有限覆盖定理、区间套定理及聚点定理，另一种是用序列的观点来描述，如有理数基本列的等价类，单调上升有上界的序列有极限，紧致性定理以及柯西收敛原理。
1、实数的连续性
对于数系的连续性戴德金是这样定义的：如果一个有大小顺序的稠密的数系S，它的任一个分划都有S中唯一的数存在，它不小于下类中的每一个数，也不大于上类中的每一个数，那么称数系S是连续的。
以上的定义是通过集合（即下类与上类）来表述的，不过我觉得也能按照康托的思路用序列的方式加以定义，即对于一个有大小顺序的稠密数系S，若所有（有理数）基本列的等价类与S中的所有数一一对应，则称S是连续的。
言归正传，实数连续性是极限理论的基础，微积分正是在实数系这样一个连续的数系中才有了大显身手的舞台。
关于实数连续性的等价描述共有三种：
(1) 对于实数系的每一个分划A∣B，存在唯一的实数r，使得对任意a∈A，b∈B,有a≤r≤b
(2) 非空有上界的实数子集必有上确界存在。
(3) 单调上升有上界的实数列必有极限存在。
[我认为其实柯西收敛原理也反映了实数连续性，而且如果我先前补充的定义可行的话，则康托对实数的定义"每一个（有理数）基本列的等价类都代表一个实数"也可视为实数连续性的一种描述，不过它是建立在另一种定义之上的]
下面谈谈我对这三个等价描述的理解：
（1）很直观

的描述了实数连续性。
（2）（3）的表述则较为"含蓄"一些，
其实（2）与（3）描述实数连续性的思路是一样的，即表明实数系在数轴上的任何地方都没有空隙，二者所不同的只是（2）从集合的角度来描述，而（3）从序列的角度来表述。
课本中已证明了（1）?（2），（1）?（3）及（2）==>（3），现在证明（3）==>（2）。
设M为实数子集E的上界，来证明r = supE∈R。若有E最大值，则此最大值即为上确界。若E无最大值，任取x0E，将[x0，M]二等分，若右半区间含有E中的点，则记右半区间为[a1, b1],否则就记左半区间为[a1,b1]。然后将[a1,b1]再二等分，用同样的方法选出[a2,b2]，如此无限分下去，我们便得到一个闭区间的集合{[an , bn]}，同时得到两串序列{an}，{bn}，其中{an}单调上升有上界（如b1）, {bn}单调下降有下界（如a1），且bn - an = ( b1 -a1 ) / 2n ?0(n?∞时）。由单调上升有上界知有r存在，
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　

使得r = an , 又bn= an + ( b1 - a1 ) / 2n 知
对任意r∈[an , bn] (对任意n) ，又由于{an}单调上升，r = an ≥an . 若存在k∈N , s.t. E中有一点x1∈[r, bk],则按二等分法的规则，ak > r , 这与r≥an(对任意n) 相矛盾。所以E中任何一点x ≤ r. 又由an= r知对任意ε，存在 N，s.t. ∣aN-r∣<ε aN > r-ε.这也就是说存在x2∈E，s.t. x2 ≥ aN > r-ε.于是就证明了r 是E的上确界。

2、 实数闭区间的紧致性
紧致性是点集拓扑中的概念，它是用来描述一类集合的，在Rk中，集合E是紧致的 ? E是闭且有界的 ? E的每个无限子集在E内有极限点。实数闭区间是R中既闭且有界的集合，因此实数闭区间具有紧致性，这是实数开区间所不具备的一个性质。
（以上关于紧致性的介绍参考了Rudin的《数学分析原理》）
对于实数闭区间的紧致性，我们也可以从集合与序列的角度分别加以描述。
(1) 紧致性定理是从序列的角度来描述实数闭区间紧致性的，下面用紧致 性定理证明单调上升有上界的实数列有极限。
设{Xn}单调上升有上界，由紧致性定理，{ Xn }存在收敛子序列{ Xnk },设a = Xnk
∵{ Xn }单调上升，{ Xnk }为其子序列
∴对任意 n > n1 , k, s. t. Xnk ≤Xn ≤ Xnk+1
∵n → ∞ 时 k → ∞
∴由夹逼性定理知 Xn存在且等于a
(2) 区间套定理与有限覆盖定理是从集合的角度来描述实数闭区间紧致性的。
我个人觉得这两个定理是作为一对矛盾而对立统一地存在的，理由如下：①有限覆盖定理

中描述紧致性的工具是开区间，而区间套定理描述紧致性的工具是闭区间。闭区间与开区间本身便是一对矛盾，对立而统一的。②有限覆盖定理说的是有限个小的开区间覆盖住一个大的闭区间，其功能在于把每一点的局部性质转化到整个闭区间上，这即是由局部到整体的思想；而区间套定理说的是一个大区间里套一个小区间，小区间里再套一个小小区间，如此下去，最后套出一个点来，其功能是由点集的整体性质得出某一点的局部性质，这即是由整体到局部的思想。
从以上两点来看，有限覆盖定理与区间套定理是非常辩证地联系在一起的。
尽管这两个定理归根到底都是运用集合的语言阐述闭区间的紧致性（这正是它们的"统一"之所在），但在实际应用时，我们却可通过它们相互"对立"的方面来判断对于一个命题证明用哪一个定理更方便。
1。 对于那些由整体到局部的命题常常适合用区间套定理来证明。如确界定理、单调有界原理、柯西收敛原理的充分性、紧致性定理、聚点原理都属于这一类型，它们都指出，在某一条件下，作为整体的实数闭区间中有某种"点"存在（这种"点"包括确界点，极限点，收敛点以及聚点）
下面举几个例子
① 用区间套定理证明非空有界的实数子集必有上确界：






















































证明证明过程与本文先前用单调有界原理证明确界定理的过程大致相同，只是当构造出区间套{[an,bn]}时，直接由区间套定理得出 存在r∈[an,bn] (对任意n )，且 an= bn= r
② 用区间套定理证明单调有界原理
可用①的方法构造区间套并由区间套定理得出an= r==>对任意ε，存在N, s.t. ∣aN-r∣<ε aN > r-ε==> 存在N0, s.t. XN0≥ an> r-ε==> r-XN0<ε.又∵{Xn}单调上升∴对任意ε，存在N0，当n.>N0时（Xn>X N0）有r-Xn<ε==>∣r-Xn∣<ε于是Xn = r
(对于证明对任意n , Xn ≤ r ，可参见本文先前用单调有界原理证明确界定理的过程)
2。 A、对于那些由局部到整体的命题常常适合用有限覆盖定理直接证明，即构造一个与欲证结论有关的覆盖，利用覆盖的有限性来证明命题。例如：
①用有限覆盖定理证明一致连续性定理（证明过程见《数学分析简明教程》P305）
一致连续性定理将每一个点的局部性质推广到函数在整个闭区间上的整体性质。因此适合用有限覆盖定理直接证明。子覆盖的有限性在证明过程中的作用在于表明了δ=min{δ1/2，...，δn/2}中的n是有限的，所以集合{δ1/2，...，δn/2}是有最小值的，即δ是存在的。
②设f(x)在[a,b]上定义，且在每一

点处函数的极限存在，求证f(x)在[a,b]上有界。
该命题也是由函数在点的局部性质推及到其在闭区间上的整 体性质，所以适宜用有限覆盖定理直接证明。
证：由函数极限的局部有界性，对任意 x0∈[a,b]，存在 Mx0>0，δx0>0， s.t. ∣f (x)∣≤ Mx0 (x∈(x0―δx0 , x0 +δx0))
设E = {（x0―δx0 , x0 +δx0）∣x0∈[a,b]}，则E是[a, b]的一个覆盖，则此时存在[a,b]的一个有限覆盖：
Eα = {（xi―δxi , xi +δxi）∣i = 1,2,...,n}
设∣f (x)∣≤ Mxi , x ∈(xi―δxi , xi +δxi）(i = 1,2,...,n)
记M = max{ Mxi∣i=1,2,...,n},则有∣f (x)∣≤M,x∈(xi―δxi , xi +δxi)(对任意i)。注意到Eα 构成[a,b]的一个有限覆盖，故
∣f (x)∣≤ M（x∈[a,b]）
B、对于那些由整体到局部的命题常常适合用(运用了有限覆盖定理的)反证法来证明，即构造一个与欲证结论有关的覆盖，然后再通过子覆盖的有限性来推出矛盾结果。（因为用反证法时，这些由整体到局部的命题又颠倒过来，变成由局部到整体以至推出矛盾，因此还是适合用有限覆盖定理）
下面举两个例子，
①用有限覆盖定理证明聚点定理。（聚点定理是由点集的整体性质得出某一点的局部性质）
证： 设S为直线上的有界无限点集，于是存在a,b使S[a,b]
用反证法，假设[a,b]中任何点都不是S的聚点，则对每一点x∈[a,b]存在相应的δx>0，使得U(x, δx)内至多包括S的有限多个点，令H = { U(x, δx)│x∈[a,b]}则H是[a,b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，H中存在有限个邻域 U(x1, δx1),... ,U(xn, δxn)，它们构成了[a,b]的有限覆盖，从而也
覆盖了S，由于每个邻域至多含有S的有限个点，故这n个领域的并集也至多只含S的有限个点，于是S




















有点自己的
体会，不错！




























集也至多
只为有限点集，这与题设S为无限点集矛盾，故得证。
（此命命题证明参考了裴礼文《数学分析典型问题与方法》）
② 设f（x）在[a,b]上无界，求证存在c∈[a,b] , s.t.对任意δ > 0,函数f (x) 在（c―δ , c + δ）∩[a,b]上无界
（此命题也是由点集的整体性质得出某一点的局部性质，因此用有限覆盖定理的反证法）
证：
用反证法，设对任意x∈[a,b]，存在δx > 0，s.t. f (x)在（x―δx , x+δx）上有界。设

E = {（x―δx, x +δx）∣x∈[a,b]},则E是[a,b]的一个覆盖，则此时存在[a,b]的一个有限覆盖
Eα = {（xi―δxi , xi +δxi）∣i = 1,2,...,n}
设∣f (x)∣≤ Mxi , x ∈(xi―δxi , xi +δxi）(i = 1,2,...,n)
记M = max{ Mxi∣i=1,2,...,n},则有
∣f (x)∣≤ M，x∈(xi―δxi , xi +δxi)(对任意i)
注意到Eα 构成[a,b]的一个有限覆盖，故
∣f (x)∣≤ M（x∈[a,b]），这与f (x)在[a,b]无界矛盾，故原命题成立。


以上是我在学习实数理论过程中的一些心得体会，许多观点都是不成熟的，请老师多多指点。



注：正文左侧为邓老师的批注。