关于实数理论的几点思考
实数的教学反思和课后反思
实数的教学反思和课后反思一、实数的教学反思哎呀,说起实数,我就想起了那个头疼的数学老师。
那天,他拿着一根手指,神秘兮兮地说:“同学们,你们知道吗?这个世界上有很多东西都是虚无缥缈的,就像我们手里这根手指一样。
但是,有一种东西却是真实存在的,那就是实数!”我们都被他的话逗乐了,心想:“老师,您这是在卖关子呢!”可是,当我们开始学习实数的时候,才发现原来它并不是那么简单。
我们要学会什么是实数。
老师说:“实数就像是我们生活中的数字,它们有大小、有正负。
比如,1、2、3这些都是实数。
”可是,当我们遇到负数的时候,就开始犯难了。
老师说:“负数就像是我们生活中的负面情绪,让人感到沮丧和失望。
但是,负数也有它的好处,比如,它可以帮助我们更好地理解正数和零之间的关系。
”听完老师的讲解,我们终于明白了负数的意义。
接下来,我们要学会如何比较实数的大小。
老师说:“比较实数的大小就像是我们比较物品的价值一样。
我们要看它们的正负;然后,如果它们的正负相同,就看它们的绝对值;如果它们的绝对值也相同,就看它们的小数部分。
”经过一番努力,我们终于掌握了比较实数大小的方法。
学习实数的过程并不是一帆风顺的。
有时候,我们会遇到一些难以理解的概念,比如复数。
老师说:“复数就像是我们生活中的双胞胎兄弟,虽然长得一模一样,但是性格却大不相同。
”听了老师的比喻,我们都觉得豁然开朗。
原来,复数只是实数的一种特殊形式,只要我们用心去理解,就能掌握它。
二、课后反思学习实数的过程中,我深刻地体会到了数学的魅力。
虽然实数有时候会让我们感到困惑和挫败,但是只要我们勇敢地面对挑战,不断地尝试和探索,就一定能够攻克难题。
我也认识到了自己的不足之处。
在今后的学习中,我要更加努力地提高自己的数学素养,争取在实数这个领域取得更大的进步。
我还意识到了与同学们互相帮助的重要性。
在学习实数的过程中,我们要学会倾听他人的意见,尊重他人的观点,这样才能取长补短,共同进步。
实数复习课后反思
实数复习课后反思实数这一章概念多,比拟抽象,却又是后续学习方程和函数的根底,如何进行课堂教学的预设,通过复习到达什么效果,要让学生收获什么,是我和我们数学组老师上课前后反复思索的问题, 课后感触很多.一、本节课成功之处1、教学行为根本到达教学目标.本节课是章节复习课,我运用了学案式教学,让学生通过做练习理解概念,掌握了运算法那么.让学生回忆并口述所学的根底知识,采用互答式稳固了所学内容;通过老师精讲,强化重点、难点、易混点、注意点,引导学生对所学的知识进行梳理、总结、归纳,帮助学生理清知识结构,分清解题思路,弄清各种解题方法.比方知识点四化简和计算时,有的同学145=35,分母还含有根号,0.8=20.2 ,被开方数还是小数,都一一进行了纠正, 强化了最简二次根式.在教学过程中注意运用类比的数学思想,把有理数的有关概念、性质、运算法那么等和实数进行类比,让学生明确在实数范围内同样适用;能不讲的尽量不讲,根据大纲要求,不再随意把知识延伸和拓展,在一定程度上锻炼了学生的自学水平.2、认真研究教材,精选习题与考题.反复阅读教材,体会教材的严谨性,各种各样的考题,无一例外都要以教材为命题依据.在近几年的中考中,这块知识大多以填空和选择题的形式出现, 我在复习这块知识时也特别注意与中考方向相结合.例如:学案的拓展提升中第2题,一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4 ,那么a的值是;〔是xx年茂名的中考题〕;又如三、反思评价中第〔4〕题,一个自然数的算术平方根为a,那么和这个自然数相邻的下一个自然数是〔〕A.a+1B,a?2+1C.a?2+1D,a+1 〔是xx年潍坊的中考题〕.对于设计的典型习题,给学生足够的时间和空间,引导学生分析题目考查的知识点,让学生在探索、交流和解决问题的过程中体会知识,找出解题规律,提升审题水平,增强学生应对中考的自信心.3、教学活动注重师生沟通.教学过程中,师生形成了一个“学习共同体〞参与学习过程,知识让学生梳理、规律让学生寻找、错误让学生判断,以学生为主体比方学案中知识点三实数的分类, 227,3.1415,-7,-8,32,0.6,0,36, 兀3,0.10010001 ……?练习:请把符合要求的数填在横线上整数分数无理数负实数思考并解答:实数是如何分类的给学生设置四类数填空,学生通过判断、分析,很自然的能把实数按两种思路〔定义和正负〕进行分类.本节课课堂提问较多,多数学生能完整地表述自己的见解, 并产生了不同的争议,反映出学生的个性差异,我只是进行了适当的引导和点拨,突出了学生的主体地位.二、本节课缺乏之处由于学生不是自己学校学生,他们对知识的掌握程度不同,出现了一些应纠正的问题,处理起来时间比预定方案的时间拉长;另外在复习知识点一求平方根、立方根时,要写的概念较多,学生写的慢, 时间有些耽误,假设变成让学生表达出来可能会好一些, 所以在拓展提高教学环节中各小组学生没有充分的时间去完成,例如:第3小题两位同学在打羽毛球,一不小心球落在离地面高为6米的树上.其中一位同学赶紧搬来一架长为7米的梯子,架在树干上,梯子底端离树干2 米远,另一位同学爬上梯子去拿羽毛球.问这位同学能拿到球吗这道题应有三种解决方法,既能表达无理数比拟大小,还能表达估算在生活当中的地位,时间关系学生没在课堂上充分发挥出来.当然,课堂学习中也存在一些问题,局部同学对化为最简二次根式及计算问题仍不太熟练,还需要在课下增强练习.新课程强调“数学教学是教学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同开展的过程.〞在以后的工作中,我会更加注意各个教学环节的把握,不断更新教学方法,同时也要多鼓励学生进行反思,发现的问题及时解决,独到见解予以及时评价和鼓励,让学生经常保持一种主动、自觉和积极地学习状态.内容仅供参考。
实数思路总结
实数思路总结引言实数是数学中的一个重要概念,它包括整数、有理数和无理数等各种数。
实数的研究在数学的各个领域都有应用,包括代数、几何、分析等。
实数的思维方式和处理方法对于学习数学和应用数学都具有重要意义。
本文将总结实数的思路和处理方法,帮助读者更好地理解和应用实数。
实数的基本性质实数具有以下基本性质:1.实数具有封闭性:任意两个实数的和、差、积和商都是实数。
2.实数具有传递性:如果a<b且b<c,则a<c。
3.实数具有三角不等式:对于任意的实数a和b,有$|a + b| \\leq |a| +|b|$。
4.实数具有稠密性:在任意两个实数之间,总存在一个实数。
这些基本性质使得实数成为一种重要的数学工具,在数学推理中具有重要的作用。
实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法等。
加法对于实数a和b,它们的和a+b定义为a与b的加和。
加法具有以下性质:•交换律:a+b=b+a•结合律:(a+b)+c=a+(b+c)•存在单位元素:存在实数0,使得a+0=a•存在逆元素:对于任意实数a,存在实数−a,使得a+(−a)=0减法对于实数a和b,它们的差a−b定义为a减去b。
减法可以看作是加法的逆运算。
乘法对于实数a和b,它们的积$a \\cdot b$定义为a与b的乘积。
乘法具有以下性质:•交换律:$a \\cdot b = b \\cdot a$•结合律:$(a \\cdot b) \\cdot c = a \\cdot (b \\cdot c)$•存在单位元素:存在实数1,使得$a \\cdot 1 = a$•存在逆元素:对于任意非零实数a,存在实数$\\frac{1}{a}$,使得$a \\cdot \\frac{1}{a} = 1$除法对于实数a和b,它们的商$\\frac{a}{b}$定义为a除以b。
除法可以看作是乘法的逆运算。
实数的比较和排序实数可以进行比较和排序,可以使用不等号进行大小的判断。
感悟实数中的数学思想
感悟实数中的数学思想作者:洪飞来源:《初中生之友·中旬刊》2012年第11期实数是初中阶段的基础知识,也是比较重要的知识点,其中渗透着丰富的数学思想。
在解答实数问题时,若能把握其中的数学思想方法,则可使解题思路开阔,方法简便快捷。
下面举例说明。
一、转化思想所谓转化思想,就是要把所要解决的问题化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。
具体地说,就是把“新知识”转化为“旧知识”,把“复杂”转化为“简单”,把“陌生”转化为“熟悉”,把“未知”转化为“已知”。
比较■与■的大小。
解析比较两个实数的大小有很多方法,本题可以借助计算器取近似值比较大小,也可以通过比较■与3的大小来解决问题。
因为7点评本题在比较两个实数大小时,采用了转化变形思想,通过观察分析可知,比较■与■的大小,可转化为比较■与3的大小。
二、分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后分别研究,给出每一类的结果,最后综合各类结果解答整个问题。
已知x=3,y=2,xyA.5或-5B.1或-1C.5或1D.-5或-1解析由x=3,y=2,可知x=±3,y=±2。
又xy(1)当x>0,y(2)当x0时,x+y=-3+2=-1。
所以x+y=±1。
故答案选B。
点评按照不同的标准,实数有一些不同的分类方法,而且不同的分类方法各有所长,分类时只要做到不重不漏即可。
三、数形结合思想数轴是理解实数及其运算的重要工具,像数轴这样把数与形结合起来进行研究的思想方法,就是数形结合思想。
实数a在数轴上位置如图所示,化简a-1-■=______。
解析由图知1则有a-1+■=a-1+a-2=a-1+2-a=1。
点评数与形是对立统一的,学习实数与数轴后,把数与形结合起来解决问题,可以起到直观准确的作用。
弄清数形互译的意义是解决此类问题的关键。
四、归纳猜想思想归纳猜想是解决规律性问题的重要数学思想方法。
实数思想方法总结
实数思想方法总结实数思想方法是一种基于实际观察和分析的思考方式,它注重通过实证证明问题的解决方法。
以下是我对实数思想方法的总结。
首先,实数思想方法注重对实际问题的观察和实证分析。
在解决问题时,我们需要先观察事物的具体情况,然后通过数据和实证分析来验证我们的想法是否正确。
这种思维方法使得我们能够从实际出发,针对问题本身进行分析,避免了主观偏见和无效的推测。
其次,实数思想方法强调对多种因素的综合考虑。
在实际问题中,往往存在很多影响因素,单一的思考方式可能会忽略其中的一些重要因素。
通过实数思想方法,我们可以将不同因素进行综合考虑,找出问题的根本原因,并制定综合性的解决方案。
实数思想方法还注重对实际数据的收集和分析。
在解决问题时,我们需要通过数据的收集和分析来验证自己的猜测和假设是否正确。
通过收集大量的实际数据,我们可以更客观地了解问题的实质,避免主观臆断的情况出现。
此外,实数思想方法也强调了实践的重要性。
在解决问题时,我们不能仅仅停留在理论层面上进行思考,还需要通过实践来验证我们的想法和解决方案是否有效。
通过实际操作,我们能够更准确地了解问题,并对解决方案进行调整和改进。
在实数思想方法中,还有一点需要特别强调,那就是态度的重要性。
在解决问题时,我们需要具备科学、客观和严谨的态度。
只有这样,我们才能对问题进行准确的分析和判断,找出问题的根本原因,并确定有效的解决方案。
总结来说,实数思想方法是一种基于实际观察和分析的思考方式。
它注重对实际问题的观察和实证分析,综合考虑多种因素,强调对实际数据的收集和分析,注重实践的验证,并具备科学、客观和严谨的态度。
通过运用实数思想方法,我们可以更有效地解决实际问题,提高问题解决能力。
教案二:解决实数运算中的常见问题和难点
教案二:解决实数运算中的常见问题和难点在数学学习中,我们难免会遇到一些关于实数运算的问题和难点。
这是因为实数运算是数学中较为基础和重要的一部分,也是因为实数运算在日常生活中也具有重要的应用价值。
本文将就实数运算中的常见问题和难点进行探讨,并提出一些解决方案。
一、实数的完备性实数的完备性是实数理论中的重要概念。
简单来说,完备性指的是实数集中无任何缺陷的特性。
实数具有完备性的最大意义在于,它保证了实数集中所有的数值都可以在实数集中得到准确的表示。
例如,如果我们在一条数轴上表示所有有理数,则可以看到,数轴上有很多点是无法得到准确的表示的。
然而,如果我们将所有有理数和无理数一起表示在数轴上,则可以看到数轴上没有任何遗漏或重复的点,这也就体现了实数的完备性。
解决方案:因此,如何正确理解实数的完备性,是实数运算的重要难点之一。
一种解决方案是通过多做实例题来掌握实数的完备性的概念和意义。
此外,我们还可以通过一些数学工具(如数轴,数学符号等)来揭示实数的完备性。
二、实数运算中的四则运算四则运算是实数运算中基础的运算方法,然而在细节方面还是存在一些难点,比如如何正确处理负数的乘除法等。
以下是四则运算中常见的问题和难点:1.加法和减法在实数的加法和减法中,正数加或减正数,负数加或减负数,都比较简单。
然而,当正数和负数相加和相减时,就需要格外注意。
例如,当一个正数与一个负数相加时,我们需要将其绝对值相减,再根据正负号决定结果的正负。
2.乘法在实数的乘法中,负数的乘法尤为复杂。
特别地,当两个数均为负数时,我们需要对其绝对值相乘,再加上负号得到结果。
此外,当乘法存在分数时,我们还需要进行化简和约分的操作。
3.除法在实数的除法中,除0的情况要格外小心。
当分母为0时,无法得到准确的结果,此时需要分母不断逼近0的极限,并讨论极限是否存在。
解决方案:四则运算是实数运算的基础。
针对四则运算中的难点和问题,我们可以进行大量习题训练,并结合实际生活中的问题进行思考。
实数的教学反思和课后反思
实数的教学反思和课后反思1. 教学过程的回顾1.1 课程准备哎,说到实数的教学,这真是一场“脑力激荡”的挑战。
课程一开始,我想着要把实数的概念讲得清清楚楚,让同学们一听就懂。
不过,回头一看,有些内容可能讲得太过抽象,学生们的理解程度差异挺大。
原本我以为讲解概念时多用点实例会让大家更容易接受,但看来,我还是低估了抽象概念的“威力”。
1.2 教学方法这节课我试了些新招,比如用实数的实际应用来让学生感受到它们的重要性。
不过,也有些同学可能觉得这些实际例子离他们的生活太远了。
这样一来,教学效果就打了折扣。
就像是你拼命地去解释一件事情,但学生的理解却总是“漂浮”在空中,难以落地。
2. 课堂互动的体验2.1 学生反馈上课过程中,我观察到学生们的反应还是挺丰富的。
有人听得津津有味,也有人一副“这个难倒了我”的样子。
尤其是在讲解实数的性质时,我发现有些同学开始皱眉,明显是理解上有些“卡壳”。
这时候,我意识到得调整教学节奏,让他们有更多时间消化和理解。
2.2 问题解答回答学生提问时,我尽量用通俗易懂的语言,但有些问题确实让人“摸不着头脑”。
例如,有学生问到实数和整数之间的关系,我觉得自己解释得还不够具体。
未来我得“刮目相待”,多加些细节,免得让学生们在理解上“跌个跟头”。
3. 课后反思的收获3.1 教学效果课后,我坐下来反思,觉得有必要“挖掘”一下教学效果。
虽然课程内容有一定的深度,但学生的实际掌握情况却让人有点担忧。
特别是在实数的运算部分,我发现大家的准确率不高,这可能跟我讲解的方式有关。
下次,我需要在这些方面下更多功夫,让学生能够“熟能生巧”。
3.2 未来改进为了更好地提升教学效果,我决定做几个改进。
首先,讲解时要更多地结合实际案例,尽量避免抽象的解释。
其次,课后多安排一些练习题和讨论环节,让学生有机会在实际操作中理解知识。
总之,要把这些教学中的“小细节”调整到位,让学生在轻松愉快的氛围中掌握实数的知识。
总而言之,实数的教学虽说充满挑战,但也是一种“成长的经历”。
实数的教学反思和课后反思
实数的教学反思和课后反思1. 引言在每一节数学课后,我总会像一名心细的工匠,检查一下自己这段时间“雕刻”的作品——课堂上的教学。
特别是涉及实数这种基础而重要的内容时,我的思绪总是缠绕着“怎样才能让这些抽象的概念变得生动有趣”,这样学生们才能真正消化吸收。
这次的实数课,我的心情如同过山车,时而忐忑,时而释然,下面就来聊聊这节课的一些感触和思考吧。
2. 实数教学的亮点2.1 课堂氛围的营造说到课堂氛围,这真的是一门“艺术”。
这节课我特别注重用生活中的例子来帮助学生理解实数,比如用购物时的找零、温度变化这些大家都能感受到的事物来说明。
大家都知道,数学并不是一件冷冰冰的事,它要有温度,要和生活紧密联系起来。
比如,当我提到“零下十度”和“十度”这两个温度时,孩子们的眼睛一下子亮了,这种从生活中来的问题让他们感到特别亲切。
我发现,给学生们讲讲他们生活中的真实情况,真的能让他们的眼睛闪闪发光,这种反馈让我感到特别欣慰。
2.2 互动环节的效果互动环节也是我这节课的亮点之一。
我用了一些小游戏和小组讨论来帮助学生们深入理解实数的概念。
比如,我们用“掷骰子”的游戏来讨论概率,利用不同数值的组合,让学生们自己动手计算概率。
这种方式不仅激发了他们的兴趣,还让他们在实际操作中加深了对实数的理解。
看到学生们在课堂上积极发言、踊跃参与,我觉得自己就像是施展了魔法一样,这种成就感真是无与伦比!3. 实数教学中的挑战3.1 抽象概念的理解然而,任何事情都有两面性,实数的抽象性对学生们来说无疑是一道“难题”。
尤其是对于一些基础较薄弱的学生,他们往往觉得这些概念像是“高深莫测的宝藏”,难以触及。
在这节课上,我发现有些学生对“无理数”和“有理数”的区分仍然很模糊。
这种时候,我觉得自己就像是一位迷路的导游,尽管努力指引方向,却依旧需要更多的耐心和引导。
3.2 教学策略的调整面对这些挑战,我意识到,传统的讲解方式可能并不完全奏效。
比如,在讲解“无理数”时,我尝试用比较形象的比喻,但效果似乎没有我预期中的好。
实数概念教学的几点体会
实数概念教学的几点体会实数是小学数学的一个重要内容,是本章节的一个难点。
而且我们都知道:如果没有实数概念就无法解决开方和分数的互化等问题。
所以实数的概念在整个数学学习中具有极其重要的作用,学生只有理解了实数的意义才能正确使用它,也才能运用它解决更多的数学问题。
这里我结合教学实践谈几点看法:一、用“猜想”来激发学生的兴趣。
在教学实数的初步认识时,为了引起学生学习数学的积极性,我特别在课前创设了一种猜想情境:“同学们你们喜欢玩游戏吗?”这时,学生的回答是异口同声的:“当然喜欢了。
”接着,我问:“那你们喜欢怎样玩游戏呢?”此时,孩子们七嘴八舌地说开了:“假如我有十元钱,我就到商店买东西;假如我有五元钱,我就买本书看;假如我有一百元钱,我就做大生意……”听着孩子们的回答,我欣喜若狂地说:“孩子们你们真是太棒了!我相信你们的本领一定会更大的!”话音刚落,我就请他们在全班展示他们的本领,并引导他们自由说出实数的含义。
接下来再让他们各自独立想一想,自己能不能用语言表达实数的意义。
当然学生的回答各不相同,有的学生说得很好,但还有很多同学也能表达,但说得不够准确,这是为什么呢?这时,我就对学生说:“实数的意义就是实际的数,实数代表了现实世界里的具体的数。
”随后我又让学生们给老师讲讲他们对实数的理解,同学们都争先恐后地举起了手,争着发表自己的见解。
我非常高兴,因为从他们的回答中我看出了他们思维的火花。
这时,我趁热打铁,向学生说明:“同学们,我希望你们在以后的学习中,能善于动脑筋,勤于思考,善于表达。
因为只有这样你们才能成为未来的数学家!”在教学中让学生进行猜想,可以让学生根据已有的知识经验和生活经验,进行合乎逻辑的推测,从而得出实数的概念,在学生的头脑中形成实数的感性认识,加深对概念的理解。
我们知道,猜想有两种类型,即或然性与必然性。
其中或然性的猜想是最简单的,即仅仅依靠观察现象,靠直觉作出的猜想。
这种猜想,虽然是一种有根据的猜想,但它却是一种模糊的猜想。
新人教版七年级下册第六章“实数”教学反思
新人教版七年级下册第六章“实数”教学反思 上完《实数》课后,我常常有如此的困惑:不仅是讲了,而且是讲了多遍,可是学生的解题能力确实是得不到提高!比如明明重复了好多遍“a2的平方根是±a ”,可是学生每次做题仍是按“a2的平方根是a ”计算。
也常听见学生如此的抱怨:巩固题做了几十遍,数学成绩却不见提高!这不能不引发我的反思了。
确实,显现上述情形涉及方方面面,但我以为其中的例题教学值得反思,数学的例题是知识由产生到应用的关键一步,即所谓“抛砖引玉”,但是很多时候只是例题归例题,解后并无引导学生进行反思,因此学生的学习也就停留在例题表层,显现上述情形也就不奇怪了。
事实上,解后反思是一个知识小结、方式提炼的进程;是一个吸取教训、慢慢提高的进程;是一个收成希望的进程。
从那个角度上讲,例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。
我以为应从以下几方面做一些探讨:一、在解题的方式规律处反思。
“例题万万道,解后抛九霄”难以达到提高解题能力、进展思维的目的。
擅长作解题后的反思、方式的归类、规律的小结和技术的琢磨,再进一步作一题多变,一题多问,一题多解,挖掘例题的深度和广度,扩大例题的辐射面,无疑对能力的提高和思维的进展是大有裨益的。
通过例题的层层变式,培育学生从特殊到一样,从具体到抽象地分析问题、解决问题;通过例题解法多变的教学那么有利于帮忙学生形成思维定势,而又打破思维定势;有利于培育思维的变通性和灵活性。
二,在学生易错处反思。
学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同,而其表达方式可能又不准确,这就不免有“错”。
例题教学假设能从此切入,进行解后反思,那么往往能找到“病根”,进而对症下药,常能收到事半功倍的成效! (1)计算常显现哪些方面的错误? (2)显现这些错误的缘故有哪些? (3)如何克服这些错误呢?可让同窗们各抒己见,针对各类“病因”开出有效的“方剂”。
实践证明,如此的例题教学是成功的,学生在计算的准确率、和速度两个方面都有极大的提高。
关于实数理论的几点思考(精)
请证明二者的等价性这对实数系来说,自然是这样。
但前三条都与实数系的“序”相关,而柯西列却与“序”没关,所以齐备性不叫连续性对于实数理论的几点思虑数学与应用数学专业04 级郑维坚一、实数理论的引入实数理论的引入是拥有其历史必定性的。
只管牛顿、莱布尼兹早在十七世纪时便成立了微积分的演算系统,但这套微积分的看法与演算,是以直观的基础的,看法其实不正确,推导公式有显然的逻辑矛盾。
直至 19 世纪,矛盾已累积到非解决不行的程度,于是在这类局势下,实数理论作为极限理论的坚固基础被引入了,并使微积分的演算系统严格化。
(以上内容参照了《数学剖析简洁教程》)二、实数系各样性质的等价表述概论经过这几个月来的学习,我对实数理论有了一些自己的领会。
我以为,对实数系中与实数相关的各样性质(照实数连续性、齐备性、实数闭区间的紧致性,连通性等)的描绘,无外乎有两种方式:一种是用会合的看法来论述,如戴德金分划,非空有上界的实数子集有上确界、有限覆盖定理、区间套定理及聚点定理,另一种是用序列的看法来描绘,若有理数基本列的等价类,单一上涨有上界的序列有极限,紧致性定理以及柯西收敛原理。
1、实数的连续性对于数系的连续性戴德金是这样定义的:假如一个有大小次序的浓密的数系 S,它的任一个分划都有S 中独一的数存在,它不小于下类中的每一个数,也不大于上类中的每一个数,那么称数系S 是连续的。
以上的定义是经过会合(即下类与上类)来表述的,可是我感觉也能依据康托的思路用序列的方式加以定义,即对于一个有大小次序的浓密数系 S,若全部(有理数)基本列的等价类与S 中的全部数一一对应,则称S是连续的。
言归正传,实数连续性是极限理论的基础,微积分正是在实数系这样一个连续的数系中才有了大显神通的舞台。
对于实数连续性的等价描绘共有三种:(1)对于实数系的每一个分划 A ∣ B ,存在独一的实数 r,使得对随意 a ∈A , b∈B, 有 a≤ r ≤ b(2)非空有上界的实数子集必有上确界存在。
从数学思想的角度解读实数
从数学思想的角度解读实数数学思想和方法是数学的灵魂,是知识转化为能力的桥梁,信息社会越来越多地要求人们自觉地运用数学思想提出问题和解决问题,因此,在数学教与学的过程中,善于适时地把数学思想方法渗透和应用到解决问题中,才能提高数学综合素质和能力.北师版数学初二年级(八年级)第二章其主要内容是平方根和立方根、实数与数轴,虽然内容不多,但其中包含着丰富的数学思想和方法,同时也是历年中考的热点.如果能从数学思想的角度解读,不仅有“柳暗花明又一村”的喜悦,而且会有更新,更多的感觉.一、转化的数学思想转化的思想是数学学习与研究的一种重要思想.通常是把复杂问题简单化、分散的问题整体化、未知的问题熟悉化、一般的问题特殊化等..本章中转化思想主要应用在:求一个负数的立方根时,可以转化为求一个正数的立方根的相反数;在实数的近似计算中,遇到无理数时,可根据问题的精确程度取近似值,转化为有理计算等.例1 计算(-2)2-20+(21)-1+983-- 解(-2)2-20+(21)-1+983--=4-1+2-983-=4-1+2-2-3=0. 简评:例1实施五个转化.即负数的立方根转化为正数的立方根求;负指数、零指数、乘方转化为整数,平方根转化为整数.二、分类的数学思想分类的思想是初中数学的重要思想,当被研究的问题包含多种情况时,不能一概而论,必须按可能出现的每种情况分别讨论,得出各种情况下相应结论,然后根据情况合并,作出严密的结论,这种处理问题的思维方法称为分类的思想.本章中分类思想主要体现在:研究平方根、,算术平方根及立方根的性质时,都是将有理数按其符号进行分类讨论的..如一个正数有两个平方根,它们是互为相反数;0有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根;任何一个数都有一个立方根,正数有一个立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0;在有理数扩充到实数后也是应用分类的思想对实数进行划分.但应注意,不论按什么分类都应不重不漏.例2 在所给的数据:,57.0,,31,5,232π-0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次增加1个)其中无理数个数( ).(A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个 解:2422==;3355-=-;显然22、31、0.57都是有理数;所以无理数的个数为3.选B.简评:作此类题需要掌握实数的分类.判断一个数是哪类数,可以化简后再判断,但是对于代数式分类判断,则不能化简后再判断,如xx 2是分式,对于数、式分类时,常用策略是:“数看结果,式看形式”.三、数形结合的思想“数”可以准确刻画量的特征,“形”能直观反映状态特点,数学上常用数形结合的方法来描述物体某些特征.数形结合的思想在本章中突出的应用是:数轴上点不仅表示有理数,也表示无理数,任何一个实数都可以在数轴上找到一点表示,这样就建立了数轴上点与实数之间的一一对应关系.例3 “数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P 所表示的数是2”这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( ).(A)代入法 (B)换元法 (C)数形结合 (D)解:显然是数与形的结合,故选C.简评 例3类的型题是近年中考热点,应特别重视.四、整体的数学思想在研究和处理问题时,把着眼点放在整体上,不拘小节和部分.这样的解决问题的方法,可以收到简捷、明快的效果.在本章中,计算题较多,技巧性较强,有些中考题选择整体代入,可使计算量减小,不选择整体代入亦可计算,但是有些中考题不从整体上思考就无法解决.例4 计算1-3+5-7 +9-11+…+97-99解:1-3=-2,5-7=-2,9-11=-2……97-99=-2 共25个1-3+5-7 +9-11+…+97-99=-50简评 近年来以实数为背景的规律探索题在中考中出现较多.如004年长沙市等都有类似题目,若不从整体上把握,就难找到规律性东西,问题也就难于解决.五、归纳的数学思想“一般”包括“特殊”,“特殊”存在于“一般”之中..通常用“特殊”的性质,去猜想探究,归纳出“一般”的性质,也是数学中的一种重要的思想方法,在本章中归纳思想的应用较多.如数轴上的点必表示一个实数,每一个实数(有理数或无理数)也都可以用数轴从数学思想的角度解读实数上的点表示.于是得出:实数与数轴上的点一一对应.例5 31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,…那么32005的个位数字是_________. 解:继续算下去得36=829,37=2487,38=7461…显然个位数是3、9、7、1;3、9、7、1循环出现.故32005的个位是3.简评 用归纳法得出结论不一定全正确,需要检验.六.方程的思想方程的思想是初中数学的重要思想方法,同样可以用方程的观点、知识去处理二次根式的相关问题,也是本章的一个亮点.如课本中引例:要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片,纸片的边长应是多少?就是说x 2=25,求x ,实际就是方程的思想方法.例6 已知x ,y 为实数,且()02312=-+-y x ,则x-y 的值为( ). (A)3 (B)-3 (C)1 (D)-1解:由题意的01=-x 且3(y-2)2=0,得x=1,y=2,所以x-y=-1.故选D . 简评 例6由几个非负数的和为零得到方程,应用方程观点确定其值.上述列举的数学思想是《数的开方》中比较突出的思想方法,至于建模的思想、特殊值思想等也有渗透,请读留心探究.。
实数教学反思
实数教学反思
第一,我注重的是知识点的传授,并没有很好地把握学生的学习情况,因此无法有效地促进学生的学习兴趣和学习动力。
我只是单纯地将知识点重复地讲述给学生,但学生却很少主动提问,往往表现出麻木和缺乏参与感。
第二,我过于注重解题过程的讲解,忽略了实数概念的讲解。
在数学中,“概念”是非常重要的,应该在教学中注重讲解和理解。
然而,在我的实数教学中,我往往只是讲解了解题方法,忽略了实数概念的解释和理解,导致学生对实数的理解程度较低,也难以运用实数概念解决实际问题。
第三,我没有充分考虑学生的个性化需求。
我只是按照标准的教学要求讲解,没有很好地考虑学生的个性化需求,导致教学效果不够理想。
例如:我没有很好地了解学生的基础数学知识、学习习惯和学习风格,很难制定个性化的教学计划,导致一些学生往往不能跟上课堂的步伐,从而影响了教学效果。
综上所述,我在实数教学中应更加注重对学生的学习情况的把握和考虑,注重学生的个性化需求,并注重讲解实数概念,尽可能地激发学生的学习动力,提升教学效果。
关于《实数》一课的教学反思
关于《实数》一课的教学反思《实数》一节,是在数的开方的基础上引进无理数的概念,并将数从有理数的范围扩充到实数的范围。
由于实数涉及的理论较深,数的概念又比较抽象,这些概念看似简洁,同学要真正把握还是有点困难。
教材一开头支配了一个探究:用计算器将有理数写成小数的形式,你有什么发觉?生:通过计算探究,发觉这些有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
为了说明全部的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
我随口又说出:请用计算器算算10/7是什么样的小数?生:无限循环小数、有限小数······(看法明显不全都)师:为什么?生:由于它等于1.428571428,不循环。
噢,我明白了:计算器上最多只能显示出9位小数,是个近似值。
于是,我抓紧让同学将计算器的小数位数设定为5位,再看看结果是什么?生:1.42857师:可见,计算器上的值是10/7的真实值吗?生:······师:自己用除式笔算一下。
生:循环小数。
(大家最终心服口服了)接着,我让同学用计算器探究√2用小数形式表示为多少?部分生:1.414213562,也为有限小数。
(这是我预料之中的)师:请将你的计算器的小数位数设为3位、5位,看结果如何?生:1.414,1.41421师:那么能否认为√2究竟等于1.414213562,1.414,还是1.41421?生:······过了一会,有一生突然说:“都不等”。
师:为什么?该生:将这些数平方后都不等于2,依据算术平方根的定义,可以得出。
我有点惊异,连我也没有这样去想。
······课堂仍在连续。
下课了,同学在本节课中的机灵表现仍在脑海中出现。
心中始终在想,这不正是我们所期望的课堂:“老师引导同学参加学习活动、点燃同学思维的火花,让同学在布满生气和活力的课堂活动中有所收获、得到进展,受到启迪······”让我们以生动的课堂活动为主线,以进展同学为动身点,通过开展公平的对话沟通,让学问在师生的互动中自然生成,让同学在潜移默化的课堂活动中使自己的认知得到进展、情感得到升华、力量得到提高。
2023年实数的概念教学反思
2023年实数的概念教学反思2023年实数的概念教学反思11、在教学中,要突出了讨论无理数和实数的概念,实数是在有理数的基础上中以扩充的,定义了无理数之后,有理数和无理数统称为实数。
对实数的比较大小和运算两个问题。
可以通过类比由有理数得到。
2、由于分类的标准不同,实数分类的方法可以有多种。
在这主要介绍了两种分类方法:一种是按有理数和无理数分类;一种是按实数的大小分类。
无论采取哪种分类方法,关键是不重不漏。
通过教学,向学生渗透对概念进行分类的原则:一是要选定一个属性为标准,选择的标准不同,分类的结果也不同,但每次分类不能同时选用两个以上的不同属性作标准;二是不越级进行分类,就是说分类的结果应该是它的邻近的种类概念,而不能越级,如把实数分为整数、分数和无理数,就是越过了“有理数”这一级,这是不正确的。
正确的科学分类经常采用二分法,即在每一次分类时,将被分类的所属概念以某一属性为标准,分成且仅分成互不相容的两个矛盾关系的两种概念,并且逐级地这个分下去。
二分法不仅是全面地、系统地掌握要领的重要的分类方法,而且也是系统地分析问题和解决问题的有力方法。
2023年实数的概念教学反思2本节是在数的开方的基础上引进无理数的概念,并将数从有理数的范围扩充到实数范围.从有理数到实数,在本节课中为了突出重点,突破难点,我将教学分层次进行,先从从一个探究活动开始,并引导学生探究其特点,发现它们不同于有限小数和无限循环小数,也就是一类不同于有理数的数,由此给出无理数的概念.无限不循环小数的概念在前面两节已经出现,通过强调无限不循环小数与有限小数和无限循环小数的区别,以使学生更好理解有理数和无理数是两类不同的数.本节课通过学生的主动智力参与,动手实践、引导探索与合作交流等活动,使学生在教师的主导作用下,实现对实数概念的自我建构。
教师在培养学生学习兴趣,激发良好学习动机中起到了一定的作用。
在课堂的准备与指导阶段充分了解学生,进行有效提问,为学生提供及时适当的反馈动。
2024年实数的读后感范本
2024年实数的读后感范本我在阅读《2024年实数》这本书的过程中,被深深地震撼和启发。
这本书提出了一种全新的实数观念,引领着我对实数的认知进入了一个全新的境界。
在这本书中,作者系统地介绍了实数的各种性质,并提出了一系列的定理和推论,让我对实数有了更加深入的理解。
首先,作者在书中对实数进行了形式化的定义,更加准确定义了实数的概念。
他通过引入序关系和运算法则,描述了实数之间的相互关系和运算规则。
这个形式化的定义为我后续的学习奠定了坚实的基础。
然后,作者将实数的性质进行了详细的分析和论证。
他深入探讨了实数的有序性、完备性和连续性等方面的性质。
这些性质不仅丰富了我的实数知识,而且也让我认识到实数是一个非常特殊的数系,它与有理数和无理数之间有着密切的联系和差异。
通过书中的例题和证明过程,我更深刻地理解了实数的这些性质。
此外,作者在书中还介绍了一些实数的重要定理和推论,让我对实数的应用有了更深的认识。
例如,他证明了实数集合的闭区间套定理和戴德金定理,这些定理揭示了实数集合的一些重要的性质和结构。
我通过阅读这些证明过程,不仅对实数的性质有了更全面的了解,而且也锻炼了我的逻辑思维和数学证明的能力。
最后,我最深受益的是书中的习题部分。
作者在书中精心设计了一系列的习题,涉及到实数的各个方面,从基础的性质到高级的定理,从简单的计算到复杂的证明。
通过解答这些习题,我不仅加深了对实数的理解,还养成了独立思考和解决问题的能力。
综上所述,《2024年实数》这本书给我带来了很多的思考和启发。
通过阅读这本书,我对实数有了更全面和深入的理解,同时也提高了自己的数学思维和解决问题的能力。
这本书无论对于数学专业的学生还是对于其他学科的学生来说,都是一本具有很高参考价值的书籍。
我相信,通过阅读和学习这本书,我们会更好地理解实数这个数学概念,并在实际问题中更好地应用它们。
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尽管这两个定理归根到底都是运用集合的语言阐述闭区间的紧致性(这正是它们的"统一"之所在),但在实际应用时,我们却可通过它们相互"对立"的方面来判断对于一个命题证明用哪一个定理更方便。
1。 对于那些由整体到局部的命题常常适合用区间套定理来证明。如确界定理、单调有界原理、柯西收敛原理的充分性、紧致性定理、聚点原理都属于这一类型,它们都指出,在某一条件下,作为整体的实数闭区间中有某种"点"存在(这种"点"包括确界点,极限点,收敛点以及聚点)
1、实数的连续性
对于数系的连续性戴德金是这样定义的:如果一个有大小顺序的稠密的数系S,它的任一个分划都有S中唯一的数存在,它不小于下类中的每一个数,也不大于上类中的每一个数,那么称数系S是连续的。
以上的定义是通过集合(即下类与上类)来表述的,不过我觉得也能按照康托的思路用序列的方式加以定义,即对于一个有大小顺序的稠密数系S,若所有(有理数)基本列的等价类与S中的所有数一一对应,则称S是连续的。
覆盖了S,由于每个邻域至多含有S的有限个点,故这n个领域的并集也至多只含S的有限个点,于是S
有点自己的
体会,不错!
下面举几个例子
① 用区间套定理证明非空有界的实数子集必有上确界:
证明证明过程与本文先前用单调有界原理证明确界定理的过程大致相同,只是当构造出区间套{[an,bn]}时,直接由区间套定理得出 存在r∈[an,bn] (对任意n ),且 an= bn= r
下面举两个例子,
①用有限覆盖定理证明聚点定理。(聚点定理是由点集的整体性质得出某一点的局部性质)
证: 设S为直线上的有界无限点集,于是存在a,b使S[a,b]
用反证法,假设[a,b]中任何点都不是S的聚点,则对每一点x∈[a,b]存在相应的δx>0,使得U(x, δx)内至多包括S的有限多个点,令H = { U(x, δx)│x∈[a,b]}则H是[a,b]的一个开覆盖,由有限覆盖定理,H中存在有限个邻域 U(x1, δx1),... ,U(xn, δxn),它们构成了[a,b]的有限覆盖,从而也
∣f (x)∣≤ M(x∈[a,b])
B、对于那些由整体到局部的命题常常适合用(运用了有限覆盖定理的)反证法来证明,即构造一个与欲证结论有关的覆盖,然后再通过子覆盖的有限性来推出矛盾结果。(因为用反证法时,这些由整体到局部的命题又颠倒过来,变成由局部到整体以至推出矛盾,因此还是适合用有限覆盖定理)
对于实数闭区间的紧致性,我们也可以从集合与序列的角度分别加以描述。
(1) 紧致性定理是从序列的角度来描述实数闭区间紧致性的,下面用紧致 性定理证明单调上升有上界的实数列有极限。
设{Xn}单调上升有上界,由紧致性定理,{ Xn }存在收敛子序列{ Xnk },设a = Xnk
其实(2)与(3)描述实数连续性的思路是一样的,即表明实数系在数轴上的任何地方都没有空隙,二者所不同的只是(2)从集合的角度来描述,而(3)从序列的角度来表述。
课本中已证明了(1)?(2),(1)?(3)及(2)==>(3),现在证明(3)==>(2)。
设M为实数子集E的上界,来证明r = supE∈R。若有E最大值,则此最大值即为上确界。若E无最大值,任取x0E,将[x0,M]二等分,若右半区间含有E中的点,则记右半区间为[a1, b1],否则就记左半区间为[a1,b1]。然后将[a1,b1]再二等分,用同样的方法选出[a2,b2],如此无限分下去,我们便得到一个闭区间的集合{[an , bn]},同时得到两串序列{an},{bn},其中{an}单调上升有上界(如b1), {bn}单调下降有下界(如a1),且bn - an = ( b1 -a1 ) / 2n ?0(n?∞时)。由单调上升有上界知有r存在,
2、 实数闭区间的紧致性
紧致性是点集拓扑中的概念,它是用来描述一类集合的,在Rk中,集合E是紧致的 ? E是闭且有界的 ? E的每个无限子集在E内有极限点。实数闭区间是R中既闭且有界的集合,因此实数闭区间具有紧致性,这是实数开区间所不具备的一个性质。
(以上关于紧致性的介绍参考了Rudin的《数学分析原理》)
Eα = {(xi―δxi , xi +δxi)∣i = 1,2,...,n}
设∣f (x)∣≤ Mxi , x ∈(xi―δxi , xi +δxi)(i = 1,2,...,n)
记M = max{ Mxi∣i=1,2,...,n},则有∣f (x)∣≤M,x∈(xi―δxi , xi +δxi)(对任意i)。注意到Eα 构成[a,b]的一个有限覆盖,故
一、 实数理论的引入
实数理论的引入是具有其历史必然性的。尽管牛顿、莱布尼兹早在十七世纪时便建立了微积分的演算体系,但这套微积分的概念与演算,是以直观的基础的,概念并不准确,推导公式有明显的逻辑矛盾。直至19世纪,矛盾已积累到非解决不可的程度,于是在这种形势下,实数理论作为极限理论的坚实基础被引入了,并使微积分的演算体系严格化。
[我认为其实柯西收敛原理也反映了实数连续性,而且如果我先前补充的定义可行的话,则康托对实数的定义"每一个(有理数)基本列的等价类都代表一个实数"也可视为实数连续性的一种描述,不过它是建立在另一种定义之上的]
下面谈谈我对这三个等价描述的理解:
(1)很直观的描述了实数连续性。
(2)(3)的表述则较为"含蓄"一些,
该命题也是由函数在点的局部性质推及到其在闭区间上的整 体性质,所以适宜用有限覆盖定理直接证明。
证:由函数极限的局部有界性,对任意 x0∈[a,b],存在 Mx0>0,δx0>0, s.t. ∣f (x)∣≤ Mx0 (x∈(x0―δx0 , x0 +δx0))
设E = {(x0―δx0 , x0 +δx0)∣x0∈[a,b]},则E是[a, b]的一个覆盖,则此时存在[a,b]的一个有限覆盖:
② 用区间套定理证明单调有界原理
可用①的方法构造区间套并由区间套定理得出an= r==>对任意ε,存在N, s.t. ∣aN-r∣<ε aN > r-ε==> 存在N0, s.t. XN0≥ an> r-ε==> r-XN0<ε.又∵{Xn}单调上升∴对任意ε,存在N0,当n.>N0时(Xn>X N0)有r-Xn<ε==>∣r-Xn∣<ε于是Xn = r
一致连续性定理将每一个点的局部性质推广到函数在整个闭区间上的整体性质。因此适合用有限覆盖定理直接证明。子覆盖的有限性在证明过程中的作用在于表明了δ=min{δ1/2,...,δn/2}中的n是有限的,所以集合{δ1/2,...,δn/2}是有最小值的,即δ是存在的。
②设f(x)在[a,b]上定义,且在每一点处函数的极限存在,求证f(x)在[a,b]上有界。
使得r = an , 又bn= an + ( b1 - a1 ) / 2n 知
对任意r∈[an , bn] (对任意n) ,又由于{an}单调上升,r = an ≥an . 若存在k∈N , s.t. E中有一点x1∈[r, bk],则按二等分法的规则,ak > r , 这与r≥an(对任意n) 相矛盾。所以E中任何一点x ≤ r. 又由an= r知对任意ε,存在 N,s.t. ∣aN-r∣<ε aN > r-ε.这也就是说存在x2∈E,s.t. x2 ≥ aN > r-ε.于是就证明了r 是E的上确界。
(以上内容参考了《数学分析简明教程》)
二、 实数系各种性质的等价表述概论
经过这几个月来的学习,我对实数理论有了一些自己的体会。我认为,对实数系中与实数有关的各种性质(如实数连续性、完备性、实数闭区间的紧致性,连通性等)的描述,无外乎有两种方式:一种是用集合的观点来阐述,如戴德金分划,非空有上界的实数子集有上确界、有限覆盖定理、区间套定理及聚点定理,另一种是用序列的观点来描述,如有理数基本列的等价类,单调上升有上界的序列有极限,紧致性定理以及柯西收敛原理。
集也至多
只为有限点集,这与题设S为无限点集矛盾,故得证。
(此命命题证明参考了裴礼文《数学分析典型问题与方法》)
② 设f(x)在[a,b]上无界,求证存在c∈[a,b] , s.t.对任意δ > 0,函数f (x) 在(c―δ , c + δ)∩[a,b]上无界
(对于证明对任意n , Xn ≤ r ,可参见本文先前用单调有界原理证明确界定理的过程)
2。 A、对于那些由局部到整体的命题常常适合用有限覆盖定理直接证明,即构造一个与欲证结论有关的覆盖,利用覆盖的有限性来证明命题。例如:
①用有限覆盖定理证明一致连续性定理(证明过程见《数学分析简明教程》P305)
(此命题也是由点集的整体性质得出某一点的局部性质,因此用有限覆盖定理的反证法)
证:
用反证法,设对任意x∈[a,b],存在δx > 0,s.t. f (x)在(x―δx , x+δx)上有界。设E = {(x―δx, x +δx)∣x∈[a,b]},则E是[a,b]的一个覆盖,则此时存在[a,b]的一个有限覆盖
关于实数理论的几点思考
数学与应用数学专业04级 郑维坚
请证明
两者的
等价性
这对实数系
来说,当然
是这样。但
前三条都与
实数系的"序"有关,而柯西列却与"序"基础,微积分正是在实数系这样一个连续的数系中才有了大显身手的舞台。
关于实数连续性的等价描述共有三种:
(1) 对于实数系的每一个分划A∣B,存在唯一的实数r,使得对任意a∈A,b∈B,有a≤r≤b