第6章数理统计的基本概念习题及答案

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第六章 数理统计的基本概念

一.填空题

1.若n ξξξ,,,21Λ是取自正态总体),(2σμN 的样本，

则∑==n

i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2

σμ .

2.样本),,,(n X X X Λ21来自总体),(~2

σμN X 则~)(22

1n S n σ

- )(1χ2-n ； ~)(n

S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122

11)(。

3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本，

+-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 20

1=a 时，=b 1001=b

时，统计量X 服从2

X 分布，其自由度为 2 .

4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,)

x x x L 和

129(,,,)y y y L 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量

~U = (9)t .

5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X L 与1216

,,,Y Y Y L 分别

为X 与Y 的一个简单随机样本,

则22

2

129222

1216

X X X Y Y Y ++++++L L 服从的分布为 (9,16).F

6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立,

令T =, 则2~T F (1,n ) 分布.

解：由T =, 得22

X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ

.

再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得2

2

~(1,).X T F n Y n

= 7. 设12,,,n X X X L 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量2

2

21

11n k k X n X =-∑服从的分布为

(1,1)F n - (需写出分布的自由度).

解：由~(0,1),1,2,,i X N i n =L 知22

221

2

~(1),~(1)n

k k X X n χχ=-∑, 于是

221

22211

(1)

1~(1,1)./1

1n

k

n k k k X

n X F n X n X ==-=--∑∑

8. 总体2

1234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设2

12234()()X X Z X X -=-服

从 F (1,1) 分布(说明自由度)

解：由2

12~(0,2)X X N σ+, 有2

2

12~(1)2X X χσ+⎛⎫ ⎪

⎝

⎭, 又 234~(0,2)X X N σ-, 故2

2

3

4~(1),2X X χσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为2122X X σ+⎛⎫ ⎪⎝⎭与2

342X X σ-⎛⎫

⎪⎝

⎭独立,

所以2

123

4~(1,1).X X F X X ⎛⎫

+ ⎪-⎝⎭

9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)

(1) 若 总 体 的 平 均 值 与 总 体 方 差

2 都 存 在 ， 则 样 本

平 均 值 x 是 的 一 致 估 计。 ( 对 )

(2) 若 0≠-θθ)ˆ(E 则 称 $θ为 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )

(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，21x x , 是X 的一个样本 ， 则统计量213

2

31x x +是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )

.

(4) 若 θθθ==)ˆ()ˆ(21E E 且 )ˆ()ˆ(2

1θθD D <则 以 $θ2估 计 较 以 )

θ1估

计 有 效 。 ( 错 )

(5) 设$

θn 为

的估计量，对任意

> 0，如果0=≥-∞

→}|ˆ{|lim εθθn

n P 则称 $θn 是 的一致估计量 。 ( 对 )

（6）样本方差()

∑=--=n

i i n X

X n D 1

2

11是总体),(~2σμN X 中2 的无

偏

估计量。()

2

11∑=-=n i i X X n D *

是总体X 中2的有偏估计。 （ 对 ）

10.设321X X X ,,是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量

321332123211121

4331ˆ,1254131ˆ,2110351ˆX X X u

X X X u X X X -+=++=++=μ都 是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 2ˆμ

最有效.

二、选择题

1、设总体ξ服从正态分布),(2

σN N ，其中μ已知，σ未知，321,,ξξξ是取自总体ξ

的一个样本，则非统计量是( D ).

A 、)(3

1321ξξξ++ B 、μξξ221++ C 、),,m ax (321ξξξ

D 、

)(1

2322212

ξξξσ

++

2、设n ξξξΛ,,21是来自正态总体),(2

σμN 的简单随机样本∑=--=n

i i n S 1

221

)(11ξξ，∑=-=n i i n S 1222)(1ξξ，∑=--=n i i n S 1223)(11μξ，∑=-=n i i n S 1

22

4)(1μξ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是( B ).

A 、

1

/1--n S μ

ξ B 、

1

/2--n S μ

ξ C 、

n

S /3μ

ξ- D 、

n

S /4μ

ξ-

3、设)2,1(~2

N ξ，n ξξξK ,,21为ξ的样本，则( C ). A 、

)1,0(~2

1

N -ξ

B 、

)1.0(~4

1

N -ξ