第6章数理统计的基本概念习题及答案
概率论与数理统计练习册(理工类) - 第5,6章答案
答；收入至少400元的概率几乎为0.
(2)设出售1.2元的蛋糕数量为Y，则Y ~ B(300, 0.2), E(Y ) = 60, D(Y ) = 48.
P{Y
60}
=
Y P{
− 60
0}
=
(0)
=
0.5
48
答：售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率0.5.
28
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
x} = (x)
n→
n
n
Xi −n
(C) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
n
Xi −
(D) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
二、填空题：
224
1．对于随机变量 X，仅知其 E( X ) = 3，D( X ) = 1 ，则可知 P{| X − 3 | 3} 225
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
系
专业
班 姓名
学号
第五章 大数定律与中心极限定理
1．设 n 是 n 次重复试验中事件 A 出现的次数，p 是事件 A 在每次试验中出现的概率，则对任意
的
0
均有
lim
P
n
−
p
n→ n
[A ]
(A) = 0
(B) = 1
(C) 0
(D) 不存在
系
专业
班 姓名
学号
第六章 数理统计的基本知识
§6.1 总体、样本与统计量、§6.2 抽样分布
1．设 X1, X 2 , X 3 是取自总 X 体的样本，a 是一个未知参数，下述哪个样本函数是统计量[ B ]
数理统计全套标准答案
习题一、基本概念1．解：设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏ 555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ2.解：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x nx x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293 =--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯=7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.248．解：由已知条件得：(1,),1()i X Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().ni X i Y B n p p F μ==-∑9.解:1) )1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2) λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3) ()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4) 1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ 10.解：1) ()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)ni i n S n S D X X D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)ni i D X X n σ=∴-=-∑11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1) ()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)222211,2u u X u E u e du u du +∞+∞---∞-===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,162u n n⎛⎫⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解：设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-()()12()2()12P T P T p P T p pP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF ==17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X XX N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=- 又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E X X D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N n nσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x af x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P X P X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mi i X N m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，21~(0,)m nii m XN n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故 222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解：由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解：1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a X P 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P cT P cS X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,)1()()1cov(,)()1(,)1i j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=--=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1． 解： 矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= ()()11111ln ln(1)ln nnni ii i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln ni i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X X X x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln nii X n X X αα=⎛⎫ ⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解：1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤=2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3．1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑ 2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x x λλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+== 3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+== 联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni naX b X ≤≤≤≤== 4) 解：矩估计：ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解：矩法：()/0()(1)(2)x txEX e dx t edt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰X αβ=+=22220()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ==-==极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx n i n L e nx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n n L L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解： 矩法：22223222(2)x x t x EX dx dte dt X θθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏∏222ln ln43ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；1,ln ln i nx n nx i L e e L n nx λλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。
第6章数理统计的基本概念习题及答案
49第六章 数理统计的基本概念一.填空题1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本，则∑==ni i n 11ξξ服从分布 )n,(N 2σμ .2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2σμN X 则~)(221nS n σ- )(1χ2-n ； ~)(nS n X μ- _)(1-n t __。
其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 12211)(。
3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本，=a X4.1(,y U5. 设X 为X6. 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布.解：由T =, 得22X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22~(1,).X T F n Y n=507. 设12,,,n X X X 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量222111n k k X n X =-∑服从的分布为(1,1)F n - (需写出分布的自由度).解：由~(0,1),1,2,,i X N i n = 知222212~(1),~(1)nk k X X n χχ=-∑, 于是22122211(1)1~(1,1)./11nkn k k k Xn X F n X n X ==-=--∑∑8. 总体21234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本,设从9. 对”)(1) 在 ， 则 样 本 对 )(2) 若 0≠-θθ)ˆ(E 则 称 θ为 θ 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，21x x , 是X 的一个样本 ，则统计量213231x x +是 E(X) 的无偏估计量。
( 对 )(4) 若 θθθ==)ˆ()ˆ(21E E 且 )ˆ()ˆ(21θθD D <则 以 θ2估 计 θ 较 以 θ1估 计 θ 有 效 。
自-6-8第六、七、八章数理统计参考答案
第六、七、八章 数理统计 （抽样分布、参数估计、假设检验）一、思考题1．统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。
为什么说样本是随机变量？ 2．参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？3．假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？ 4．在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？ 二、单项选择题1. 设)1(,,,,21>n X X X n 是来自正态总体),(2σμN 的一个简单随机样本，X 为样本均值，则}|{|εμ<-X P （ ）}|{|εμ<-X P 。
（A ）>（B ）<（C ）≥（D ）≤2. 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的一个简单随机样本，X 和S 2分别为样本均值和样本方差，则∑=⎪⎭⎫⎝⎛-ni i X 12σμ～（ ）。
（A ） )1,0(N （B ）)1(2-n χ （C ）)(2n χ (D))1(-n t3. 设n X X X ,,,21 是来自正态总体N (0,1)的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n -1的 2χ分布的是 （ ）。
（A ）∑=ni iX12（B ）S 2 （C ）(n -1)2X （D ）(n -1)S 24. 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),0(2σN 的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n -1的t 分布的是 （ ）。
（A ）SXn （B ）SXn （C ）2SXn （D ）2SXn 5. 设随机变量)(~n t X )1(>n ，21X Y =，则（ ）。
（A ）)(~2n Y χ （B ）)1(~2-n Y χ （C ）)1,(~n F Y （D ）),1(~n F Y 6. 总体均值μ的95%置信区间的意义是指这个区间 （ ）。
（A ）平均含总体95%的值（B ）平均含样本的95﹪的值 （C ）有95%的可能含μ的真值 （D ）有95%的可能含样本均值X7. 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，E(X)= μ，D(X)=σ2，则可以作为σ2的无偏估计量的是（ ）。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案
⎝ 2 2⎠
2
则X
=Y
+θ
−
1 2
，
X (1)
= Y(1)
+θ
−
1 2
， X(n)
= Y(n)
+θ
−
1 2
，即
1 2
(
X
(1)
+
X(n)) =
1 2 (Y(1)
+ Y(n) ) + θ
−1 2
，
可得 E( X ) = E(Y ) + θ − 1 = E(Y ) +θ − 1 = θ ， Var(X ) = Var(Y ) = 1 Var(Y ) = 1 ，
y( n) 0
⎤ ⎥⎦
=
1 0
y(nn+)1dy(n)
=
n
1 +
2
y n+2 (n)
1 0
=
1 n+
2
，
即 Var(Y(1) )
=
(n
2 + 1)(n
+
2)
−
⎜⎛ ⎝
1 ⎟⎞2 n +1⎠
=
(n
n + 1)2 (n
+
2)
， Var(Y(n) )
=
n
n +
2
− ⎜⎛ ⎝
n ⎟⎞2 n +1⎠
=
(n
n + 1)2 (n
=
1 12n
>
Var⎢⎣⎡
1 2
( X (1)
+
X (n) )⎥⎦⎤
=
2(n
1 + 1)(n
概率论与数理统计(理工类.第四版)吴赣昌主编答案5,6,7,8章
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92=X1′+X2′+⋯+X9′Y′12+Y′22+ ⋯+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9∼t(9),
注意到X′,Y′2相互独立.
习题5
设总体X∼N(0,4), 而X1,X2,⋯,X15为取自该总体的样本，问随机变
量
Y=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)
D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)) =a(4+4×4)=20a=1,
D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4) =b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1,
分别得a=120,b=1100. 这时Y∼χ2(2), 自由度为n=2. 解法二 因Xi∼N(0,22)且相互独立，知
(百元)
1010-1111-12
合计
户数 18357624191414 200
求样本容量n,样本均值X¯，样本方差S2.
解答：
对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200. 这里，没有给出原始 数据，而是给出了整理过的资料(频率分布), 我们首先计算各组 的“组中值”，然后计算X¯和S2的近似值：
则a=?,b=?时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？
解答：
解法一 Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2, 令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 则
Y=Y12+Y22, 为使Y∼χ2(2), 必有Y1∼N(0,1),Y2∼N(0,1), 因而
数理统计课后答案-第六章
r
,
SST =
∑ j∑ ( i
=1 =1
X ij − X ,SSe =
)
2
∑ j∑ ( i
=1
X ij − X i
)
2
∑ SS i ,SS A =
i =1
ni ( X i ∑ i
r
=1
−X
)
2
可以证明离差分解公式： SST = SS e + SS A ,以及在 H 0 : μ1 = μ2 = ... = μr 成立时有
58 92 75
67.8 83.2 73.6 SS A = 604.93
218.8 362.8 271.2 SS e = 852.8
方差分析表为： 来源 平方和 自由度
A
误差 总和
SS A = 604.93
SS e = 852.8
SS T = 1457.73
r −1 = 2 n − r = 12 71.067 n − 1 = 14
ξ i ～ N ( μ i , σ 2 ) ，i = 1, 2, 3 。 检验三种教学方法的效果有无显著差异，
１
相当于要检验假设 H 0 ： μ1 = 计算结果见下表： 水平
μ 2 = μ3 。
Xi
133.7333 144.5833
SS i
观测值（身高） 128.1 134.1 133.1 138.9 140.8 127.4 150.3 147.9 136.8 126.0 150.7 155.8 140.6 143.1 144.5 143.7 148.5 146.4
ξ i j ～ N (μ i j , σ 2 ) ， 其中， μi j = μ + αi + β j ， i = 1, 2, 3, 4 ，j = 1, 2, 3 。
概率论与数理统计第六章数理统计的基本概念习题答案
解：c 2
=
9S 2 16
~
c 2 (9), P(S 2
> a) =
P
æ çè
c
2
>
பைடு நூலகம்9a 16
ö ÷ø
=
0.1.
查表得 9a = 14.684, 16
\ a = 14.684 ´16 = 26.105. 9
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028606.设总体X 服从标准正态分布,X1,X 2,L,X n是来自总体X的一个简单随机样本
ò ò E( X ) = +¥ xf (x)dx = 1 +¥ xe- x dx = 0
-¥
2 -¥
ò ò ò E( X 2 ) = +¥ x2 f (x)dx = 1 +¥ x2e- x dx = +¥ x2e-xdx = 2,
-¥
2 -¥
0
\E(S2) = 2
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2004研考
å å 么E
é ê ê ê ê
n1 i =1
(Xi
ê ê - Xë )2 + n1 + n2
n1 + n2 - 2
n2
(Y j
-
Y
)2
ù ú
j =1
ú=
-2
ú
ú
n1
+
1 n2
ú ú û -
g E (s 2
2 c12
+s
2
c
2 2
)
ë
û
=
n1
s2 + n2
-
2
[E(c12 )
+
E
(
《概率论与数理统计》习题及答案 第六章
《概率论与数理统计》习题及答案第 六 章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn n ii i P X k X k X k P Xk ======∏L 1!ikni i e k λλ-==∏112!!!ni i n k n e k k k λλ=-∑=L 0,1,i k =L ，1,2,,,i n =L 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。
解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X L 的密度为1121,0(,,,)0,.nii ix nnx i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏K 其它 1,2,,i n =L 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。
今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。
解 总体~(01)X -，即(0),(1)L MP X P X N N==== 于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X N N ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X N N -===⋅- 若N →∞时M p N →，则1Lp N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=-012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p p p +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。
概率论与数理统计第六章习题答案
第六章习题6-11、由一致估计的定义，对0ε∀>{}{}{}()1212max ,,,max ,,,n n P X X X P X X X θεεθεθ-<=-+<<+()()F F εθεθ=+--+()0, 0, 01, X x xF x x x θθθ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩及(){}()()()()1212max ,,,n n X X X X X X F x F x F x F x F x ==⋅⋅⋅()1F εθ∴+=(){}()12max ,,,1nn x F P X X X εθεθθ⎫⎛-+=<-+≈- ⎪⎝⎭{}()12max ,,,111()nn x P X X X n θεθ⎫⎛∴-<=--→→∞ ⎪⎝⎭2、证明：EX μ=()1111111ni i n n i i i i nn n i i i i i i i i a X E a E X a a a a μμ======⎫⎛⎪ ⎪ ==⋅=⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11niii nii a Xa==∴∑∑是μ的无偏估计量3、证明： ()() ()()22D E E θθθ=-()() ()()()2222E D E D θθθθθθ∴=+=+> 2θ∴不是2θ的无偏估计量4、证明：()~X P λEX λ∴=，()()222E X DX EX λλ=+=+()22E X EX λ∴-=，即()22E X X λ-=用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =代替相应的总体矩()2E X 、EX所以得2λ的无偏估计量： 22111n i i A A X X n λ==-=-∑ 5、()~,X B n p ，EX np ∴=()()()()22222111E X np p n p np n n p EX n n p =-+=+-=+-()()()()222111E X EX E X X p n n n n -⎫⎛∴=-=⎪ --⎝⎭所以用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =分别代替总体矩()2E X 、EX得2p 的无偏估计量： ()()()222121111ni i i A A p X X n n n n =-==---∑6、()~,1X N m ，()i E X m ∴=，()1i D X =，(1,2)i =()()()11212212121333333E m E X X E X E X m m m ⎫⎛∴=+=+=+= ⎪⎝⎭()()()1121221414153399999D m D X X D X D X ⎫⎛=+=+=+= ⎪⎝⎭同理可得： ()2E m m =， ()258D m =， ()3E m m =， ()212D m =123,,m m m ∴都是m 的无偏估计量，且在 123,,m m m 中， 3m 的方差最小习题6-21、（1）()11cccEX x c xdx cx dx θθθθθθθθ+∞+∞-+-=⋅==-⎰⎰EXEX cθ∴=-，令X EX =X X c θ∴=-为矩估计量，θ的矩估计值为 x x cθ=-，其中11n i i x x n ==∑似然函数为：()()11211,,,;nnn n n ii i i L x x x c xcx θθθθθθθ-+-====∏∏ ，i x c > 对数似然函数：()()()1ln ln ln 1ln nii L n n c x θθθθ==+-+∑求导，并令其为0，得：1ln ln ln 0ni i d L nn c x d θθ==+-=∑ 1ln ln Lnii nx n cθ=∴=-∑，即θ的最大似然估计量为 1ln ln Lnii nXn cθ==-∑（2）21111EX EX x x dx EX θθθθθ-⎫⎛=⋅=⇒= ⎪--⎝⎭⎰ 以X EX =，得： 21X X θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭为θ的矩估计量θ的矩估计值为： 21x x θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，其中11ni i x x n ==∑ 而()1121211,,,;n nnn i i i i L x x x x x θθθθθ--==⎫⎛==⎪⎝⎭∏∏ ，01i x ≤≤()()1ln ln 1ln 2nii nL x θθθ=∴=+-∑令1ln 11ln 022ni i d L n x d θθθ==+⋅⋅=∑， 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ ∴=⎪⎪⎝⎭∑ 所以θ的最大似然估计量 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭∑ （3）()~,X B m p ，EXEX mp p m∴=⇒=p ∴的矩估计量： 111n i i X p X X m mn m====∑p ∴的矩估计值为： 11n i i p x mn ==∑ 而()()()111211,,,;11nniii i ii i i nnx m x m x x x x n mm i i L x x x p Cpp C pp ==--==∑∑=-=⋅⋅-∏∏ ，0,1,,ix m = ()()()111ln ln ln ln 1i nnn x mi i i i i L p C x p m x p ====+⋅+-⋅-∑∑∑令() 111ln 111101n n n i i L ii i i d L x m x p x x dp p p mn m ====⋅--⋅=⇒==-∑∑∑ p ∴的最大似然估计量为： 1L p X m=2、（1）()01;2EX xf x dx xdx θθθθ+∞-∞===⎰⎰令11n i i EX X X n ===∑，22X X θθ∴=⇒=2X θ∴= （2）由观测的样本值得：6111(0.30.80.270.350.620.55)0.481766i i x x ===+++++≈∑20.9634x θ∴== 3、由1111122EX X θθθθθ+=⨯+⨯++⨯== 21X θ∴=-为θ的矩估计量 4、设p ：抽得废品的概率；1p -：抽得正品的概率 引入{1, i i X i =第次抽到废品0,第次抽到正品，1,2,,60i =()1i P X p ∴==，()01i P X p ==-，且i EX p =所以对样本1260,,,X X X 的一个观测值1260,,,x x x由矩估计法得，p 的估计值为： 601141606015ii p x ====∑，即这批产品的废品率为1155、()()2212213132EX θθθθθ=⨯+⨯-+⨯-=-，()1412133x =⨯++=EX x = ， 3526x θ-∴==为矩估计值 ()()()()()()()34511223312121i i i L P X x P X x P X x P X x θθθθθθ========⋅⋅-=-∏()()ln ln25ln ln 1L θθθ=++-令() ln 1155016Ld L d θθθθθ=⨯-=⇒=- 6、（1）λ的最大似然估计 LX λ=， ()0LX P X e e λ--∴=== （2）设X ：一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数()~X P λ∴，122n =得样本均值：5011(044142221394452) 1.123122122r r x r s ==⨯⋅=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑()1.12300.3253x P X e e --∴====习题6-33、从总体中抽取容量为n 的样本12,,,n X X X 由中心极限定理：()~0,1,/X U N n nμσ-=→∞（1）当2σ已知时，近似得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,X u X u n n αασσ⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭ （2）当2σ未知时，用2σ的无偏点估计2s 代替2σ：~(0,1),/X N n s nμ-→∞于是得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,s s X u X u n n αα⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭一般要求30n ≥才能使用上述公式，称为大样本区间估计 4、40n = 属于大样本，2,X N n σμ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭ 近似μ∴的95%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中642x =，3σ=，40 6.32n =≈，21.96u α=()23642 1.966420.9340x u n ασ⎫⎛⎫⎛∴±⋅=±⨯≈±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故μ的95%的置信区间上限为642.93，下限为641.075、100n =属于大样本，2~,X N n σμ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭近似μ∴的99%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中10x =，3σ=，100n =，22.58u α=()()2310 2.58100.7749.226,10.774100x u n ασ⎛⎫⎛⎫∴±⋅=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可知最少要准备10.77410000107740()kg ⨯=这种商品，才能以0.99的概率满足要求。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案
解：因 E(Y ) = aE( X1) + bE( X 2 ) = aµ + bµ = (a + b)µ = µ ， 故 Y 是µ 的无偏估计；
因 Var(Y ) = a2 Var( X1) + b2
Var( X 2 ) = a2
⋅σ2 n1
+ (1 − a)2 ⋅ σ 2 n2
=
⎜⎜⎝⎛
n1 + n2 n1n2
xn是来自n1的样本由正态分布可加性知x服从正态分布??????nn1则?????????dxxsndxnxssexnxnnxn222222ee2e2因es可知对任意的反常积分???dxxsxnxn22e收敛6则由参数的任意性以及该反常积分在?与两个方向的收敛性知?????dxxsxnxn22e收敛因xnxsxsxnxnxnxn???????????????2222ee且yey有1?2222eexnxnxnxnxn????则由?????dxxsxnxn122e的收敛性知?????????????dxxsxnxn22e一致收敛可得?????dxxsnsexnxnn2222ee2关于参数可导与es在0处不可导矛盾故g没有无偏估计
nλ n −1
，
故1/ X 不是λ的无偏估计．
3． 设θˆ 是参数θ 的无偏估计，且有 Var(θˆ) > 0 ，试证 (θˆ)2 不是θ 2 的无偏估计．
证：因 E(θˆ) = θ ，有 E[(θˆ)2 ] = Var(θˆ) + [E(θˆ)]2 = Var(θˆ) + θ 2 > θ 2 ，故 (θˆ)2 不是θ 2 的无偏估计．
⋅ n ⋅ (−1)d ( y(n)
−
y(1) )n−1
∫ ∫ =
数理统计的基本概念习题及答案
第6章数理统计的基本概念习题及答案(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--49第六章 数理统计的基本概念一.填空题1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本，则∑==ni i n 11ξξ服从分布 )n,(N 2σμ .2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2σμN X 则~)(221nS n σ- )(1χ2-n ； ~)(nS n X μ- _)(1-n t __。
其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 12211)(。
3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本，+-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 201=a 时，=b 1001=b时，统计量X 服从2X 分布，其自由度为 2 .4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,)x x x 和129(,,,)y y y 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量929~U y=++ (9)t .5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X 与1216,,,Y Y Y 分别为X 与Y 的一个简单随机样本,则2221292221216X X X Y Y Y ++++++服从的分布为 (9,16).F6. 设随机变量~(0,1)X N ,随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立,令T=, 则2~T F (1,n ) 分布.解：由T =, 得22X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ 再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22~(1,).X T F n Y n=507. 设12,,,n X X X 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量222111n k k X n X =-∑服从的分布为(1,1)F n - (需写出分布的自由度).解：由~(0,1),1,2,,i X N i n =知222212~(1),~(1)nk k X X n χχ=-∑, 于是22122211(1)1~(1,1)./11nkn k k k Xn X F n X n X ==-=--∑∑8. 总体21234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设212234()()X X Z X X -=-服从 F (1,1) 分布(说明自由度)解：由212~(0,2)X X N σ+,有22~(1)χ, 又 234~(0,2)X X N σ-,故22~(1),χ因为2与2独立,所以21234~(1,1).X X F X X ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)(1) 若 总 体 的 平 均 值 ?与 总 体 方 差 ?2 都 存 在 ， 则 样 本 平 均 值 x 是 ? 的 一 致 估 计。
概率论与数理统计答案第六章
第六章 样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
解： 8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P =2628.0)]25(1[2=Φ-（2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15}=.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i i X P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10}=.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i i X P 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i i X P解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i ii ii iX P XP χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλnX D ===[六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。
概率论与数理统计 汤大林 期末复习大纲习题答案
11．将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面 的次数大于60的概 率 。已知 ： (1) = 0.8413； (2) = 0.9772 ； 当 x > 4 , (x) =1。 解：设 为 掷 100次中出现正面的次数 ，它服从二项分布B ( 100， ) 这里 由 隶 莫 佛 -- 拉 普 拉 斯 定 理 ， 得
解：
由的“对称性”可得
.
又
所以
.
又
由的“对称性”可得
所以 故
第 5 章 大数定律与中心极限定理 1、 填空题：
1.设随机变量
，方差
，则由切比雪夫不等式有
. 3. 设随机变量 相互独立且同分布, 而且有 , ,令
, 则对任意给定的 , 由切比雪夫不等式直接可得
. 二．计算题： 1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估 计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.
B、 C、 D、 4、设 是总体 的样本， 分别是样本的均值和样本标准差，则有( C ) A、 B、 C、
D、 第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体 服从二项分布 ， ， 是其一个样本，那么矩估计量
. 2、设总体
，且
已知，现在以置信度
估计总体均值
，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ). A、提高置信度
H0：m=m0=190；H1：m>m0=190(s2末知) 由于t=2.5>1.7531===t0.95(15)===t1-a(n-1)
故拒绝H0，即认为该装置的平均工作温度高于190。C。
7、 某 厂 生 产 的 某 种 产 品 ， 由 以 往 经 验 知 其 强
概率论与数理统计课后答案第6章
第6章习题参考答案1.设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。
2.设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X 0 1 2 3 4频数17 20 10 2 1求的矩估计值与最大似然估计值。
3.设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。
4.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计。
5.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计和最大似然估计。
6.设是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为的几何分布，即，其中未知，，求的最大似然估计。
7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。
8.设总体X的密度函数为，其中未知，设是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。
9. 在第3题中的矩估计是否是的无偏估计？解故的矩估计量是的无偏估计。
10.试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。
11. 设为总体的样本，证明都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。
12.设是取自总体的一个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。
13.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。
14.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。
为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。
《概率论与数理统计》习题及答案 第六章
《概率论与数理统计》习题及答案第 六 章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn ni ii P X k X k X k P X k ======∏1!ik ni i ek λλ-==∏112!!!nii n k n ek k k λλ=-∑=0,1,i k =，1,2,,,i n = 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。
解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.xex f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X 的密度为1121,0(,,,)0,.ni i ix nn x i n i ex f x x x eλλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏其它 1,2,,i n = 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。
今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。
解 总体~(01)X -，即(0),(1)L M P X P X NN====于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X NN ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X NN -===⋅-若N →∞时M p N→，则1L p N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=- 012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=- 102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p pp +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论课后习题第6章答案
第六章 数理统计的基本概念1.设样本均值为X ,则由题意,有6,4.1(~2n N X ,或)1,0(~/64.1N nX −,于是由1)3(2/64.34.5/64.3/64.34.1}4.54.1{95.0−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−<−<−=<<≤nn n X nP X P⇒ 975.03(≥Φn ⇒ 96.13≥n⇒5744.34≥n 故样本容量至少应取35. 2.由题意可知)1,0(~/2.0N na X n −,又122/2.01.0/2.0}1.0|{|95.0−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ=⎭⎫⎩⎨⎧<−=<−≤n n n a X P a X P n n 故有 975.0)2(≥Φn ⇒ 96.12≥n⇒ 3664.15≥n 因此至少应等于16.n 3. 由正态分布的性质及样本的独立性知,212X X −和4343X X −均服从正态分布,由于,0)2(21=−X X E 20)(4)()2(2121=+=−X D X D X X D以及,0)43(43=−X X E 100)(16)(9)43(4343=+=−X D X D X X D所以,有)20,0(~221N X X −⇒)1,0(~20221N X X −)100,0(~4343N X X − ⇒)1,0(~104343N X X −于是由分布的定义知,当2χ,201=a 1001=b 时,有 ()())2(~10432024322243221243221χ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−+−=X X X X X X b X X a X 4. 由正态分布的性质及样本的独立性知, ⇒ )9,0(~2921N X X X +++")1,0(~)(91921N X X X +++" 又)1,0(~3N Y i, 9,,2,1"=i 所以 )9(~)(913332292221292221χY Y Y Y Y Y +++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛""由于两个总体是X 和Y 相互独立的,所以其相应的样本也是相互独立的,故)9(9121X X X +++"与)(21Y 912922Y Y +++"也相互独立,于是由t 分布的定义知,)9(~9/)(91)(91292191292191t Y Y X X YY X X U +++=++++=""""5.由题意知,)1,0(~2N X i,,故有 15,,2,1"=i )10(~22)(4122102121021χ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=X X X X U "" )5(~22)(412215211215211χ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=X X X X V ""利用样本的独立性以及F 分布的定义,有)5,10(~5/10/)(221521121021F V U X X X X Y =++++="" 6.解法1 考虑n n n n X X X X X X 22211,,,+++++",将其视为取自正态总体的简单随机样本,则其样本均值为 )2,2(2σμN X X n X X n ni i n i i n i 21)(1211==+∑∑==+样本方差为 Y n 11−由于2211σ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Y n E ,所以 22)1(2)2)(1()(σσ−=−=n n Y E 解法2 记,11∑==′n i i X n X ,11∑=+=′ni i n X n X 显然有X X X ′′+′=2，因此[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧′′−+′−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=∑∑=+=+n i i n i n i i n i X X X X E X X X E Y E 1212)()()2()( []⎭⎬⎫⎩⎨⎧′′−+′′−′−+′−=∑=++n i i n i n i i X X X X X X X X E 122)())((2)(222)1(2)1(0)1(σσσ−=−++−=n n n 7.记（未知），易见2)(σ=X D )()(21Y E Y E =， ,6/)(21σ=Y D 3/)(22σ=Y D 由于相互独立，故有21,Y Y ,0)(21=−Y Y E 236)(22221σσσ=+=−Y Y D从而 )1,0(~2/21N Y Y U σ−=，又 )2(~22222χσχS =由于与相互独立,与独立,由定理 6.3.2,与独立,所以1Y 2Y 1Y 2S 2Y 2S 21Y Y −与独立,于是由t 分布的定义,知 2S )2(~2/)(2221t USY Y Z χ=−=8.由)1(~)1(222−−n S n χσ,其中由题意知,25=n , ,于是1002=σ}12)125({)1(50)1(}50{22222>−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−>−=>χσσP n S n P S P975.0}12)24({2≥>=χP 上式中的不等式是查表得到的,所以所求的概率至少为0.9759. 本题要用到这样一个结论,即Γ分布),(βαΓ关于第一个参数具有可加性,即若),(~1βαΓU ,),(~2βαΓV ,且U 与V 相互独立,则),(~21βαα+Γ+V U ,其中),(βαΓ的概率密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=)(x f αβ>其它0,x βΓ−)(1/1e x α−0x α可利用卷积公式证明.回到本题,当λβα11＝，＝,分布就是参数为Γλ的指数分布,所以样本的独立性及Γ分布的可加性,有 )1,(~21λn X +X X n Γ++"即的概率密度为 ∑=ni i X 1⎪⎩⎪⎨⎧>−=−−其它00,)!1()(1x e x n x g x n nλλ 因此∑==ni i X n X 11的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>−==−−0,00,)!1()()()(1y y e y n n ny ng y h ny n n λλ 10. (1) 根据正态分布的性质,与21X X +21X X −服从二维正态分布,所以要证明它们相互独立,只需它们不相关,由于0)()()])([(22212121=−=−+X E X E X X X X E 0)()(2121=−+X X E X X E 所以 0),(2121=−+X X X X Cov 即与相互独立21X X +21X X −(2) 由于0=μ,所以)2,0(~221σN X X +⇒)1,0(~221N X X σ+ ⇒)1(~212221χσ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+X X⇒)2,0(~221σN X X −)1,0(~221N X X σ− ⇒)1(~212221χσ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−X X由上面证明的独立性，再由F 分布的定义知)1,1(~2/2/)()(21221221221F X X X X X X X X F ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−+=σσ 所以 25.0}83.5{}4{4)()(221221=<<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−+F P F P X X X X P。
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.第六章 数理统计的基本概念一.填空题1.若n ξξξ,,,21Λ是取自正态总体),(2σμN 的样本，则∑==ni i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2σμ .2.样本),,,(n X X X Λ21来自总体),(~2σμN X 则~)(221n S n σ- )(1χ2-n ； ~)(nS n X μ- _)(1-n t __。
其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 12211)(。
3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本，+-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 201=a 时，=b 1001=b时，统计量X 服从2X 分布，其自由度为 2 .4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,)x x x L 和129(,,,)y y y L 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量~U = (9)t .5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X L 与1216,,,Y Y Y L 分别为X 与Y 的一个简单随机样本,则2221292221216X X X Y Y Y ++++++L L 服从的分布为 (9,16).F6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立,令T =, 则2~T F (1,n ) 分布.解：由T =, 得22X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ.再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22~(1,).X T F n Y n= 7. 设12,,,n X X X L 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量222111n k k X n X =-∑服从的分布为(1,1)F n - (需写出分布的自由度).解：由~(0,1),1,2,,i X N i n =L 知222212~(1),~(1)nk k X X n χχ=-∑, 于是22122211(1)1~(1,1)./11nkn k k k Xn X F n X n X ==-=--∑∑8. 总体21234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设212234()()X X Z X X -=-服从 F (1,1) 分布(说明自由度)解：由212~(0,2)X X N σ+, 有2212~(1)2X X χσ+⎛⎫ ⎪⎝⎭, 又 234~(0,2)X X N σ-, 故2234~(1),2X X χσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为2122X X σ+⎛⎫ ⎪⎝⎭与2342X X σ-⎛⎫⎪⎝⎭独立,所以21234~(1,1).X X F X X ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)(1) 若 总 体 的 平 均 值 与 总 体 方 差2 都 存 在 ， 则 样 本平 均 值 x 是 的 一 致 估 计。
( 对 )(2) 若 0≠-θθ)ˆ(E 则 称 $θ为 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，21x x , 是X 的一个样本 ， 则统计量213231x x +是 E(X) 的无偏估计量。
( 对 ).(4) 若 θθθ==)ˆ()ˆ(21E E 且 )ˆ()ˆ(21θθD D <则 以 $θ2估 计 较 以 )θ1估计 有 效 。
( 错 )(5) 设$θn 为的估计量，对任意> 0，如果0=≥-∞→}|ˆ{|lim εθθnn P 则称 $θn 是 的一致估计量 。
( 对 )（6）样本方差()∑=--=ni i n XX n D 1211是总体),(~2σμN X 中2 的无偏估计量。
()211∑=-=n i i X X n D *是总体X 中2的有偏估计。
（ 对 ）10.设321X X X ,,是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量3213321232111214331ˆ,1254131ˆ,2110351ˆX X X uX X X u X X X -+=++=++=μ都 是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 2ˆμ最有效.二、选择题1、设总体ξ服从正态分布),(2σN N ，其中μ已知，σ未知，321,,ξξξ是取自总体ξ的一个样本，则非统计量是( D ).A 、)(31321ξξξ++ B 、μξξ221++ C 、),,m ax (321ξξξD 、)(12322212ξξξσ++2、设n ξξξΛ,,21是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本∑=--=ni i n S 1221)(11ξξ，∑=-=n i i n S 1222)(1ξξ，∑=--=n i i n S 1223)(11μξ，∑=-=n i i n S 1224)(1μξ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是( B ).A 、1/1--n S μξ B 、1/2--n S μξ C 、nS /3μξ- D 、nS /4μξ-3、设)2,1(~2N ξ，n ξξξK ,,21为ξ的样本，则( C ). A 、)1,0(~21N -ξB 、)1.0(~41N -ξ.C 、)1,0(~/21N n-ξD 、)1,0(~/21N n-ξ4、设n ξξξΛ,,21是总体)1,0(~N ξ的样本，S ,ξ分别是样本的均值和样本标准差，则有( C )A 、)1,0(~N n ξB 、)1,0(~N ξC 、∑=ni in x 122)(~ξD 、)1(~/-n t S ξ5.. 简 单 随 机 样 本 (X X X n 12,,Λ ,) 来 自 某 正 态 总 体，X 为 样 本 平 均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。
( A ) X 与(¡)XX ii n-=∑21独 立( B )X i 与X j 独 立 ( 当j i ≠ ) ( C )X i i n=∑1与X i i n 21=∑ 独 立( D )X i 与X j 2独 立 ( 当j i ≠)6. 设1n 21X , ,X ,X Λ， 来自总体2n 21211Y ,,Y ,Y ),,(N ~X ,X Λσμ 来自总体Y £,),(N ~Y 222σμ， 且 X 与 Y 独 立。
∑∑====21n 1i ,i 2n 1i ,i 1,Y n 1Y ,X n 1X∑∑==-=-=21211n 1i 2,i 22n 2n 1i 2,i 12n 1,)Y Y (n 1S ,)X X (n 1S则如下结论中错误的是 ( D )。
( A ))1,0(N ~n n )]()Y X [(22212121σ+σμ-μ--=ξ-( B ) )1n ,1n (F ~S S )1n (n )1n (n 212n22n 12122122121--⋅σσ⋅--=η( C ) )2n n (~S n S n 212222n 22212n 1121-+χσ+σ=ζ ( D ))2n n (t ~2n n 2121-+ζξ⋅-+=ρ7. 设n X X X Λ,,21是取自总体),0(2σN 的样本，则可以作为2σ的无偏估计量是( A ).A 、∑=n i i X n 121B 、∑=-n i i X n 1211C 、∑=ni i X n 11D 、∑=-ni i X n 1118. 3、设321,,X X X 是来自母体X 的容量为3的样本，32112110351ˆX X X ++=μ，32121254131ˆX X X ++=μ，3213216131ˆX X X ++=μ，则下列说法正确的是( B ). A 、321ˆ,ˆ,ˆμμμ都是)(X E =μ的无偏估计且有效性顺序为321ˆˆˆμμμ>> B 、321ˆ,ˆ,ˆμμμ都是)(X E =μ的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为.312ˆˆˆμμμ>> C 、321ˆ,ˆ,ˆμμμ都是)(X E =μ的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为123ˆˆˆμμμ>> D 、321ˆ,ˆ,ˆμμμ不全是)(X E =μ的无偏估计，无法比三. 计算题1、在总体)2,30(~2N X 中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X 在 29到31之间取值的概率.解：因)2,30(~2N X ，故)162,30(~2N X ，即))21(,30(~2N X)221302()3120(<-<-=<<∴X P X P 9544.01)2(2)2()2(=-Φ=-Φ-Φ=2、设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2σN X (单位：小时)，抽取一容量为9的样本，其均方差100=S ，问)940(<X P 是多少？解：因2σ未知，不能用),1000(2nN X σ=来解题，而)1(~--=n t nS X T μ )8(~3t SX T μ-=∴ )()(39403940S S X P X P μμ-<-=<∴，而1000,100==μS)940(<∴X P )8.1()1003)1000940((-<=⨯-<=T P T P )8.1(>=T P由表查得056.0)8.1()940(=>=<T P X P 3、设721,,X X X Λ为总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，求∑=>712)4(i i X P .解：)5.0,0(~2N X)1,0(~2N X i ∴∑∑===∴7171222)7(~4)2(i i ii x XX∑∑==≈>=>∴717122025.0)164()4(i i i iX P X P.4、设总体)1,0(~N X ，从此总体中取一个容量为6的样本654321,,,,,X X X X X X ， 设26542321)()(X X X X X X Y +++++=，试决定常数C ，使随机变量CY 服 从2x 分布.解：)3,0(~321N X X X ++，)3,0(~654N X X X ++)1,0(~3321N X X X ++∴，)1,0(~3654N X X X ++)2(~)3()3(226542321x X X X X X X +++++∴即)2(~)(31)(31226542321x X X X X X X +++++ 31=∴C 时，)2(~2x CY5、设随机变量T 服从)(n t 分布，求2T 的分布.解：因为nY X T /=，其中)1,0(~N X ，)(~2n x Y ，nY X n Y X T /1//222==)1(~22x X ),1(~2n F T ∴6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 t 0.975( 50 ) 的 近 似 值 。