高一数学 二分法

在分析函数零点的性质时，我们已经看到，如 果函数y=f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断， 并求在它的两个端点处的函数值异号，即 f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有 一个零点。即存在一点x0∈(a, b)，使f(x0)=0。
如果函数图象通过零点时穿过了x轴，则 称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点。 依据这个性质，下面我们介绍求函数零点 的近似值的一种计算方法：二分法。
－2 －1
试判断函数f(x)在哪几个区间内一定有零点？ 解：函数f(x)在(2，3)、(3，4)，(6，7)、(8，9) 内一定有零点。
例4．不用计算器，求 3 3 的近似值（精确到 0.01）
解：设 3 3 =x，则建立函数f(x)=x3－3，求f(x) 的零点的近似值。 取a=1，b=2，f(1)=－2<0，f(2)=5>0， x1=1.5，f(x1)=0.375>0，区间[1，1.5]， x2=1.25，f(x2)=－0.0469<0，区间[1.25，1.5]， x3=1.375，f(x3)=0.5996>0，区间[1.25，1.375]，
（1）如果f(x0)=0，则x0就是f(x)的零点，计 算终止； （2）如果f(a0)· f(x0)<0，则零点位于区间[a0， x0]中，令a1=a0，b1=x0；
（3）如果f(a0)· f(x0)>0，则零点位于区间[x0， b0]中，令a1=x0，b1=b0； 第三步：取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应 的坐标为 x a 1 (b a ) 1 (a b ) 1 1 1 1 1 1 2 2 计算f(x1)和f(a1)，并判断：
度。
例1. 求函数f(x)=x3+x2－2x－2的一个正实数零 点（精确到0.1）。 解：由于f(1)=－2<0，f(2)=6>0， 可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间。 用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横 计算端点或中 确定区间 坐标 点的函数值
a0=1，b0=2 x0=1.5 x1=1.25 x2=1.375 x3=1.4375 f(1)=－2，f(2)=6 [1，2] f(x0)=0.625>0 [1，1.5]
算法是刻板的、机械的。有时要进行大
量的重复计算，算法的优点是一种通法。只 要按部就班地去做，总会算出结果。算法的 更大优点是它可以让计算机来实现。例如我 们可以编写程序，快速地求出一个函数的零 点。 在数学3中，我们还要系统地学习算法。
例2．分别求出下列函数的零点，并指出是 变号零点还是不变号零点。 （1）f(x)=3x－6； （2）f(x)=x2－x－12； （3）f(x)=x2+6x+9； （4）f(x)=(x－2)2(x+1)x。 解：（1）零点是2，是变号零点； （2）零点是－3、4，都是变号零点；
到了19世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦 （Galois）的研究，人们认识到高于四次的函 数（即高于四次的代数方程）不存在求根公式， 也就是说，不存在用四则运算即根号表示的一 般公式解。
同时对于三次和四次的代数方程，由于公 式解的表示相当复杂，一般来讲并不适宜用作 具体计算。因此对于高次多项式函数及其他的 一些函数，有必要寻求求零点的近似解的方法。 这在计算数学中是一个十分重要的课题。
（1）如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计 算终止； （2）如果f(a1)· f(x1)<0，则零点位于区间[a1， x1]中，令a2=a1，b2=x1； （3）如果f(a1)· f(x1)>0，则零点位于区间[x1， b1]中，令a2=x1，b2=b1； ……
继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]， 函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an、bn 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这 个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点。 计算终止。 这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确
2．4．2 求函数零点近似解的
一种计算方法——二分法
由于解决实际问题的需要，人们经常需 要寻求函数y=f(x)的零点（也就是方程f(x)=0 的根）。求一次函数或二次函数的零点，我 们可以用熟知的公式解法。
在16世纪，人们找到了三次函数和四次函数
的求根公式，但对于高于四次的函数，类似的
努力却一直没有成功。
函数f(x)=x3+x2－ 2x－2的图象如图所示， 实际上还可以用二分 法继续计算下去，进 而得到这个零点精确 度更高的近似值。
以上求函数零点的二分法，对函数图象上
连续不间断的一类函数的零点都有效。如果一
种计算方法对某一类问题（不是个别的）都有 效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得 到惟一的结果。我们经常把这一类问题的求解 过程叫做解决这一类问题的算法。
（3）f(x)=x2+6x+9；
（4）f(x)=(x－2)2(x+1)x。 解：（3）零点是－3，不变号零点； （4）零点是2，－1，0，其中变号零点是 －1和0，不变号零点是2.
例3．图象是连续不间断的函数f(x)的部分对
应值如下表：
x f(x) 1 14 2 8 3 －2 4 2 5 7 6 3 7 8 9 8
Hale Waihona Puke Baidu
f(x1)=－0.984<0 [1.25，1.5] f(x2)=－0.260<0 [1.375，1.5] f(x3)=0.162>0 [1.376，1.4375]
由上表的计算可知，区间[1.376，1.4375] 的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4， 因此1.4就是所取函数的一个正实数零点的近 似值。
已知函数y=f(x)定义在区间D上，求它在D
上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的
精确度。 下面我们分步写出，用二分法求函数零 点的一般步骤。 第一步：在D内取一个闭区间[a0，b0] D， 使f(a0)和f(b0)异号，即f(a0)· f(b0)<0，零点位 于区间[a0，b0]中；
第二步：取区间[a0，b0]的中点，则此中点对 1 1 应的坐标为， x0 a0 (b0 a0 ) (a0 b0 ) 2 2 计算f(x0)和f(a0)，并判断：