福建省莆田八中高二数学 -2《复合函数的求导法则》教案

§1.2.2复合函数的求导法则

教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．

教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．

教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

（2）推论：[]'

'

()()cf x cf x =

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授

复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，

y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作

()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦

三．典例分析

例1求下列函数的导数：

（1）2

(23)y x =+；（2）0.051

x y e

-+=；

（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．

解：（1）函数2

(23)y x =+可以看作函数2

y u =和23u x =+的复合函数。根据复合函数求导法则有

x u x y y u '''=⋅=2'

'()(23)4812u x u x +==+。

（2）函数0.051

x y e -+=可以看作函数u

y e =和0.051u x =-+的复合函数。根据复合函

数求导法则有

x u x y y u '''=⋅='

'

0.051

()(0.051)0.0050.005u u

x e x e e

-+-+=-=-。

（3）函数sin()y x πϕ=+可以看作函数sin y u =和u x πϕ=+的复合函数。根据复合函数求导法则有

x u x y y u '''=⋅='

'

(sin )()s s()u x co u co x πϕπππϕ+==+。

例2求2

sin(tan )y x =的导数．

解：'

2

'

2

2

2

[sin(tan )]cos(tan )sec ()2y x x x x ==⋅⋅

2222cos(tan )sec ()x x x =⋅ '2222cos(tan )sec ()y x x x =⋅

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例3

求y=的导数．

解：'y=

2

==，

'y=

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例4求y＝sin4x＋cos 4x的导数．

【解法一】y＝sin 4x＋cos 4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－

2

1

sin22 x

＝1－

4

1

（1－cos 4 x）＝

4

3

＋

4

1

cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4 sin3x(sin x)′＋4 cos3x (cos x)′

＝4 sin3x cos x＋4 cos3x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin2x－cos2x)

＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

例5曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y＝－x3 ＋x2 ＋2 x y′＝－3 x2＋2 x＋2

令y′＝1即3 x2－2 x－1＝0，解得x＝－

3

1

或x＝1．

于是切点为P（1，2），Q（－

3

1

，－

27

14

），

过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．

显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为

2

|1

27

14

3

1

|+

+

-

＝2

27

16

．

四．课堂练习

1．求下列函数的导数(1) y=sin x3+sin33x；（2）

1

2

2

sin

-

=

x

x

y;(3))2

(

log2-

x

a

2.求)1

3

2

ln(2+

+x

x的导数