保险精算课件 第2章生命表共30页
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保险学课件-生存模型与生命表
一、延期死亡概率
¡例：在某特定的人口群体中，所有年龄的死亡力为0.025，计算： 年龄为10岁的人在12岁前死亡的概率。 年龄为5岁的人在10-12岁死亡的概率。 新生婴儿的完全生命期望。
新生婴儿的简单生命期望
二、非整数年龄的生命表函数
（一）一年内死亡时间均匀分布假设
（二）死亡力为常数的假设
四、未来生存时间和简单未来生存时间的方差
第四节 生命表函数
¡ 一、生命表的概念 ¡ 二、 函数 ¡ 三、 函数
一、生命表的概念
二、 函数
三、 函数
第五节 延期死亡概率和非整数年龄的生命表 函数
¡ 一、延期死亡概率 ¡ 二、非整数年龄的生命表函数
（一）一年内死亡时间均匀分布假设 （二）死亡力为常数的假设
¡ 选择表是一种不同与终极表的生命表。在人寿保险的承 保过程中，经过体检等选择的被保险人的死亡率等风险 低于一般人口的风险，而且最近几年选择的被保险人的 死亡率风险低于前些年选择的被保险人的死亡率风险， 考虑到这种选择因素的影响之后编制的生命表称为选择 表。
¡ 总合生命表是指不考虑保险契约有效后经过的年数，以 整个保险期间为对象，根据不同年龄的被保险人的死亡 率数据编制的生命表。
¡ 这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称作条件支 付(contingent payment)。其最重要特征就是它发生的不 确定性。一个人的未来生存时间是不确定的，只有在特殊 情况下才是预先可知的。
¡ 被保险人在未来某个时期的生死是一个不确定性事件， 对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作之 一，它决定着保险金的给付与否。它的研究把数学和生存 与死亡概率结合在一起。
二、选择表
¡对于生命表函数的所有概率公式适用于选择表函 数，例如：
寿险精算第二讲：生命表构成及应用
生命表构建和运用学习重点：掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分布理论。
研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。
生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。
生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。
是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。
即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。
一、生命表简介1、生命表的编制生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。
这种生命表成为实际同批人生命表。
但在实际中取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。
通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。
这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。
2、生命表的分类在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
（1）国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。
由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。
（2）寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。
保险精算第二复习PPT教案学习
保险精算第二复习
会计学
1
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率 1.2 名义利率和名义贴现率 1.3 利息强度
第1页/共73页
1.1实际利率和实际贴现率
1.1.1实际利率
某额一与度此量度期量的其实开际始利时率投，入是的指本该金度金量额期之内比得。到通的常利用i息金
表示。
An An 1 in An 1
第20页/共73页
生命表基本函数
lx dxn lxn
(1)
1
l0 d x
(2)
x0
n qx
n dx lx
dx
dx1 lx
dxn1
(3)
qx 1 qx 2 qx q n1 x
n1
t qx t0
第21页/共73页
生命表基本函数
npx： x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。
m|ax
vk k px
a x:mn
a x:m
n
Ex
a xm:n
km
第54页/共73页
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与寿险 精算现值之间的关系
第55页/共73页
保险精算
第六章 期缴纯保费与营业保费
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定：(x) 岁的人，保额1元终身寿险 基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
第31页/共73页
符号：
Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
假定(x)岁的人，保额1元，n年定期两全保险
会计学
1
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率 1.2 名义利率和名义贴现率 1.3 利息强度
第1页/共73页
1.1实际利率和实际贴现率
1.1.1实际利率
某额一与度此量度期量的其实开际始利时率投，入是的指本该金度金量额期之内比得。到通的常利用i息金
表示。
An An 1 in An 1
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生命表基本函数
lx dxn lxn
(1)
1
l0 d x
(2)
x0
n qx
n dx lx
dx
dx1 lx
dxn1
(3)
qx 1 qx 2 qx q n1 x
n1
t qx t0
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生命表基本函数
npx： x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。
m|ax
vk k px
a x:mn
a x:m
n
Ex
a xm:n
km
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5.3.2 期初付生存年金的精算现值与寿险 精算现值之间的关系
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保险精算
第六章 期缴纯保费与营业保费
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定：(x) 岁的人，保额1元终身寿险 基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
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符号：
Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
假定(x)岁的人，保额1元，n年定期两全保险
保险精算 第2章 生命表
4
寿命的分布函数与概率密度
Pr(x 100)
1 Pr(x 100)
1 F(100)
f (x)dx 100
E(X ) xf (x)dx 0
Pr(x X x 1 X x)
Pr(x X x 1 X x) Pr( X x)
Pr( X x 1) Pr( X x) 1 Pr( X x)
E(I j ) 1 s(x) 0 (1 s(x)) s(x), ( j 1, 2,..., l0 )
l0
l0
lx E(Lx ) E( I j ) E(I j ) l0 s(x)
j 1
j 1
27
死亡人数
n Dx l0个零岁新生婴儿在x岁与x n岁之间死亡的人概数率
x dx
0
2
24
Actuarial Science
2.2 生命表
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7
死亡率 q x
生存人数 l x
死亡人数 d x
平均余命
0
ex
生命表各函数间的关系
取整平均余命
随机生存群体与确定生存群体
保险精算
25
年龄 x
lxk lxk lxk m lxk lxkm d m xk
k x m xk lx
lxk
lx
lx
31
应用实例
例 根据美国1979～1981年国民生命表计算 30岁的美国人发生以下事件的概率：（1）活 过80岁；（2）在5年之内死亡；（3）在60岁 死亡。
解
x
《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch2
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
f0 (t)
d dt
F0 (t)
lim
dt 0
F0 (t
dt) dt
F0 (t)
• 生存函数与分布函数具有补函数关系, 所以寿命的密度函 数也可以表达为生存函数导函数的负数
f0 (t)
d dt
S0 (t)
lim
dt 0
S0 (t)
S0 (t+dt) dt
人类寿命密度函数示意图
密度函数曲线展示的人类生存规律
• 寿险业务关心的是被保险人购买了寿险产品之后的未来生存状 况。 所以, 寿险研究的主要变量是被保险人的未来寿命。
• 从统计分析的角度而言, 对寿命变量和未来寿命变量的分析是不 一样的
• 寿命分布和未来寿命分布最主要的差别
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
f0 (t)
d dt
F0 (t)
lim
dt 0
F0 (t
dt) dt
F0 (t)
• 生存函数与分布函数具有补函数关系, 所以寿命的密度函 数也可以表达为生存函数导函数的负数
f0 (t)
d dt
S0 (t)
lim
dt 0
S0 (t)
S0 (t+dt) dt
人类寿命密度函数示意图
密度函数曲线展示的人类生存规律
• 寿险业务关心的是被保险人购买了寿险产品之后的未来生存状 况。 所以, 寿险研究的主要变量是被保险人的未来寿命。
• 从统计分析的角度而言, 对寿命变量和未来寿命变量的分析是不 一样的
• 寿命分布和未来寿命分布最主要的差别
《保险精算》之--生命表课件 (一)
《保险精算》之--生命表课件 (一)随着社会的发展，人们越来越重视保险的作用。
传统的保险行业一直以来都是以高保费的形式吸引保险人购买保险，但相对保费来说，一些人却不是很清晰地了解保险真正的运作方式，特别是保险精算方面的知识。
保险精算的核心是生命表，也是保险公司的核心竞争力。
下面将会着重讲述一下“《保险精算》之--生命表课件”。
一、什么是生命表？生命表（Mortality Table）是保险精算中的一种表格，用于衡量人群在不同年龄段内的死亡风险。
由于生命表是一种单独的表格，因此可以根据不同的人群和健康状况进行分类，以便保险公司对人寿保险的风险进行计算。
二、生命表的种类1、一般生命表：是以全国人民的整体死亡率数据作为依据的生命表，通常用于人寿保险的计算。
2、职业生命表：是以某个特定职业的人群死亡率数据作为依据的生命表，通常用于企业职工的保险计算。
3、后期生命表：是针对某一代人的死亡率加以推算所得到的稳定寿命数据。
后期生命表的意义是为了比较在一定时期内因某些原因死亡概率的变化情况。
三、生命表的重要性生命表是保险精算核心竞争力之一。
在人生的不同阶段，保险公司需要根据不同的人口统计学数据来计算保险费的价格。
根据保险人的年龄、健康状况等多个指标来计算风险。
而生命表则是这个计算模型中最关键的指标之一，也是最容易被人们理解和接受的。
四、生命表课件的相关内容生命表课件主要分为以下几个内容：1、生命表的定义：对生命表的基本概念进行了详细的介绍。
2、生命表的种类：详细的介绍了一般生命表、职业生命表以及后期生命表的含义和使用场景。
3、生命表的基本术语：解释了生命表中的一些专业术语，如x、n、d、qx等。
4、生命表的计算方法：介绍了如何计算年龄、期限和期际的风险率和死亡率。
5、生命表的运用：以具体的案例为例，阐述了生命表在保险精算中的应用，进而引出了保险精算以及如何使用生命表计算的知识，这样才能更好地为企业提供保险解决方案。
《保险精算》之--生命表课件 (二)
《保险精算》之--生命表课件 (二)
- 生命表的定义：生命表是一种用于描述人口死亡情况的统计表格，通常用于保险精算中的寿险计算。
- 生命表的种类：主要有期间生命表和世代生命表两种，其中期间生命表是以某一时期内的人口死亡率为基础，而世代生命表则是以某一代人的生命经历为基础。
- 生命表的构成：生命表通常由年龄、死亡率、生存人数、累计死亡人数、年度死亡人数等指标构成，其中年龄是生命表的基本单位。
- 生命表的应用：生命表在保险精算中的应用主要是用于计算寿险保险的风险和费率，同时也可以用于研究人口死亡规律和趋势。
- 生命表的局限性：生命表的构建需要大量的人口统计数据，而且只能反映历史死亡情况，无法预测未来死亡率的变化，因此在实际应用中需要结合其他因素进行综合分析。
- 生命表的发展：随着社会经济和医疗水平的提高，人口死亡率逐渐下降，生命表也在不断发展和完善，例如引入了人口分布、健康状况等因素来构建更加准确的生命表模型。
- 生命表的重要性：生命表是保险精算中不可或缺的重要工具，通过生命表可以更加准确地评估寿险风险和费率，从而为保险公司提供更加稳健的经营基础。
保险精算精选PPT演示文稿
偿付能力测试等重要工作。
•1
❖ 由于精算师是一项非常专门的职业，一般需要经过资格考试来认定从业资格。国际 上著名的精算学会有：北美精算学会、英国精算学会、日本精算学会和澳大利亚精 算学会，不同的精算师学会具有不同的资格认证和考试课程和制度。其中在国际上 最具代表性和权威性，规模最大、拥有最多会员精算师的组织是美国的北美精算师 协会（Society of Actuaries，简称SOA），享有极高的声誉。目前拥有正式会员 和准会员约16，500名。作为一个国际性的精算教育和研究机构，SOA的主要任务 是提供人寿保险、健康保险、员工福利和养老金领域的精算教育计划，以后续教育 的方式提高精算师的咨询和解决涉及不确定事件的金融、保险、财务及社会问题的 能力。
•4
我国的精算师考试
❖ 准精算师考试基础课程
课程编号 课程名称
学分
001
数学基础Ⅰ
30
002
数学基础Ⅱ
30
003
复利数学
20
004
寿险精算数学
50
005
风险理论
20
006
生命表基础
30
007
寿险精算实务
30
008
非寿险精算数学与实务 30
009
综合经济基础
30
❖ 每门报名200元
考试时间 3 3 2 4 2 3 3 3 3
备注 必考 必考 必考 必考 必考 必考 必考 必考 必考
•5
❖ 精算师考试高级课程
课程编号 课程名称
学分
011
财务
30
012
保险法规
30
013
资产/负债管理
30
014
社会保险
保险精算课件 第2章生命表30页PPT
3.3.1 生存分布函数 用X表示新生儿的死亡年龄，它是一个连续随机变量
• 生存函数： S(x)PX r (x)
表示新生儿能活到 x 岁的概率。
• 死亡函数： F (x ) PX r x ( ) 1 S (x )
• 概率密度函数： f(x ) F (x ) S (x )
• 新生儿将在x岁至y岁之间死亡的概率：
6. T x : x岁的人群未来累积生存人年数
x1
Tx
Lxt
t 0
7.
o
ex :
x岁的人群的平均余寿，表明未来平均寿命
o
ex
Tx
8.
o
e0
:
lx o
新生儿的平均余寿，即人的平均寿命。 e 0
T0
l0
9. n m qx : x岁的人在x+n～x+n+m岁死亡的概率
nmqx
mdxn lx
lxn lxnm lx
S(x)
0
3.3.3 x岁余寿的分布函数
用(x)表示年龄是x岁的人，(x)的余寿以T(x)表示, 它是一个连续随机变量，其概率分布函数为:
F T (t) P r(T (x ) t), t 0
它正是 x 岁的人在 t 时间内死亡的概率 t q x
tqx Pr[xXtx Xx]
F(tx)F(x)S(x)S(tx)
2. 生命表的定义 – 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料 编制成的由每个年龄死亡率所构成的汇总表。
3. 生命表的构造原理 – 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄 人群的死亡概率。（用频率估计概率）
3.2 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批人从 出生后陆续死亡的全部过程的一种统计。
• 生存函数： S(x)PX r (x)
表示新生儿能活到 x 岁的概率。
• 死亡函数： F (x ) PX r x ( ) 1 S (x )
• 概率密度函数： f(x ) F (x ) S (x )
• 新生儿将在x岁至y岁之间死亡的概率：
6. T x : x岁的人群未来累积生存人年数
x1
Tx
Lxt
t 0
7.
o
ex :
x岁的人群的平均余寿，表明未来平均寿命
o
ex
Tx
8.
o
e0
:
lx o
新生儿的平均余寿，即人的平均寿命。 e 0
T0
l0
9. n m qx : x岁的人在x+n～x+n+m岁死亡的概率
nmqx
mdxn lx
lxn lxnm lx
S(x)
0
3.3.3 x岁余寿的分布函数
用(x)表示年龄是x岁的人，(x)的余寿以T(x)表示, 它是一个连续随机变量，其概率分布函数为:
F T (t) P r(T (x ) t), t 0
它正是 x 岁的人在 t 时间内死亡的概率 t q x
tqx Pr[xXtx Xx]
F(tx)F(x)S(x)S(tx)
2. 生命表的定义 – 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料 编制成的由每个年龄死亡率所构成的汇总表。
3. 生命表的构造原理 – 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄 人群的死亡概率。（用频率估计概率）
3.2 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批人从 出生后陆续死亡的全部过程的一种统计。
第2章 生命表基础
tu
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
常见精算符号及其含义（3）
0岁的人与x岁的人（x）：X与T(x) 死亡力：µx 生存函数或分布（死亡）函数： FX(x) 与SX(x)、 xq0与xp0 FT(x)(t) 与ST(x)(t) 、fT(x)(t) 、tqx与tpx t|uqx 密度函数：fX(x)与fT(x)(t)
例2.1：P31
常见生存事件的概率
新生儿将在x岁至y岁（x<y）之间死亡的概率：
Pr( x < X ≤ y ) = SX ( x) − SX ( y )
新生儿活过x岁的条件下能活过y岁（x<y）的概率： SX ( y ) Pr( X > y | X > x ) = SX ( x) 新生儿在x岁仍活着而在x岁和y岁（x<y）之间死亡 的概率： SX ( x ) − SX ( y )
px l x +1 l x − l x +1 dx = ， qx = = lx lx lx
生命表的构造－－人年数
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数： Lx t
t
Lx = ∫
x +t
x
l y dy
当t=1时，有： L x =
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
常见精算符号及其含义（3）
0岁的人与x岁的人（x）：X与T(x) 死亡力：µx 生存函数或分布（死亡）函数： FX(x) 与SX(x)、 xq0与xp0 FT(x)(t) 与ST(x)(t) 、fT(x)(t) 、tqx与tpx t|uqx 密度函数：fX(x)与fT(x)(t)
例2.1：P31
常见生存事件的概率
新生儿将在x岁至y岁（x<y）之间死亡的概率：
Pr( x < X ≤ y ) = SX ( x) − SX ( y )
新生儿活过x岁的条件下能活过y岁（x<y）的概率： SX ( y ) Pr( X > y | X > x ) = SX ( x) 新生儿在x岁仍活着而在x岁和y岁（x<y）之间死亡 的概率： SX ( x ) − SX ( y )
px l x +1 l x − l x +1 dx = ， qx = = lx lx lx
生命表的构造－－人年数
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数： Lx t
t
Lx = ∫
x +t
x
l y dy
当t=1时，有： L x =
第二章人身保险的数理基础-PPT课件
保险精算的发展和现状
精算职业范围的发展 精算职业团体的发展 精算学作为一门学科的发展
专门职业和精算师
它的基本目的是为公众及公众利益提供服务； 它为成员个人提供支持，并提高成员集体的社会地位； 它是一个学习性的社团，鼓励研究，促进成员之间的交流； 它的成员具有专业技能； 对那些在专业技能考试中达到必需标准的成员，它经常以签名 证书的形式给予资格证明； 它通过提供后续职业教育，帮助并要求成员保持职业技能； 它建立了成员所必须遵循的行为规范和实践标准； 它拥有惩戒程序以保证成员遵守行为规范和维护职业标准。
寿险精算的内容
人身保险按投保人数的不同，可分为 一元生命人身保险 复合生命人身保险
2.1.5寿险精算的基础
随机事件与概率 大数定律及其在保险中的应用
寿险精算的基础
随机事件与概率 随机试验符合符合以下特征的事件:1.可以在相 同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果 不止一个,并且能事先明确实验的可能结果;3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 概率:表示随机事件的可能性的大小,概率在就 表示某种事件出现的可能性就大.0≤P(A) ≤ 1
寿险精算的基础
大数定律及其在保险中的应用 大数定律应用于保险时得出的最有意义的结论 是:当保险标的的数量足够大时,通过以往统计 数据计算出的估计损失概
精算师的职业排名
The Best and Worst Jobs(2019)
The Best 1. Mathematician 2. Actuary 3. Statistician 4. Biologist 5. Software Engineer 6. Computer Systems Analyst 7. Historian 8. Sociologist 9. Industrial Designer 10. Accountant 11. Economist 12. Philosopher 13. Physicist 14. Parole Officer 15. Meteorologist 16. Medical Laboratory Technician 17. Paralegal Assistant The Worst 200. Lumberjack 199. Dairy Farmer 198. Taxi Driver 197. Seaman 196. EMT 195. Roofer 194. Garbage Collector 193. Welder 192. Roustabout 191. Ironworker 190. Construction Worker 189. Mail Carrier 188. Sheet Metal Worker 187. Auto Mechanic 186. Butcher 185. Nuclear Decontamination Tech 184. Nurse (LN)
保险精算PPT课件
损失概率，直接决定其费率。这种方法的采用，往往是因为保险标的数量 较少，无法采用统计资料，因而主要凭借精算人员的知识与经验。
观察法所制定的费率，最能反映个别风险的特性，具有灵活、精确 的特点，这是因为：①在风险单位数量很少的情况下，不能硬性将风险性 质差异很大的各风险单位集中在一块，统一制定费率，否则，将违反利用 大数法则估计损失概率的前提条件；②观察法制定费率，虽是针对个别标 的而言，但精算人员往往根据过去的费率和经验，以及对此标的有影响的 各种风险因素进行仔细的分析，然后才确定费率；③观察法通常也要利用 一些资料，只不过较为粗略而已。
个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周
期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，
当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估
计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估
计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大
量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。
2
第2页/共43页
第一节 保险精算概述
一、保险精算的产生与发展
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的。当时，
寿险的保费采用赋课制，未将年龄大小、死亡率高低等与保 费挂钩，有关计算单一、粗糙，考虑的因素少，因而使寿险 经营缺乏严密的科学基础。
17世纪后半叶，世界上有两位保险精算创始人研究
人寿保险计算原理取得突破性进展，一位是荷兰的政治家维 德(Jeande Witt)，他倡导了一种终身年金现值的计算方法，
5
第5页/共43页
第一节 保险精算概述
二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生 的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”
观察法所制定的费率，最能反映个别风险的特性，具有灵活、精确 的特点，这是因为：①在风险单位数量很少的情况下，不能硬性将风险性 质差异很大的各风险单位集中在一块，统一制定费率，否则，将违反利用 大数法则估计损失概率的前提条件；②观察法制定费率，虽是针对个别标 的而言，但精算人员往往根据过去的费率和经验，以及对此标的有影响的 各种风险因素进行仔细的分析，然后才确定费率；③观察法通常也要利用 一些资料，只不过较为粗略而已。
个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周
期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，
当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估
计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估
计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大
量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。
2
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第一节 保险精算概述
一、保险精算的产生与发展
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的。当时，
寿险的保费采用赋课制，未将年龄大小、死亡率高低等与保 费挂钩，有关计算单一、粗糙，考虑的因素少，因而使寿险 经营缺乏严密的科学基础。
17世纪后半叶，世界上有两位保险精算创始人研究
人寿保险计算原理取得突破性进展，一位是荷兰的政治家维 德(Jeande Witt)，他倡导了一种终身年金现值的计算方法，
5
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第一节 保险精算概述
二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生 的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”
寿险精算 第二讲 生存分布与生命表
或100146?xxxtxxxtledtpdtll00pxetx147?x??xettxtttpdt101110xxtxtxxxxxtxttldtllllldt????1xl1xl?xxxl寿险精算数学01生存分布与生命表142生命表各函数的关系寿险精算数学01生存分布与生命表寿险精算数学01生存分布与生命表分数期死亡均匀分布的生存函数图示寿险精算数学01生存分布与生命表寿险精算数学01生存分布与生命表寿险精算数学01生存分布与生命表三种假定下生存函数比较图示寿险精算数学01生存分布与生命表三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力balluccixtqxtptxyqtftxtqute??1xtq?yq?q?1ute?11xxptq??xxtq111xxyq?qytq??xqueut??211xxxpqtq???ute??1tx?xxtq1?11xxtq??11?xxtq??tq?寿险精算数学01生存分布与生命表例子?例子141设x在xx1上服从均匀分布试证
0.95 0.107 e 0.89 0.96
《寿险精算数学》
• De Moivre模型(1729)
1 x x s( x) 1
--01生存分布与生命表
1.3.2 死力的若干解析形式
x
•
Gompertze模型(1825)
x Bc x
s( x) exp( B(c x 1) / ln c) , B 0,c 1,x 0
•
Makeham模型(1860)
x A Bc x
s( x) exp( Ax B(c x 1) / ln c) ,
•
Weibull模型(1939)
x kx n
s( x) exp(kx n 1 / (n 1)) , k 0, n 0, x 0
0.95 0.107 e 0.89 0.96
《寿险精算数学》
• De Moivre模型(1729)
1 x x s( x) 1
--01生存分布与生命表
1.3.2 死力的若干解析形式
x
•
Gompertze模型(1825)
x Bc x
s( x) exp( B(c x 1) / ln c) , B 0,c 1,x 0
•
Makeham模型(1860)
x A Bc x
s( x) exp( Ax B(c x 1) / ln c) ,
•
Weibull模型(1939)
x kx n
s( x) exp(kx n 1 / (n 1)) , k 0, n 0, x 0
[经济学]保险精算_OK
![[经济学]保险精算_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/e8543aeda76e58fafbb0039a.png)
1的00人不适用
100 x 100 x 1 1
100 x
100 x
❖26
• 上述假设的解析式中， • 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 • 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很
大的误差 • 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是
使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分 布。 • 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分 布。
T (x) X x • 可见 T的分布就是已知 X 时x 的X条件分布
❖10
三、剩余寿命
• T (x的) 分布函数： FT (t) P r(T t),t 0 P r(x X x t X x) F(x t) F(x) 1 F(x) s(x) s(x t) s(x)
❖11
❖44
例如：
p p p p p 4 [73]3
k 0
k 0
❖19
五、死亡效力
• 定义： (x的) 瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
❖20
死亡效力与其他函数的关系
• 死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) s(x)
[ln s(x)]
x
0 ydy
x
[ln s( y)]dy
ln
s( y)
x
ln
n Lx
n
0 t lxt xtdt nlxn
n
0 t lx t pxxtdt n lxn n lxn
n
lx 0 t (t px )dt n lxn
t lxt
n
0
n
0 lxtdt n lxn
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• 概率函数
PrK((x)k)Prk(T(x)k1) k1qxkqxkpxk1px kpx qxkk qx
3.3.5 生存函数和生命表函数之间的关系
S(x)lx l0
p0p1px1
x ld xd lx xd l0 (S l0 (S x ( )d xx )) S S ((x x ))(x)
1
Lx 0 lxtdt
Tx 0 lxtdt
o
exE(T) 0
tt px
xtdt
o
e0E(X) xf(x)dx 0
o
ex
Tx l xt lx 0 lx
dt 0
t
pxdt
填空:
x
lx
dx
px
qx
0 1000 100
1
计算 p 20 30 ，20 5 q 25
3.3 生存分布
3.3.1 生存分布函数 用X表示新生儿的死亡年龄，它是一个连续随机变量
• 生存函数： S(x)PX r (x)
表示新生儿能活到 x 岁的概率。
• 死亡函数： F (x ) PX r x ( ) 1 S (x )
• 概率密度函数： f(x ) F (x ) S (x )
T的概率密度为
fT(t)F T (t)dS S((tx) dx t)tpxxt
显然有
0t
pxxtdt
1
3.3.4 整值剩余寿命
• 定义:（x）未来存活的整数年数称为（x）的整值
余寿，简记 K ( x ) ， 它是 T (x) 的取整函数
K ( x ) k , k T ( x ) k 1 ,k 0 , 1 ,
lim
(x)
由 (x) S(x) 可得 S(x)exp[x(y)dy]
S(x)
0
3.3.3 x岁余寿的分布函数
用(x)表示年龄是x岁的人，(x)的余寿以T(x)表示, 它是一个连续随机变量，其概率分布函数为:
F T (t) P r(T (x ) t), t 0
它正是 x 岁的人在 t 时间内死亡的概率 t q x
tqx Pr[xXtx Xx]
F(tx)F(x)S(x)S(tx)
1F(x)
S(x)
tpx1tqx1 1 F F (t( x)x)S(S t( x)x)
tuqxPr[xtXxtuXx]
tuqxtqxtpxtupxtpxuqxt
2
750
0.8
3
4
300
0.6
5
6
0
例：已知
lx
1000(10 x ) 100
计算下面各值：
（1）20岁的人在50~55岁死亡的概率。
6. T x : x岁的人群未来累积生存人年数
x1
Tx
Lxt
t 0
7.
o
ex :
x岁的人群的平均余寿，表明未来平均寿命
o
ex
Tx
8.
o
e0
:
lx o
新生儿的平均余寿，即人的平均寿命。 e 0
T0
l0
9. n m qx : x岁的人在x+n～x+n+m岁死亡的概率
nmqx
mdxn lx
n qx
ndx lx
lx qx dx
4. n p x : x岁的人活到x+n岁的概率，简记 1px px
n
px
lxn lx
npx nqx 1
5. n L x : x岁的人在x～x+n岁生存的人年数，简记
1Lx Lx
人年数是表示人群存活时间的复合单位。
在死亡均匀分布假设下，有
nLxnlxnn 2ndxn 2(lxlxn) Lx 12(lx lx1)
第2章 生命表
本章主要内容: 生命表起源 生命表基本函数 生存分布 几个常用的生存模型
3.1 生命表起源
1. 生命表的发展历史 – 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼
和死亡名单,写出《生命表的自然和政治观察》。 这是生命表的最早起源。
– 1693年，英国大数学家、天文学家 Edmund Halley，写出《根据Breslau城出生与下葬统计 表对人类死亡程度的估计》，文中第一次使用了 生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们 因而把Halley称为生命表的创始人。
lxn lxnm lx
简记
npxnmpxnpxmqxn
n1qxnqxnpxqxn
10. 死亡力
时间x时存活人数 l x 的相对变化率，称为x时的
死亡力，记为 x
x
d(lx ) lxdx
两边积分可得 lx l0exp[0xydy]
例：已知
lx
100(10 x ) 120
x n
n
np x ex xpy d [ y ] ex 0p x y d [ y ]
n
n
nqx0fT(x)(t)d t0tpx x td t
nm
nmqxn t px xtdt
1
dxlxlx 1lxqx0lx t x tdt
• 新生儿将在x岁至y岁之间死亡的概率：
P x rX ( y ) S (x ) S (y )
3.3.2 危险率函数
在生存到时间x的条件下，在x处的瞬间死亡密度称为 时间x处的危险率，记为 ( x ) ，有
(x)lim1 Pr(xXxxXx)
x0x
S(x)S(xx) S(x) f(x)
通常生命表涉及的函数有：
1. l x : 存活到整数年龄x岁的人口数，x0,1,,1.
是生命表极限年龄，通常取 110
2. n d x : 在x～x+n岁死亡的人数，简记 1dx dx
ndx lxlxn,
1
l0 d x x0
3. n q x : x岁的人在x～x+n岁死亡的概率，简记 1qx qx
2. 生命表的定义 – 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料 编制成的由每个年龄死亡率所构成的汇总表。
3. 生命表的构造原理 – 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄 人群的死亡概率。（用频率估计概率）
3.2 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批人从 出生后陆续死亡的全部过程的一种统计。
PrK((x)k)Prk(T(x)k1) k1qxkqxkpxk1px kpx qxkk qx
3.3.5 生存函数和生命表函数之间的关系
S(x)lx l0
p0p1px1
x ld xd lx xd l0 (S l0 (S x ( )d xx )) S S ((x x ))(x)
1
Lx 0 lxtdt
Tx 0 lxtdt
o
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tt px
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o
e0E(X) xf(x)dx 0
o
ex
Tx l xt lx 0 lx
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填空:
x
lx
dx
px
qx
0 1000 100
1
计算 p 20 30 ，20 5 q 25
3.3 生存分布
3.3.1 生存分布函数 用X表示新生儿的死亡年龄，它是一个连续随机变量
• 生存函数： S(x)PX r (x)
表示新生儿能活到 x 岁的概率。
• 死亡函数： F (x ) PX r x ( ) 1 S (x )
• 概率密度函数： f(x ) F (x ) S (x )
T的概率密度为
fT(t)F T (t)dS S((tx) dx t)tpxxt
显然有
0t
pxxtdt
1
3.3.4 整值剩余寿命
• 定义:（x）未来存活的整数年数称为（x）的整值
余寿，简记 K ( x ) ， 它是 T (x) 的取整函数
K ( x ) k , k T ( x ) k 1 ,k 0 , 1 ,
lim
(x)
由 (x) S(x) 可得 S(x)exp[x(y)dy]
S(x)
0
3.3.3 x岁余寿的分布函数
用(x)表示年龄是x岁的人，(x)的余寿以T(x)表示, 它是一个连续随机变量，其概率分布函数为:
F T (t) P r(T (x ) t), t 0
它正是 x 岁的人在 t 时间内死亡的概率 t q x
tqx Pr[xXtx Xx]
F(tx)F(x)S(x)S(tx)
1F(x)
S(x)
tpx1tqx1 1 F F (t( x)x)S(S t( x)x)
tuqxPr[xtXxtuXx]
tuqxtqxtpxtupxtpxuqxt
2
750
0.8
3
4
300
0.6
5
6
0
例：已知
lx
1000(10 x ) 100
计算下面各值：
（1）20岁的人在50~55岁死亡的概率。
6. T x : x岁的人群未来累积生存人年数
x1
Tx
Lxt
t 0
7.
o
ex :
x岁的人群的平均余寿，表明未来平均寿命
o
ex
Tx
8.
o
e0
:
lx o
新生儿的平均余寿，即人的平均寿命。 e 0
T0
l0
9. n m qx : x岁的人在x+n～x+n+m岁死亡的概率
nmqx
mdxn lx
n qx
ndx lx
lx qx dx
4. n p x : x岁的人活到x+n岁的概率，简记 1px px
n
px
lxn lx
npx nqx 1
5. n L x : x岁的人在x～x+n岁生存的人年数，简记
1Lx Lx
人年数是表示人群存活时间的复合单位。
在死亡均匀分布假设下，有
nLxnlxnn 2ndxn 2(lxlxn) Lx 12(lx lx1)
第2章 生命表
本章主要内容: 生命表起源 生命表基本函数 生存分布 几个常用的生存模型
3.1 生命表起源
1. 生命表的发展历史 – 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼
和死亡名单,写出《生命表的自然和政治观察》。 这是生命表的最早起源。
– 1693年，英国大数学家、天文学家 Edmund Halley，写出《根据Breslau城出生与下葬统计 表对人类死亡程度的估计》，文中第一次使用了 生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们 因而把Halley称为生命表的创始人。
lxn lxnm lx
简记
npxnmpxnpxmqxn
n1qxnqxnpxqxn
10. 死亡力
时间x时存活人数 l x 的相对变化率，称为x时的
死亡力，记为 x
x
d(lx ) lxdx
两边积分可得 lx l0exp[0xydy]
例：已知
lx
100(10 x ) 120
x n
n
np x ex xpy d [ y ] ex 0p x y d [ y ]
n
n
nqx0fT(x)(t)d t0tpx x td t
nm
nmqxn t px xtdt
1
dxlxlx 1lxqx0lx t x tdt
• 新生儿将在x岁至y岁之间死亡的概率：
P x rX ( y ) S (x ) S (y )
3.3.2 危险率函数
在生存到时间x的条件下，在x处的瞬间死亡密度称为 时间x处的危险率，记为 ( x ) ，有
(x)lim1 Pr(xXxxXx)
x0x
S(x)S(xx) S(x) f(x)
通常生命表涉及的函数有：
1. l x : 存活到整数年龄x岁的人口数，x0,1,,1.
是生命表极限年龄，通常取 110
2. n d x : 在x～x+n岁死亡的人数，简记 1dx dx
ndx lxlxn,
1
l0 d x x0
3. n q x : x岁的人在x～x+n岁死亡的概率，简记 1qx qx
2. 生命表的定义 – 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料 编制成的由每个年龄死亡率所构成的汇总表。
3. 生命表的构造原理 – 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄 人群的死亡概率。（用频率估计概率）
3.2 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批人从 出生后陆续死亡的全部过程的一种统计。