第一类曲线积分

f ( x , y )ds lim f [ ( t ), ( t )]si
0
n i 1 i 1
n
lim f [ ( t ), ( t )] [ ( t )]2 [ ( t )]2 t i
f [ ( t ), ( t )] [ ( t )]2 [ ( t )]2 dt
例 2： 计算
L
R 2 x 2 y 2 ds，其中 L 是上半圆弧
x 2 y 2 Rx, y 0 。
解1 ：参数方程
R R x 2 2 cos L: , 0 R y sin o 2
解：设 M i ( i ,i ) , 则
z
h( x , y )
Ai h( i ,i )si
则曲面的面积为：
A h( i ,i )si
i 1 n
o x
Ai 1 MBiblioteka Ai iny令 max{si }, 并令 0，则 A lim h( i ,i )si
: x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )
其中 ( t ), ( t ), ( t ) 在 [ , ] 上具有连续的一阶 导数 , 则
f ( x , y, z )ds
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
L2
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4． （比较性质） ：若在曲线 L 上， f ( P ) g( P ) ，则
L f ( P )ds L g( P )ds
特别地，若存在一点 P0 L，使得 f ( P0 ) g( P0 ) ，则
L f ( P )ds L g( P )ds
L1 L2
2、如果两条空间曲线 L1、 L2 关于平面 x = y 对称， 则
L
2
f ( x , y, z )ds f ( y, x , z )ds
L1
同理，如果L1、 L2 关于平面 y= z 及 z= x 对称， 也有类似的性质。
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3、如果空间曲线 L 关于平面 x = y 对称，那么交 换被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y 的位置， z 的位置不动，积分值不会改变。即
L f ( x, y, z )ds L f ( y, x, z )ds
同理，如果空间曲线 L 关于平面 y= z 及 z= x 对称，有类似的性质。
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三、对弧长曲线积分的计算
定理1（平面曲线的情况）
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续，L的 x ( t ), 参数方程为 ( t )，其中 ( t ), ( t ) y ( t ), 在[ , ]上具有一阶连续导数, 则
5.（绝对值性质） ：
L f ( P )ds L f ( P )ds 。
6．(估值定理) ：若在曲线 L 上 m f ( P ) M ，则
ml f ( P )ds Ml , ( l为L的弧长)
L
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7．(中值定理)： 若函数 f ( P ) 在曲线 L 上连续，则在
L f ( x, y, z )ds L f ( z , x, y )ds f ( y , z , x )ds f ( x , z , y )ds L L
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曲线对称性的补充性质：
1、如果两条平面曲线 L1、 L2 关于直线 x = y 对称， 则 f ( x, y)ds f ( y, x )ds
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt


( )
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证明： 设 t 由 变到 时，从点 A到 B 描绘出曲线 L 。
在 L 上从点 A到 B 取一列点
A M 0 , M1 , M 2 ,, M n1 , M n B


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说明:
(1) sk 0, t k 0,
(2) 注意到
因此积分限必须满足
定积分的下限 一定要小于上限 , 即
y
2 2
d s (d x ) (d y )
2 2 (t ) (t ) d t
o
ds d y dx x x
L L
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空间曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线 x = y = z 对称。 如果空间曲线 L 有轮换对称性，则它的方程 F (x ,y ,z)=0，G (x ,y ,z)=0 有如下特征：将 F (x ,y ,z) ， G(x ,y ,z) 中的变量 x ,y ,z 的位置任意互换，不会改变 F， G 的表达式。 如果空间曲线L关于直线 x = y = z 对称，那么被 积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y, z 无论怎样互换，积 分值不会改变。即
对坐标的曲面积分
第一节 第一类曲线积分
一、问题的提出
第十章
二、第一类曲线积分的 概念与性质 三、第一类曲线积分的 计算
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一、问题的提出
例1: 曲线形构件的质量
B
Mk ( k , k , k ) s k M k 1
假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
它们对应于一列单调的参数值
t0 t1 t2 tn1 tn
记： si M i 1 M i 的弧长， t i t i t i 1 ，则由弧 长公式知：
si
ti t i 1
[ ( t )]2 [ ( t )]2 dt

由定积分中值定理知，存在 t [t i 1，t i ]，使：
y x2
o
A(1,0)
x
OA xy ds 0 1 1 AB xy ds 0 ydy 2 5 5 1 1 2 2 BO xy ds 0 x x 1 (2 x ) dx 24 120 5 5 61 L xy ds 24 120
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i
0
i 1
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二.定义及性质
定义：设 L是空间中一条有限长的光滑曲线,函数 在 L上有定义, 若通过对 L 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
( k , k , k )
lim
0
k 1
n
f ( k , k , k ) sk
( 2) L : x ( y )
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy.
(c d )
( 3) L : ( ) ,


f ( x , y )ds f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )d
2.（线性性质）： 设 k1 , k 2为常数，则
L[k1 f ( P ) k2 g( P )]ds k1 L f ( P )ds k2 L g( P )ds.
3.（积分区域的可加性）：设 L L1 L2，则
L f ( P )ds L
1
f ( P )ds f ( P )ds.
曲线积分为
0
lim f ( k , k ) sk L f ( x , y ) d s
k 1
n
如果 L 是闭曲线 , 则积分号记为 由定义知：
L
（1）曲线形构件的质量： M ( x , y , z )ds；物理意义
L
（2）柱面的侧面积： A h( x , y )ds；几何意义

( )
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例 1 计算 xyds， 其中 L 是由 x 1，y 0 ，y x 2 L y 组成的封闭曲线。 B(1,1) 解 L OA AB BO
OA : x x, y 0 , 0 x 1 AB : x 1, y y , 0 y 1 2 BO : x x, y x , 0 x 1
因此上述计算公式相当于“换元法”.
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其它情形：
(1) L : y ( x ) a x b.
b a
L L
L
f ( x , y )ds f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx. ( a b )
c y d.
d c
第十章
曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 曲线域 曲面域
曲线积分 曲面积分
表示一物体在力场 中沿曲线所做的功
向量场中的积分
液体流过一个表面 的流量
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F ( x, y, z ) 0 (4) 若曲线 L 的方程为： ， 则需化成参数方程， G ( x , y , z ) 0 再进一步用公式求。
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定理2
(空间曲线的情况)：
设 f ( x , y , z )在空间曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为：
L
（3） ds L 的长度。
L
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基本性质：
假设下面所涉及到的函数在积分曲线上都是可积的，
P表示平面或空间上的某个点。
1. （可积的充分条件） ： 若曲线 L 分段光滑， 函数 F ( P ) 在 L 上连续（或 F ( P ) 在 L 上只有有限个间断点且有 界） ，则 F ( P ) 在 L 上可积。
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si [ ( t )]2 [ ( t )]2 t i
max { si }， max { t i }， 记： 显然当 0 时，
i i
0 。又 f ( x , y ) 在 L 上连续，从而可积，则：
L
0
为计算此构件的质量, 采用
“分割, 近似, 求和, 取极限”
n
可得
M
k 1
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A
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例 2： 设 是一张母线平行于 z 轴， 准线为 xoy 面上的曲线 L 的柱面的一部分，其高度函数
h( x , y) （( x , y ) L ）是一个变量。求 面积。
这里假设 h( x , y) 是连续的。
L 上至少存在一点 P0 ，使得
L f ( P )ds
8． （奇偶对称性） ：
f ( P0 )l ，
（ l 表示 L 的弧长）
（1）若积分曲线是平面曲线，则奇偶对称性与二 重积分类似； （2）若积分曲线是空间曲线，则奇偶对称性与三 重积分类似；
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关于曲线的轮换对称性：
平面曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线 x = y 对称。 如果平面曲线 L 有轮换对称性，则它的方程 F (x ,y )=0，有如下特征：将 F (x ,y) 中的变量 x ,y 的位置任意互换，不会改变 F 的表达式。 如果平面曲线 L 有轮换对称性，那么交换被积 函数 f ( x, y) 中变量 x, y 的位置，积分值不会改变， 即 f ( x, y )ds f ( y, x )ds

记作
L
f ( x , y , z ) ds
在曲线
Mk sk M k 1
都存在, 则称此极限为函数
L上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
称为被积函数，L 称为积分弧段 . ds 称为弧长元素（弧微分） .
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L
结束
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的