数字信号处理 研究生课程Chapter+2

白化滤波器 非因果IIR维纳滤波器的 域解 维纳滤波器的Z域解 非因果 维纳滤波器的 因果IIR维纳滤波器的 域解 维纳滤波器的Z域解 因果 维纳滤波器的
若不考虑滤波器的因果性，维纳－霍夫方程可以改写为
r xd (k ) =
m =−∞
∑ h( m) r
+∞
xx
(k − m) = h(k ) * rxx ( k )
∂E {e ( n ) e* ( n )} ∂ak
+j
∂E {e ( n ) e* ( n )} ∂bk
正交性原理： 正交性原理：
∇ k J ( n ) = 0 ⇒ E[ x* (n − k )eopt (n)] = 0, k = 0,1, 2,...
分析： 分析 ： 上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小， 则误差信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性 原理。
* rdx (−k ) = ∑ hopt ,i rxx (i − k ) i =0 +∞
k=0, 1, 2, …
维纳-霍夫（ 维纳 霍夫（Wiener－Hopf）方程： 霍夫 － ）方程：
rxd (k ) = ∑ hopt ,i rxx (k − i )
i =0
+∞
k=0, 1, 2, …
3、FIR维纳滤波器的时域解 FIR维纳滤波器的时域解
要使均方误差为最小，须满足
min J (n)
hk
∂J ( n ) ∇J ( n ) = =0 ∂hk
k=0, 1, 2, …
∂E[| e( n) |2 ] ∂E[| e(n) |2 ] +j =0 ∂ak ∂bk
记梯度算子为
∂ ∂ ∇k = +j ∂ak ∂bk
k=0, 1, 2, …
∇k J ( n ) =
设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到
x(n)=s(n)+v(n)
Sxs (z)=Hopt(z)Sxx(z)
S xs ( z ) H opt ( z ) = S xx ( z )
假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则
Sxs (z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)
假设信号的真值与估计值间的误差为：
ˆ e( n) = s ( n) − s ( n)
均方误差最小即误差的平方的统计平均值最小：
e(n) 2 = E s − s 2 最小 ˆ E
3、本章讨论的主要内容
主要内容：维纳滤波器、维纳预测器、卡尔 曼滤波。 分析思路：在均方误差最小的前提下，求得 系统的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)， 进而计算滤波器的最小均方误差 E[| e(n) |2 ]min
FIR维纳滤波器的维纳 霍夫方程 维纳滤波器的维纳-霍夫方程 维纳滤波器的维纳 当h(n)是一个长度为M的因果序列时，FIR维纳滤波器 的维纳-霍夫方程表述为
rxd (k ) = ∑ h(i )rxx (k − i )
i =0
M −1
k=0, 1, 2, …,M-1
(2.2.21)
把k的取值代入(2.2.21)式， 得到
Hale Waihona Puke Baidu
x(n)的白化滤波器
1 W ( z) = X ( z) B( z )
如果B(z)是一个最小相移网络函数，那么1/B(z)显然也 是一个物理可实现的最小相移网络，因此可以利用上式白 化x(n)。
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ(n)
H(z) (a)
ˆ y ( n) = s ( n)
2、 非因果 、 非因果IIR维纳滤波器的求解 维纳滤波器的求解
计算H 计算 opt (z)：
x(n)
1 B (z )
w(n)
G(z)
ˆ y( n) = s (n)
ˆ y (n) = s (n) = w(n) ∗ g (n) =
k =−∞
∑ g (k )w(n − k )
+∞
2 +∞ 2 E[| e(n) | ] = E s (n) − ∑ g (k ) w(n − k ) k =−∞
σ w g (k ) −
g opt (k ) =
rws (k )
σw
=0
-∞＜k＜∞
rws (k )
2 σw
-∞＜k＜∞
Z变换后
Gopt ( z ) =
S ws ( z )
2 σw
非因果IIR维纳滤波器的最佳解： 维纳滤波器的最佳解： 非因果 维纳滤波器的最佳解
s(n)=s(n)*δ(n)， x(n)=w(n)*b(n) Sxs (z)=Sws(z)B(z-1) rxs(m)=rws(m)*b(-m)
当k=0时，h0rxx(0)+h1rxx(-1)+…+hM-1rxx(-M+1)=rxd (0) 当k=1时，h0rxx(1)+ h1rxx(0)+…+ hM-1rxx(-M+2)= rxd (1) 当k=M-1时，h0rxx(M-1)+ h1rxx (M-2)+…+hM-1rxx(0)= rxd (M-1) (2.2.22) … …
Wiener滤波器的一般结构 滤波器的一般结构
x(n)=s(n)+v(n)
ˆ y ( n ) = s ( n ) = ∑ h ( m) x ( n − m)
m
e( n ) = s ( n ) − y ( n )
E[| e(n) |2 ]min
2、维纳滤波和卡尔曼滤波简介
维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波以 估计的结果与信号真值之间的误差的均方 值最小作为最优准则。
k =0
+∞
n=0,1, 2, …
设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E［|e(n)|2］分别为
e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)
代价函数为 ⇒ J (n) = E[| e(n) |2 ] = E[e(n)e* (n)]
h(k ) = ak + jbk , k = 0,1, 2,...
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
2.1 引言 2.2 离散维纳滤波器的时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 离散维纳滤波器的z 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波 卡尔曼(Kalman)滤波 (Kalman)
2.1 引 言
最优滤波 维纳滤波和卡尔曼滤波简介 本章讨论的主要内容
1、最优滤波
m
ˆ e( n ) = s ( n ) − y ( n ) = s ( n ) − s ( n )
最优准则： 最优准则 最大输出信噪比准则－>匹配滤波器 最小均方误差准则 E[| e(n) |2 ]min 误差绝对值的期望值最小 E[| e(n) |]min 误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小
E[| e(n) |k ]min
k=0, 1, 2, …
因为存在k≥0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如 有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。
2 σw 如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)= w(n)，w(n)是方差为
2 的白噪声，由于 r xx ( k ) = r ww ( k ) = σ wδ ( k )
则因果IIR维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为：
1、白化滤波器
任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成 是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成。
w(n)
B(z)
x(n)
x(n)的时间序列信号模型
X ( z ) = B ( z )W ( z )
Pxx ( z ) = σ B ( z ) B ( z )
2 w −1
一般把信号转化为白噪声的过程称为白化 白化，对应的滤波 白化 器称为白化滤波器 白化滤波器。 白化滤波器
rxx (0) rxx (1) Rxx = ⋮ rxx ( M − 1)
（2.2.22）式可以写成矩阵形式 即 矩阵形式， 矩阵形式
Rxd = Rxx h
对上式求逆，得到
h = hopt = R Rxd
−1 xx
这里涉及到计算相关矩阵和逆矩阵，计算量可能较大。
2.3 离散维纳滤波器的z域解 离散维纳滤波器的z
信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受 干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波 器。 滤波器的分类： 线性滤波器、非线性滤波器； FIR滤波器、IIR滤波器； 时域滤波器、频域滤波器；
图 2.1.1 信号处理的一般模型
x(n)=s(n)+v(n)
ˆ y ( n ) = s ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ h ( m ) x ( n − m)
G( z) H ( z) = B( z )
ˆ y ( n) = s ( n)
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
如果已知信号的Pxx(z)，即可由下式求得B(z) 。
2 Pxx ( z ) = σ ω B ( z ) B ( z −1 )
于是，在最小均方误差准则下，求最佳 于是，在最小均方误差准则下，求最佳Hopt(z)的问题就 的问题就 归结为求最佳G(z)的问题了。G(z)当然也需分因果性或非 的问题了。 归结为求最佳 的问题了 当然也需分因果性或非 因果性的约束情况加以讨论。 因果性的约束情况加以讨论。
2、 维纳 霍夫方程 、 维纳—霍夫方程
E[ x* (n − k )eopt (n)] = 0, k = 0,1, 2,...
* +∞ ⇒ E x(n − k ) d (n) − ∑ hopt ,i x(n − i ) = 0 i =0
将输入信号分配进去， 得到
k =−∞
= rss (0) +
k =−∞
∑
+∞
σ w g (k ) −
rws (k )
2
σw
−
k =−∞
∑
+∞
| rws |2
2 σw
(2.3.9)
求满足最小均方误差条件下的g(k)： ： 求满足最小均方误差条件下的
为求得相对于g(k)的最小均方误差值，令 ∂E[| e(n) |2 ] =0 ∂g ( k )
e(n) 2 ⇒ hopt (n) min E e( n ) 2 ⇒E min
2.2 离散维纳滤波器的时域解
正交性原理 维纳—霍夫方程 维纳 霍夫方程 FIR维纳滤波器的时域解 维纳滤波器的时域解
1、 维纳滤波器时域求解的方法
因果维纳滤波器的输出y(n) ：
ˆ y (n) = s (n) = x(n) ∗ h(n) = ∑ hk x(n − k )
S xs ( z ) S ws ( z ) = B ( z −1 )
1 S ws ( z ) 1 1 S xs ( z ) S xs ( z ) H opt ( z ) = = 2 = 2 = −1 B(z ) σ w B( z ) σ w B ( z ) B( z ) S xx ( z ) Gopt ( z )
定义
h0 h 1 h= ⋮ hM −1 rxd (0) r (1) Rxd = xd ⋮ rxd ( M − 1) rxx (1) ⋯ rxx ( M − 1) rxx (0) ⋯ rxx ( M − 2) ⋮ ⋮ rxx ( M − 2) rxx (0)
= E[| s (n) |2 ] + E[ ∑
+∞
k =−∞
r =−∞
∑
+∞
g * (k ) g (r ) w* (n − k ) w(n − r )]
+∞ +∞ * * * + E − ∑ g (k ) w (n − k ) s (n) − ∑ g (k ) w(n − k ) s (n) k =−∞ k =−∞ 2 = rss (0) + σ w 第一项 * | g (k ) |2 − ∑ g * (k )rws (k )－ ∑ g (k )rws (k ) ∑ k =−∞ k =−∞ 第二项 第三项 +∞ +∞ +∞
S xs ( z ) S ss ( z ) H opt ( z ) = = S xx ( z ) S ss ( z ) + Svv ( z )
对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为
r xd (k ) = ∑ h( m) rxx (k − m) = h(k ) ∗ rxx (k )
m =0
+∞
2 2 r xd (k ) = r wd (k ) = ∑ h(m)σ wδ ( k − m ) = σ w h(k ) k=0, 1, 2, … m =0 +∞
h( k ) =
rwd ( k )
2 σw
k=0, 1, 2, …
由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解 得因果IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。