2019-2020学年陕西省汉中市龙岗学校高一(上)期末数学试卷及答案

2019-2020学年陕西省汉中市龙岗学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤4}B．{x|﹣1≤x≤4}C．{x|2＜x≤3}D．{x|2≤x≤3} 2．（5分）函数）的定义域是（）A．[0，）B．[0，]C．[1，）D．[1，]3．（5分）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点，则cos（π+α）＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量＝（x+，1）与向量＝（x2，2x）共线，则实数x的值为（）A．﹣3B．﹣3或0C．3D．3或05．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）为了得到函数的图象，只要将y＝sin x（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f （x2）”的是（）A．f（x）＝B．f（x）＝2﹣x C．f（x）＝lnx D．f（x）＝x3 8．（5分）已知函数，则＝（）A．B．C．D．59．（5分）如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝e|x|+x2，若f（2x﹣1）≥f（x），则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，]∪[1，+∞）B．[，1]C．D．11．（5分）若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A．0＜a＜1B．C．D．1＜a＜12．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．（5分）已知向量＝（2，m），＝（4，﹣2），且（+）⊥（﹣），则实数m＝．14．（5分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是．15．（5分）已知幂函数y＝mx n（m，n∈R）的图象经过点（4，2），则m﹣n＝．16．（5分）在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）计算（1）；（2）解方程：．18．（12分）已知向量＝（sinα，1），＝（1，cosα）．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若＝，求的值．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1在区间[2，3]上的最小值为1．（1）求a的值；（2）若存在x0使得不等式＜k•3x在x∈[﹣1，1]成立，求实数k的取值范围．20．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．21．（12分）已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作时间t（0≤t ≤24）（单位：小时）的函数，记作y＝f（t），经过长期观测，y＝f（t）的曲线可近似地看成是函数，y＝A cosωt+b，下列是某日各时的浪高数据．t/小时03691215182124y/米1111（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；（2）为保证安全，比赛时的浪高不能高于米，则在一天中的哪些时间可以进行比赛．22．（12分）已知函数f（x）＝log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b有实数根，求b的取值范围；（3）设h（x）＝log9（a•3x﹣a），若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2019-2020学年陕西省汉中市龙岗学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤4}B．{x|﹣1≤x≤4}C．{x|2＜x≤3}D．{x|2≤x≤3}【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）函数）的定义域是（）A．[0，）B．[0，]C．[1，）D．[1，]【分析】根据对数函数以及二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：1≤x＜，故选：C．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．（5分）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点，则cos（π+α）＝（）A．B．C．D．【分析】结合三角函数的定义及诱导公式即可求解．【解答】解：由题意可得，P（），故cosα＝，则cos（π+α）＝﹣cosα＝．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数滴定仪即诱导公式的简单应用，属于基础试题．4．（5分）已知向量＝（x+，1）与向量＝（x2，2x）共线，则实数x的值为（）A．﹣3B．﹣3或0C．3D．3或0【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求得x的值．【解答】解：向量＝（x+，1）与向量＝（x2，2x）共线，则2x（x+）﹣x2＝0，即x2+3x＝0，解得x＝0或x＝﹣3；所以实数x的值为﹣3或0．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与坐标表示应用问题，是基础题．5．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，先分析函数的定义域，进而设t＝e x﹣1﹣x，求出其导数，分析t的最小值，分析可得f（x）＞0，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，有e x﹣1﹣x≠0，则有x≠1，即函数的定义域为{x|x≠1}，设t＝e x﹣1﹣x，其导数t′＝e x﹣1﹣1，易得在区间（﹣∞，1）上，t′＜0，t＝e x﹣1﹣x为减函数，在区间（1，+∞）上，t′＞0，t＝e x﹣1﹣x为增函数，则t＝e x﹣1﹣x有最小值t x＝1＝e0﹣1＝0，则有t≥0，对于f（x）＝，必有f（x）＞0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}且f（x）＞0，分析选项可得意D符合；故选：D．【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数值的符号，属于基础题．6．（5分）为了得到函数的图象，只要将y＝sin x（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【分析】利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．【解答】解：将函数y＝sin x的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y＝sin（x+），再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，所得到的函数图象对应的解析式为y＝sin（2x+）．故选：A．【点评】本题考查三角函数的图象变换，注意平移变换中x的系数为1，否则容易出错误．7．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f （x2）”的是（）A．f（x）＝B．f（x）＝2﹣x C．f（x）＝lnx D．f（x）＝x3【分析】对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”，可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，结合选项即可判断．【解答】解：“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，结合选项可知，f（x）＝在（0，+∞）单调递增，不符合题意，f（x）＝2﹣x＝在（0，+∞）单调递减，符合题意，f（x）＝lnx在（0，+∞）单调递增，不符合题意，f（x）＝x3在（0，+∞）单调递增，不符合题意，故选：B．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．8．（5分）已知函数，则＝（）A．B．C．D．5【分析】根据题意，由对数的运算性质分析可得﹣3＜log2＝﹣log25＜﹣2，据此结合函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数，又由log2＝﹣log25，则﹣3＜log2＝﹣log25＜﹣2，则f（log2）＝f（﹣log25）＝f（2﹣log25）＝f（4﹣log25）＝f（log2）＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．9．（5分）如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x＝代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝e|x|+x2，若f（2x﹣1）≥f（x），则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，]∪[1，+∞）B．[，1]C．D．【分析】由f（x）＝e|x|+x2，知其为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，从而得到|2x﹣1|≥|x|，解之即可．【解答】解：∵f（x）＝e|x|+x2，f（﹣x）＝e|﹣x|+（﹣x）2＝e|x|+x2＝f（x），∴f（x）为偶函数，又x≥0时，f（x）＝e x+x2为单调递增函数，∴f（2x﹣1）≥f（x）⇔f（|2x﹣1|）≥f（|x|），∴|2x﹣1|≥|x|，解得：x≤或x≥1，故选：A．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，得到|2x﹣1|≥|x|是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．11．（5分）若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A．0＜a＜1B．C．D．1＜a＜【分析】判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．【解答】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）＝ln1﹣1+a＜0，f（e）＝lne﹣+a＞0，可得＜a＜1故选：C．【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．12．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1﹣2x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）＝4，则g（x1）＝g（x2）＝2，或g（x1）＝g（x2）＝﹣2（舍去）．故有g（x1）＝g（x2）＝2，即cos2x1＝cos2x2＝﹣1，又x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x1，2x2∈[﹣4π，4π]，要使x1﹣2x2取得最大值，则应有2x1＝3π，2x2＝﹣3π，故x1﹣2x2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．（5分）已知向量＝（2，m），＝（4，﹣2），且（+）⊥（﹣），则实数m＝±4．【分析】由已知可得，带入坐标即可求出实数m的值．【解答】解：∵向量＝（2，m），＝（4，﹣2），∴+＝（6，m﹣2），﹣＝（﹣2，m+2），∵，∴（+）•（﹣）＝﹣12+（m﹣2）（m+2）＝0，解得m＝±4．故答案为：±4．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是2．【分析】设出扇形的弧长，半径，通过扇形的周长与面积．求出扇形的弧长与半径，即可得到扇形圆心角的弧度数．【解答】解：设扇形的弧长为：l半径为r，所以2r+l＝8，＝4，所以l＝4，r＝2，所以扇形的圆心角的弧度数是：＝2；故答案为：2．【点评】本题是基础题，考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查计算能力．15．（5分）已知幂函数y＝mx n（m，n∈R）的图象经过点（4，2），则m﹣n＝．【分析】根据幂函数的定义得出m＝1，再把点的坐标代入函数解析式求出n的值．【解答】解：函数y＝mx n（m，n∈R）为幂函数，则m＝1；又函数y的图象经过点（4，2），则4n＝2，解得n＝；所以m﹣n＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的定义与计算问题，是基础题．16．（5分）在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是．【分析】根据条件可得出，从而求出，即得出，然后可以点A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，从而可得出，并设B（m，0），，从而可得出，解出m＝3，从而得出，然后即可求出在方向上的投影．【解答】解：由得，，∵B，C，D三点共线，故，即，∴，以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，0），，设B（m，0），，由得，∴，解得m＝3，n＝3，∴B（3，0），，∴在上的投影为．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数乘运算，向量坐标的加法和数乘运算，通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，投影的定义及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）计算（1）；（2）解方程：．【分析】（1）根据指数幂的运算法则以及对数的运算法则进行化简即可（2）利用指数幂的运算法则进行化简【解答】（1）解：原式＝+lg＝+lg10＝＝（2）解：，得2•2x﹣2x＝2﹣3∴2x＝2﹣3∴x＝﹣3【点评】本题主要考查指数幂和对数的运算，结合对应的运算法则是解决本题的关键．18．（12分）已知向量＝（sinα，1），＝（1，cosα）．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若＝，求的值．【分析】（Ⅰ）时，可求出向量的坐标，从而得出向量的坐标，进而可求出的值；（Ⅱ）根据即可得出，联立sin2α+cos2α＝1，并根据α∈（0，π）即可求出，并化简即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）时，，∴，∴；（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，且α∈（0，π），∴sinα＞0，∴解得，，∴＝．【点评】本题考查了向量坐标的加法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，sin2α+cos2α＝1，三角函数的诱导公式，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1在区间[2，3]上的最小值为1．（1）求a的值；（2）若存在x0使得不等式＜k•3x在x∈[﹣1，1]成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）根据二次函数的性质判定单调性，然后根据单调性分情况进行讨论，根据最值求出a值；（2）将不等式可化为1+（）2﹣2•＜k，只要求出左端最小值即可得出答案．【解答】解：（1）f（x）＝（x﹣a）2+1﹣a2，当a＜2时，f（x）min＝f（2）＝5﹣4a＝1，解得a＝1，当2≤a≤3时，f（x）min＝f（a）＝1﹣a2＝1，解得a＝0不符合题意，当a＞3时，f（x）min＝f（3）＝10﹣6a＝1，解得a＝，不符合题意．综上所述，a＝1．（2）因为⇒，可化为1+（）2﹣2•＜k，令t＝，则k＞t2﹣2t+1，因x∈[﹣1，1]，故t∈[，3]．故k＞t2﹣2t+1在t∈[，3]上有解，记h（t）＝t2﹣2t+1＝（t﹣1）2，t∈[，3]，故h（t）min＝h（1）＝0，所以k的取值范围是（0，+∞）．【点评】本题考查了二次函数的性质与最值问题，函数的单调性与取值范围的关系，难度中档．20．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．【分析】对于（1）首先分析题目中三角函数的表达式为标准型，则可以根据周期公式，递增区间直接求解即可．对于（2）然后可以根据三角函数的性质解出函数的单调区间，再分别求出最大值最小值．【解答】解（1）因为．所以函数f（x）的最小正周期为，由单调区间﹣π+2kπ≤，得到故函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（2）因为在区间上为增区间，在区间上为减函数，又，故函数f（x）在区间上的最大值为，此时x＝：最小值为﹣1，此时x＝．【点评】此题主要考查三角函数周期性及其求法，其中涉及到函数的单调区间，最值问题．对于三角函数的性质非常重要同学们要理解并记忆．21．（12分）已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作时间t（0≤t ≤24）（单位：小时）的函数，记作y＝f（t），经过长期观测，y＝f（t）的曲线可近似地看成是函数，y＝A cosωt+b，下列是某日各时的浪高数据．t/小时03691215182124 y/米1111（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；（2）为保证安全，比赛时的浪高不能高于米，则在一天中的哪些时间可以进行比赛．【分析】（1）由表中数据可以看到浪高最大值为，最小值为，从而求出b，A的值，再利用周期求出ω的值，即可求出y＝f（t）的解析式；（2）由题意知，当时，比赛才能进行，即，解出t的范围即可．【解答】解：（1）由表中数据可以看到浪高最大值为，最小值为，∴，，又∵相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12，∴，，即；（2）由题意知，当时，比赛才能进行，即，∴，，解得2+12k≤t≤10+12k（k∈Z），又∵t∈[0，24]，∴当k＝0时，2≤t≤10；当k＝1时，14≤t≤22，故比赛安全进行的时间段为[2，10]∪[14，22]．【点评】本题主要考查了三角函数的实际运用，是中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b有实数根，求b的取值范围；（3）设h（x）＝log9（a•3x﹣a），若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用偶函数的性质、对数的运算性质即可得出；（2）由题意知方程log9（9x+1）﹣x＝x+b有实数根，即方程log9（9x+1）﹣x＝b有解．令g（x）＝log9（9x+1）﹣x，则函数y＝g（x）的图象与直线y＝b有交点．再利用函数的单调性即可得出．（3）由题意知方程＝a•3x﹣有且只有一个实数根．令3x＝t＞0，则关于t的方程（a﹣1）t2﹣﹣1＝0，（记为（*））有且只有一个正根．对a与△分类讨论即可得出．【解答】解：（1）∵y＝f（x）为偶函数，∴∀x∈R，则f（﹣x）＝f（x），即﹣kx＝log9（9x+1）+kx（k∈R），对于∀x∈R恒成立．于是2kx＝﹣log9（9x+1）＝﹣＝﹣x恒成立，而x不恒为零，∴k＝﹣．（2）由题意知方程log9（9x+1）﹣x＝x+b有实数根，即方程log9（9x+1）﹣x＝b有解．令g（x）＝log9（9x+1）﹣x，则函数y＝g（x）的图象与直线y＝b有交点．∵g（x）＝＝，任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则，从而．于是＞，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在R上是单调减函数．∵＞1，∴g（x）＝＞0．∴b的取值范围是（0，+∞）．（3）由题意知方程＝a•3x﹣有且只有一个实数根．令3x＝t＞0，则关于t的方程（a﹣1）t2﹣﹣1＝0，（记为（*））有且只有一个正根．若a＝1，则t＝﹣，不合，舍去；若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．由△＝0，可得a＝或﹣3；但a＝⇒t＝﹣，不合，舍去；而a＝﹣3⇒t＝；方程（*）的两根异号⇔（a﹣1）（﹣1）＜0⇔a＞1．综上所述，实数a的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．。